第一篇：實系數一元二次方程 教案

實系數一元二次方程

一、教學目標：

1、理解實系數一元二次方程在復數集中解的情況；會在復數集中解實系數一元二次方程。

2、掌握當??0時，實系數一元二次方程根與系數的關系

3、培養類比推理的思想方法及探索精神。

二、教學重點：在復數集內解實系數一元二次方程。

三、教學難點：共軛虛根的應用

四、教學過程：

（一）復習舊知：

1、師問：我們初中學習了解一元二次方程ax?bx?c?0(a、b、c?R且a?0)，對這個方程，我們有哪些認識？

生答：①當??b?4ac?0時，方程有兩個不相等的實根：x??②當??b?4ac?0時，方程有兩個相等的實根； ③當??b?4ac?0時，方程無實根。

根與系數的關系：設方程的兩個根為x1,x2，則有x1?x2??ba2222b2a?b?4ac2a2；，x1x2?ca

2、上一節課學習了“復數的平方根與立方根”，大家知道-1的平方根是:?i.師問：一元二次方程x?1?0在復數范圍內有沒有解？ 師問：在復數范圍內如何解一元二次方程x?x?1?0？ 引出本節課的課題：實系數一元二次方程

（二）講授新課

1、實系數一元二次方程在復數集C中解的情況：（1）回憶求解實數范圍內一元二次方程的過程

設一元二次方程ax?bx?c?0(a、b、c?R且a?0).222因為a?0，所以原方程可變形為 x?2bax??ca，配方得(x?b2a)?(2b2a2)?2ca，即(x?b2a)?2b?4ac4a2.2（1）當??b?4ac?0時，原方程有兩個不相等的實數根x??2b2a?b?4ac2a；

（2）當??b?4ac?0時，原方程有兩個相等的實數根x??22b2a；

2、師問：當??b?4ac?0時，你能有上述過程及上節課的知識推倒出方程的根的情況嗎？ 生：當b?4ac4a222?0，由上一堂課的教學內容知，2b?4ac4a22的平方根為?4ac?b2ai，即x?b2a??4ac?b2ai，2此時原方程有兩個不相等的虛數根：x??2b2a?4ac?b2ai 為一對共軛虛數根

3、師問：??b?4ac?0根與系數的關系成立嗎？（類比，猜想）

帶領學生證明根與系數的關系：x1?x2??ba，x1x2?ca（證明）

結論：（1）實系數一元二次方程在復數范圍內必有兩個解：當??0時，有兩個實根；當??0時，有一對共軛虛根.（2）韋達定理仍然適用。

例1：在復數集中解方程：（1）x?x?1?0

（2）2x?4x?5?0 學生練習：（1）x?5?0

（2）x?2x?3?0 2222小結：強化鞏固在復數范圍內解實系數一元二次方程 變式：在復數集中解方程：x2?3x?5m?0(m?R)小結：滲透含參問題分類討論的思想方法。

