第一篇：《二次函數最值問題》教學設計

一、教材分析本節課是在學習了二次函數的概念、圖像及性質后，對二次函數性質的應用課。主要內容包括：運用二次函數的最大值解決最大面積的問題，讓學生體會拋物線的頂點就是二次函數圖象的最高點(最低點)，因此，可利用頂點坐標求實際問題中的最大值(或最小值).在最大利潤這個問題中，應用頂點坐標求最大利潤，是較難的實際問題。本節課的設計是從生活實例入手，讓學生體會在解決問題的過程中獲取知識的快樂，使學生成為課堂的主人。按照新課程理念，結合本節課的具體內容，本節課的教學目標確定為相互關聯的三個層次：

1、知識與技能通過實際問題與二次函數關系的探究，讓學生掌握利用頂點坐標解決最大值(或最小值)問題的方法。

2、過程與方法通過對實際問題的研究，體會數學知識的現實意義。進一步認識如何利用二次函數的有關知識解決實際問題。滲透轉化及分類的數學思想方法。

3、情感態度價值觀(1)通過巧妙的教學設計，激發學生的學習興趣，讓學生感受數學的美感。(2)在知識教學中體會數學知識的應用價值。本節課的教學重點是 探究利用二次函數的最大值(或最小值)解決實際問題的方法，教學難點是如何將實際問題轉化為二次函數的問題。

二、學情分析在解決函數的實際問題時，要善于從實際問題的情境中抽象出數學模型，使實際問題轉化為數學問題。通過數學方法解決問題。學生剛剛學習了二次函數的概念、圖象及性質，因此，只要教師能為學生搭建一個有梯次的研究型學習的平臺，學生完全有可能由對具體事例的自主分析，建立數學模型，如再經教師巧妙引領，勢必會激發學生對學習的興趣，從而體會學習的快樂。

三、實驗研究：作為一線教師，應該靈活地處理和使用教材。充分發揮教師自己的智慧，把學生置于教學的出發點和核心地位，應學生而動，應情境而變，課堂才能煥發勃勃生機，課堂上才能顯現真正的活力。因此我對教材進行了重新開發，從學生熟悉的生活情境出發，與學生生活背景有密切相關的學習素材來構建學生學習的內容體系。把握好以下兩方面內容：(一)、利用二次函數解決實際問題的易錯點：①題意不清，信息處理不當。②選用哪種函數模型解題，判斷不清。③忽視取值范圍的確定，忽視圖象的正確畫法。④將實際問題轉化為數學問題，對學生要求較高，一般學生不易達到。(二)、解決問題的突破點：①反復讀題，理解清楚題意，對模糊的信息要反復比較。②加強對實際問題的分析，加強對幾何關系的探求，提高自己的分析能力。③注意實際問題對自變量 取值范圍的影響，進而對函數圖象的影響。④注意檢驗，養成良好的解題習慣。因此我由課本的一個問題轉化為兩個實際問題入手通過創設情境，層層設問，啟發學生自主學習。

四、教學過程問題與情境師生活動設計意圖

一、創設情境引入課題問題1：用60米長的籬笆圍成長方形的生物園飼養小兔,怎樣圍可使小兔的活動范圍較大?教師提出問題，教師引導學生先考慮：(1)若矩形的長為10米，它的面積為多少?(2)若矩形的長分別為15米、20米、30米時，它的面積分別為多少?(3)從上兩問同學們發現了什么?關注學生是否發現兩個變量，是否發現矩形的長的取值范圍。學生積極思考，回答問題。通過矩形面積的探究，激發學生學習興趣。

二、分析問題解決問題問題2你能找到籬笆圍成的矩形的最大面積嗎?教師引導學生分析與矩形面積有關的量，參與學生討論。學生思考后回答。解：設矩形的長為x 米，則寬為(30-x)米，如果將面積記為y平方米，那么變量y與x之間的函數關系式為：y=-x2+30x(0畫出此函數的圖象如圖當x=-30/2(-1)=15時，Y有最大值：-302/4(-1)=225答：當矩形的邊長都是15米時，小兔的活動范圍最大是225平方米。通過運用函數模型讓學生體會數學的實際價值。二次函數在幾何方面的應用特別廣泛，要注意自變的取值范圍的確定同時所畫的函數圖象只能是拋物線的一部分。讓學生在合作學習中共同解決問題，培養學生的合作精神。

