第一篇：二次函數最值問題的研究

二次函數最值問題的研究

（內江師范學院 內江 641100）

摘要：最值問題是中學數學的重要內容之一，中學數學最值問題遍及代數、三角函數、立體幾何及解析幾何各部分之一，最值問題為載體，利用數形結合的思想，考查分類討論、數形結合、轉化與化歸等思想考查二次函數的最值問題，利用二次函數的圖像和性質進行研究最值問題，遍及初高中數學代數和幾何部分的幾乎所有，利用數與形進行分類和分軸以及參數問題討論出最值問題的變化，同時利用數學等優秀的數學思想，將觀察、類比、實驗、歸納、一般化、抽象化等方法解決生活中遇到的最值問題。

關鍵字：數學 最值 數形結合 圖像

1、前言

數學是一種古老而又年輕得文化，人類從蠻荒時代的結繩計數，到如今用電子計算機指揮宇宙航行，無時無刻不在受到數形結合和空中二次函數的思想的恩惠和影響，進入21世紀，我國數學課程中有關數學學習的理念時刻在發生變化，數學教學的主要目的和任務早已經不是簡單的知識和方法的傳授，而是通過數學學習在傳授知識分方法的同時培養學生的數學能力，咋促進學生數學學習的過程中，加強數與行的結合，能化簡為繁，對于幫助學生開闊思路，突破思維定勢有積極地作用，能加深學生對知識的理解和掌握，學習二次函數的知識不僅是高中教材的內容，而且更是解決生活的實際問題有很大的幫助，但是二次函數包括的知識點不僅多，難度比較大之外，更重要的是具有可行性的量化和質變的本質區別，二次函數的最值問題作為研究二次函數的圖像和性質，以及二次函數的區間最值問題都是需要學生去總結和探討的。

作為初中和高中教材中的主要函數知識點的部分，學習二次函數起到一個承上啟下的作用，同時二次函數也是中考和高考命題的重點，如何讓初高中學生對二次函數了解的更加深刻和透徹，本文利用和數形結合的思想對初高中二次函數做了更深入的研究和討論，主要運用數形結合的思想和分類討論的思想以及根據二次函數的性質，從不同的角度進行分析二次函數的最值問題，利用二次函數的圖像解決：定軸動區間、動軸動區間、動軸定區間的最值問題，以及根據開口方向、對稱軸、所給區間確定；所給區間確定、對稱軸位置變化；所給區間變化、對稱軸位置確定；區間、對稱軸位置都不確定，巧用二次函數的圖像來進行討論二次函數所遇到的最值問題，利用圖像討論含參數的問題，以及巧用二次函數圖像討論二次函數與一次函數交匯問題和運用數形結合求解問題誤區的探討這幾個方面論述.2、國內外研究現狀：

查閱相關文獻，眾多數學教育者和數學專家從不同角度和側面探討了二次函數的最值問題，同時結合教學、解題、以及函數的應用，王豐霞在文獻[1]中淺談了構造數形結合在二次函數中的培養創新思維，張冰、楊光在文獻[2-3]中淺析二次函數最值問題的研究的概念以及培養學生數形結合的興趣，孫雪梅、王雨來、樸林玉等文獻[4-6]分析了二次函數的最值問題，周建濤、姚愛梅在文獻[7]中二次函數在閉區間的最值問題的研究，陳晨在文獻[8]閉區間上的二次函數的最值，張連友在文獻[8]二次函數在最值求法例談，陳林文在文獻[9]巧解最值問題，黃小琴在文獻[10]二次函數最值求法探索，張武在文獻[11]中“數形結合”解題誤區的認識與思考給出了自己獨特的見解和分析，通過觀看以上等教育工作者的研究和對二次函數最值問題的研究，讓我受益匪淺，從他們的研究中看到了對二次函數最值問題的深入剖析。