例2：已知實系數一元二次方程2x?ax?b?0的一個根為2i?3，求a,b的值． 小結：共軛虛根及根與系數關系的應用

例3：已知x1,x2是實系數方程x?x?p?0的兩根，且滿足|x1?x2|?3，求實數p的值。

小結：法一：題目中沒有講明根的虛實，需對根的情況分類討論

法二：利用復數性質|z|2?|z2|轉化，在利用根與系數的關系，可避免對根的情況討論。

思考題：已知關于x的實系數方程x?kx?k?3k?0有一個模為2的根，求實數k的值

（三）課堂小結：

（四）回家作業 練習冊配套作業

2222

第二篇：《一元二次方程根與系數的關系》教案

《一元二次方程根與系數的關系》教案

教學目標：

1、發現、了解一元二次方程的根與系數的關系，培養學生善于獨立思考、合作交流的學習習慣。

2、探索、運用一元二次方程的根與系數關系，由一元二次方程的一個根求出另一個根及未知系數，提升學生的合作意識和團隊精神。

3、在不解一元二次方程的情況下，會求直接（或變形后）含有兩根積的代數式的值，并從中體會整體代換的數學思想，促進學生數學思維的養成。教學重點：

一元二次方程的根與系數的關系及簡單應用。教學難點：

一元二次方程的根與系數的關系的推導。數學思考與問題解決：

通過創設一定的問題情境，注重由學生自己發現、探索，讓學生參與“韋達定理”的發現、不完全歸納驗證以及演繹證明等整個數學思維過程。

一、自學互研 探索發現（每小題10分，共30分）（自主完成，組長檢查）

【師生活動】：

教師引導，巡視，隨時發現問題、了解學生導學案完成情況并點撥；評價、鼓勵、調動學生參與的主動性和積極性。

學生獨立完成導學案，觀察、對比、發現問題，逐步由易到難，探索出一元二次方程的根與系數的關系；小組長檢查小組成員完成情況；分小組匯報自學成果。【設計意圖】：

本環節為“一元二次方程的根與系數的關系”的發現過程，即感性認識過程。通過幾個具體的方程，經過觀察、比較、分析、歸納，感性地得出一元二次方程的根與系數的關系的一般規律。培養學生發現問題、探求規律的學習習慣和注重自主加合作的學習方式。【學案內容】：

1、方程：X2+3X–4=0（1）二次項系數是_____，一次項系數是______，常數項是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項系數?（）

二次項系數常數項?（）(4)X1·X2=_______，方程中

二次項系數

2、方程3 X2+X-2=0（1）二次項系數是_____，一次項系數是______，常數項是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。

（3）則X1+X2=_______，方程中 ?一次項系數 ?（）二次項系數比一比，你發現了什么呢：__________________________________(4)X1·X2=_______，方程中

常數項?（）

二次項系數比一比，你發現了什么呢：__________________________________

3、方程X2-2X=（1）二次項系數是_____，一次項系數是______，常數項是______。（2）解得方程的根X1=______，X2=______。（3）由你發現的規律可知: X1+X2=?(________)

X1·X2=?（）（________)(_________)?（）

(_________)

二、合作求證 生成新知（每小題10分，共20分）（合作完成，交換檢查）

【師生活動】：

教師引導，巡視，隨時發現問題、了解學生導學案完成情況并點撥；鼓勵學生參與合作學習，調動學生合作交流的主動性和積極性。

學生小組合作完成導學案，通過推導證明前面的結論；實現一元二次方程的根與系數的關系感性認識到理性認識的轉變；小組長檢查小組成員完成情況后，兩小組交換檢查推導過程；分小組匯報合作學習成果。【設計意圖】：

本環節為“一元二次方程的根與系數的關系”的證明過程，即理性認識過程。讓學生自己發現問題、探求規律，兩從理論角度加以驗證，經歷從特殊到一般的科學探索過程，培養學生科學、嚴謹的求學態度，團隊精神和合作意識，促進學生的相互交流、學習。【學案內容】：

（1）根據以上規律，若aX2+bX+c=0(a≠0)的兩個根為X1和X2，則X1+X2=_______，X1·X2=_______。（2）這是不是一個普遍規律呢？在所有的一元二次方程中，是否成立呢？請用一元二次方程的一般形式證明：(b2-4ac≧0)∵ X1=?b?b2?4ac?b?b2?4ac

X2=

2a2a∴X1+X2=

∴X1·X2=

三、交流展示 目標達成（每小題10分，共40分）（合作完成，分組展示）

【師生活動】：

教師巡視，隨時發現問題、了解學生導學案完成情況并適時點撥、強調；充分利用現有設施設備，為學生搭建電子白板、實物投影、黑板等不同的展示自我的平臺；適時評價、鼓勵學生能多種方法解決問題，促進發散思維的培養。

導學案【目標1】：學生先獨立完成，組長檢查，后組內交流，全班匯報、評價。（學生利用一體機白板演示解題過程）

導學案【目標2】：小組合作完成，組長督促，全班匯報、評價。（學生利用實物投影展示解題過程）

導學案【目標3】：小組合作完成，組長督促，全班匯報、評價。（學生利用黑板展示解題過程）

【設計意圖】：

本環節為“一元二次方程的根與系數的關系”的實踐過程，即教學目標的達成、檢測過程。設計了三個不同難度且有梯度的“目標”，讓學生由易到難、由淺入深，加深對一元二次方程的根與系數的關系的理解和應用，強調學生對科學的嚴謹性和書寫的規范性，培養學生對所學知識的應用意識和應用能力，以及合作學習意識與數學語言的表述能力。【學案內容】：

【目標1】不解方程，求下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？

（1）x2-3x+1=0;

（2）3x2-2x=2;

