第一篇：一元二次方程的應用(教學設計)

3.5 一元二次方程的應用（1）

學習目標：1.能根據題意找出正確的等量關系.2.能正確的列出一元二次方程解決實際問題.學習過程：

前面我們學習過了一元一次方程、分式方程，并能用它們來解決現實生活與生產中的許多問題，同樣，我們也可以用一元二次方程來解決一些問題。

想一想，列方程解應用題的關鍵是什么？ 一.自主學習

例1.如圖，有一塊長40cm、寬30cm的矩形鐵片，在它的四角各截去一個全等的小正方形，然后拼成一個無蓋的長方體盒子.如果這個盒子的底面積等于原來矩形鐵片面積的一半，那么盒子的高是多少？ 分析：這個問題中的等量關系是： 解：

例2.如圖，MN是一面長10m的墻，要用長24m的籬笆，圍成一個一面是墻、中間隔著一道籬笆的矩形花圃ABCD.已知花圃的設計面積為45平方米，花圃的寬度應當是多少？ 解：設矩形花圃ABCD的寬為x（m），那么長____m.根據問題中給出的等量關系，得到方程_________________________________.解這個方程，得x1＝，x2＝ 根據題意，舍去_________________.所以，花圃的寬是________m.二.對應練習

10mMADNB2C1.從一塊正方形木板上鋸掉2cm寬的矩形木條，剩余矩形木板的面積是48cm.求原正方形木板的面積.2.有一塊矩形的草坪，長比寬多4m.草坪四周有一條寬2m的小路環繞，已知小路的面積與草坪的面積相等地，求草坪的長和寬.三.當堂檢測

1.兩個數的和是20，積是51，求這兩個數.2.如圖，道路AB與BC分別是東西方向和南北方向，AB＝1000m.某日晨練，小瑩從點A出發，以每分鐘150m的速度向東跑；同時小亮從點B出發，北C以每分鐘200m的速度向北跑，二人出發后經過幾分鐘，他們之間的直線距離仍然是1000m？

2東小亮B小瑩A

第1頁

3.5一元二次方程的應用（2）

學習目標1.會用列一元二次方程的方法解有關數與數字之間關系的應用題．

2.通過列方程解應用問題，進一步提高分析問題、解決問題的能力．

學習過程 一.自主學習

例1.某工廠2002年的年產值為500萬元，2004年的產值為605萬元，求2002－2004年該 廠年產值的增長率.提示：如果設該廠2002－2004年產值的平均增長率為x，那么2003年的年產值為_____________________________，2004年的年產值為______________________________.例2.某種藥品原售價為每盒4元，兩次降價后，每盒售價為2.56元，求該藥品平均每次的降價率.提示：如果設該藥品平均每次的降價率為x，那么第一次降價后該藥品每盒的售價為______________，第二次降價后該藥品每盒的售價為_________________.二.自我練習

1.兩個連續奇數的積是323，求這兩個數.2.將進貨單價為40元的商品按50元售出時，能賣500個，已知該商品每漲價1元時，其銷售量就減少10個，為了賺8000元利潤，售價應定為多少，這時應進貨為多少個？

三.當堂小結

四.當堂檢測

1.某農場的糧食產量在兩年內從600噸增加到726噸，該農場平均每年的增長率是多少？

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2.某農機廠一月份生產聯合收割機300臺，為了滿足夏收季節市場對聯合收割機的需求，三月份比一月份多生產132臺，求二、三兩個月平均每月的增長率.3.已知兩個數的和是12，積為23，求這兩個數.4.（山西）“五一”黃金周期間，某高校幾名學生準備外出旅游，有兩項支出需提前預算：

（1）備用食品費，購買備用食品共花費300元，在出發時，又有兩名同學要加入（不再增加備用食品費），因此，先參加的同學平均每人比原來少分攤5元，現在每人需分攤多少元食品費？（2）租車費：現有兩種車型可供租用，座數和租車費如下表所示：

車型 座數 租車費（元/輛）A 7 500 B 5 400 請選擇最合算的租車方案，（僅從租車費角度考慮）并說明理由。

第3頁

第二篇：一元二次方程應用2010

1、（2009煙臺市）某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉”政策的實施，商場決定采取適當的降價措施.調查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺．

（1）假設每臺冰箱降價x元，商場每天銷售這種冰箱的利潤是y元，請寫出y與x之間的函數表達式；（不要求寫自變量的取值范圍）

（2）商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應降價多少元？

2、(2009武漢)某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）．設每件商品的售價上漲x元（x為正整數），每個月的銷售利潤為y元．

（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？

3、某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結600個橙子.現準備多種一些橙子樹以提高產量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結5個橙子.⑴利用函數表達式描述橙子的總產量與增種橙子樹的棵數之間的關系.（2）增種多少棵橙子,可以使橙子的總產量達到60400個?