三、歸納總結問題3 由矩形面積問題，你有什么收獲?反思：實際問題中，二次函數的最大值(或最小值)一定在拋物線的頂點取得嗎?師生共同歸納：可利用頂點坐標求實際問題中的最大值(或最小值)。利用函數的極值，解決實際問題，本節課所用的方法是配方法、圖象法.所用的思想方法：從特殊到一般的思想方法.引導學生反思，得出答案：不一定.要注意自變量的取值范圍.養成良好的學習習慣。

四、運用新知拓展練習問題4: 青島2007中考題某公司經銷一種綠茶，每千克成本為50元.市場調查發現，在一段時間內，銷售量w(千克)隨銷售單價x(元/千克)的變化而變化，具體關系式為：w=-2x+240.設這種綠茶在這段時間內的銷售利潤為y(元)，解答下列問題：(1)求y與x的關系式;(2)當x取何值時，y的值最大?(3)如果物價部門規定這種綠茶的銷售單價不得高于90元/千克，公司想要在這段時間內獲得2250元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元?教師展示問題，學生分組討論，如何利用函數模型解決問題。師生板書解：⑴ y=(x-50)w=(x-50)(-2x+240)=-2x2+340x-12000，y與x的關系式為：y=-2x2+340x-12000.⑵ y=-2x2+340x-12000=-2(x-85)2+2450，當x=85時，y的值最大.⑶ 當y=2250時，可得方程-2(x-85)2 +2450=2250.解這個方程，得 x1=75，x2=95.根據題意，x2=95不合題意應舍去.當銷售單價為75元時，可獲得銷售利潤2250元.通過層層設問，引導學生不斷思考，積極探索。讓學生感受到數學的應用價值。

五、課堂反饋

1、已知直角三角形兩直角邊的和等于8，兩直角邊各為多少時，這個直角三角形的面積最大，最大面積是多少?學生自主分析：先求出面積與直角邊之間的函數關系，在利用二次函數的頂點坐標求出面積的最大值.解：設直角三角形得一直角邊為x，則，另一邊長為8-x;設其面積為S.S= x(8-x)(0配方得 S=-(x2-8x)=-(x-4)2+8此函數的圖象如圖26-1-11.當x=4時，S最大=8.及兩直角邊長都為4時，此直角三角形的面積最大，最大面積為8.教師注意學生圖象的畫法，學生能結合圖象找出最大值.六、課堂小結布置作業

1、歸納小結

2、作業;習題26.1 第9、10題教師引導學生談本節課的收獲，學生積極思考，發表自己的見解。總結歸納學習內容，培養全面分析問題的好習慣。培養學生歸納問題的能力。實驗反思：新課程理念下開放式教學，是根據學生個性發展的需求而進行的教學，為使課堂充滿生趣，充滿孜孜不倦的探索。要掌握學生課堂參與度的因素：

1、提供學生積極、主動、參與學習活動的機會。

2、使課堂充滿求知欲(問題意識)和表現欲(參與意識)，好奇求知的歡樂和自我表現的愿望是推動課堂教學發展的永恒內在動力。

3、營造充滿情趣的學習情境，寬松平等民主的人際環境，創設有利于體驗成功、承受挫折的學習機會，設計富有啟發性的開放式問題。在本節課的教學設計，注重學生能夠在自主探究、合作學習的過程中，掌握利用二次函數的極值解題，使學生在愉快的情境中學習這種常用的數學模型，能夠注意總結、體會，形成良好的學習習慣。教學實踐證明，精心創設各種教學情境，能夠激發學生的學習動機和好奇心，培養學生的求知欲望，調動學生學習的積極性和主動性，引導學生形成良好的意識傾向，促使學生主動地參與。教學中，在教師的主導下，堅持學生是探究的主體，根據教材提供的學習材料，伴隨知識的發生、形成、發展全過程進行探究活動，教師著力引導多思考、多探索，讓學生學會發現問題、提出問題、分析問題、解決問題以及親身參與問題的真實活動之中，只有這樣，才能使學生親身品嘗到自己發現的樂趣，才能激起他們強烈的求知欲和創造欲。

