第一篇：教案一元二次方程的應用

教案19.5一元二次方程的應用

（滬科版八年級下一元二次方程的應用教案）

教學目標； 知識與技能，1.使學生學會列一元二次方程解應用題的方法。

2.掌握增長率問題建立數學模型的方法，并利用它解決一些具體問題．

過程與方法，通過具體實例的抽象概括過程。進一步向學生滲透把未知轉化為已知的化歸思想。培養學生的分析問題和解決問題的能力。發展學生的抽象思維能力。

情感態度與價值觀，通過具體實例的分析，思考，與合作學習。培養學生應用知識分析問題，解決問題的能力和良好的學習習慣。

教學重點：

正確分析應用題的題意，列出一元二次方程。

教學難點：

分析問題，建立正確的數學模型。

教學方法：講練結合，教學過程:

一，溫故知新。

1，一元二次方程有哪幾種解法？

2，看18.1節中的問題2，（見課本P37）

二：探索新知;

3，問題1：一個兩位數，十位數字與個位數字之和是5，把這個數 的個位數字與十位數字對調后，所得的新兩位數與原來的兩 位數的乘積為736，求原來的兩為數。

分析 ：多位數的表示方法：

兩位數：（十位數）乘以10+個位數字

三位數：（百位數）乘以100+（十位數）乘以 10+個位數字

… …

本題是屬于數字問題，題中的等量關系比較明顯：新兩位數乘以 原來的兩位數=736，正確列出方程的關鍵是熟練掌握用字母表示兩位數的方法。

解：設原來兩位數的十位數字為x，則個位數字為(5-x),根據題意::得[10x+(5-x)] [10(5-x)+x]=736

整理，得x2-5x+6=0,解得;x1=2,x2=3

當x=2時，5-x=3,符合題意，原來的兩位數是23

當x=3時，5-x=2,符合題意，原來的兩位數是32

4.練一練

（1）、兩個數的差是4，這兩個 數的積是96，求 這兩個數.（2）、已知兩個連續奇數的平方和等于74，求這兩個數.（3）、有三個連續整數，已知最大數與最小數的積比中間數的5倍小1，求這三個數.5.問題2：課本 P37例2（讓學生交流學習后再講解）

6.練一練，（一）某儲蓄 所第一季度收到的 存款額是150萬元，第三季度上升到216萬元，且每個季度的增長率相同。

（1）求每個季度的增長率是多少？

（2）該儲蓄所第二季度收到的存款額多少萬元？

分析：增長率問題中基本關系是：原來的部分乘以（1+增長率）=增長后的部分。

若連續兩次增長率相同，設起始量為a，增長率為x，則:

第一次增長后的數值為 ,a(1+x)，第 二次增長后的數值為,a(1+x)(1+x)= a(1+x)2

解：設每個季度的增長率是x，則150（1+x）2?=216

解得：x1=-2.2（不合題意，舍去），x2=0.2=20%

答：（略）

提示： 本題中第一次出現舍根的情況，解方程所得的根，如果與實際問題不相符，就要舍去。

（二）： 某種產品，計劃兩年后使成本降低36％，平均每年降低的百分率是多少？

解：設這種產品的下降率是x，起始量為a，則

a(1-x)2 = 36%a

解得：x1=1.6（不合題意，舍去），x2=0.4=40%

答：（略）

分析：下降率或降低率可理解為增長率為負值（-x)，同理，若連續兩次的下降率相同，設起始量為a，下降率為x，則

第一次下降后的數值為：a(1-x)，第 二次下降后的數值為：a(1-x)(1-x)= a(1-x)2

三，課堂小結

本節學習了列一元二次方程解應用題的一般方法步驟即，審、設、列、解、驗、答。重點是，審題，找等量關系。

四，板書設計；（略）

五，布置作業

課本P38 第1、2、3題

第二篇：一元二次方程應用2010

1、（2009煙臺市）某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉”政策的實施，商場決定采取適當的降價措施.調查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺．

（1）假設每臺冰箱降價x元，商場每天銷售這種冰箱的利潤是y元，請寫出y與x之間的函數表達式；（不要求寫自變量的取值范圍）

（2）商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應降價多少元？

2、(2009武漢)某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）．設每件商品的售價上漲x元（x為正整數），每個月的銷售利潤為y元．

（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？

3、某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結600個橙子.現準備多種一些橙子樹以提高產量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結5個橙子.⑴利用函數表達式描述橙子的總產量與增種橙子樹的棵數之間的關系.（2）增種多少棵橙子,可以使橙子的總產量達到60400個?

