第一篇：高數(shù)小結(jié)論

高數(shù)小結(jié)論

1． 等價(jià)無(wú)窮小（x→0）

(1).sinx?x?tanx?ex?1?ln[1?x]?arcsinx?arctanx1(2).1?cosx?x22(3).(1?x)a?1?ax(4).ax?1?xlnax(5).1?n1?x?nx(6).n1?x?1?n(7).loga(1?x)?0?x?2．

xlna0?|x|??2時(shí)?2時(shí)

sinx?x?tanx11?cosx?x22 3．如果limU?1,limV??則limU?eVlim(U?1)V4.[f(x)+f(-x)]/2表示偶函數(shù)

[f(x)-f(-x)]/2表示奇函數(shù)

5．直線L：y=kx+b 為y=f(x)的漸近線的充分必要條件為：

k=lim f(x)/x(x→∞)

b=lim [f(x)-kx](x→∞)注意：這里的∞，包括+∞和-∞ 要分開討論 6． 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(記熟后解題快)

(√x)’=1/2√x

(1/x)’=-1/x^2

(x^x)’=(x^x)(1+lnx)

7.關(guān)于n階導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)重要公式

(sinx)^(n)=sin(x+nπ/2)

(cosx)^(n)=cos(x+nπ/2)

(sinkx)^(n)=k^nsin(kx+nπ/2)

(coskx)^(n)=k^ncos(kx+nπ/2)

(x^n)^(n)=n！

(a^x)^(n)=a^x(lna)^n

(e^x)^(n)=e^x

(1/t-x)^(n)=n！/(t-x)^(n+1)

(1/t+x)^(n)= n！(-1)^n/(t+x)^(n+1)

[ln(t+x)]^(n)=(n-1)！(-1)^(n-1)/(t+x)^n 8.泰勒公式(用來(lái)求極限)

sinx=x-x^3/3！+x^5/5！+o(x^6)

cosx=1-x^2/2！+x^4/4！+o(x^5)

e^x=1+x+x^2/2！+x^3/3！+o(x^3)

ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+o(x^3)

(1+x)^a=1+ax+[a(a-1)/2！]x^2+o(x^2)

tanx=x+(1/3)x^3+o(x^3)

arctanx=x-(1/3)x^3+o(x^3)

cotx=1/x –x/3+o(x)

tan(tanx)=x+(2/3)x^3+o(x^3)sin(sinx)=x-(1/3)x^3+o(x^3)9． 重要不定積分

secxdx(secx)(2n?2)dx(secx)2nd(tanx)?(sinx)(2n?1)cosx??(sinx)2n?1??(sinx)(2n?1)(cosx)(2n?1)??(tanx)(2n?1)dx[1?(cotx)2]n?(cosx)(2n?1)sinx???(cotx)(2n?1)dx dx1xdx?tan?C ?1?cosx21?2dx?tanx?secx?C??C ?1?sinxx1?tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx?(tanx)dx?(tanx)22???(secx)1?(tanx)nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)?(cotx)dx??(cotx)(cscx)2dx???1?(cotx)2 nn?tanxdx??ln|cosx|?C?cotxdx?ln|sinx|?C?secxdx?ln|secx?tanx|?C?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C x1?sin2x?C24x12(cox)dx??sin2x?C?242?(sinx)dx?2(tanx)dx?tanx?x?C??(cotx)2dx??cotx?x?Cdx1x?arctan?C?x2?a2aadx22?x2?a2?ln|x?x?a|?C

dx1x?a?x2?a2?2aln|x?a|?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a??a2xx2a?xdx?arcsin?a?x2?C2a2

2ax2x2?a2dx??ln|x?x2?a2|?x?a2?C2222axeax?ecosbxdx?a2?b2(acosbx?bsinbx)?C axeaxesinbxdx?(asinbx?bcosbx)?C?a2?b210． y=sinwx(w>0)

它的半個(gè)周期與x軸圍成的面積為s=2/w

把它的半個(gè)周期分成三等分,中間的那部分面積為s’=1/w

顯然s=2s’

20w ?1S'??23?wsinwxdx?w3wS??wsinwxdx?11.定積分部分

（1）如果函數(shù)f（x）在[-a,a]上連續(xù)

??a?af(x)dx??[fx(?)f?x(dx)?]0a0(如果fx(為奇函數(shù))a0)2?f(xdx)如果(fx(為偶函數(shù)))（2）

??coskxdx?0???sinkxdx?0 ???(coskx)^2dx?????(sinkx)^2dx???????

(3).設(shè)k,l?N?,且k?l,則??coskxsinlxdx?0????coskxcoslxdx?0??

??sinkxsinlxdx?0??(4).設(shè)f(x)是以周期為T的連續(xù)函數(shù)

(1).?a?Taf(x)dx??f(x)dx??0TT2T?2f(x)dx

(2).?a?nTaf(x)dx?n?f(x)dx0T(5).特殊積分

??