【目標2】已知方程X2-4X+M=0的一個根是-2，求方程的另一個根及M的值。

【目標3】已知X1，X2 是方程2X2-4X-1=0的兩個實數根，求

x1的值。

2?x22

四、查漏補缺 總結提高（共10分）（自主完成，集體分享）

【師生活動】：

教師鼓勵學生談所學所想所獲，集體分享學習成果，歸納課堂所學知識點，解決學習中仍然存在的問題和困惑。【設計意圖】：

本環節為本節課的總結提高過程。目的是幫助所有學生總結回顧、查漏補缺，形成知識體系，培養學生及時小結、善于歸納梳理的學習習慣，提高學生運用數學語言的能力和口頭表達能力。【學案內容】：

請你談談本節課的收獲或存在的問題。__________________

第三篇：復習教案 一元二次方程根與系數關系

第十三課時 一元二次方程根與系數關系

一、復習目標：掌握一元二次方程根的判別式和韋達定理，并會靈活運用它們解決問題.二、復習重點和難點：

（一）復習重點： 一元二次方程根的韋達定理.（二）復習難點：靈活運用韋達定理解決問題.三、復習過程：

（一）知識梳理：

1、根與系數的關系（韋達定理）

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，如果有實數根（即??b?4ac?0），設兩實數根為x1，x2，則x1?x2??

2、常見的含兩根的對稱式：

（1）x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2（2）222bc，x1x2? aax?x211 ??1x1x2x1x2（3）(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2 ； x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2

x2x1x1?x2(x1?x2)2?2x1x2（4）； ???x1x2x1x2x1x2

3、利用根與系數的關系判定一元二次方程的兩根符號： 22c可判斷兩根符號之間的關系： acc 若x1x2??0，則x1，x2同號； 若x1x2??0，則x1，x2異號，即一正一負

aab 再由x1?x2??可判斷兩根大小的關系。

a由x1x2?

4、由x1，x2兩根可構造的一元二次方程 以x1，x2為根的一個一元二次方程為x2?(x1?x2)x?x1x2?0；

5、一元二次方程與二次函數的聯系：

若二次函數y=ax+bx+c的圖象與x軸有兩交點，分別設為A（x1，0），B（x2，0），則x1、x2就是一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根，因此，求二次函數y=ax+bx+c

22的圖象與x軸有交點坐標，只要令y=0，解ax?bx?c?0(a?0)的根，就可得到二次函

2數y=ax+bx+c的圖象與x軸有交點坐標的橫坐標。

強調：應用一元二次方程根與系數的關系時，應注意： ①根的判別式b2?4ac?0 ②二次項系數a?0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能應用根與系數的關系.（二）典例精析：

一、已知一元二次方程的一個根，求出另一個根。

例

1、已知方程x?6x?m?2m?5?0的一個根為2，求另一個根及

分析：此題通常有兩種解法：一是根據方程根的定義，把22

2的值。

代入原方程，先求出的值，再通過解方程辦法求出另一個根；二是利用一元二次方程的根與系數的關系求出另一個根及的值。

解：設方程的另一個根為x1，根據題意，利用韋達定理得：

?x1?2?6?x1?4?x1?4，解得：或? ??2m?3m??12x?m?2m?5???1∴方程

二、不解方程，判斷兩根的情況。

例

2、不解方程，試判斷方程x?3x?6?0兩根的符號；

分析：要判斷方程根的符號，可以根據根的定義，這樣的方法顯得很笨拙，而我們如果利用根與系數的關系就顯得非常巧妙。

解：由??3?4?(?6)?33?0，方程有兩個不相等的實數根。設這兩根為x1,x2，得x1?x2??6?0，易得方程兩根一正一負。

如果得出x1?x2?0，需考慮x1?x2的正負，從而判斷方程有兩個正根還是兩個負根。

三、求作新的方程；

例

3、作一個一元二次方程，使它的兩個根為一元二次方程x?3x?1?0的兩根的平方． 解：設方程x?3x?1?0的兩根為x1,x2，那么所求的方程的根為x1,x2，由根與系數關系可得：x1?x2?3,x1.x2??1，∴x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2?32?2?(?1)?11，22222的另一個根為4，的值為3或—1。

222 x1?x2?(x1?x2)2?(?1)2?1，∴所求作的方程為x?11x?1?0．

四、不解方程，求方程兩根所組成的某些代數式的值，這種應用與根的判別結合在一起。例4（1）已知關于x的方程3x+6x-2=0的兩根為x1，x2，求

222211的值.?x1x2 分析：已知方程，求兩根組成代數式的值。這里主要說明解題格式，學生完成過程.（2）已知關于x的方程3x-mx-2=0的兩根為x1，x2，且2