4、某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品．據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克．針對這種水產品的銷售情況，請售答以下問題：

（1）當銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；

（2）設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x函數關系式（不必寫出x的取值范圍）；（3）商店想在月銷售成本不超過1000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？

5、某化工材料經銷公司購進了一種化工原料共7000千克，購進價格為每千克30元．物價部門規定其銷售單價不得高于每千克70元，也不得低于30元．市場調查發現：單價定為70元時，日均銷售60千克；單價每降低1元，日均多售出2千克．在銷售過程中，每天還要支出其他費用500元（天數不足一天時，按整天計算）．設銷售單價為x元，日均獲利為y元．求y關于x的二次函數關系式，并注明x的取值范圍；

6、（2009年貴州省黔東南州）凱里市某大型酒店有包房100間，在每天晚餐營業時間，每間包房收包房費100元時，包房便可全部租出；若每間包房收費提高20元，則減少10間包房租出，若每間包房收費再提高20元，則再減少10間包房租出，以每次提高20元的這種方法變化下去。

（1）設每間包房收費提高x（元），則每間包房的收入為y1（元），但會減少y2

間包房租出，請分別寫出y1、y2與x之間的函數關系式。

（2）為了投資少而利潤大，每間包房提高x（元）后，設酒店老板每天晚餐包房總收入為y（元），請寫出y與x之間的函數關系式。

7、（2009年甘肅慶陽）（8分）某企業2006年盈利1500萬元，2008年克服全球金融危機的不利影響，仍實現盈利2160萬元．從2006年到2008年，如果該企業每年盈利的年增長率相同，求：（1）該企業2007年盈利多少萬元？

（2）若該企業盈利的年增長率繼續保持不變，預計2009年盈利多少萬元？

8、(2009年湖州)隨著人民生活水平的不斷提高，我市家庭轎車的擁有量逐年增加.據統計，某小區2006年底擁有家庭轎車64輛，2008年底家庭轎車的擁有量達到100輛.（1）若該小區2006年底到2009年底家庭轎車擁有量的年平均增長率都相同，求該小區到2009年底家庭轎車將達到多少輛？

（2）為了緩解停車矛盾，該小區決定投資15萬元再建造若干個停車位.據測算，建造費用分別為室內車位5000元/個，露天車位1000元/個，考慮到實際因素，計劃露天車位的數量不少于室內車位的2倍，但不超過室內車位的2.5倍，求該小區最多可建兩種車位各多少個？試寫出所有可能的方案.9.建造一個面積是140平方米的倉庫，要求其一邊靠墻，墻長16米，在與墻平行的一邊開一道２米寬的門。現人32米長的材料來建倉庫，求這個倉庫的長是多少米？

10、如圖在△ABC中，∠B是直角，AB=6厘米，BC=12厘米。點P從A點開始，沿AB方向以每秒1厘米的速度移動，同時點Q從點B開始，沿BC方向以每秒厘米移動。問幾秒時△PBQ的面積等于8平方厘米？

11．（2009年甘肅慶陽）若關于x的方程x2

?2x?k?1?0的一個根是0，則k?．

12.、（2009威海）若關于x的一元二次方程x2

?(k?3)x?k?0的一個根是?2，則另一個根是______．、（2009山西省太原市）某種品牌的手機經過四、五月份連續兩次降價，每部售價P 13由3200元降到了2500元．設平均每月降價的百分率為x，根據題意列出的方程是．

第三篇：一元二次方程應用

1．（2011?黑龍江）我市為了增強學生體質，開展了乒乓球比賽活動．部分同學進入了半決賽，賽 制為單循環形 式（即每兩個選手之間都賽一場），半決賽共進行了 6 場，則共有 人進入半決賽． 2．（2007?防城港）要組織一次籃球聯賽，賽制為單循環形式（每兩隊之間都賽一場），計劃安排 21 場比賽，應 邀請 個球隊參加比賽
3．（2010?畢 節 地 區）畢 業 之 際，某 校 九 年 級 數 學 興 趣 小 組 的 同 學 相 約 到 同 一 家 禮 品 店 購 買 紀 念 品，每 兩 個 同 學 都 相 互 贈 送 一 件 禮 品，禮 品 店 共 售 出 禮 品 30 件，則 該 興 趣 小 組 的 人 數 為（A． 5人 B． 6人 C． 7人 D． 8人）