第二篇：二次函數最值問題

《二次函數最值問題》的教學反思

大河鎮 件，設所獲利潤為y元，則y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，這樣，一個二元二次方程就列出，這也為后面學習二次函數與一元二次方程的關系奠定了基礎，針對上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，這里再利用二次函數y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小來確定問題的最值。把問題轉化怎樣求這個函數的最值問題。

b4ac?bb4ac?b根據a>0時，當x=－，y最小＝；a<0時，當x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利潤。

例2是面積的最值問題（下節課講解）

教學反饋：講得絲絲入扣，大部分學生能聽懂，但課后的練習卻“不會做”。反思一：本節課在講解的過程中，不敢花過多的時間讓學生爭辯交流，生怕時間不夠，完成了不教學內容，只能按照自己首先設計好的意圖引領學生去完成就行了。實際上，這節課以犧牲學生學習的主動性為代價，讓學生被動地接受，去聽講，體現不了學生是學習的主人這一關鍵環節。

反思二：數學教學的目標不僅是讓學生學到一些知識，更重要的是讓學生學會運用知識去解決現實問題，讓學生“從問題的背景出發，建立數學模型”的基本流程，如例題中，可讓學生從“列方程→轉化為二次函數解析式→

b4ac?b當x＝－時，y最大（小）＝→解決問題”，讓學生在實踐中發現數2a4a學，掌握數學。

反思三：教學應當促進學生成為學習的主人，離開了學生積極主動學習，老師講得再好，學生也難以接受，或者是聽懂了，但不會做題的現象。傳統的教學“五環節”模式已成為過去，新的課程標準需要我們用新的理念對傳統的教學模式、教學方法等進行改革，讓學生成為課堂的主角。

第三篇：2015二次函數與最值問題

2015年中招專題---二次函數與最值問題

1．（2014?四川綿陽）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點M（﹣2，且與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為拋物線對稱軸上的動點，當△PBC為等腰三角形時，求點P的坐標；

（3）在直線AC上是否存在一點Q，使△QBM的周長最小？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

2．（2014?四川內江）如圖，拋物線y=ax+bx+c經過A（﹣3.0）、C（0，4），點B在拋物線上，CB∥x軸，且AB平分∠CAO．（1）求拋物線的解析式；

（2）線段AB上有一動點P，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點Q，求線段PQ的最大值；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形？如果存在，求出點M的坐標；如果不存在，說明理由．

3.（2014?攀枝花）如圖，拋物線y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y

2），頂點坐標為N（﹣1，），軸交于點C，點D的坐標為（﹣6，0），且∠ACD=90°．（1）請直接寫出A、B兩點的坐標；（2）求拋物線的解析式；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PAC的周長最小？若存在，求出點P的坐標及周長的最小值；若不存在，說明理由；

（4）平行于y軸的直線m從點D出發沿x軸向右平行移動，到點A停止．設直線m與折線DCA的交點為G，與x軸的交點為H（t，0）．記△ACD在直線m左側部分的面積為s，求s關于t的函數關系式及自變量t的取值范圍．

4.(2014?襄陽）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點A在DE上，以A為頂點的拋物線過點C，且對稱軸x=1交x軸于點B．連接EC，AC．點P，Q為動點，設運動時間為t秒．

（1）填空：點A坐標為

；拋物線的解析式為

．

（2）在圖1中，若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動，同時，點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動．當t為何值時，△PCQ為直角三角形？

（3）在圖2中，若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動，過點P做PF⊥AB，交AC于點F，過點F作FG⊥AD于點G，交拋物線于點Q，連接AQ，CQ．當t為何值時，△ACQ的面積最大？最大值是多少？

5.（2014?德州）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標是（4，0），并且OA=OC=4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）過動點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作y軸的垂線．垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標．

6．（2014?甘肅蘭州）如圖，拋物線y=﹣x+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．

7．（2014?重慶）如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3 的圖象與x軸于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D拋物線的頂點．