2211??3，求 ①m的值；②求x1x2x1+x2的值.分析：第（1）題是已知方程，求兩根組成代數式的值，而第（2）題的第一問就反來了，也就是已知代數式的值求方程。第②問，再進一步，已知代數式的值，求另一個代數式的值.但是，無論是哪一個問題，所要用到的都是根與系數的關系.小結：1.求方程兩根所組成的代數式的值，關鍵在于把所求代數式變形為兩根的和與兩根的積的形式.例

5、（2000年四川省中考試題）若關于x的一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0有兩個實數根，又已知a、b、c分別是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊，∠C=90°，且cosB=

23,b-a=3,5是否存在整數m,使上述一元二次方程兩個實數根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方？若存在，請求出滿足條件m的值；若不存在，說明理由.“存在性”問題）

分析：（１）提問：此題與哪些知識有關？（勾股道理、解直角三角形、根與系數的關系、根的判別式）

（２）如何利用條件cosB=

3？ 5（３）“使上述一元二次方程兩個實數根的平方和等于Rt△ABC的斜邊的平方”通過這句話，你能明白什么？你先必須求什么？

（４）然后按照解決“存在性”問題的過程去解題.（５）求出m后，要考慮它是否符合題意.通過此題，使學生明白解決這類問題，一般遵循“三步曲”，即假設存在——推理論證——得出結論（合理或矛盾兩種情況）.五、利用根與系數關系解決一元二次方程與二次函數的綜合題： 例

6、已拋物線y?(m?1)x2?(m?2)x?1（m為實數）。

（1）m為何值時，拋物線與x軸有兩個交點？

（2）如果拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于點C，且△ABC的面積為2，求該拋物線的解析式。

分析：拋物線與x軸有兩個交點，則對應的一元二次方程有兩個不相等的實數根，將問題轉化為求一元二次方程有兩個不相等的實數根m應滿足的條件。

?m?1?0略解：（1）由已知有?，解得m?0且m?1 2???m?0（2）由x?0得C（0，－1）

又∵AB??m? am?1∴S?ABC?∴m?11m?AB?OC???1?2 22m?144或m? 35122126∴y?x?x?1或y??x?x?1

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第四篇：《一元二次方程》參考教案

21.1 一元二次方程教學內容

本節課主要學習一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關概念．

教學目標

知識技能

探索一元二次方程及其相關概念，能夠辨別各項系數；能夠從實際問題中抽象出方程知識．

數學思考

在探索問題的過程中使學生感受方程是刻畫現實世界的一個模型，體會方程與實際生活的聯系．

解決問題

培養學生良好的研究問題的習慣，使學生逐步提高自己的數學素養．

情感態度

通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數學知識應用的價值，提高學生學習數學的興趣，了解數學對促進社會進步和發展人類理性精神的作用．

重難點、關鍵

重點：一元二次方程的定義、各項系數的辨別，根的作用． 難點：根的作用的理解．

關鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數學模型，?再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念．

教學準備

教師準備：制作課件，精選習題

學生準備：復習有關知識，預習本節課內容

教學過程

一、情境引入 【問題情境】

問題1 如圖，有一塊矩形鐵皮，長100 cm，寬50 cm．在它的四個角分別切去一個正方形，然后將四周突出的部分折起，就能制作一個無蓋方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面積是3 600 cm2，那么鐵皮各角應切去多大的正方形？

問題2 要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場．根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應該邀請多少個隊參賽？ 【活動方略】

教師演示課件，給出題目．

學生根據所學知識，通過分析設出合適的未知數，列出方程回答問題． 【設計意圖】

由實際問題入手，設置情境問題，激發學生的興趣，讓學生初步感受一元二次方程，同時讓學生體會方程這一刻畫現實世界的數學模型．

二、探索新知 【活動方略】

學生活動：請口答下面問題．

（1）上面幾個方程整理后含有幾個未知數？

（2）按照整式中的多項式的規定，它們最高次數是幾次？

（3）有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？

老師點評：（1）都只含一個未知數x；（2）它們的最高次數都是2次的；（3）都有等號，是方程．

歸納：像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一個關于x的一元二次方程，?經過整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．

