2021年中考數學復習二輪沖刺高頻考點模塊練習

（二次函數與線段、面積最值綜合題型）

一．

突破與提升策略：

1．面積最大值

（1）三角形有一條邊在坐標軸上：

以在坐標軸上的邊為底邊，過不在坐標軸上的頂點作垂線；

（2）三角形的三邊都不在坐標軸上：

過其中一個頂點作平行于坐標軸的直線(應用最多)；

（3）四邊形有兩邊在坐標軸上：

過不在坐標軸上的頂點作坐標軸的垂線.2.面積倍數關系：先求出其中一個圖形的面積，再用含未知數的式子表示所求圖形(另一個圖形)的面積，根據兩圖形間的面積關系，列方程求解；或用含相同的未知數分別表示兩個圖形的面積，再用題中等量關系列方程求解．

二．典型題提升練習

1.如圖，已知二次函數的圖象的頂點坐標為A(1,4)，與坐標軸交于B，C，D三點，且B點的坐標為(－1,0)，(1)求二次函數的解析式；

(2)在二次函數的圖象位于x軸上方部分有兩個動點M，N，且點N在點M的左側，過點M，N作x軸的垂線交x軸于點G，H兩點，當四邊形MNHG為矩形時，求該矩形周長的最大值；

2.如圖，拋物線與軸交于、兩點，是以點（0,3）為圓心，2為半徑的圓上的動點，是線段的中點，連結.則線段的最大值是多少？

3.如圖，已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸相交于A(－1,0)，B(3,0)兩點，與y軸相交于點C(0，－3)．

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)若P是第四象限內這個二次函數的圖象上任意一點，PH⊥x軸于點H，與線段BC交于點M，連接PC.求線段PM的最大值；

4.如圖，二次函數y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于點A（－1，0）和點B（3，0），與y軸交于點N，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接CP，過點P作CP的垂線與y軸交于點E.（1）求該拋物線的函數關系表達式；

（2）當點P在線段OB（點P不與O、B重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值？并求出這個最大值；

5.在平面直角坐標系中，頂點為A的拋物線與x軸交于B，C兩點，與y軸交于點D，已知A(1,4)，B(3,0)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)探究：如圖①，連接OA，過點D作DE∥OA交BA的延長線于點E，連接OE交AD于點F，M是BE的中點，則OM是否將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分？請說明理由；

(3)應用：如圖②，P(m，n)是拋物線在第四象限的圖象上的點，且m＋n＝－1，連接PA，PC，在線段PC上確定一點N，使AN平分四邊形ADCP的面積，求點N的坐標．

提示：若點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則線段AB的中點坐標為.6.如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，與y

軸交于點C，連接AC，BC．點P是第一象限內拋物線上的一個動點，點P的橫

坐標為m．

（1）求此拋物線的表達式；

（2）過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q．試探究點P在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）過點P作PN⊥BC，垂足為點N．請用含m的代數式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？

7.如圖，拋物線與x軸交于點A（－1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，且過點D（2，－3）．點P、Q是拋物線上的動

點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點P在直線OD下方時，求△POD面積的最大值．

（3）直線OQ與線段BC相交于點E，當△OBE與△ABC相似時，求點Q的坐標．

8.已知拋物線y＝－x2＋bx＋c的對稱軸為直線x＝1，其圖象與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于點C（0,3）．

（1）求b，c的值；

（2）直線l與x軸交于點P．

①如圖1，若l∥y軸，且與線段AC及拋物線分別相交于點E、F，點C關于直線x＝1的對稱點為D，求四邊形CEDF面積的最大值；

②如圖2，若直線l與線段BC相交于點Q，當△PCQ∽△CAP時，求直線l的表達式．

9.如圖①，拋物線y＝－x2+x+4與y軸交于點A，與x軸交于點B，C，將

直線AB繞點A逆時針旋轉90°，所得直線與x軸交于點D．

（1）求直線AD的函數解析式；

（2）如圖②，若點P是直線AD上方拋物線上的一個動點

①當點P到直線AD的距離最大時，求點P的坐標和最大距離；

②當點P到直線AD的距離為時，求sin∠PAD的值．

10.如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A,B兩點，與y軸交于C點，OA=2，OC=6，連接AC和BC.(1)

求拋物線的解析式；

(2)

點D在拋物線的對稱軸上，當△ACD的周長最小時，點D的坐標為；

(3)

點E是第四象限內拋物線上的動點，連接CE和BE,求△BCE面積的最大值及此時點E的坐標；

(4)

若點M是y軸上的動點，在坐標平面內是否存在點N，使以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.11.如圖所示，拋物線過點A（－1，0），點C（0，3），且

OB=OC．

（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；

（2）點D，E在直線x=1上的兩個動點，且DE=1，點D在點E的上方，求四邊

形ACDE的周長的最小值，（3）點P為拋物線上一點，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3∶5

兩部分，求點P的坐標．

12.如圖,已知拋物線y＝ax2+bx+5經過A(－5,0),B(－4,－3)兩點,與x軸的另一個交點為C,頂點為D,連接CD.(1)求該拋物線的表達式;

(2)點P為該拋物線上一動點(與點B,C不重合),設點P的橫坐標為t.①當點P在直線BC的下方運動時,求△PBC的面積的最大值;②該拋物線上是否存在點P,使得∠PBC＝∠BCD?若存在,求出所有點P的坐標;若不存在,請說明理由.13.如圖，已知拋物線經過點（-1,0）、（5,0）.（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點的坐標；

（2）若點在拋物線上，且點的橫坐標為8，求四邊形的面積

（3）定點在軸上，若將拋物線的圖象向左平移2各單位，再向上平移3個單位得到一條新的拋物線，點在新的拋物線上運動，求定點與動點之間距離的最小值（用含的代數式表示）

14.如圖，拋物線與軸交于、兩點在的左側），與軸交于點，過點的直線與軸交于點，與拋物線的另一個交點為，已知，點為拋物線上一動點（不與、重合）．

（1）求拋物線和直線的解析式；

（2）當點在直線l上方的拋物線上時，過點作軸交直線l于點，作軸交直線l于點，求的最大值；

（3）設為直線l上的點，探究是否存在點，使得以點、，、為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．