4、某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品．據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克．針對這種水產品的銷售情況，請售答以下問題：

（1）當銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；

（2）設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x函數關系式（不必寫出x的取值范圍）；（3）商店想在月銷售成本不超過1000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？

5、某化工材料經銷公司購進了一種化工原料共7000千克，購進價格為每千克30元．物價部門規定其銷售單價不得高于每千克70元，也不得低于30元．市場調查發現：單價定為70元時，日均銷售60千克；單價每降低1元，日均多售出2千克．在銷售過程中，每天還要支出其他費用500元（天數不足一天時，按整天計算）．設銷售單價為x元，日均獲利為y元．求y關于x的二次函數關系式，并注明x的取值范圍；

6、（2009年貴州省黔東南州）凱里市某大型酒店有包房100間，在每天晚餐營業時間，每間包房收包房費100元時，包房便可全部租出；若每間包房收費提高20元，則減少10間包房租出，若每間包房收費再提高20元，則再減少10間包房租出，以每次提高20元的這種方法變化下去。

（1）設每間包房收費提高x（元），則每間包房的收入為y1（元），但會減少y2

間包房租出，請分別寫出y1、y2與x之間的函數關系式。

（2）為了投資少而利潤大，每間包房提高x（元）后，設酒店老板每天晚餐包房總收入為y（元），請寫出y與x之間的函數關系式。

7、（2009年甘肅慶陽）（8分）某企業2006年盈利1500萬元，2008年克服全球金融危機的不利影響，仍實現盈利2160萬元．從2006年到2008年，如果該企業每年盈利的年增長率相同，求：（1）該企業2007年盈利多少萬元？

（2）若該企業盈利的年增長率繼續保持不變，預計2009年盈利多少萬元？

8、(2009年湖州)隨著人民生活水平的不斷提高，我市家庭轎車的擁有量逐年增加.據統計，某小區2006年底擁有家庭轎車64輛，2008年底家庭轎車的擁有量達到100輛.（1）若該小區2006年底到2009年底家庭轎車擁有量的年平均增長率都相同，求該小區到2009年底家庭轎車將達到多少輛？

（2）為了緩解停車矛盾，該小區決定投資15萬元再建造若干個停車位.據測算，建造費用分別為室內車位5000元/個，露天車位1000元/個，考慮到實際因素，計劃露天車位的數量不少于室內車位的2倍，但不超過室內車位的2.5倍，求該小區最多可建兩種車位各多少個？試寫出所有可能的方案.9.建造一個面積是140平方米的倉庫，要求其一邊靠墻，墻長16米，在與墻平行的一邊開一道２米寬的門。現人32米長的材料來建倉庫，求這個倉庫的長是多少米？

10、如圖在△ABC中，∠B是直角，AB=6厘米，BC=12厘米。點P從A點開始，沿AB方向以每秒1厘米的速度移動，同時點Q從點B開始，沿BC方向以每秒厘米移動。問幾秒時△PBQ的面積等于8平方厘米？

11．（2009年甘肅慶陽）若關于x的方程x2

?2x?k?1?0的一個根是0，則k?．

12.、（2009威海）若關于x的一元二次方程x2

?(k?3)x?k?0的一個根是?2，則另一個根是______．、（2009山西省太原市）某種品牌的手機經過四、五月份連續兩次降價，每部售價P 13由3200元降到了2500元．設平均每月降價的百分率為x，根據題意列出的方程是．

第三篇：《一元二次方程的應用》教學設計

《一元二次方程的應用》教學設計

金水初中

朱健樂

一、教學目標：

a、知識與技能目標

（1）以一元二次方程解決的實際問題為載體，使學生初步掌握數學建模的基本方法。（2）通過對一元二次方程應用問題的學習和研究，讓學生體驗數學建模的過程，從而學會利用一元二次方程來解決有關利潤問題，并正確地用語言表述問題及其解決過程。

b、過程與方法目標

通過自主探索、合作交流等活動，發展學生數學思維，培養學生合作學習意識，激發學生學習熱情。c、情感態度與價值觀目標

使學生認識到數學與生活緊密相連，數學活動充滿著探索與創造，讓他們在學習活動中培養合作協助精神,增強國情教育，從而使學生獲得成功的體驗，建立自信心，更加熱愛數學、熱愛生活。

