第一篇：2.3一元二次方程的應用教案

2．3一元二次方程的應用（1）教案

一、教材分析

1、教材地位和作用

本節課是浙教版八年級數學下冊第二章《一元二次方程》的內容，這是一個理論聯系實際的好教材，充分體現了數學的應用價值。之前，學生已學習了一元二次方程的概念、解法，已初步具有了應用波利亞解題表列一元一次方程、二元一次方程組、分式方程等解應用題的能力，本節課將進一步學習問題解決的方法與步驟，它是前一部分知識的應用與鞏固，也為今后學習二次函數等知識奠定基礎。學好本節知識，可以培養學生分析問題、解決問題的能力，邏輯思維能力、信息遷移能力以及數學方法的應用能力等。

2、教學目標

數學教學應以學生的發展為本，培養能力為重，綜上分析及教學大綱要求，本課時教學目標制定如下：

知識目標：會分析實際應用問題中的數量關系，找出等量關系，并列一元二次方程解應用題；

能力目標：聯系實際，經歷“問題情境-----建立模型------求解-------解釋與應用”的過程，培養學生化實際問題為數學問題的能力及分析問題、解決問題的能力;

情感目標：結合實踐與探索，培養學生合作互助的精神，體驗探索成果的喜悅.3、教學重點和難點

由于本節內容涉及的實際應用問題都是通過列一元二次方程解決的，所 以確定教學重點是列一元二次方程解應用題。要列出一元二次方程的關鍵是找出等量關系，從實際問題中挖掘出相等關系需要較強的聯系實際能力、分析能力，因此本節的教學難點是尋找等量關系列方程，例2涉及的是現實生活中的增長率問題，數量關系復雜，學生不容易理解，它是教學的又一難點。

二、教學方法與手段：

本節課利用多媒體輔助教學，擴大課堂容量，提高課堂效率。根據教材內容和學生的認知特點，采用邊分析、邊討論，層層設疑、講練結合的啟發式教學方法，例題選擇由淺入深，從學生熟悉的實際問題開始，將實際問題“數學化”，建立方程模型，引導學生自主探索、發現、歸納，充分調動學生的積極性和主動性。

三、學法指導： “素質教育”要求學生由“學會”轉為“會學”，正確的學法指導是實現這一轉化的重要手段，根據本節課的內容特點及學生的心理特征，在學法上，極力倡導新課程的自主探究、合作交流的學習方法。通過創設豐富的實際背景，使數學回到生活，鼓勵學生積極思考，勇于鉆研，敢于創新，產生強烈的求知欲。

四、教學程序：

1.創設情境，提出問題

創設學生感興趣的問題情境，使學生能夠置身于問題情境中，在生動活潑的環境下積極思考，解決問題：

古時候，一個農夫拿者一根竹竿進城，可是豎著拿，竹竿比城門高3尺，橫著拿，竹竿比城門寬6尺，進不去，結果沿著城門的兩個對角斜著拿，剛好進去，聰明的同學，你知道竹竿有多長嗎？

為了讓學生能更清楚地理解題意，創設了以下幾個階梯性小問題：

設竹竿為x尺，則（1）城門高________尺；

（2）城門寬________尺；

（3）城門的高、寬、兩個對角之間的長度滿足什么關系？

通過引例，引導學生回顧總結列方程解應用題的基本步驟，在新舊知識之間 構建橋梁，讓學生明確應用方程、不等式或函數解決實際應用問題時關鍵是以下三個步驟：①設元；②用字母表示相關的量；③列關系式 2.例練應用，解決問題

列一元二次方程解應用題在現實生活中有著廣泛的應用，學生普遍認為列方程解應用題難，其原因之一是題目閱讀量大，數量多，關系比較復雜且隱蔽，所以在教學時首先應讓學生消除畏難情緒，說明題目的一部分是背景材料，最后的一部分往往和設元有關，核心部分就是數量之間的關系。接著出示例1：

