第一篇：專題六 二次函數的最值問題

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專題六

二次函數的最值問題

初高中銜接教材

專題六 二次函數的最值問題 【要點回顧】

1．二次函數y?ax?bx?c(a?0)的最值．

二次函數在自變量x取任意實數時的最值情況 24ac?b2b當a?0時，函數在x??處取得最小值，無最大值；

4a2a4ac?b2b當a?0時，函數在x??處取得最大值，無最小值．

4a2a2．二次函數最大值或最小值的求法．

第一步確定a的符號，a＞0有最小值，a＜0有最大值；

第二步配方求頂點，頂點的縱坐標即為對應的最大值或最小值． 3．求二次函數在某一范圍內的最值．

如：y?ax?bx?c在m?x?n（其中m?n）的最值． 第一步：先通過配方，求出函數圖象的對稱軸：x?x0； 第二步：討論：

[1]若a?0時求最小值或a?0時求最大值，需分三種情況討論：

①對稱軸小于m即x0?m，即對稱軸在m?x?n的左側；

②對稱軸m?x0?n，即對稱軸在m?x?n的內部；

③對稱軸大于n即x0?n，即對稱軸在m?x?n的右側。[2] 若a?0時求最大值或a?0時求最小值，需分兩種情況討論： 2m?n，即對稱軸在m?x?n的中點的左側； 2m?n②對稱軸x0?，即對稱軸在m?x?n的中點的右側；

2①對稱軸x0?說明：求二次函數在某一范圍內的最值，要注意對稱軸與自變量的取值范圍相應位置，具體情況，【例題選講】

例1求下列函數的最大值或最小值．

（1）y?2x?3x?5；（2）y??x?3x?4．22

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例2當1?x?2時，求函數y??x?x?1的最大值和最小值．

例3當x?0時，求函數y??x(2?x)的取值范圍．

2125x?x?的最小值(其中t為常數)． 22分析：由于x所給的范圍隨著t的變化而變化，所以需要比較對稱軸與其范圍的相對位置．

125解：函數y?x?x?的對稱軸為x?1．畫出其草圖．

22125(1)當對稱軸在所給范圍左側．即t?1時：當x?t時，ymin?t?t?；

22125(2)當對稱軸在所給范圍之間．即t?1?t?1?0?t?1時： 當x?1時，ymin??1?1???3；

22(3)當對稱軸在所給范圍右側．即t?1?1?t?0時：當x?t?1

151ymin?(t?1)2?(t?1)??t2?3．

222例4當t?x?t?1時，求函數y?

?12?2t?3,t?0?綜上所述：y???3,0?t?1

?15?t2?t?,t?12?2例5某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發現這種商品每天的銷售量m(件)與每件的銷售價x(元)滿足一次函數m?162?3x,30?x?54．

(1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件銷售價x之間的函數關系式；

(2)若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？

【鞏固練習】

1．拋物線y?x?(m?4)x?2m?3，當m= _____ 時，圖象的頂點在y軸上；當m= _____ 時，圖象的頂點在x軸上；當m= _____ 時，圖象過原點． 2

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2．用一長度為l米的鐵絲圍成一個長方形或正方形，則其所圍成的最大面積為 ________ ． 3．設a?0，當?1?x?1時，函數y??x?ax?b?1的最小值是?4，最大值是0，求a,b的值．

4．已知函數y?x?2ax?1在?1?x?2上的最大值為4，求a的值．

5．求關于x的二次函數y?x?2tx?1在?1?x?1上的最大值(t為常數)．

222專題六 二次函數的最值問題 參考答案

22例1分析：由于函數y?2x?3x?5和y??x?3x?4的自變量x的取值范圍是全體實數，所以只要確定它們的圖象有最高點或最低點，就可以確定函數有最大值或最小值． 解：（1）因為二次函數y?2x2?3x?5中的二次項系數2＞0，所以拋物線y?2x2?3x?5有最低點，即函數有最小值．

334949 因為y?2x2?3x?5=2(x?)2?，所以當x?時，函數y?2x2?3x?5有最小值是?．

48482（2）因為二次函數y??x?3x?4中的二次項系數-1＜0，所以拋物線y??x2?3x?4有最高點，即函數有最大值．

因為y??x2?3x?4=?(x?2532253，所以當x??時，函數y??x2?3x?4有最大值．)?4242例2解：作出函數的圖象．當x?1時，ymin??1，當x?2時，ymax??5．

