2.4 圓周角
第3課時 圓的內接四邊形
一、選擇題
1.如圖1,四邊形ABCD內接于☉O,它的對角線把四個內角分成八個角,其中這八個角中相等的角有()
圖1
A.2對
B.4對
C.6對
D.8對
2.[2019·德州]
如圖2,O為線段BC的中點,點A,C,D到點O的距離相等,若∠ABC=40°,則∠ADC的度數是
()
圖2
A.130°
B.140°
C.150°
D.160°
3.[2020·牡丹江]
如圖3,四邊形ABCD內接于☉O,連接BD.若AC=BC,∠BDC=50°,則∠ADC的度數是
()
圖3
A.125°
B.130°
C.135°
D.140°
4.[2020·黃石]
如圖4,點A,B,C在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分別為D,E,若∠DCE=40°,則∠ACB的度數為
()
圖4
A.140°
B.70°
C.110°
D.80°
二、填空題
5.[2019·銅仁]
如圖5,四邊形ABCD為☉O的內接四邊形,∠A=100°,則∠DCE的度數為.圖5
6.[2020·聊城]
如圖6,在☉O中,點A,B,C在☉O上,四邊形OABC為菱形,點D在AmC上,則∠ADC的度數是.圖6
7.[2019·臺州]
如圖7,AC是圓內接四邊形ABCD的一條對角線,點D關于AC的對稱點E在邊BC上,連接AE.若∠ABC=64°,則∠BAE的度數為.圖7
8.[2019·鹽城]
如圖8,點A,B,C,D,E均在☉O上,且AB的度數為50°,則∠E+∠C= °.圖8
三、解答題
9.如圖9,四邊形ABCD內接于☉O,∠DAE是四邊形ABCD的一個外角,且AD平分∠CAE.求證:DB=DC.圖9
10.如圖10所示,☉O1與☉O2都經過A,B兩點,過點A的直線CD與☉O1交于點C,與☉O2交于點D,過點B的直線EF與☉O1交于點E,與☉O2交于點F.求證:CE∥DF.圖10
11.如圖11,四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,BC的延長線與AD的延長線交于點E,且DC=DE.(1)求證:∠A=∠AEB;
(2)連接OE,OE⊥CD于點F,求證:△ABE是等邊三角形.圖11
12.如圖12,在△ABC中,∠ACB=90°,過B,C兩點的☉O交AC于點D,交AB于點E,連接EO并延長交☉O于點F,連接BF,CF,CE,DE,若∠EDC=135°,CF=22,求AE2+BE2的值.圖12
13.如圖13,☉O的內接四邊形ABCD的兩組對邊的延長線分別交于點E,F.(1)當∠E=∠F時,∠ADC= °;
(2)當∠A=55°,∠E=30°時,求∠F的度數;
(3)若∠E=α,∠F=β,且α≠β,請你用含有α,β的代數式表示∠A的度數.圖13
14.如圖14,在△ABC中,AB=AC,以邊AB為直徑的☉O交BC于點D,交AC于點E,連接DE.(1)求證:DE=DC;
(2)如圖②,連接OE,將∠EDC繞點D逆時針旋轉,使∠EDC的兩邊分別交OE的延長線于點F,交AC的延長線于點G.試探究線段DF,DG的數量關系.圖14
答案
1.[解析]
B 由圓周角定理知:∠ADB=∠ACB,∠CBD=∠CAD,∠BDC=∠BAC,∠ABD=∠ACD,所以共有4對相等的角.故選B.2.[解析]
B 由題意得OA=OB=OC=OD,作出圓O,如圖所示,∴四邊形ABCD為圓O的內接四邊形,∴∠ABC+∠ADC=180°.∵∠ABC=40°,∴∠ADC=140°.故選B.3.[解析]
B ∵∠BDC=50°,AC=BC,∴∠ABC=∠BDC=50°,∴∠ADC=180°-∠ABC=130°.故選B.4.[解析]
C 如圖,在優弧AB上取一點P,連接AP,BP.∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90°.∵∠DCE=40°,∴∠AOB=360°-90°-90°-40°=140°,∴∠P=12∠AOB=70°.∵A,C,B,P四點共圓,∴∠P+∠ACB=180°,∴∠ACB=180°-70°=110°.故選C.5.[答案]
100°
[解析]
∵四邊形ABCD為☉O的內接四邊形,∴∠DCE=∠A=100°.故答案為100°.6.[答案]
60°
[解析]
∵四邊形ABCD內接于☉O,∴∠B+∠ADC=180°.∵四邊形OABC為菱形,∴∠B=∠AOC,∴∠ADC+∠AOC=180°.∵∠AOC=2∠ADC,∴3∠ADC=180°,∴∠ADC=60°.7.[答案]