2、國內外研究現狀評價

在所查閱到的國內外參考文獻中，教育者們對在二次函數中最值問題的研究，只是針對了二次函數的某一些問題或是某一些最值問題探究的比較清楚，其中關于二次函數的深層次或是大學知識的解決辦法未能夠涉及到里面去，相對高思想高研究高知識層面的探討問題研究的不是很充分，其次對于二次函數利用思想方法和數形結合的思想方法的分析缺乏深入的研究和探討，數形結合的思想在初高中二次函數中是比較重要的一個內容，對數形結合的思想在高中二次函數中的綜合運用進行深入研究，使之形成完整的體系，對今后利用二次函數的圖像和數形結合的思想去進行二次函數的教學、解題、以及二次函數最值問題的分析在初高考的應用具有重要的意義。

3、提出問題：

二次函數最值問題是結合初高考的代數和幾何進行考試的內容，同時也是大部分學生遇到的問題最多的地方，所以探討二次函數的最值問題的具有可行性的，同時也是對函數部分的知識進行深入的剖析，在具體探討二次函數的最值問題的時候加入一些數學思想和數學方法以及高等數學的解題方法，根據定義域的問題和對稱軸的問題進行深入分析和探討是有必要的數學研究，4、結束語：

通過對國內外數學中二次函數的了解和研究以及專家和教育學者的文獻的分析，二次函數是初高中數學的重點和難點，貫穿高中知識的始終，同時二次函數與其他知識的綜合也是高考的重點和難點，是解決很多復雜的數學問題的一把利刃，利用二次函數的圖像和性質進行研究最值問題，求解函數的最值是高考的重點以及難點，必須從根本上解決高中生面對最值問題所遇到的困難，很多文獻都是有解法的缺乏思想，有教學的缺乏實踐支撐,本文就是讓學生將解題的技巧與求解函數的最值結合起來，讓學生不再害怕最值問題，不再高考的大部分涉及函數最值的題目中失分。凡題有法而可解，高中生在做題的時候往往照抄書本模式，禁錮于思維定勢，用解法解題便成了盲區，對于解法，教材中只提到了二次函數配方法求最值，利用函數的單調性、奇偶性求最值，這些方法可以應對一些簡單的題目，如果題目加大難度，學生就束手無策，文章對函數最值問題的解法進行研究，目的就是為了擴大學生之視野，擴張學生之思維，以解學生學習最值問題的重點和難點。參考文獻：

【1】 王豐霞，構造數形結合思想在二次函數中培養創新思維[J]，勝利油田專科學校學報，2001，（04）

【2】 張冰、楊光，淺析二次函數最值問題的研究的概念以及培養學生數形結合的興趣，山西財經職業技術學院，2011，（7）

【3】 孫雪梅、王雨來、樸林玉，二次函數的最值問題[J]，2010,(11)：45-46 【4】 周建濤、姚愛梅，二次函數在閉區間的最值問題的研究[J],數學教學學報，2005，（12）：24-25 【5】 陳晨，閉區間上的二次函數的最值[J]，中學數學雜志，2004（12）【6】 張連友，二次函數在最值求法例談[J]，黑河教育，2008（4）【7】 陳林文，巧解最值問題[J],時代教育，2007（7）

【8】 黃小琴，二次函數最值求法探索[M]，中學數學教育，2012（15）【9】 張武，“數形結合”解題誤區的認識與思考[J],太原市教育學院，2004，（3）：59-62 【10】 朱永星，談二次函數的學習[J]，高中數學教育學，2007，（11）：11-13 【11】 周建濤淺談二次函數在高中階段的應用[J]，數學教學通訊，2005，（12）：24-25 【12】二次函數在高中數學教學中的應用[J],內江師范學院學報，2008，（23）：58-59

第二篇：二次函數的最值問題的研究

二次函數的最值問題的研究

（文獻綜述）

（內江師范學院數學與應用數學，四川 641100 王強）

摘 要函數的最值問題是高中階段研究函數性質的一個重要指標，除了知道什么是函數最值如何求解最值這類高中生必須達到的基本要求外，能夠精通求解函數最值的各種解法以及巧妙解答各類題型是對高中教師乃至高中學生的進一步要求。近年來，隨著新課程的改革，教材中需要掌握的內容越加繁雜，對于知識的領悟程度也越發要求的高，高考中考查最值的題目難度增大，這不管是對于教師還是學生來說都是一個大的挑戰，適應這一系列的變化，已經成為一種趨勢，教師需要大量的學習、更精深的知識以及更多的方法來幫助學生度過難關，以達到一個高中生該具有的基本數學素養。