某花圃用花盆培育某種花苗,經過試驗發現每盆的盈利與每盆的株數構成一定的關系.每盆植入3株時,平均單株盈利3元;以同樣的栽培條件,若每盆增加1株,平均單株盈利就減少0.5元.要使每盆的盈利達到10元,每盆應該植多少株? 為了讓學生能比較清楚地理解題目中的數量關系，設置以下問題：

（1）若每盆增加1株，此時每盆花苗有（3+____）株，平均單株盈利為（3－0.5×____）元

（2）若每盆增加2株，此時每盆花苗有（3+____）株，平均單株盈利為（3－0.5×____）元

（3）若每盆增加x株，此時每盆花苗有（3+____）株，平均單株盈利為（3－0.5×____）元

（4）每盆盈利=____________×________________ 然后引導學生完成例1 為了開闊學生的思路，遇到問題能舉一反

三、觸類旁通，又將例1進行適當改編，組織學生以學習小組為單位，分組合作、交流討論：

某花圃用花盆培育某種花苗,經過試驗發現每盆的盈利與每盆的株數構成一定的關系.每盆植入3株時,平均單株盈利3元;以同樣的栽培條件,若每盆增加2株,平均單株盈利就減少0.5元.要使每盆的盈利達到11元,每盆應該植多少株? 設置以下問題：

（1）若每盆增加2株，此時每盆花苗有（3+___）株，平均單株盈利為（3－0.5×___）元（2）若每盆增加4株，此時每盆花苗有（3+___）株，平均單株盈利為（3－0.5×___）元（3）若每盆增加x株，此時每盆花苗有（3+___）株，平均單株盈利為（3－0.5×___）元

為了及時鞏固知識，促使學生對知識的理解，在例1的基礎上改變問題的實際背景，出示如下練習：

春節期間，杭州某旅行社為吸引市民組團去風景區旅游，推出如下收費標準： 如果人數不超過25人，人均旅游費用為1000元；如果人數超過25人，每增加1人，人均旅游費用降低20元，但人均旅游費用不得低于700元。某單位組織員工去天水灣風景區旅游，共支付給該旅行社旅游費用27000元，請問該單位這次共有多少員工去旅游？

通過例

1、練習幾個不同背景卻同一模型的問題學習，使學生掌握了怎樣列一元二次方程解決生活中這一類問題，知識結構的形成不是依賴于教師的概括、抽象、灌輸，不是“回憶”教師的解題套路，而是依靠學生感性認識的積累，讓學生自己去分析，從而變“學會”為“會學”，使學生真正成為學習的主人，而不是知識的奴隸。通過對比，學生對于列方程解應用題的一般步驟中的“檢驗”也有了更深刻的理解，同時讓學生感受到知識源于實踐又作用于實踐，體驗到了數學的價值，同時也突出了課題的重點。沿著數學知識結構的逐步攀升，引導學生搜索現實生活中與增長率有關的 問題，并設置了下列問題，引起學生的積極思維：(1)春節過后，許多服裝都降價處理，一件皮衣原售價2000元，第一次下降10%，下降后售價__________________元，由于天氣逐漸轉暖，為了減少庫存，第二次又下降了20%，此時售價_________________________ 元。（只需寫出算式）

(2)近幾年，麗水的社會經濟發展迅速，據抽樣調查統計顯示，2000年城鎮居民可支配收入為a元，以后逐年上升，每年增長的百分率約為8%，那么

2001年城鎮居民可支配收入為 _________________元； 2002年城鎮居民可支配收入為__________________元； 2003年城鎮居民可支配收入為__________________元； ??