一個一元二次方程經過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項．

【設計意圖】

主體活動，探索一元二次方程的定義及其相關概念．

三、范例點擊 例1 將方程3x(x?1)?5(x?2)化成一元二次方程的一般形式，并指出各項系數． 解：去括號得

0

3x2?3x?5x?1，移項，合并同類項，得一元二次方程的一般形式

3x2?8x?10?0．

其中二次項系數是3，一次項系數是－8，常數項是－10． 【活動方略】 學生活動：

學生自主解決問題，通過去括號、移項等步驟把方程化為一般形式，然后指出各項系數．

教師活動：

在學生指出各項系數的環節中，分析可能出現的問題（比如系數的符號問題）． 【設計意圖】

進一步鞏固一元二次方程的基本概念． 例2 猜測方程x2?x?56?0的解是什么？ 【活動方略】 學生活動：

學生可以采取多種方法得到方程的解，比如可以用嘗試的方法取x＝1、2、3、4、5等，發現x＝8時等號成立，于是x＝8是方程的一個解，如此等等．

教師活動：

教師引導學生自主探索，多種途徑尋找方程的解，在此基礎上讓學生進行總結： 使一元二次方程等號兩邊相等的未知數的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）． 【設計意圖】

探究一元二次方程根的概念以及作用．

四、反饋練習課本P4 練習1、2題 補充習題：

1．將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數；一次項、一次項系數；常數項．

2．你能根據所學過的知識解出下列方程的解嗎？（1）x2?36?0；

【活動方略】

學生獨立思考、獨立解題．

教師巡視、指導，并選取兩名學生上臺書寫解答過程（或用投影儀展示學生的解答過程）

【設計意圖】

檢查學生對基礎知識的掌握情況.五、應用拓展

例3：求證：關于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．

分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17?≠0即可．

證明：m2-8m+17=（m-4）2+1

∵（m-4）2≥0

∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0

∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程．

例4：有人解這樣一個方程(x?5)(x?1)?7．

解：x+5=1或x－1 = 7，所以x1=－4，x2 =8，你的看法如何？

由(x?5)(x?1)?7得到x+5=1或x－1=7，應該是x+5=1且x－1=7，同時成立才行，此時得到x=－4且x=8，顯然矛盾，因此上述解法是錯誤的．

【活動方略】

教師活動：操作投影，將例

3、例4顯示，組織學生討論． 學生活動：合作交流，討論解答。【設計意圖】

使學生進一步理解一元二次方程的概念，對一元二次方程的根有更深刻的理解.（2）4x2?9?0． 作業：

第五篇：一元二次方程的根與系數的關系的九年級教案

一、復習引入

導語：一元二次方程的根與系數有著密切的關系，早在16世紀法國的杰出數學家韋達發現了這一關系，你能發現嗎？

二、探究新知

1.課本思考

分析：將（x-x1）（x-x2）=0化為一般形式x2-(x1+x2)x+x1x2=0與x2+px+q=0對比,易知p=-(x1+x2)，q=x1x2.即二次項系數是1的一元二次方程如果有實數根，則一次項系數等于兩根和的相反數，常數項等于兩根之積.2.跟蹤練習

求下列方程的兩根x1、x2.的和與積.x2+3x+2=0；x2+2x-3=0;x2-6x+5=0;x2-6x-15=0

3.方程2x2-3x+1=0的兩根的和、積與系數之間有類似的關系嗎？

分析：這個方程的二次項系數等于2，與上面情形有所不同，求出方程兩根，再通過計算兩根的和、積，檢驗上面的結論是否成立，若不成立，新的結論是什么？

4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的兩根的和、積與系數之間有第3題中的關系嗎？

分析：利用求根公式，求出方程兩根，再通過計算兩根的和、積，得到方程的兩個根x1、x2和系數a，b，c的關系，即韋達定理，也就是任何一個一元二次方程的根與系數的關系為：兩根的和等于一次項系數與二次項系數的比的相反數，兩根之積等于常數項與二次項系數的比.求根公式是在一般形式下推導得到，根與系數的關系由求根公式得到，因此，任何一個一元二次方程化為一般形式后根與系數之間都有這一關系.5.跟蹤練習

求下列方程的兩根x1、x2.的和與積.13x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0;3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；

25x-1=4x2；5x2-1=4x2+x

6.拓展練習

1已知一元二次方程2x2+bx+c=0的兩個根是-1，3，則b=,c=.2已知關于x的方程x2+x-2=0的一個根是1，則另一個根是,的值是.3若關于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩個根互為相反數，則p=若兩個根互為倒數，則q=.分析：方程中含有一個字母系數時利用方程一根的值可求得另一根和這個字母系數；方程中含有兩個字母系數時利用方程的兩根的值可求得這兩個字母系數.二次項系數是1時，若方程的兩根互為相反數或互為倒數，利用根與系數的關系可求得方程的一次項系數和常數