關鍵詞 函數最值 解法 解題

前 言 最值問題是是高中數學乃至高考的熱點以及重點，也是考察其他知識點的載體，它不但可以訓練學生的邏輯思維，而且可以掌握很多的解題技巧，提高解決問題的能力，是解決函數問題的基準．如二次函數的最值問題可以更確切的認識圖象，能夠形象地判斷所求閉區間內函數的最值．在實際生活中在具體問題中建立數學模型，解決高中數學建模中簡單的最優化問題，以明確在生產生活中何時利潤最大，成本最低，用料最省等等，它對其他學科也有輔助作用，如物理中的最短路線問題，經濟學中的投資收益，航天發射計算最佳時間等．學習最值問題主要還是為了在高考中解決涉及最值問題的題型，如線性規劃、三角函數、數列、圓錐曲線、導數等都會適當考查運用，是決戰高考的基礎知識。

1.高中生學習函數最值問題的困難

現在有很多學生遇到題目不會靈活應用，只會一味模仿以前做題的方式，用學到的很淺顯的最值概念去解題，而沒有作融會貫通，舉一反三，計算能力以及解題技巧都還處在很基礎的水平，在解題的時候很多學生搞不清已知條件所要傳達的信息，無法正確的得出結論，更無法自如的應對結合諸多知識點的難題，亦或是高考．在平時的生活中，更是照本宣科，無法將學習到的最值問題，數學模型應用到實際生活中，當今時代，經濟、金融已經是畢業生們想要爭先步入的龍頭行業，眾所周知，學好經濟學要很扎實的數學基礎，由此看來，從長遠考慮，最值問題是高中生在高中的一堂必修課。

2.先前研究成果

由于函數最值在高考以及日常生活的重要性，所以，對于函數的最值的研究也一直沒有間斷．如陳克勝于2005年在高等函授學報（自然科學版）發表的《求函數最值的方法舉例》中為求解函數最值提供思路，重點是為了拓寬學生解決函數最值有關問題的視野，倡導應該通過解題，在解答過程中培育創新思維能力；游波平在《函數最值解法技巧探究》（《重慶文理學院》（自然科學版）2007.4）給出了一些求解函數最值的技巧，如數形結合思想這一類比較慣用的思想，并致力解決生產、生活和科學研究中的常見問題；王貴軍2010年3月發表一篇題為《幾何法在求解函數最值問題中的應用》的文章，旨在運用幾何圖形以及題目的幾何意義來解決函數的最值問題，給我們以新的啟迪．顏世序2012年3月在解題技巧與方法發表《淺談導數在求函數最值中的應用》，將求函數最值的問題融入到求導的問題當中，導數也是高考的一個比較重要且相對較難的考點，筆者把函數最值與高考結合起來，更加說明函數最值的應用廣泛性．2013年，張永紅發表《新課標下高中數學應用題中的最值問題研究》，他在這項研究中緊密結合我國現階段高中數學教學狀況，精心挑選了部分高考題進行方法總結，并通過問卷調查得出實證，為讀者分享了自己應對此問題的教學策略．陳榮燦在2010年發表畢業論文《高中數學最值問題的教學研究》，他主要指出了高中最值問題在教學過程中本身存在的一些不足，并且為了提高教學質量從例題的講解、課時的安排、激發學生的學習興趣、運用數學觀點數學思想等方面給出建筑性的意見．