2010年城鎮居民可支配收入為__________________元； 經過n年后城鎮居民可支配收入為__________________元；

（給出原始量、增長率（降低率）、變化次數、后來量之間的關系，讓學生自己歸納并給出公式，只有他們自己發現的才是最有用的，也讓學生體驗成功的喜悅，進一步激發學習興趣）

(3)某藥品原售價10元/盒，經兩次降價后為5元/盒，已知兩次降低的百分率一樣都為x，則可列方程得_____________（學生的錯誤可能會是：10（1－2x）=5）

上述三個問題分別從數、式、方程三個不同的方面對增長率（降低率）進 行了理解，也使學生明確了要解決增長率（降低率）問題，必須弄清楚基準，第二個問題中得出的一般式為高中的后繼學習作好準備。有了上述三個問題作鋪墊，接著講解例2，截止到2000年12月31日，我國的上網計算機總數為892萬臺；截止到2002年12月31日，我國的上網計算機總數以達2083萬臺.（1）求2000年12月31日至2002年12月31日我國的上網計算機臺數的年平均增長率（精確到0.1%）.（2）上網計算機總臺數2001年12月31日至2003年12月31日的年平均增長率與2000年12月31日至2002年12月31日的年平均增長率相比，哪段時間年平均增長率較大？

確定例2是本節的一個教學難點，是因為

（1）對題意理解的困難。需將實際問題數學化，這是數學建模思想的體現；（2）信息轉化的困難。要將統計圖的信息轉化為數量，這是數形結合的思想；（3）關系式確定的困難。要正確理解年平均增長率的含義。

（4）解方程的困難。本例的方程用直接開平方法解才是最簡便易行的。基于上述原因，本例采用低起點、小步子的辦法分散難點，問題設計由易到難，循序漸進，學生就比較容易理解，例2（1）設置以下問題：

(1)若設年平均增長率為x,你能用含x的代數式表示2001年的臺數嗎?2002年呢？(2)已知2002年的臺數是多少?(3)據此,你能列出方程嗎? 例2（2）讓學生思考：

(1)已知哪段時間的年平均增長率?(2)需要求哪個時間段的年平均增長率? 師生共同完成例2，進一步突出課題重點，深層次激發學生的學習積極性。

五、設計說明：

列方程解應用題是初中數學的一大難點，關鍵是通過問題情境建立模型，然后在問題的廣度、深度上下工夫。本節課我首先創設學生感興趣的問題情境，激發學生學習積極性，引出用方程解決問題的基本思想和方法。例1是典型的市場營銷問題，我通過三個不同背景卻同一模型的例子（即多題一解）讓學生學會如何分析、解決這一類問題；對于例2的處理，我首先設置相對簡單的、學生能解決的問題，然后由淺入深，逐步深入，從數、式、方程三個不同層面讓學生理解了增長率（降低率）問題，達到教學目的。

第二篇：一元二次方程應用2010

1、（2009煙臺市）某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉”政策的實施，商場決定采取適當的降價措施.調查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺．

（1）假設每臺冰箱降價x元，商場每天銷售這種冰箱的利潤是y元，請寫出y與x之間的函數表達式；（不要求寫自變量的取值范圍）

（2）商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應降價多少元？

2、(2009武漢)某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）．設每件商品的售價上漲x元（x為正整數），每個月的銷售利潤為y元．

（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？

3、某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結600個橙子.現準備多種一些橙子樹以提高產量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計,每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結5個橙子.⑴利用函數表達式描述橙子的總產量與增種橙子樹的棵數之間的關系.（2）增種多少棵橙子,可以使橙子的總產量達到60400個?