??0??e?udu?e?axdx?2?21(a?0)a0??w

(p?0,w?0)?0p2?w2??p?ptecoswtdt?(p?0,w?0)?0p2?w2??sinx?dx??0x2(6).關(guān)于三角函數(shù)定積分簡(jiǎn)化(注意：f(x)是定義在[0,1]上的函數(shù))e?ptsinwtdt??20

?20??(1?)f(sxindx)??f(2?)f(sxindx)?0(xcdxos)特別的??20x(dxsi?n?)20nxndx(cos)?0???n20n?0?0202fx(sdxin?)(co特別的s)??f2xdx20xdx?(s?in)xdx2??(s2inx)ndx2(cos)(3?)?0n(cxosdx)?(n為奇數(shù))?02?2(coxsndx)n(sxi)ndx?（n為偶數(shù)）(n為奇數(shù))(4?)2?0?04?2(sinx)ndx0（n為偶數(shù)）(n為奇數(shù))(5)?(cosx)ndx?02?2?0?4?2(cosx)ndx02?0（n為偶數(shù)）(6)?(sinx)ndx??(cosx)ndx0?0(7)?2(sinx)ndx?n?1n?3n?52.........(n為正奇數(shù))nn?2n?43n?1n?3n?51??.........(n為正偶數(shù))nn?2n?422(8)?xf(sinx)dx?0??2?0?f(sinx)dx

11.圖像分段的函數(shù)不一定是分段函數(shù)（如y=1/x）分段函數(shù)的圖像也可以是一條不斷開的曲線（如y=|x|）

12.如何證明一個(gè)數(shù)列是發(fā)散的？

（1）只要找到的兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的值

（2）找一個(gè)發(fā)散的子數(shù)列 13.必記極限

n!(1)lim?nn??n 01(2)linmn?n??(3)l?ixmxl?nx?0x(4)l?ixm?x?00114.函數(shù)f(x)在[a,b]有定義，且|f(x)|在[a,b]上可積，此時(shí)f(x)在[a,b]上的積分不一定存在 列如：

f(x)?15． 注意 1-1x為有理數(shù)

x為無(wú)理數(shù)若f'(a)?0，只能得到結(jié)論：f(x)在a點(diǎn)嚴(yán)格增加。即?x?(a??,a)有f(x)?f(a)?x?(a,a??)有f(x)?f(a);但不能得到結(jié)論：f(x)在U（a,?）內(nèi)單調(diào)增大15．

設(shè)f(x)=|x-a|g(x),其中g(shù)(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處可導(dǎo)?g(a)=0應(yīng)用：求函數(shù)f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可導(dǎo)的點(diǎn)顯然為1,216.函數(shù)取得極值的第二充分條件

設(shè)f(x)在x0處n階可導(dǎo)，且f'(x0)?f''(x0)?f'''(x0)????f(n?1)(x0)?0f(n)(x0)?0(2?n)(1)n?2k且f(n)(x0)?0?f(x0)為極大值(2)n?2k且f(n)(x0)?0?f(x0)為極小值(3)n=2k+117.拐點(diǎn)的第二充分條件

f(x0)不是極值點(diǎn)設(shè)f(x)在x0處n階可導(dǎo)（n>2且為奇數(shù)）

若f''(x)?f'''(x)????f則(x,f(x))為拐點(diǎn)0000(n?1)(x)?0，f0n()(x)0?0.用求導(dǎo)法判斷數(shù)列的單調(diào)性 設(shè)An?1?f(An),An?I若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增則：(1)(2)A2?A1{An}?A2?A1{An}?

注意：若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減則：?A2n?1?與?A2n?兩數(shù)列具有相反的單調(diào)性19.題目中如果出現(xiàn)f''(x)?0?f'(x)單調(diào) 20．ln(x?1?x2)?x(x?0)21． 無(wú)窮小小談

當(dāng)x?0時(shí)，有(1)當(dāng)0?n?m?xm?o(xn)(2)當(dāng)0?n?m?o(xm)?o(xn)?o(xn)o(xm)m?n(3)當(dāng)0?n?m??o(x)nx注意：兩個(gè)o()不可以相除(4)當(dāng)m,n?0?xm?o(xn)?o(xm?n)o(xm)?o(xn)?o(xm?n)22． 無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小之和與無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小之積一定都是無(wú)窮小嗎？？？？？

哈哈！顯然都是NO11111之和：lim(???????)1其中(有無(wú)窮多個(gè))n??nnnnn

kn之積：取?0(其中n??k,?1,2??,3)n!1n2n3nnnn(!)n顯然????1nn!n!n!n!n(!)23．反三角

(1)arctxa?n

1?arc?tanx2t,0?t??2

(2)arcsin(sint)???t,a2a1?2?t??24．

求A(b)??|x?b|dx的最小值a?a結(jié)論：當(dāng)b?12時(shí)21Amin(b)?(a1?a2)24

25.?ba(x?a?b)dx?0 226．?lnxdx??1

0101?27． x(1?x)dx??xn(1?x)mdx0191900mn1

作用：?x(1?x)dx??x(1?x)dx這下就好求了

第二篇：高數(shù)小結(jié)論

高數(shù)小結(jié)論

1． 等價(jià)無(wú)窮小（x→0）

(1).sinx?x?tanx?ex?1?ln[1?x]?arcsinx?arctanx1(2).1?cosx?x22(3).(1?x)a?1?ax(4).ax?1?xlnax(5).1?n1?x?nx(6).n1?x?1?n(7).loga(1?x)?0?x?2．

xlna0?|x|??2時(shí)?2時(shí)

sinx?x?tanx11?cosx?x22 3．如果limU?1,limV??則limU?eVlim(U?1)V4.f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)表示偶函數(shù)，表示奇函數(shù)