52°
[解析]
∵四邊形ABCD是圓內接四邊形,∴∠D=180°-∠ABC=116°.∵點D關于AC的對稱點E在邊BC上,∴∠AEC=∠D=116°,∴∠BAE=116°-64°=52°.故答案為52°.8.[答案]
155
[解析]
連接EA.∵AB的度數為50°,∴∠BEA=25°.∵四邊形DCAE為☉O的內接四邊形,∴∠DEA+∠C=180°,∴∠DEB+∠C=180°-25°=155°.故答案為155.9.證明:∵∠DAC與∠DBC都是CD所對的圓周角,∴∠DAC=∠DBC.∵AD平分∠CAE,∴∠EAD=∠DAC,∴∠EAD=∠DBC.∵四邊形ABCD內接于☉O,易得∠EAD=∠BCD,∴∠DBC=∠BCD,∴DB=DC.10.[解析]
利用圓內接四邊形的性質定理證明同旁內角互補即可.證明:連接AB.∵四邊形ABEC是☉O1的內接四邊形,∴∠BAD=∠E.∵四邊形ABFD是☉O2的內接四邊形,∴∠BAD+∠F=180°,∴∠E+∠F=180°,∴CE∥DF.11.證明:(1)∵四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,∴∠A=∠DCE.∵DC=DE,∴∠DCE=∠AEB,∴∠A=∠AEB.(2)∵∠A=∠AEB,∴△ABE是等腰三角形.∵EO⊥CD,∴CF=DF,∴EO是CD的垂直平分線,∴DE=EC.∵CD=DE,∴CD=DE=EC,∴△DCE是等邊三角形,∴∠AEB=60°,∴△ABE是等邊三角形.12.解:∵四邊形BCDE內接于☉O,且∠EDC=135°,∴∠ABC=180°-∠EDC=45°.∵∠ACB=90°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC.∵EF是☉O的直徑,∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°,∴∠BCF=∠ACE.又∵四邊形BECF是☉O的內接四邊形,∴∠AEC=∠BFC,∴△ACE≌△BCF,∴AE=BF.∵在Rt△ECF中,CF=22,∠EFC=∠EBC=45°,∴EF2=16,∴AE2+BE2=BF2+BE2=EF2=16.13.[解析]
(1)由∠E=∠F,易得∠ADC=∠ABC,由圓的內接四邊形的性質,即可求得答案;
(2)由∠A=55°,∠E=30°,首先可求得∠ABE的度數,繼而利用圓的內接四邊形的性質,求得∠ADF的度數,則可求得答案;
(3)由三角形的內角和定理與圓的內接四邊形的性質,即可求得180°-∠A-∠F+180°-∠A-∠E=180°,繼而求得答案.解:(1)∵∠E=∠F,∠DCE=∠BCF,∠ADC=∠E+∠DCE,∠ABC=∠BCF+∠F,∴∠ADC=∠ABC.∵四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,∴∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ADC=90°.故答案為90.(2)∵在△ABE中,∠A=55°,∠E=30°,∴∠ABE=180°-∠A-∠E=95°,∴∠ADF=180°-∠ABE=85°,∴在△ADF中,∠F=180°-∠ADF-∠A=40°.(3)∵∠ADC=180°-∠A-∠F,∠ABC=180°-∠A-∠E,∠ADC+∠ABC=180°,∴180°-∠A-∠F+180°-∠A-∠E=180°,∴2∠A+∠E+∠F=180°,∴∠A=90°-∠E+∠F2=90°-α+β2.14.解:(1)證明:∵四邊形ABDE內接于☉O,∴∠DEC=∠B.∵AB=AC,∴∠C=∠B,∴∠DEC=∠C,∴DE=DC.(2)∵四邊形ABDE內接于☉O,∴∠A=∠EDC.∵OA=OE,∴∠A=∠OEA.又∵∠OEA=∠CEF,∴∠EDC=∠CEF.∵∠EDC+∠DEC+∠DCE=180°,∴∠CEF+∠DEC+∠DCE=180°,即∠DEF+∠DCE=180°.又∵∠DCG+∠DCE=180°,∴∠DEF=∠DCG.∵∠EDC繞點D逆時針旋轉得到∠FDG,∴∠EDC=∠FDG,∴∠EDC-∠FDC=∠FDG-∠FDC,即∠EDF=∠CDG.又∵DE=DC,∴△EDF≌△CDG(ASA),∴DF=DG.
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