說明：二次函數在自變量x的給定范圍內，對應的圖象是拋物線上的一段．那么最高點的縱坐標即為函數的最大值，最低點的縱坐標即為函數的最小值．

根據二次函數對稱軸的位置，函數在所給自變量x的范圍的圖象形狀各異．下面給出一些常見情況：

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例3解：作出函數y??x(2?x)?x?2x在x?0內的圖象．

可以看出：當x?1時，ymin??1，無最大值．所以，當x?0時，函數的取值范圍是y??1． 例5解：(1)由已知得每件商品的銷售利潤為(x?30)元，那么m件的銷售利潤為y?m(x?30)，又m?162?3x．? y?(x?30)(162?3x)??3x2?252x?4860,30?x?54

(2)由(1)知對稱軸為x?42，位于x的范圍內，另拋物線開口向下

?當x?42時，ymax??3?422?252?42?4860?432

?當每件商品的售價定為42元時每天有最大銷售利潤，最大銷售利潤為432元．

【鞏固練習】

l22311．4 14或2，2．m 3．a?2,b??2． 4．a??或a??1．

16245．當t?0時，ymax?2?2t，此時x?1；當t?0時，ymax?2?2t，此時x??1．

第二篇：二次函數最值問題

《二次函數最值問題》的教學反思

大河鎮 件，設所獲利潤為y元，則y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，這樣，一個二元二次方程就列出，這也為后面學習二次函數與一元二次方程的關系奠定了基礎，針對上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，這里再利用二次函數y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小來確定問題的最值。把問題轉化怎樣求這個函數的最值問題。

b4ac?bb4ac?b根據a>0時，當x=－，y最小＝；a<0時，當x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利潤。

例2是面積的最值問題（下節課講解）

教學反饋：講得絲絲入扣，大部分學生能聽懂，但課后的練習卻“不會做”。反思一：本節課在講解的過程中，不敢花過多的時間讓學生爭辯交流，生怕時間不夠，完成了不教學內容，只能按照自己首先設計好的意圖引領學生去完成就行了。實際上，這節課以犧牲學生學習的主動性為代價，讓學生被動地接受，去聽講，體現不了學生是學習的主人這一關鍵環節。

反思二：數學教學的目標不僅是讓學生學到一些知識，更重要的是讓學生學會運用知識去解決現實問題，讓學生“從問題的背景出發，建立數學模型”的基本流程，如例題中，可讓學生從“列方程→轉化為二次函數解析式→

b4ac?b當x＝－時，y最大（小）＝→解決問題”，讓學生在實踐中發現數2a4a學，掌握數學。

反思三：教學應當促進學生成為學習的主人，離開了學生積極主動學習，老師講得再好，學生也難以接受，或者是聽懂了，但不會做題的現象。傳統的教學“五環節”模式已成為過去，新的課程標準需要我們用新的理念對傳統的教學模式、教學方法等進行改革，讓學生成為課堂的主角。

第三篇：2015二次函數與最值問題

2015年中招專題---二次函數與最值問題

1．（2014?四川綿陽）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點M（﹣2，且與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為拋物線對稱軸上的動點，當△PBC為等腰三角形時，求點P的坐標；

（3）在直線AC上是否存在一點Q，使△QBM的周長最小？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

2．（2014?四川內江）如圖，拋物線y=ax+bx+c經過A（﹣3.0）、C（0，4），點B在拋物線上，CB∥x軸，且AB平分∠CAO．（1）求拋物線的解析式；

（2）線段AB上有一動點P，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點Q，求線段PQ的最大值；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形？如果存在，求出點M的坐標；如果不存在，說明理由．

3.（2014?攀枝花）如圖，拋物線y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y

2），頂點坐標為N（﹣1，），軸交于點C，點D的坐標為（﹣6，0），且∠ACD=90°．（1）請直接寫出A、B兩點的坐標；（2）求拋物線的解析式；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PAC的周長最小？若存在，求出點P的坐標及周長的最小值；若不存在，說明理由；

（4）平行于y軸的直線m從點D出發沿x軸向右平行移動，到點A停止．設直線m與折線DCA的交點為G，與x軸的交點為H（t，0）．記△ACD在直線m左側部分的面積為s，求s關于t的函數關系式及自變量t的取值范圍．

4.(2014?襄陽）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點A在DE上，以A為頂點的拋物線過點C，且對稱軸x=1交x軸于點B．連接EC，AC．點P，Q為動點，設運動時間為t秒．