22直線L:y?kx?b為函數(shù)y?f(x)的漸近線的充分必要條件為：5． f(x)k?limb?lim[f(x)?kx]這里的?包括??和??x??x??x6． 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(記熟后解題快)(x)'?12x11()'??2xx(xx)'?xx(1?lnx)

7.關(guān)于n階導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)重要公式

n?)2n?(sinkx)(n)?knsin(x?)2(xn)(n)?n!(sinx)(n)?sin(x?(ex)(n)?ex1(n)(?1)nn!()?t?x(t?x)n?1n?)2n?(coskx)(n)?kncos(x?)2(ax)(n)?(ax)(lna)n

1(n)n!()?t?x(t?x)n?1(cosx)(n)?cos(x?[ln(t?x)](n)(?1)n?1(n?1)!?(t?x)n1(n)(?1)nn!n()?aax?b(ax?b)n?18.泰勒公式(用來(lái)求極限)

(ln(ax?b))(n)(?1)n?1(n?1)!?a(ax?b)nnx3x5x2x46sinx?x???o(x)cosx?1???o(x5)3!5!2!4!x2x3x2x3x3e?1?x???o(x)ln(1?x)?x???o(x3)2!3!23a(a?1)2a(a?1)(a?2)3(1?x)a?1?ax?x?x?o(x3)2!3!x31x tanx?x? ?o(x3)cotx???o(x)3x31?1arcsinx?x?x3?o(x3)arccosx??x?x3?o(x3)626x3arctanx?x??o(x3)321tan(tanx)?x?x3?o(x3)sin(sinx)?x?x3?o(x3)339． 重要不定積分

secxdx(secx)(2n?2)dx(secx)2nd(tanx)?(sinx)(2n?1)cosx??(sinx)2n?1??(sinx)(2n?1)??(tanx)(2n?1)(cosx)(2n?1)dx[1?(cotx)2]n?(cosx)(2n?1)sinx???(cotx)(2n?1)dcotx dx1xdx?tan?C ?1?cosx21?2dx?tanx?secx?C??C ?1?sinxx1?tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx?(tanx)dx?(tanx)22???(secx)1?(tanx)nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)?(cotx)dx??(cotx)(cscx)2dx???1?(cotx)2 nn?tanxdx??ln|cosx|?C ?cotxdx?ln|sinx|?C?secxdx?ln|secx?tanx|?C ?cscxdx?ln|cscx?cotx|?Cx1?sin2x?C24

x12(cox)dx??sin2x?C?242(sinx)dx??2(tanx)dx?tanx?x?C??(cotx)dx??cotx?x?C2

dx1x?arctan?C?x2?a2aadx22?x2?a2?ln|x?x?a|?C

dx1x?a?x2?a2?2aln|x?a|?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a??a2xx2a?xdx?arcsin?a?x2?C2a2 2ax2x2?a2dx??ln|x?x2?a2|?x?a2?C2222axeax?ecosbxdx?a2?b2(acosbx?bsinbx)?C axeaxesinbxdx?(asinbx?bcosbx)?C?a2?b210． y=sinwx(w>0)

它的半個(gè)周期與x軸圍成的面積為s=2/w

把它的半個(gè)周期分成三等分,中間的那部分面積為s’=1/w

顯然s=2s’

20w ?1S'??23?wsinwxdx?w3wS??wsinwxdx?11.定積分部分

（1）如果函數(shù)f（x）在[-a,a]上連續(xù)

????a?af(x)dx??[fx(?)f?x(dx)?]0a0(如果fx(為奇函數(shù))a0)2?f(xdx)如果(fx(為偶函數(shù))2)（2）??coskxdx???sinkxdx?0

??(coskx)dx???(sinkx)dx??

??????2 ?設(shè)k,l?N,且k?則,l:(3)

kx??cos?a?T?silnxd?x?T???coskxcol?sx?dx??T2T?2?sinkx?silnxdx0

(4).設(shè)f(x)是以周期為T的連續(xù)函數(shù)

(1).?af(x)dx??f(x)dx??0f(x)dx

(2).?a?nTaf(x)dx?n?f(x)dx0T(5).特殊積分

??