4、某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品．據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克．針對這種水產品的銷售情況，請售答以下問題：

（1）當銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；

（2）設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x函數關系式（不必寫出x的取值范圍）；（3）商店想在月銷售成本不超過1000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？

5、某化工材料經銷公司購進了一種化工原料共7000千克，購進價格為每千克30元．物價部門規定其銷售單價不得高于每千克70元，也不得低于30元．市場調查發現：單價定為70元時，日均銷售60千克；單價每降低1元，日均多售出2千克．在銷售過程中，每天還要支出其他費用500元（天數不足一天時，按整天計算）．設銷售單價為x元，日均獲利為y元．求y關于x的二次函數關系式，并注明x的取值范圍；

6、（2009年貴州省黔東南州）凱里市某大型酒店有包房100間，在每天晚餐營業時間，每間包房收包房費100元時，包房便可全部租出；若每間包房收費提高20元，則減少10間包房租出，若每間包房收費再提高20元，則再減少10間包房租出，以每次提高20元的這種方法變化下去。

（1）設每間包房收費提高x（元），則每間包房的收入為y1（元），但會減少y2

間包房租出，請分別寫出y1、y2與x之間的函數關系式。

（2）為了投資少而利潤大，每間包房提高x（元）后，設酒店老板每天晚餐包房總收入為y（元），請寫出y與x之間的函數關系式。

7、（2009年甘肅慶陽）（8分）某企業2006年盈利1500萬元，2008年克服全球金融危機的不利影響，仍實現盈利2160萬元．從2006年到2008年，如果該企業每年盈利的年增長率相同，求：（1）該企業2007年盈利多少萬元？

（2）若該企業盈利的年增長率繼續保持不變，預計2009年盈利多少萬元？

8、(2009年湖州)隨著人民生活水平的不斷提高，我市家庭轎車的擁有量逐年增加.據統計，某小區2006年底擁有家庭轎車64輛，2008年底家庭轎車的擁有量達到100輛.（1）若該小區2006年底到2009年底家庭轎車擁有量的年平均增長率都相同，求該小區到2009年底家庭轎車將達到多少輛？

（2）為了緩解停車矛盾，該小區決定投資15萬元再建造若干個停車位.據測算，建造費用分別為室內車位5000元/個，露天車位1000元/個，考慮到實際因素，計劃露天車位的數量不少于室內車位的2倍，但不超過室內車位的2.5倍，求該小區最多可建兩種車位各多少個？試寫出所有可能的方案.9.建造一個面積是140平方米的倉庫，要求其一邊靠墻，墻長16米，在與墻平行的一邊開一道２米寬的門。現人32米長的材料來建倉庫，求這個倉庫的長是多少米？

10、如圖在△ABC中，∠B是直角，AB=6厘米，BC=12厘米。點P從A點開始，沿AB方向以每秒1厘米的速度移動，同時點Q從點B開始，沿BC方向以每秒厘米移動。問幾秒時△PBQ的面積等于8平方厘米？

11．（2009年甘肅慶陽）若關于x的方程x2

?2x?k?1?0的一個根是0，則k?．

12.、（2009威海）若關于x的一元二次方程x2

?(k?3)x?k?0的一個根是?2，則另一個根是______．、（2009山西省太原市）某種品牌的手機經過四、五月份連續兩次降價，每部售價P 13由3200元降到了2500元．設平均每月降價的百分率為x，根據題意列出的方程是．

第三篇：教案一元二次方程的應用

教案19.5一元二次方程的應用

（滬科版八年級下一元二次方程的應用教案）

教學目標； 知識與技能，1.使學生學會列一元二次方程解應用題的方法。

2.掌握增長率問題建立數學模型的方法，并利用它解決一些具體問題．

過程與方法，通過具體實例的抽象概括過程。進一步向學生滲透把未知轉化為已知的化歸思想。培養學生的分析問題和解決問題的能力。發展學生的抽象思維能力。

情感態度與價值觀，通過具體實例的分析，思考，與合作學習。培養學生應用知識分析問題，解決問題的能力和良好的學習習慣。

教學重點：

正確分析應用題的題意，列出一元二次方程。

教學難點：

分析問題，建立正確的數學模型。

教學方法：講練結合，教學過程:

一，溫故知新。

1，一元二次方程有哪幾種解法？

2，看18.1節中的問題2，（見課本P37）

二：探索新知;