4.握手問題

5.數字問題

6.（2013?珠海）某漁船出海捕魚，2010 年平均每次捕魚量為 10 噸，2012 年平均每次捕魚量為 8.1 噸，求 2010 年-2012 年每年平均每次捕魚量的年平均下降率． 7.天收到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100 元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長率 相同，求捐款 增長率；（2）按照（1）中收到捐款的增長率速度，第四天該單位能收到多少捐款？ 8（2013?襄陽）有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有 64 人患了流感．（1）求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？ 9.（2013?來賓）某商場以每件 280 元的價格購進一批商品，當每件商品售價為 360 元時，每月可售 出 60 件，為了擴大銷售，商場決定采取適當降價的方式促銷，經調查發現，如果每件商品降價 1 元，那么商場每月就可以多售出 5 件．（1）降價前商場每月銷售該商品的利潤是多少元？（2）要使商場每月銷售這種商品的利潤達到 7200 元，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價多 少元？ 10.（2013?泰安）某商店購進 600 個旅游紀念品，進價為每個 6 元，第一周以每個 10 元的價格售出 200 個，第二周若按每個 10 元的價格銷售仍可售出 200 個，但商店為了適當增加銷量，決定降價銷 售（根據市場調查，單價每降低 1 元，可多售出 50 個，但售價不得低于進價），單價降低 x 元銷售，銷售一周后，商店對剩余旅游紀念品清倉處理，以每個 4 元的價格全部售出，如果這批旅游紀念品 共獲利 1250 元，問第二周每個旅游紀念品的銷售價格為多少元？ 11（2013?連云港）小林準備進行如下操作實驗；把一根長為 40cm 的鐵絲剪成兩段，并把每一段各 圍成一個正方形． 2（1）要使這兩個正方形的面積之和等于 58cm，小林該怎么剪？ 2（2）小峰對小林說： “這兩個正方形的面積之和不可能等于 48cm ． ”他的說法對嗎？請說

第四篇：一元二次方程應用

一.增長率問題：例如經濟增長率、人口增長率等。討論的是兩輪（即兩個時間段）的平均變化率，設平均增長率為X，則有下列關系：變化前的數量×（1+X）2=變化后的數量。

1.向陽村2001年的人均收入是1200元，2003年的人均收入是1452元，求人均收入的年平均增長率。

2.青山村種的水稻2001年平均每公頃產7200千克，2003年平均每公頃產8450千克，求水稻每公頃產量的年平均增長率。

3.某銀行經過最近的兩次降息，使一年期的存款利率由2.25%降至1.98%，平均每次降息的百分率是多少？

4.某工廠第一季度的總產值是500萬元，已知一月份的產值是150萬元，二、三月份的平均增長率相同，求二、三月份的平均增長率。

二．握手、簽合同、贈送禮物等問題：（1）1X(X-1)=a(2)X(X-1)=a。2

1.參加一次聚會的每兩個人都握了一次手，所有人共握了10次，有多少人參加聚會？

2.參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂45份合同，共有多少家公司參加商品交易會？

3.參加一次足球聯賽的每兩隊都進行了兩場比賽，共比賽90場，共有多少個隊參加比賽？

4.元旦同學之間相互贈送賀卡，一共使用了150張賀卡，問有多少名同學參加此次活動？

三． 細胞分裂、信息傳播、傳染病擴散、樹木分支等問題。

（1）1+X+X(1+X)=a,1+X+X2=a。

1.有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一人傳染了幾人？

2.某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣多的小分支，主干、支干、小分支的總數是91，每個支干長出多少個小分支？

四．圖形問題

1.一張桌子的桌面長為6米，寬為4米，臺布面積是桌面面積的2倍，如果將臺布鋪在桌子上，各邊垂下的長度相等，求這塊臺布的長和寬。

2.要為一幅長29厘米，寬22厘米的照片配一個鏡框，要求鏡框的四條邊寬度相等，且鏡框所占面積為照片面積的四分之一，鏡框邊的寬度應為多少？

第五篇：《一元二次方程》參考教案

21.1 一元二次方程教學內容

本節課主要學習一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關概念．

教學目標

知識技能

探索一元二次方程及其相關概念，能夠辨別各項系數；能夠從實際問題中抽象出方程知識．

數學思考

在探索問題的過程中使學生感受方程是刻畫現實世界的一個模型，體會方程與實際生活的聯系．

解決問題

培養學生良好的研究問題的習慣，使學生逐步提高自己的數學素養．

情感態度

通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數學知識應用的價值，提高學生學習數學的興趣，了解數學對促進社會進步和發展人類理性精神的作用．