??0??e?udu?e?axdx?2?21(a?0)a0??w

(p?0,w?0)?0p2?w2??p?ptecoswtdt?(p?0,w?0)?0p2?w2??sinx?dx??0x2(6).關(guān)于三角函數(shù)定積分簡(jiǎn)化(注意：f(x)是定義在[0,1]上的函數(shù))e?ptsinwtdt?????n0(1)?20f(sinx)dx??20f(cosx)dx?0特別的?(sinx)dx??2(cosx)ndx20(2)?f(sinx)dx?2?2f(sinx)dx?2?2f(cosx)dx00??特別的?(sinx)dx?2?2(sinx)dx?2?2(cosx)ndx000??nn?(3)?(cosx)ndx?0?0?(n為奇數(shù))02?2(cosx)ndx0?（n為偶數(shù)）(n為奇數(shù))(4)?(5)?2?0(sinx)ndx?4?2(sinx)ndx0（n為偶數(shù)）(n為奇數(shù))2?0(cosx)ndx?0?4?2(cosx)ndx0（n為偶數(shù)）(6)?2?0(sinx)dx?n?2?0(cosx)ndx?0(7)?2(sinx)ndx?n?1n?3n?52.........(n為正奇數(shù))nn?2n?43n?1n?3n?51??.........(n為正偶數(shù))nn?2n?422

(8)?xf(sinx)dx?0??2??0f(sinx)dx11.圖像分段的函數(shù)不一定是分段函數(shù)（如y=1/x）分段函數(shù)的圖像也可以是一條不斷開的曲線（如y=|x|）

12.如何證明一個(gè)數(shù)列是發(fā)散的？

（1）只要找到的兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的值

（2）找一個(gè)發(fā)散的子數(shù)列 13.必記極限

(1)limn??n??n!?0nn(2)limnn?(3)limxlnx?0 ?x?0x(4)limx?1?x?0an(5)lim?0n??n!14.函數(shù)f(x)在[a,b]有定義，且|f(x)|在[a,b]上可積，此時(shí)f(x)在[a,b]上的積分不一定存在 列如：

f(x)?15． 注意 1-1x為有理數(shù)

x為無(wú)理數(shù)若f'(a)?0，只能得到結(jié)論：f(x)在a點(diǎn)嚴(yán)格增加。即?x?(a??,a)有f(x)?f(a)?x?(a,a??)有f(x)?f(a);但不能得到結(jié)論：f(x)在U（a,?）內(nèi)單調(diào)增大16．

設(shè)f(x)=|x-a|g(x),其中g(shù)(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處可導(dǎo)?g(a)=0應(yīng)用：求函數(shù)f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可導(dǎo)的點(diǎn)顯然為1,217.函數(shù)取得極值的第二充分條件

設(shè)f(x)在x0處n階可導(dǎo)，且f'(x0)?f''(x0)?f'''(x0)????f(n?1)(x0)?0f(n)(x0)?0(2?n)(1)n?2k且f(n)(x0)?0?f(x0)為極大值(2)n?2k且f(n)(x0)?0?f(x0)為極小值(3)n=2k+118.拐點(diǎn)的第二充分條件

f(x0)不是極值點(diǎn)設(shè)f(x)在x0處n階可導(dǎo)（n>2且為奇數(shù)）

若f''(x)?f'''(x)????f則(x,f(x))為拐點(diǎn)0000(n?1)(x)?0，f0n()(x)0?0

19.用求導(dǎo)法判斷數(shù)列的單調(diào)性

設(shè)An?1?f(An),An?I若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增則：(1)(2)A2?A1{An}?A2?A1{An}?

注意：若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減則：?A2n?1?與?A2n?兩數(shù)列具有相反的單調(diào)性20.題目中如果出現(xiàn)f''(x)?0?f'(x)單調(diào) 21．ln(x?1?x2)?x(x?0)22． 無(wú)窮小小談

當(dāng)x?0時(shí)，有(1)當(dāng)0?n?m?xm?o(xn)(2)當(dāng)0?n?m?o(xm)?o(xn)?o(xn)o(xm)m?n(3)當(dāng)0?n?m??o(x)nx注意：兩個(gè)o()不可以相除(4)當(dāng)m,n?0?xm?o(xn)?o(xm?n)o(xm)?o(xn)?o(xm?n)23． 無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小之和與無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小之積一定都是無(wú)窮小嗎？？？？？

哈哈！顯然都是NO11111之和：lim(???????)1其中(有無(wú)窮多個(gè))n??nnnnn

kn之積：取?0(其中n??k,?1,2??,3)n!1n2n3nnnn(!)n顯然????1nn!n!n!n!n(!)24．反三角

(1)arctxa?n

1?arc?tanx2t,0?t??2

(2)arcsin(sint)???t,a2a1?2?t??25．

求A(b)??|x?b|dx的最小值a?a結(jié)論：當(dāng)b?12時(shí)21Amin(b)?(a1?a2)24 26.?ba(x?a?b)dx?0 227．?lnxdx??1

0101?28．29． x(1?x)dx??xn(1?x)mdx0191900mn1

作用：?x(1?x)dx??x(1?x)dx若f(x)在[a,b]上可積則?f(x)dx??f(a?b?x)dxaabb這下就好求了1b?af(x)dx?2?a[f(x)?f(a?b?x)]dx

特別的當(dāng)a?0時(shí)，有如下推論：b（1）?f(x)dx??f(b?x)dx00bb1b（2）?0f(x)dx?2?0[f(x)?f(b?x)]dxb若f(x)在[a,b]上可積,則：30．?? ??111??11?0f(x)dx??0x2f(x)dx?2?0[f(x)?x2f(x)]dxf2(x)?C 31．?f(x)f'(x)dx?232．連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)且原函數(shù)連續(xù)，若f（x）是不連續(xù)的分段函數(shù)，則f（x）的原函數(shù)就一定不存在 33．

有極限?連續(xù)?