3，問題1：一個兩位數，十位數字與個位數字之和是5，把這個數 的個位數字與十位數字對調后，所得的新兩位數與原來的兩 位數的乘積為736，求原來的兩為數。

分析 ：多位數的表示方法：

兩位數：（十位數）乘以10+個位數字

三位數：（百位數）乘以100+（十位數）乘以 10+個位數字

… …

本題是屬于數字問題，題中的等量關系比較明顯：新兩位數乘以 原來的兩位數=736，正確列出方程的關鍵是熟練掌握用字母表示兩位數的方法。

解：設原來兩位數的十位數字為x，則個位數字為(5-x),根據題意::得[10x+(5-x)] [10(5-x)+x]=736

整理，得x2-5x+6=0,解得;x1=2,x2=3

當x=2時，5-x=3,符合題意，原來的兩位數是23

當x=3時，5-x=2,符合題意，原來的兩位數是32

4.練一練

（1）、兩個數的差是4，這兩個 數的積是96，求 這兩個數.（2）、已知兩個連續奇數的平方和等于74，求這兩個數.（3）、有三個連續整數，已知最大數與最小數的積比中間數的5倍小1，求這三個數.5.問題2：課本 P37例2（讓學生交流學習后再講解）

6.練一練，（一）某儲蓄 所第一季度收到的 存款額是150萬元，第三季度上升到216萬元，且每個季度的增長率相同。

（1）求每個季度的增長率是多少？

（2）該儲蓄所第二季度收到的存款額多少萬元？

分析：增長率問題中基本關系是：原來的部分乘以（1+增長率）=增長后的部分。

若連續兩次增長率相同，設起始量為a，增長率為x，則:

第一次增長后的數值為 ,a(1+x)，第 二次增長后的數值為,a(1+x)(1+x)= a(1+x)2

解：設每個季度的增長率是x，則150（1+x）2?=216

解得：x1=-2.2（不合題意，舍去），x2=0.2=20%

答：（略）

提示： 本題中第一次出現舍根的情況，解方程所得的根，如果與實際問題不相符，就要舍去。

（二）： 某種產品，計劃兩年后使成本降低36％，平均每年降低的百分率是多少？

解：設這種產品的下降率是x，起始量為a，則

a(1-x)2 = 36%a

解得：x1=1.6（不合題意，舍去），x2=0.4=40%

答：（略）

分析：下降率或降低率可理解為增長率為負值（-x)，同理，若連續兩次的下降率相同，設起始量為a，下降率為x，則

第一次下降后的數值為：a(1-x)，第 二次下降后的數值為：a(1-x)(1-x)= a(1-x)2

三，課堂小結

本節學習了列一元二次方程解應用題的一般方法步驟即，審、設、列、解、驗、答。重點是，審題，找等量關系。

四，板書設計；（略）

五，布置作業

課本P38 第1、2、3題

第四篇：一元二次方程應用

1．（2011?黑龍江）我市為了增強學生體質，開展了乒乓球比賽活動．部分同學進入了半決賽，賽 制為單循環形 式（即每兩個選手之間都賽一場），半決賽共進行了 6 場，則共有 人進入半決賽． 2．（2007?防城港）要組織一次籃球聯賽，賽制為單循環形式（每兩隊之間都賽一場），計劃安排 21 場比賽，應 邀請 個球隊參加比賽
3．（2010?畢 節 地 區）畢 業 之 際，某 校 九 年 級 數 學 興 趣 小 組 的 同 學 相 約 到 同 一 家 禮 品 店 購 買 紀 念 品，每 兩 個 同 學 都 相 互 贈 送 一 件 禮 品，禮 品 店 共 售 出 禮 品 30 件，則 該 興 趣 小 組 的 人 數 為（A． 5人 B． 6人 C． 7人 D． 8人）