二、教學重點：

培養學生運用一元二次方程分析和解決實際問題的能力，學習數學建模思想。

三、教學難點：

將同類題對比探究，培養學生分析、鑒別的能力。

四、教學內容：

問題1：如果每束玫瑰盈利10元，平均每天可售出40束.為擴大銷售，經調查發現，若每束降價1元，則平均每天可多售出8束.如果小新家每天要盈利432元，那么每束玫瑰應降價多少元？

分析：本題是商品利潤問題。解決這類問題必須明確幾個關系：利潤＝（售價－進價）×銷售數量；

這是一個常規性的問題，只要結合生活常識稍加引導，學生不難找出等量關系，然后列方程解答。但是類似問題中，有時我們要對某些關鍵語句加以斟酌，或者討論，才能得出結論。如： 問題2：

情急之下，小新家準備零售這批玫瑰.如果每束玫瑰盈利10元，平均每天可售出40束.為擴大銷售，經調查發現，若每束降價1元，則平均每天可多售出8束.如果小新家每天要盈利432元，同時也讓顧客獲得最大的實惠.那么每束玫瑰應降價多少元？ 問題3：

小新家的花圃用花盆培育玫瑰花苗.經過試驗發現，每盆植入3株時，平均每株盈利3元；以同樣的栽培條件，每盆每增加1株，平均每株盈利就減少0.5元.要使每盆的盈利達到10元，并盡量降低成本，則每盆應該植多少株？ 問題4：

某種服裝,平均每天可銷售20件,每件盈利44元.若每件降價1元,則每天可多售5件.如果每天盈利1600元,每應降價多少元?

問題5：

某商場銷售一批名牌襯衫,現在平均每天能售出20件,每件盈利40元.為了盡快減少庫存,商場決定采取降價措施.經調查發現:如果這種襯衫的售價每降低1元時,平均每天能多售出2件.商場要想平均每天盈利1200元,每件襯衫應降價多少元?

引導學生積極參與探究、分析對比得出：問題1、3、4兩題的兩個答案都滿足題意。問題2、5兩題為盡快減少庫存，只選取降價多的那個答案。學生進一步總結、歸納得出：若題中強調盡量減少庫存或盡快減少庫存，應只選取降價多的那個答案。若題中沒有特殊要求，那么兩個答案可能都滿足題意（當然實際問題中不能取負）。

五、分層作業

1.必做題：作業本（復習題）

2.選做題：(學有余力的同學不妨探討一下)一個容器裝滿40升純酒精倒出一部分后用水注滿，在倒出與第一次同量的混合液后用水加滿，此時溶液內含純酒精10升，求每次倒出的升數.

第四篇：一元二次方程教學設計

《一元二次方程》教學設計

一、內容和內容解析

（一）內容

一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式．

（二）內容解析

一元二次方程是解決諸多實際問題的需要，是二次函數的基礎．

針對一系列實際問題，建立方程，引導學生觀察這些方程的共同特點，從而歸納得出一元二次方程的概念及一般形式．在這個過程中，通過歸納具體方程的共同特點，得出一元二次方程的概念.一般形式ax2+bx+c=0也是對具體方程從“元”（未知數的個數）、“次數”和“項數”等角度進行歸納的結果；a≠0的條件是確保滿足 “二次”的要求．

二、目標和目標解析

（一）教學目標

1．體會一元二次方程是刻畫實際問題的重要數學模型，初步理解一元二次方程的概念；

2．了解一元二次方程的一般形式，會將一元二次方程化成一般形式．

（二）目標解析

1．學生能舉例說明一元二次方程存在的實際背景，感受一元二次方程是重要的數學模型，體會到學習的必要性；

2．將不同形式的一元二次方程統一為一般形式，學生從數學符號的角度，體會概括出數學模型的簡潔和必要，針對“二次”規定a≠0的條件，完善一元二次方程的概念．學生能夠將一元二次方程整理成一般形式，準確的說出方程的各項系數，并能確定簡單的字母系數方程為一元二次方程的條件．