（1）求A、B、C的坐標；

交為2（2）點M為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N．若點P在點Q左邊，當矩形PQMN的周長最大時，求△AEM的面積；

（3）在（2）的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ．過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G（點G在點F的上方）．若FG=

2DQ，求點F的坐標．

8.(四川瀘州）如圖，已知一次函數y1=x+b的圖象l與二次函數y2=﹣x+mx+b的圖象C′都經過點B（0，1）和點C，且圖象C′過點A（2﹣（1）求二次函數的最大值；

（2）設使y2＞y1成立的x取值的所有整數和為s，若s是關于x的方程a的值；

（3）若點F、G在圖象C′上，長度為的線段DE在線段BC上移動，EF與DG始終平行于y軸，當四

=0的根，求2，0）．

邊形DEFG的面積最大時，在x軸上求點P，使PD+PE最小，求出點P的坐標．

第四篇：二次函數的最值問題修改版

利用數形結合法解決二次函數在閉區間

上的最值問題

數學組：王勇

一、教學目標：

1． 理解二次函數的最值概念，掌握二次函數的最值求法； 2． 培養學生數形結合的能力和將數學問題轉化的能力。

二、教學重點：二次函數最值求法

教學難點：二次函數在閉區間上的最值

三、教學過程：

二次函數是函數中重要的函數，二次函數在閉區間上的最值問題一直是函數中的一個難點。今天我們用數形結合的方法來突破這個問題。請看下面例題

問題1 求函數f(x)?x2?2x?3，x??2,4?的最大值與最小值

練習：將題中條件x??2,4?改為（1）x???3,0?，（2）x???3,4?

小結：求二次函數在固定區間上的最大值與最小值：考慮對稱軸與區間的位置關系。

如果我們將x???3,4?改為x??a,4?，怎樣求最值呢？

問題2 求函數f(x)?x2?2x?3，x??a,4?的最值

小結：注意分類討論

以上問題是函數的圖像不變，要研究的區間含字母，如果我們將區間固定，函數的解析式中含字母，又怎樣求最值呢？

問題3 求函數f(x)?x?2ax?3，x??1,3?的最大值與最小值

小結：對稱軸的討論是關鍵

練習4 已知f?x??x-2ax?3在區間??1,2?上最大值為4，求a的值 2

f(x)?a(x?h)2?k(a?0)x?[m,n]小結：二次函數在閉區間[m,n]上的最值

（三）作業：

1． 求函數f?x??x2?2x?3在區間?t,t?1?上的最值 2． 求函數f?x??x2?ax?3在區間??1,1?上的最小值

第五篇：二次函數最值問題參考答案

精英輔導學校 賈天宇 2013.7.17.二次函數最值問題

二、例題分析歸類：

（一）、正向型

是指已知二次函數和定義域區間，求其最值。對稱軸與定義域區間的相互位置關系的討論往往成為解決這類問題的關鍵。此類問題包括以下四種情形：（1）軸定，區間定；（2）軸定，區間變；（3）軸變，區間定；（4）軸變，區間變。1.軸定區間定

例1.函數y??x?4x?2在區間[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函數y??x?4x?2??(x?2)?2函數的最大值為f(2)?2，最小值f(0)??2。練習.已知2x2?3x，求函數f(x)?x?x?1的最值。

解：由已知2x?3x，可得0?x?222223，函數f(x)的最小值為f(0)?1，最大值為2?3?19。f????2?

42、軸定區間變

2例2.如果函數f(x)?(x?1)?1定義在區間t，t?1上，求f(x)的最小值。

??解：函數f(x)?(x?1)?1 21?t，當x?t時，函數取得最小值f(x)min?f(t)?(t?1)2?1。

t?1?t?1，即0?t?1。當x?1時，函數取得最小值f(x)min?f(1)?1。t?1?1，即t?0。當x?t?1時，函數取得最小值f(x)min?f(t?1)?t2?1

綜上討論，f(x)min?(t?1)2?1,t?1? ??1,0?t?1?2?t?1t?02f(x)?x?2x?3，當x?[t，t?1](t?R)時，求f(x)的最大值． 例3.已知解：由已知可求對稱軸為x?1．