4.握手問題

5.數字問題

6.（2013?珠海）某漁船出海捕魚，2010 年平均每次捕魚量為 10 噸，2012 年平均每次捕魚量為 8.1 噸，求 2010 年-2012 年每年平均每次捕魚量的年平均下降率． 7.天收到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100 元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增長率 相同，求捐款 增長率；（2）按照（1）中收到捐款的增長率速度，第四天該單位能收到多少捐款？ 8（2013?襄陽）有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有 64 人患了流感．（1）求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？ 9.（2013?來賓）某商場以每件 280 元的價格購進一批商品，當每件商品售價為 360 元時，每月可售 出 60 件，為了擴大銷售，商場決定采取適當降價的方式促銷，經調查發現，如果每件商品降價 1 元，那么商場每月就可以多售出 5 件．（1）降價前商場每月銷售該商品的利潤是多少元？（2）要使商場每月銷售這種商品的利潤達到 7200 元，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價多 少元？ 10.（2013?泰安）某商店購進 600 個旅游紀念品，進價為每個 6 元，第一周以每個 10 元的價格售出 200 個，第二周若按每個 10 元的價格銷售仍可售出 200 個，但商店為了適當增加銷量，決定降價銷 售（根據市場調查，單價每降低 1 元，可多售出 50 個，但售價不得低于進價），單價降低 x 元銷售，銷售一周后，商店對剩余旅游紀念品清倉處理，以每個 4 元的價格全部售出，如果這批旅游紀念品 共獲利 1250 元，問第二周每個旅游紀念品的銷售價格為多少元？ 11（2013?連云港）小林準備進行如下操作實驗；把一根長為 40cm 的鐵絲剪成兩段，并把每一段各 圍成一個正方形． 2（1）要使這兩個正方形的面積之和等于 58cm，小林該怎么剪？ 2（2）小峰對小林說： “這兩個正方形的面積之和不可能等于 48cm ． ”他的說法對嗎？請說

第五篇：一元二次方程應用

一.增長率問題：例如經濟增長率、人口增長率等。討論的是兩輪（即兩個時間段）的平均變化率，設平均增長率為X，則有下列關系：變化前的數量×（1+X）2=變化后的數量。

1.向陽村2001年的人均收入是1200元，2003年的人均收入是1452元，求人均收入的年平均增長率。

2.青山村種的水稻2001年平均每公頃產7200千克，2003年平均每公頃產8450千克，求水稻每公頃產量的年平均增長率。

3.某銀行經過最近的兩次降息，使一年期的存款利率由2.25%降至1.98%，平均每次降息的百分率是多少？

4.某工廠第一季度的總產值是500萬元，已知一月份的產值是150萬元，二、三月份的平均增長率相同，求二、三月份的平均增長率。

二．握手、簽合同、贈送禮物等問題：（1）1X(X-1)=a(2)X(X-1)=a。2

1.參加一次聚會的每兩個人都握了一次手，所有人共握了10次，有多少人參加聚會？

2.參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂45份合同，共有多少家公司參加商品交易會？

3.參加一次足球聯賽的每兩隊都進行了兩場比賽，共比賽90場，共有多少個隊參加比賽？

4.元旦同學之間相互贈送賀卡，一共使用了150張賀卡，問有多少名同學參加此次活動？

三． 細胞分裂、信息傳播、傳染病擴散、樹木分支等問題。

（1）1+X+X(1+X)=a,1+X+X2=a。

1.有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一人傳染了幾人？

2.某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣多的小分支，主干、支干、小分支的總數是91，每個支干長出多少個小分支？

四．圖形問題

1.一張桌子的桌面長為6米，寬為4米，臺布面積是桌面面積的2倍，如果將臺布鋪在桌子上，各邊垂下的長度相等，求這塊臺布的長和寬。

2.要為一幅長29厘米，寬22厘米的照片配一個鏡框，要求鏡框的四條邊寬度相等，且鏡框所占面積為照片面積的四分之一，鏡框邊的寬度應為多少？