（1）填空：點A坐標為

；拋物線的解析式為

．

（2）在圖1中，若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動，同時，點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動．當t為何值時，△PCQ為直角三角形？

（3）在圖2中，若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動，過點P做PF⊥AB，交AC于點F，過點F作FG⊥AD于點G，交拋物線于點Q，連接AQ，CQ．當t為何值時，△ACQ的面積最大？最大值是多少？

5.（2014?德州）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標是（4，0），并且OA=OC=4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）過動點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作y軸的垂線．垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標．

6．（2014?甘肅蘭州）如圖，拋物線y=﹣x+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．

7．（2014?重慶）如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3 的圖象與x軸于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D拋物線的頂點．

（1）求A、B、C的坐標；

交為2（2）點M為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N．若點P在點Q左邊，當矩形PQMN的周長最大時，求△AEM的面積；

（3）在（2）的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ．過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G（點G在點F的上方）．若FG=

2DQ，求點F的坐標．

8.(四川瀘州）如圖，已知一次函數y1=x+b的圖象l與二次函數y2=﹣x+mx+b的圖象C′都經過點B（0，1）和點C，且圖象C′過點A（2﹣（1）求二次函數的最大值；

（2）設使y2＞y1成立的x取值的所有整數和為s，若s是關于x的方程a的值；

（3）若點F、G在圖象C′上，長度為的線段DE在線段BC上移動，EF與DG始終平行于y軸，當四

=0的根，求2，0）．

邊形DEFG的面積最大時，在x軸上求點P，使PD+PE最小，求出點P的坐標．

第四篇：二次函數的最值問題修改版

利用數形結合法解決二次函數在閉區間

上的最值問題

數學組：王勇

一、教學目標：

1． 理解二次函數的最值概念，掌握二次函數的最值求法； 2． 培養學生數形結合的能力和將數學問題轉化的能力。

二、教學重點：二次函數最值求法

教學難點：二次函數在閉區間上的最值

三、教學過程：

二次函數是函數中重要的函數，二次函數在閉區間上的最值問題一直是函數中的一個難點。今天我們用數形結合的方法來突破這個問題。請看下面例題

問題1 求函數f(x)?x2?2x?3，x??2,4?的最大值與最小值

練習：將題中條件x??2,4?改為（1）x???3,0?，（2）x???3,4?

小結：求二次函數在固定區間上的最大值與最小值：考慮對稱軸與區間的位置關系。

如果我們將x???3,4?改為x??a,4?，怎樣求最值呢？

問題2 求函數f(x)?x2?2x?3，x??a,4?的最值

小結：注意分類討論

以上問題是函數的圖像不變，要研究的區間含字母，如果我們將區間固定，函數的解析式中含字母，又怎樣求最值呢？

問題3 求函數f(x)?x?2ax?3，x??1,3?的最大值與最小值

小結：對稱軸的討論是關鍵

練習4 已知f?x??x-2ax?3在區間??1,2?上最大值為4，求a的值 2

f(x)?a(x?h)2?k(a?0)x?[m,n]小結：二次函數在閉區間[m,n]上的最值

（三）作業：

1． 求函數f?x??x2?2x?3在區間?t,t?1?上的最值 2． 求函數f?x??x2?ax?3在區間??1,1?上的最小值

第五篇：二次函數最值問題參考答案

精英輔導學校 賈天宇 2013.7.17.二次函數最值問題

二、例題分析歸類：

（一）、正向型

是指已知二次函數和定義域區間，求其最值。對稱軸與定義域區間的相互位置關系的討論往往成為解決這類問題的關鍵。此類問題包括以下四種情形：（1）軸定，區間定；（2）軸定，區間變；（3）軸變，區間定；（4）軸變，區間變。1.軸定區間定

例1.函數y??x?4x?2在區間[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函數y??x?4x?2??(x?2)?2函數的最大值為f(2)?2，最小值f(0)??2。練習.已知2x2?3x，求函數f(x)?x?x?1的最值。

解：由已知2x?3x，可得0?x?222223，函數f(x)的最小值為f(0)?1，最大值為2?3?19。f????2?