三、教學問題診斷分析

一元二次方程是學生學習的第四個方程知識，首先在初一學習了一元一次方程，接著擴展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程組的學習，初二分式的教學，使得對實際問題的刻畫從整式推廣到有理式，分式方程得以出現，到一元二次方程第一次實現 “次”的提升．學生必然存在著疑問，為什么有些背景列得的方程是二次的呢？教學中要直面學生的疑問，顯化學生的疑問，啟發學生自己解釋疑問，才能避免“灌輸”，體現知識存在的必要性，增強學好的信念．

培養建模思想，進一步提升數學符號語言的應用能力，讓學生自己概括出一元二次方程的概念，得出一般形式，對初三學生是必須的，也是適可的．

本課的教學重點應該放在形成一元二次方程概念的過程上，在概念的理解上要下功夫． 本課的教學難點是一元二次方程的概念．

四、教學過程設計

（一）創設情境，引入新知

教師展示教科書本章的章前圖，請同學們閱讀章前問題，并回答： 問題1．這個方程屬于我們學過的某一類方程嗎？

師生活動:學生整理已經學過的方程類型，復習方程的概念，元與次的概念，觀察新方程，分析此方程的元與次，嘗試為新方程命名．

【設計意圖】使學生認識到一元二次方程是刻畫某些實際問題的模型，體會學習的必要性，在學生已有的知識的體系中合理的構建一元二次方程這一新知識．

問題2．這樣的方程在其他實際問題中是否還存在呢？你能再想出一個例子嗎？

師生活動:學生思考二次項產生的原因，從熟悉的實際背景中，很有可能從矩形的面積出發，設計情境．

【設計意圖】讓學生從“接受式”的學習方式中走出來，走向對一元二次方程產生的根源的探求，在編制情境的過程中，他們將加深對一元二次方程概念的理解．部分學生能夠獨立解決問題，自己編制情境并列出方程，部分學生可以根據同學給出的情境去列方程，或者閱讀課本上的實際問題．

（二）拓寬情境，概括概念 給出課本問題

1、問題2的兩個實際問題，設未知數，建立方程．

問題1 如圖21．1-1，有一塊矩形鐵皮，長100 cm，寬50 cm．在它的四個角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出的部分折起，就能制作一個無蓋方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面積是3 600 cm2，那么鐵皮各角應切去多大的正方形？

問題2 要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，你說組織者應邀請多少個隊參賽？

教師引導學生思考并回答以下幾個問題： 全部比賽共有______場

若設應邀請個隊參賽，則每個隊要與其他____個隊各賽一場，全部比賽共有___ 場． 由此，我們可以列出方程______________，化簡得________________． 問題3． 這些方程是幾元幾次方程？

師生活動:學生將實際問題中的語言轉化成數學的符號語言，體會運算關系，尋找等量關系，學習建模．將列得的方程化簡整理，判斷出方程的次數．

【設計意圖】在建模的過程中不僅加強學生的數學思維能力，而且對二次項產生的根源將更加明晰，加深對一元二次方程的理解．讓學生回答方程的元與次，一是讓他們體會統一成一般形式的必要性，為概念的形成做鋪墊，分解教學的難點；二是讓他們明確教學的主線，從被動學習走向主動學習．

問題4． 這些方程是什么方程？

師生活動:觀察本課得出的一些方程，思考它們的共性，同學們嘗試給出一元二次方程的定義，并且概括出一元二次方程的一般形式．

1．一元二次方程的概念：

等號兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2（二次）的方程叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式是．其中是二次項，a是二次項系數；是一次項，b是一次項系數；c是常數項．

【設計意圖】讓學生自己給出定義就是對過去所學一元一次方程的定義的類比和對比，概括一般形式是對一元二次方程另一個角度的理解，是對數學符號語言的應用能力的提升．

（三）辨析應用，加深理解

問題5． 請你說出一個一元二次方程，和一個不是一元二次方程的方程．

師生活動:可以由學生舉手回答，也可以隨機選擇學生回答，調動學生廣泛的參與．追問學生所舉的反例為什么不是一元二次方程？是什么方程？

【設計意圖】學生自己舉例，應用概念，從正反兩個方向強化了對概念的理解，在追問的過程中，幫助學生將已有的方程梳理成比較清晰的知識體系，開發學生認識的資源，激發學生從不同角度、不同形式去深入理解同一概念，讓不同的學生在此過程中獲得不同的收獲，實現分層教學分層指導的效果．

問題6． 下列方程哪些是一元二次方程? 例1．下列方程哪些是一元二次方程?（1）（2）； ；（3）（4）（5）（6）；

； ； ．

答案（2）（5）（6）．

師生活動:用概念指導辨析，方程（3）與（4）同學們可能會產生爭議，（3）幫助學生明確一元二次方程是整式方程，（4）體會化為一般形式的必要性，對a≠0條件加深認識．