以上這些文獻期刊都沒有做到全面系統的給出有關最值的解題方面行之有效并且實用的方法。

3.二次函數最值問題的研究點

求解函數的最值是高考的重點以及難點，必須從根本上解決高中生面對最值問題所遇到的困難，前面的文獻很多都是有解法的缺乏思想，有教學的缺乏實踐支撐，這樣學生依然會陷入自己原有的思維定勢，不懂得理論與實踐的結合，在今后的做題中依然會遇到同樣的問題．本文就是讓學生將解題的技巧與求解函數的最值結合起來，主要針對做題，也給教師一些習題課的建議，讓學生不再害怕最值問題，不再高考的大部分涉及函數最值的題目中失分。函數最值的問題包括求解某初等函數在閉區間內的最值，復合函數的最值，經濟生活中的最大收益、最小成本、最大期望等的最值，而求解函數最值的主要核心是解法，俗話說，凡題有法而可解，高中生在做題的時候往往照抄書本模式，禁錮于思維定勢，用解法解題便成了盲區，對于解法，教材中只提到了二次函數配方法求最值，利用函數的單調性、奇偶性求最值，這些方法可以應對一些簡單的題目，如果題目加大難度，學生就束手無策，這樣一來，學生多學習課外知識就顯得尤為重要．眼觀六路，容易充實人的大腦，耳聽八方，可以豐富人的思維，高中生需要這樣的實踐來提升自己．文章對函數最值問題的解法進行研究，目的就是為了擴大學生之視野，擴張學生之思維，以解學生學習最值問題。

參考文獻

【1】譚永基，俞紅．現實世界的數學視角與思維［M］．上海：復旦大學出版社．2010：41-45．

【2】梁紅．高考三年真題研究（文數）［G］．陜西科學技術出版社．2014． 【3】梁紅.高考真題超詳解（理數）［G］．陜西科學技術出版社．2014． 【4】陸軍．三角函數最值問題的八種求解策略［J］．延邊教育學院學報．2012，26（1）：46-53．

【5】游波平．函數最值解法技巧探討［J］．重慶文理學院學報．2007，26(2)：108-110．

【6】陳克勝．求函數最值方法舉例［J］．高等函授學報（自然科學版）．2016，20(2)：59-61.【5】普通高中課程標準試驗教科書.數學2（必修）[M]．北京：北京師范大學出版社．2011

第三篇：二次函數最值問題

《二次函數最值問題》的教學反思

大河鎮 件，設所獲利潤為y元，則y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，這樣，一個二元二次方程就列出，這也為后面學習二次函數與一元二次方程的關系奠定了基礎，針對上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，這里再利用二次函數y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小來確定問題的最值。把問題轉化怎樣求這個函數的最值問題。

b4ac?bb4ac?b根據a>0時，當x=－，y最小＝；a<0時，當x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利潤。

例2是面積的最值問題（下節課講解）

教學反饋：講得絲絲入扣，大部分學生能聽懂，但課后的練習卻“不會做”。反思一：本節課在講解的過程中，不敢花過多的時間讓學生爭辯交流，生怕時間不夠，完成了不教學內容，只能按照自己首先設計好的意圖引領學生去完成就行了。實際上，這節課以犧牲學生學習的主動性為代價，讓學生被動地接受，去聽講，體現不了學生是學習的主人這一關鍵環節。

反思二：數學教學的目標不僅是讓學生學到一些知識，更重要的是讓學生學會運用知識去解決現實問題，讓學生“從問題的背景出發，建立數學模型”的基本流程，如例題中，可讓學生從“列方程→轉化為二次函數解析式→

b4ac?b當x＝－時，y最大（小）＝→解決問題”，讓學生在實踐中發現數2a4a學，掌握數學。

反思三：教學應當促進學生成為學習的主人，離開了學生積極主動學習，老師講得再好，學生也難以接受，或者是聽懂了，但不會做題的現象。傳統的教學“五環節”模式已成為過去，新的課程標準需要我們用新的理念對傳統的教學模式、教學方法等進行改革，讓學生成為課堂的主角。

第四篇：2015二次函數與最值問題

2015年中招專題---二次函數與最值問題

1．（2014?四川綿陽）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點M（﹣2，且與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為拋物線對稱軸上的動點，當△PBC為等腰三角形時，求點P的坐標；

（3）在直線AC上是否存在一點Q，使△QBM的周長最小？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

2．（2014?四川內江）如圖，拋物線y=ax+bx+c經過A（﹣3.0）、C（0，4），點B在拋物線上，CB∥x軸，且AB平分∠CAO．（1）求拋物線的解析式；

（2）線段AB上有一動點P，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點Q，求線段PQ的最大值；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形？如果存在，求出點M的坐標；如果不存在，說明理由．