42、軸定區間變

2例2.如果函數f(x)?(x?1)?1定義在區間t，t?1上，求f(x)的最小值。

??解：函數f(x)?(x?1)?1 21?t，當x?t時，函數取得最小值f(x)min?f(t)?(t?1)2?1。

t?1?t?1，即0?t?1。當x?1時，函數取得最小值f(x)min?f(1)?1。t?1?1，即t?0。當x?t?1時，函數取得最小值f(x)min?f(t?1)?t2?1

綜上討論，f(x)min?(t?1)2?1,t?1? ??1,0?t?1?2?t?1t?02f(x)?x?2x?3，當x?[t，t?1](t?R)時，求f(x)的最大值． 例3.已知解：由已知可求對稱軸為x?1．

?f(x)min?f(t)?tt??21t?3，f(x)max?f(t?1)?t2?2（1）當時，．（2）當t≤1≤t?1，即0≤t≤1時，．

t?t?11?即22t?t?111??t≤12f(x)?f(t?1)?t?2max22即2若時，． 根據對稱性，若

0≤t≤122時，f(x)max?f(t)?t?2t?3．

f(x)max?f(t)?t2?2t?3t?1?1t?0（3）當即時，．

第1頁（共4頁）精英輔導學校 賈天宇 2013.7.17.綜上，f(x)max1?2t?2,t???2 ???t2?2t?3,t?1?2?

23、軸變區間定

例4.已知x2?1，且a?2?0，求函數f(x)?x?ax?3的最值。

解：由已知有?1?x?1，a?2，于是函數f(x)是定義在區間?1，1上的二次函數，將

??a?a? f(x)配方得：f(x)??x???3??2?422?aa2?a二次函數f(x)的對稱軸方程是x??頂點坐標為??，3??，圖象開口向上

4??22a??1，顯然其頂點橫坐標在區間?1，1的左側或左端點上。2函數的最小值是f(?1)?4?a，最大值是f(1)?4?a。由a?2可得x????

圖3 例.(1)求f(x)?x?2ax?1在區間[-1,2]上的最大值。

(2)求函數y??x(x?a)在x?[?1,1]上的最大值。解：(1)二次函數的對稱軸方程為x??a，211即a??時，f(x)max?f(2)?4a?5； 2211 當?a?即a??時，f(x)max?f(?1)?2a?2。

22當?a?綜上所述：f(x)max1??2a?2,a????2??。?4a?5,a??1??2a2a2aaaa(2)函數y??(x?)?圖象的對稱軸方程為x?，應分?1??1，??1，?1即242222第2頁（共4頁）精英輔導學校 賈天宇 2013.7.17.?2?a?2，a??2和a?2這三種情形討論，下列三圖分別為

（1）a??2；由圖可知f(x)max?f(?1)（2）?2?a?2；由圖可知f(x)max?f()（3）a?2時；由圖可知f(x)max?f(1)

a2

?y最大??(a?1),a??2?f(?1),a??2?2?a??a??f(),?2?a?2；即y最大??,?2?a?2 ?2?4???f(1),a?2?a?1,a?

2（二）、逆向型

是指已知二次函數在某區間上的最值，求函數或區間中參數的取值。

例5.已知函數f(x)?ax?2ax?1在區間[?3,2]上的最大值為4，求實數a的值。

解：f(x)?a(x?1)?1?a,x?[?3,2]（1）若a?0,f(x)?1,，不符合題意。（2）若a?0,則f(x)max?f(2)?8a?1 22由8a?1?4，得a?3 8（3）若a?0時，則f(x)max?f(?1)?1?a 由1?a?4，得a??3

第3頁（共4頁）精英輔導學校 賈天宇 2013.7.17.綜上知a?3或a??3 8x2例6.已知函數f(x)???x在區間[m,n]上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。

2解法1：討論對稱軸中1與m,m?n,n的位置關系。2①若，則??f(x)max?f(n)?3n

?f(x)min?f(m)?3m 解得②若?f(x)max?f(1)?3nm?n，無解 ?1?n，則?2?f(x)min?f(m)?3m?f(x)max?f(1)?3nm?n③若m?1?，則?，無解

f(x)?f(n)?3m2?min④若，則??f(x)max?f(m)?3n，無解

?f(x)min?f(n)?3m綜上，m??4,n?0 解析2：由f(x)??1111(x?1)2?，知3n?,n?,，則[m,n]?(??,1]，2226?f(x)max?f(n)?3n

f(x)?f(m)?3m?min又∵在[m,n]上當x增大時f(x)也增大所以?解得m??4,n?0

評注：解法2利用閉區間上的最值不超過整個定義域上的最值，縮小了m，n的取值范圍，避開了繁難的分類討論，解題過程簡潔、明了。

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