【設計意圖】補足學生所舉正反例的缺漏，追問：有二次項的一元方程就是一元二次方程嗎？幫助學生進一步鞏固概念，深化對一元、二次的認識．

問題7．指出下列方程的二次項、一次項和常數項及它們的系數．

例2． 將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項、一次項和常數項及它們的系數：

（1）師生活動:（1）將方程，其中二次項是；（2）

去括號得：，二次項系數是3；一次項是，過程略．，在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件，時此方程為一元一次方程．，移項，合并同類項得：，一次項系數是，常數項是．教師應及時分析可能出現的問題（比如系數的符號問題）．（2）一元二次方程的一般形式是例3．關于x的方程下此方程為一元一次方程？

答案：時此方程為一元二次方程；【設計意圖】在形式比較復雜的方程面前，通過辨析方程的元、次、項看清方程的本質，深化理解，淡化對一元二次方程概念的記憶．

（四）鞏固概念，學以致用 教科書第4頁： 練習【設計意圖】鞏固性練習，同時檢驗一元二次方程概念的掌握情況．

（五）歸納小結，反思提高

請學生總結今天這節課所學內容，通過對比之前所學其它方程，談對一元二次方程概念的認識，反思學習過程中的典型錯誤．

（六）布置作業：教科書習題21．1 復習鞏固：第1，2，3題．

五、目標檢測設計

1．下列方程哪些是關于x的一元二次方程（1）；（2）

；（3）

；（4）

．

【設計意圖】考查對一元二次方程概念的理解． 2．關于的方程A． B．

C．的條件． 【設計意圖】考查

是一元二次方程，則（）．

D．

3．將關于的一元二次方程化為一般形式，并指出二次項系數． 【設計意圖】考查化簡方程的能力，及對一元二次方程一般式的掌握情況．

第五篇：一元二次方程教學設計

一元二次方程教學設計

海門市海南中學 顧 健

學習目標：

1.類比一元一次方程，自主探究一元二次方程的定義.2.知道一元二次方程的一般形式和方程的解，會解簡單方程.3.經歷觀察、思考、討論等探究過程，發展自主學習的能力，感悟“從特殊到一般”“轉化”“類比”等數學思想方法，積累數學活動經驗.4.通過合作、交流，進一步學會互助、共享，并與同伴得到共同提高.教學重難點：一元二次方程的定義和一般式，會解簡單方程.教學過程：

一、在復習回顧中，引導學生類比一元一次方程自主探究一元二次方程定義 1.自主回顧

已知矩形的長比寬大1厘米

問題（1）若矩形的周長是6厘米，求寬。你會求解嗎？你準備怎么做？

問題（2）若矩形的面積是6平方厘米，求寬。你會求解嗎？你準備怎么做？ 2.類比歸納

問題（1）中的等式你學過嗎？是什么方程？你是怎么知道的？（化簡整理）你能回憶一元一次方程的定義嗎？（學生補充）你知道一元一次方程的一般式嗎？ 追問：a為什么不等于0？b呢？ 還學習了一元一次方程的哪些內容？

問題（2）中的等式你認識嗎？你是怎么知道的？（一個未知數、最高次是

2、整式方程）你能歸納一元二次方程的定義嗎？ 3.你能舉出一些一元二次方程的例子嗎？（轉化后介紹項、系數、常數）4.你能歸納一元二次方程的一般式嗎？

追問：a為什么不等于0？b呢？C呢？（正確尋找a、b、c）

二、在合作交流中，引導學生分享方法，歸納方程解法 1.什么是方程的解？（能使等號兩邊相等的未知數的值）

什么是一元二次方程的解？

2.如何解一元一次方程？（形成x=a）它的解有幾個？

3.猜想：如何解一元二次方程？嘗試解黑板上的一元二次方程。（先獨立完成2分鐘，再在小組內交流）4.展示方法，你的依據是什么？

5.歸納方法，比較一元二次方程的解與一元一次方程的區別與聯系。（降次思想、轉化思想）

三、共同反思，小結提升

1.你是如何理解一元二次方程的定義的？ 2.你對一元二次方程中的a、b、c有怎樣的認識？

3.一元二次方程的解有怎樣的特點？今天你學會了哪些方法解一元二次方程？ 4.通過今天對一元二次方程的學習，你積累了哪些重要的學習方法和經驗？