?可微?偏導(dǎo)連續(xù) ???有定義?偏導(dǎo)存在34．對(duì)

???0f(sinx)dx?2?2f(sinx)dx進(jìn)行推廣：0設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，且a?b?n?(n?0,1,2...)有以下結(jié)論：n?bf(sinx)dx?a?a2bn?b n為偶數(shù)xf(cosx)dx?f(cosx)dx?a?a2（2）若f(x)為偶函數(shù)，則（1）n為奇數(shù)bxf(sinx)dx?n?xf(sinx)dx??a2bn?xf(cosx)dx??a2b??babf(sinx)dxf(cosx)dxa35． 線、面積分中的對(duì)稱簡(jiǎn)化

（1）對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分設(shè)連續(xù)且分段光滑的平面線弧L關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)f(x,y)在L上有定義L 且連續(xù)，為x?0的半個(gè)區(qū)域，則：

2若f(-x,y)=f(x,y)s?2f(x,y)dsL?f(x,y)d?L2若f(-x,y)=-f(x,y)?Lf(x,y)d?s0例一I=?(xy?x2)ds,L為y=a2?x2L解：I=?(xy?x2)ds??xyds??x2ds?0?2?Lx2dsLLL2??2?2a2cos2??ad??0?2a3

例二3222I??(x?y)ds,L為x?y?R?L33解：I??(x?y)ds=xds+y（自己體會(huì)一下，為什么？）?????ds=0+0=0LLL（2）對(duì)坐標(biāo)的曲線積分A.設(shè)連續(xù)且分段光滑的平面有向曲線弧L關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)P(x,y)在L上有定義L 且連續(xù)，為x?0的半個(gè)區(qū)域，則：2若P(-x,y)=P(x,y)?P(x,y)dx?2?LP(x,y)dxL2若P(-x,y)=-P(x,y)例一?LP(x,y)dx?0I??xy(ydx?xdy),其中L為y?R2?x2,方向?yàn)閺淖蟮接襆LLLL解:I??xy(ydx?xdy)??xy2dx??x2ydy?0??x2ydy?0(這要用到下面B的結(jié)論)例二解： 2222222I???xydy,其中L為雙紐線的右半支：(x+y)=a(x-y),x?0的逆時(shí)針方向L

由于圖像關(guān)于x軸對(duì)稱，則I?0B.設(shè)連續(xù)且分段光滑的平面有向曲線弧L關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)P(x,y)在L上有定義且在左半平面部分L1與右半平面部分L2方向相反，則：若P(-x,y)=P(x,y)若P(-x,y)=-P(x,y)?LP(x,y)dy?0(上面講到的就是用的這個(gè)結(jié)論)L?P(x,y)dy?2?P(x,y)dyL1

注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個(gè)軸對(duì)稱就關(guān)于誰(shuí)的方向相反對(duì)于關(guān)于x軸對(duì)稱的情況就不寫了，其實(shí)是一個(gè)道理！一定要把A,B好好的比較看看兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系例一I??x|y|dx,其中L為y2?x上從A(1,?1)到B(1,1)的一段弧L解：L關(guān)于x軸對(duì)稱且方向相反且被積函數(shù)x|y|為y的偶函數(shù)故I=0例二I??dx?dy,其中ABCD是A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)為ABCD|x|?|y| 頂點(diǎn)的正方形的邊界線，方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向dxdy解：I??+?ABCD|x|?|y|ABCD|x|?|y|第一部分積分：曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，且方向相反，而函數(shù)是y的偶函數(shù)，故積分為0，同理第二部分積分也為0故I=0(3)對(duì)面積的曲面積分設(shè)分片光滑的曲面?關(guān)于yoz平面對(duì)稱，f(x,y,z)在?上連續(xù)，則有：當(dāng)f(-x,y,z)=-f(x,y,z)時(shí)，當(dāng)f(-x,y,z)=f(x,y,z)時(shí)對(duì)于關(guān)于zox,xoy的平面對(duì)稱有類似的性質(zhì)?1|x|?|y|?2是?中x?0的一半

???f(x,y,z)ds?0f(x,y,z)ds??f(x,y,z)ds=2???2例一I?2222(x?y?z)ds,其中為球面x?y?z?a上z?（h0

解：?關(guān)于xoz面對(duì)稱，故I???zxds?

(4)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分設(shè)分片光滑的曲面?關(guān)于yoz面對(duì)稱，函數(shù)p(x,y,z)在?上連續(xù)，一半，則：當(dāng)f(-x,y,z)=f(x,y,z)時(shí)，當(dāng)f(-x,y,z)=-f(x,y,z)時(shí)??2是?中x?0的

??f(x,y,z)dydz?0f(x,y,z)dydz=2??f(x,y,z)dydz??2??