3.（2014?攀枝花）如圖，拋物線y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y

2），頂點坐標為N（﹣1，），軸交于點C，點D的坐標為（﹣6，0），且∠ACD=90°．（1）請直接寫出A、B兩點的坐標；（2）求拋物線的解析式；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PAC的周長最小？若存在，求出點P的坐標及周長的最小值；若不存在，說明理由；

（4）平行于y軸的直線m從點D出發沿x軸向右平行移動，到點A停止．設直線m與折線DCA的交點為G，與x軸的交點為H（t，0）．記△ACD在直線m左側部分的面積為s，求s關于t的函數關系式及自變量t的取值范圍．

4.(2014?襄陽）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點A在DE上，以A為頂點的拋物線過點C，且對稱軸x=1交x軸于點B．連接EC，AC．點P，Q為動點，設運動時間為t秒．

（1）填空：點A坐標為

；拋物線的解析式為

．

（2）在圖1中，若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動，同時，點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動．當t為何值時，△PCQ為直角三角形？

（3）在圖2中，若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動，過點P做PF⊥AB，交AC于點F，過點F作FG⊥AD于點G，交拋物線于點Q，連接AQ，CQ．當t為何值時，△ACQ的面積最大？最大值是多少？

5.（2014?德州）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標是（4，0），并且OA=OC=4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）過動點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作y軸的垂線．垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標．

6．（2014?甘肅蘭州）如圖，拋物線y=﹣x+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．

7．（2014?重慶）如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3 的圖象與x軸于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D拋物線的頂點．

（1）求A、B、C的坐標；

交為2（2）點M為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N．若點P在點Q左邊，當矩形PQMN的周長最大時，求△AEM的面積；

（3）在（2）的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ．過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G（點G在點F的上方）．若FG=

2DQ，求點F的坐標．

8.(四川瀘州）如圖，已知一次函數y1=x+b的圖象l與二次函數y2=﹣x+mx+b的圖象C′都經過點B（0，1）和點C，且圖象C′過點A（2﹣（1）求二次函數的最大值；

（2）設使y2＞y1成立的x取值的所有整數和為s，若s是關于x的方程a的值；

（3）若點F、G在圖象C′上，長度為的線段DE在線段BC上移動，EF與DG始終平行于y軸，當四

=0的根，求2，0）．

邊形DEFG的面積最大時，在x軸上求點P，使PD+PE最小，求出點P的坐標．

第五篇：二次函數的最值問題修改版

利用數形結合法解決二次函數在閉區間

上的最值問題

數學組：王勇

一、教學目標：

1． 理解二次函數的最值概念，掌握二次函數的最值求法； 2． 培養學生數形結合的能力和將數學問題轉化的能力。

二、教學重點：二次函數最值求法

教學難點：二次函數在閉區間上的最值

三、教學過程：

二次函數是函數中重要的函數，二次函數在閉區間上的最值問題一直是函數中的一個難點。今天我們用數形結合的方法來突破這個問題。請看下面例題

問題1 求函數f(x)?x2?2x?3，x??2,4?的最大值與最小值

練習：將題中條件x??2,4?改為（1）x???3,0?，（2）x???3,4?

小結：求二次函數在固定區間上的最大值與最小值：考慮對稱軸與區間的位置關系。

如果我們將x???3,4?改為x??a,4?，怎樣求最值呢？

問題2 求函數f(x)?x2?2x?3，x??a,4?的最值

小結：注意分類討論

以上問題是函數的圖像不變，要研究的區間含字母，如果我們將區間固定，函數的解析式中含字母，又怎樣求最值呢？

問題3 求函數f(x)?x?2ax?3，x??1,3?的最大值與最小值

小結：對稱軸的討論是關鍵

練習4 已知f?x??x-2ax?3在區間??1,2?上最大值為4，求a的值 2

f(x)?a(x?h)2?k(a?0)x?[m,n]小結：二次函數在閉區間[m,n]上的最值

（三）作業：

1． 求函數f?x??x2?2x?3在區間?t,t?1?上的最值 2． 求函數f?x??x2?ax?3在區間??1,1?上的最小值