重難點、關鍵

重點：一元二次方程的定義、各項系數的辨別，根的作用． 難點：根的作用的理解．

關鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數學模型，?再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念．

教學準備

教師準備：制作課件，精選習題

學生準備：復習有關知識，預習本節課內容

教學過程

一、情境引入 【問題情境】

問題1 如圖，有一塊矩形鐵皮，長100 cm，寬50 cm．在它的四個角分別切去一個正方形，然后將四周突出的部分折起，就能制作一個無蓋方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面積是3 600 cm2，那么鐵皮各角應切去多大的正方形？

問題2 要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場．根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應該邀請多少個隊參賽？ 【活動方略】

教師演示課件，給出題目．

學生根據所學知識，通過分析設出合適的未知數，列出方程回答問題． 【設計意圖】

由實際問題入手，設置情境問題，激發學生的興趣，讓學生初步感受一元二次方程，同時讓學生體會方程這一刻畫現實世界的數學模型．

二、探索新知 【活動方略】

學生活動：請口答下面問題．

（1）上面幾個方程整理后含有幾個未知數？

（2）按照整式中的多項式的規定，它們最高次數是幾次？

（3）有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？

老師點評：（1）都只含一個未知數x；（2）它們的最高次數都是2次的；（3）都有等號，是方程．

歸納：像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一個關于x的一元二次方程，?經過整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．

一個一元二次方程經過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項．

【設計意圖】

主體活動，探索一元二次方程的定義及其相關概念．

三、范例點擊 例1 將方程3x(x?1)?5(x?2)化成一元二次方程的一般形式，并指出各項系數． 解：去括號得

0

3x2?3x?5x?1，移項，合并同類項，得一元二次方程的一般形式

3x2?8x?10?0．

其中二次項系數是3，一次項系數是－8，常數項是－10． 【活動方略】 學生活動：

學生自主解決問題，通過去括號、移項等步驟把方程化為一般形式，然后指出各項系數．

教師活動：

在學生指出各項系數的環節中，分析可能出現的問題（比如系數的符號問題）． 【設計意圖】

進一步鞏固一元二次方程的基本概念． 例2 猜測方程x2?x?56?0的解是什么？ 【活動方略】 學生活動：

學生可以采取多種方法得到方程的解，比如可以用嘗試的方法取x＝1、2、3、4、5等，發現x＝8時等號成立，于是x＝8是方程的一個解，如此等等．

教師活動：

教師引導學生自主探索，多種途徑尋找方程的解，在此基礎上讓學生進行總結： 使一元二次方程等號兩邊相等的未知數的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）． 【設計意圖】

探究一元二次方程根的概念以及作用．

四、反饋練習課本P4 練習1、2題 補充習題：

1．將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數；一次項、一次項系數；常數項．

2．你能根據所學過的知識解出下列方程的解嗎？（1）x2?36?0；

【活動方略】

學生獨立思考、獨立解題．

教師巡視、指導，并選取兩名學生上臺書寫解答過程（或用投影儀展示學生的解答過程）

【設計意圖】

檢查學生對基礎知識的掌握情況.五、應用拓展

例3：求證：關于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．

分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17?≠0即可．

證明：m2-8m+17=（m-4）2+1

∵（m-4）2≥0

∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0

∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程．

例4：有人解這樣一個方程(x?5)(x?1)?7．

解：x+5=1或x－1 = 7，所以x1=－4，x2 =8，你的看法如何？

由(x?5)(x?1)?7得到x+5=1或x－1=7，應該是x+5=1且x－1=7，同時成立才行，此時得到x=－4且x=8，顯然矛盾，因此上述解法是錯誤的．

【活動方略】

教師活動：操作投影，將例

3、例4顯示，組織學生討論． 學生活動：合作交流，討論解答。【設計意圖】

使學生進一步理解一元二次方程的概念，對一元二次方程的根有更深刻的理解.（2）4x2?9?0． 作業：