例一I??的部分。??xyzdxdy,其中?是球面x2?y2?z2?1的外側(cè)在x?0,y?0解：?關(guān)于xoy面對(duì)稱，故I?例二2xyzdxdy?2xyzdxdy?????5??2

I=??x2dydz?y2dzdx?z2dxdy,其中?為曲線弧段z=y2(x?0,1?z?4)?繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的非封閉側(cè)。解：顯然曲面?關(guān)于yoz,zox面對(duì)稱，故I???z2dxdy?21??

36．輪換對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用舉例

1.設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，D對(duì)坐標(biāo)x,y具有輪換對(duì)稱性，則：??f(x,y)dxdy???f(y,x)dxdyDD

何為輪換對(duì)稱性：將x,y互換后D不變

例一I???(3x?2y)dxdy,其中D為x?y?2與兩坐標(biāo)軸圍成D解：D關(guān)于x,y具有輪換對(duì)稱性，則:I?例二I???(3x?2y)dxdy=D??(3y?2x)dxdy?D520

(x?y)dxdy?5xdxdy???2??3DDx2?y2?R2??(y2?x2)dxdy解：I?x2?y2?R2??(y2?x2)dxdy?x2?y2?R2??(x2?y2)dxdy??I,故I?02.設(shè)函數(shù)f(x,y,z)在空間有界閉區(qū)域?上連續(xù)，?對(duì)坐標(biāo)x,y具有輪換對(duì)稱性，則：???f(x,y,z)dv????f(y,x,z)dv??例一求???(x?y?z)dv,?為x?0,y?0,z?0,x2?y2?z2?R2?解：由于積分區(qū)域關(guān)于x,y,z具有輪換對(duì)稱性，則：???xdv=???ydv????zdv??????(x?y?z)dv?3???zdv???3?R416例二求I????(z?x2?y2)dv,?為z?x2?y2和z?（hh?0）圍成的區(qū)域?解：積分區(qū)域關(guān)于x,y具有輪換對(duì)稱性I????(z?x2?y2)dv????(z?y2?x2)dv???1?32zdv?h???2?3

3.設(shè)L是xoy面上一條光滑的曲線弧，L對(duì)坐標(biāo)x,y具有亂換對(duì)稱性，f(x,y)在L上連續(xù)，則：?f(x,y)ds??f(y,x)dsLL例一I???xds,L為星形線x?y?aL232323232323解：顯然L對(duì)x,y具有輪換對(duì)稱性，則：222511I??xds??yds??(x3?y3)ds?a3?ds?3a3????2L2LLL例二22222求?(x?z)ds,F是圓周x?y?z?R,x?y?z?0?F解：F關(guān)于x,y,z具有輪換對(duì)稱性，則：??xds=??yds=??zds,FFF2222??xds=??yds=??zdsFFF11R2222故?(x?z)ds??(x?y?z)ds??(x?y?z)ds????3F3F3F2?R3ds???3 F4.設(shè)L是xoy面上一條光滑的或者分段光滑的有向曲線弧，L對(duì)坐標(biāo)x,y具有輪換對(duì)稱性，f(x,y)在L上連續(xù)，則：?f(x,y)ds???f(y,x)dsLL

或者?f(x,y)ds+?f(y,x)ds=0LL例一I??ydx?xdy,L為x?y?R上A(R,0)到B(0,R)的一段弧L解：L對(duì)坐標(biāo)x,y具有輪換對(duì)稱性，故?ydx?xdy=0L例二2222I??ydx?ydx,L為雙紐線(x?y)?2axy位于第一象限部分?L2323

取逆時(shí)針方向解：L關(guān)于x,y具有輪換對(duì)稱性，則?ydx?xdy=0L23235.設(shè)?是光滑曲面或者分片光滑曲面，?對(duì)坐標(biāo)x,y具有輪換對(duì)稱性，f(x,y,z)在?上連續(xù)，則：f(x,y,z)ds???f(y,x,z)ds??11I???(x2?y2?z2)ds,?:x2?y2?z2?R224?解：??1111I???(x2?y2?z2)ds?(1??)??z2ds2424??1117?(1??)??(x2?y2?z2)ds??R42433?例二I?解：2222(ax?by?cz)ds,:x?y?z?R位于第一掛限部分??????例一???xds???yds???zds222???xds???yds???zds??

1I?(a?b?c)??zds??R3(a?b?c)4?6.設(shè)?是光滑曲面或者分片光滑曲面，?對(duì)坐標(biāo)x,y具有輪換對(duì)稱性，f(x,y,z)在?上連續(xù)，則：?

??f(x,y,z)dydz???f(y,x,z)dzdx?例一I??(0?z?h)的外側(cè)??(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy,?為z?x2?y2解：?關(guān)于x,y具有輪換對(duì)稱性，則：???(y?z)dydz=??(x?z)dxdz???所以I?0例二I???(x?y)dxdy???(y?x)dydx?0??xydydz?yzdzdx?zxdxdy,?為平面x?y?z?1位于第一掛限的外側(cè)?解：?關(guān)于x,y,z具有輪換對(duì)稱性，則：???xydydz???zydydx???zxdxdy??