?f(x)min?f(t)?tt??21t?3，f(x)max?f(t?1)?t2?2（1）當時，．（2）當t≤1≤t?1，即0≤t≤1時，．

t?t?11?即22t?t?111??t≤12f(x)?f(t?1)?t?2max22即2若時，． 根據對稱性，若

0≤t≤122時，f(x)max?f(t)?t?2t?3．

f(x)max?f(t)?t2?2t?3t?1?1t?0（3）當即時，．

第1頁（共4頁）精英輔導學校 賈天宇 2013.7.17.綜上，f(x)max1?2t?2,t???2 ???t2?2t?3,t?1?2?

23、軸變區間定

例4.已知x2?1，且a?2?0，求函數f(x)?x?ax?3的最值。

解：由已知有?1?x?1，a?2，于是函數f(x)是定義在區間?1，1上的二次函數，將

??a?a? f(x)配方得：f(x)??x???3??2?422?aa2?a二次函數f(x)的對稱軸方程是x??頂點坐標為??，3??，圖象開口向上

4??22a??1，顯然其頂點橫坐標在區間?1，1的左側或左端點上。2函數的最小值是f(?1)?4?a，最大值是f(1)?4?a。由a?2可得x????

圖3 例.(1)求f(x)?x?2ax?1在區間[-1,2]上的最大值。

(2)求函數y??x(x?a)在x?[?1,1]上的最大值。解：(1)二次函數的對稱軸方程為x??a，211即a??時，f(x)max?f(2)?4a?5； 2211 當?a?即a??時，f(x)max?f(?1)?2a?2。

22當?a?綜上所述：f(x)max1??2a?2,a????2??。?4a?5,a??1??2a2a2aaaa(2)函數y??(x?)?圖象的對稱軸方程為x?，應分?1??1，??1，?1即242222第2頁（共4頁）精英輔導學校 賈天宇 2013.7.17.?2?a?2，a??2和a?2這三種情形討論，下列三圖分別為

（1）a??2；由圖可知f(x)max?f(?1)（2）?2?a?2；由圖可知f(x)max?f()（3）a?2時；由圖可知f(x)max?f(1)

a2

?y最大??(a?1),a??2?f(?1),a??2?2?a??a??f(),?2?a?2；即y最大??,?2?a?2 ?2?4???f(1),a?2?a?1,a?

2（二）、逆向型

是指已知二次函數在某區間上的最值，求函數或區間中參數的取值。

例5.已知函數f(x)?ax?2ax?1在區間[?3,2]上的最大值為4，求實數a的值。

解：f(x)?a(x?1)?1?a,x?[?3,2]（1）若a?0,f(x)?1,，不符合題意。（2）若a?0,則f(x)max?f(2)?8a?1 22由8a?1?4，得a?3 8（3）若a?0時，則f(x)max?f(?1)?1?a 由1?a?4，得a??3

第3頁（共4頁）精英輔導學校 賈天宇 2013.7.17.綜上知a?3或a??3 8x2例6.已知函數f(x)???x在區間[m,n]上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。

2解法1：討論對稱軸中1與m,m?n,n的位置關系。2①若，則??f(x)max?f(n)?3n

?f(x)min?f(m)?3m 解得②若?f(x)max?f(1)?3nm?n，無解 ?1?n，則?2?f(x)min?f(m)?3m?f(x)max?f(1)?3nm?n③若m?1?，則?，無解

f(x)?f(n)?3m2?min④若，則??f(x)max?f(m)?3n，無解

?f(x)min?f(n)?3m綜上，m??4,n?0 解析2：由f(x)??1111(x?1)2?，知3n?,n?,，則[m,n]?(??,1]，2226?f(x)max?f(n)?3n

f(x)?f(m)?3m?min又∵在[m,n]上當x增大時f(x)也增大所以?解得m??4,n?0

評注：解法2利用閉區間上的最值不超過整個定義域上的最值，縮小了m，n的取值范圍，避開了繁難的分類討論，解題過程簡潔、明了。

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