1I?3??xydydz?8?37.廣義的羅爾定理

設(shè)f(x)滿足：(1)在區(qū)間(a,??)上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,??)內(nèi)可導(dǎo)(3)limf(x)?limf(x)?x?ax???則：???a使得f'(?)?038.需要記憶的反例

(1)(2)f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)f(x)?1f(x)?0x?0x?0在x?0點(diǎn)不可導(dǎo)應(yīng)用：設(shè)f(0)?0,則f(x)在x?0點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件為: f(1?cosh)f(1?eh)(A)lim存在(B)lim存在h?0h?0h2hf(h?sinh)f(2h)?f(h)(C)lim存在(D)lim存在h?0h?0h2h用(1)檢驗(yàn)AC,用(2)檢驗(yàn)D,答案為B(1)若???',???'且lim39.??1????1? 則：(???)?(?'??')(2)若???',???'且lim則：(???)?(?'??')

40.特別要注意的地方

設(shè)f(x)為(??,??)上的連續(xù)，函數(shù)F(x)為f(x)的一原函數(shù)，則：(1)f(x)為奇函數(shù)?f(x)任意原函數(shù)F(x)為偶函數(shù)(2)f(x)為偶函數(shù)?f(x)的原函數(shù)只有一個(gè)是奇函數(shù),即為?f(t)dt0x(3)f(x)任意原函數(shù)F(x)為周期函數(shù)?f(x)為周期函數(shù)(4)f(x)以T為周期的函數(shù)且?f(x)dx?0?f(x)任意原函數(shù)F(x)以T為周期0T

(5)函數(shù)的單調(diào)性與其原函數(shù)的單調(diào)性之間沒有邏輯上的因果關(guān)系

41.幾個(gè)極限之間的關(guān)系

1.若liman?an??則lim2.若liman?a且an?0n??a1?a2??an?an??n則limna1a2?an?an??n??3.若liman?a且an?0n??an?1n??則limnan?aan?an??an?1

但要注意：若limnan?a且an?0，不能推出lim反例：an?2(n為偶數(shù))=3(n為奇數(shù))

42.函數(shù)與其反函數(shù)圖像交點(diǎn)問題

函數(shù)與其反函數(shù)圖像交點(diǎn)有如下兩個(gè)結(jié)論：(1)設(shè)f(x)是增函數(shù)，其反函數(shù)為f?1(x)，如果這兩個(gè)函數(shù)圖像有交點(diǎn)，則交點(diǎn)必在函數(shù)y?x上(2)設(shè)f(x)是減函數(shù)，其反函數(shù)為f(x)，如果這兩個(gè)函數(shù)圖像有交點(diǎn)，則交點(diǎn)不一定都在函數(shù)y?x上例如：y??x?2,其反函數(shù)就是其本身

?1 43．階乘不等式

階乘不等式在極限證明中的應(yīng)用nn(1)設(shè)n為自然數(shù)，則()n?n!?e()ne2n!應(yīng)用：證明limn?0n??nne()nn!een!證明:n?2n?n,n??時(shí)，n?0，limn?0n??nnn22an證明lim?0(a為任意實(shí)數(shù))n??n!證明:a?0，顯然成立ane|a|ena?0,0?||?|an|()n?()n!nn|a|e|a|enn??時(shí)，?0,()?0nnan?根據(jù)夾逼準(zhǔn)則：lim?0n??n!(2)一些不常用的，可以記憶玩玩n1。設(shè)p?2且p為實(shí)常數(shù)，則n!?()pp2。當(dāng)n?4時(shí)，n!?(n)nn

3。當(dāng)n?2時(shí)，則n!?(lnn)lnn

44．中值定理

羅爾定理y?f(x)滿足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)f(a)?f(b)?在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?使得f'(?)?0注意：該定理的條件只是充分的，本定理可以推廣為：y?f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),lim?f(x)?lim?f(x)x?ax?b

?在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?使得f'(?)?0拉格朗日定理y?f(x)滿足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)?在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?使得f'(?)?柯西定理f(x)及F(x)滿足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)區(qū)間(a,b)內(nèi)F'(x)?0?在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?使得f(b)?f(a)f'(?)?F(b)?F(a)F'(?)

f(b)?f(a)b?a

45．需注意的地方

?可積與連續(xù)之間的關(guān)系1.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是可積的；2.可積函數(shù)不一定是連續(xù)的，但是一定有無(wú)窮多個(gè)處處稠密的連續(xù)點(diǎn)?可積與存在原函數(shù)之間的關(guān)系11.f(x)存在原函數(shù)，但其不一定可積，例如f(x)?,x?(0,??)x2.f(x)在[a,b]上可積，但f(x)不一定存在原函數(shù)，例如：

46．用泰勒公式分解既約分式

用泰勒公式分解既約真分式(以下只給出結(jié)論)設(shè)P(x)是既約真分式，Q(x)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)可以分解為(x?a1)n1(x?a2)n2?(x?ar)nr,則Q(x)其能唯一分解為：b11b12b1n1b21b22b2n2P(x)?[???]?[???]??Q(x)(x?a1)n1(x?a1)n1?1(x?a1)(x?a2)n2(x?a2)n2?1(x?a2)bi1bi2binibr1br2brnr?[???]??[???](x?ai)ni(x?ai)ni?1(x?a1)(x?ar)nr(x?ar)nr?1(x?ar)其中bij(i?1,2,?,r;j?1,2,?ni)都是待定的常數(shù)fi(j?1)(ai)P(x)j設(shè)fi(x)?,且bi?(x?a1)n1(x?a2)n2?(x?ai?1)ni?1(x?ai?1)ni?1?(x?ar)nr(j?1)!例一3x分成部分分式2(x?1)(x?1)3x3解：令f1(x)?,則f(1)?1(x?1)243x33f2(x)?,則f2'(?1)??,f2(?1)?x?1423x3121?=[??]22(x?1)(x?1)4x?1(x?1)x?12x?7將分成部分分式x(x?1)(x?3)2x?77解：f1(x)?,f1(0)??(x?1)(x?3)32x?79f2(x)?,f2(1)?x(x?3)42x?71f3(x)?,f3(?3)?x(x?1)122x?7791?=???x(x?1)(x?3)3x4(x?1)12(x?3)將9x3?24x2?48x將分成部分分式4(x?1)(x?2)9x3?24x2?48x解：f1(x)?,f1(?1)??1(x?2)4f''(2)9x3?24x2?48xf2(x)?,f2(2)?24,f2'(2)?12,2?6(x?1)2!f2'''(2)?13!9x3?24x2?48x1241261???????(x?1)(x?2)4x?1(x?2)4(x?2)3(x?2)2x?2例二由此可見此法對(duì)分母都是一次時(shí)特別簡(jiǎn)單例三 47．求不定積分的幾種特殊技巧

求定積分的幾種特殊技巧1.定義在對(duì)稱區(qū)間[a,b]上的任何函數(shù)都可以表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)表示偶函數(shù)，表示奇函數(shù)222.f(x)定義在對(duì)稱區(qū)間[a,-a]上f(x)為奇函數(shù)時(shí)，?f(x)dx?0?aaf(x)為偶函數(shù)時(shí)，?f(x)dx?2?f(x)dx?a0aa(1)求定積分?xln(1?ex)dx?22f(x)?f(?x)xln(1?ex)?xln(1?e?x)1?(x)???xln(1?ex)?x2表示奇函數(shù)22222221121212xxx2??2xln(1?e)dx=??2xln(1?e)?2x?2xdx???2[xln(1?e)?2x]dx???22xdx28?0??x2dx?03ln(x?1?x2)(2)求定積分?dx?11?x21ln(x?1?x2)值得注意的是一眼看去不是奇函數(shù)，實(shí)際求一下發(fā)現(xiàn)它是奇函數(shù)21?x3.巧用幾何意義求定積分求?ba(x?a)(b?x)dx(b?a)b?a2a?b2a?b)?(x?)是以(,0)為222b?a11b?a2?圓心，為半徑的上半圓，上半圓的面積為S=?r2??()?(b?a)222228解：被積函數(shù)f(x)?(x?a)(b?x)?(根據(jù)定積分的幾何意義，?(x?a)(b?x)dx?ab?(b?a)284.前面我面有這樣一個(gè)結(jié)論：?xf(sinx)dx?0ba???f(sinx)dx?02a?b對(duì)稱，則：2現(xiàn)在我們?cè)俳o出特殊一點(diǎn)的式子：?xf(x)dx??以下有結(jié)論：設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(x)關(guān)于x??baa?bbxf(x)dx?f(x)dx2?a

48．矩陣積分法

設(shè)ui?(ui?1)'vi??vi?1dx(i?1,2,?)函數(shù)序列一：u0,u1,u2,?un,?函數(shù)序列二：v0,v1,v2,?vn,?一.形如?xnsinaxdx的積分函數(shù)序列一：u0?xn,u1?nxn?1,?un?n!?1(?1)n?函數(shù)序列二：v0?sinax,v1?cosax,?vn?nsin[ax?n]aa2函數(shù)序列一和函數(shù)序列二作為矩陣的一二行，構(gòu)造一個(gè)輔助矩陣，就可以方便的求得結(jié)果求?(x3?2x?3)sin3xdxx3?2x?3?sin3x3x2?2?6x?6?01111?cosx?sin3xcos3xsin3x3927811111原式?(x3?2x?3)(?cosx)?(3x2?2)(?sin3x)?6x(cos3x)?6(sin3x)3927811(3x2?2)2x23??cos3x(x?2x?3)?sin3x?cos3x?sin3x?C39927注：按unvn?1規(guī)則進(jìn)行斜線相乘，每一項(xiàng)正負(fù)交替出現(xiàn)nax二.形如?xncosaxdx，?xedx的積分方法與上述一樣三.形如?eaxsinbxdx的積分函數(shù)序列一：u0?sinbx,u1?bcosbx,u2??b2sinbx?函數(shù)序列二：v0?eax,v1?求?e2xsin3xdx的積分sin3x?e2x原式?12xe23cos3x?12xe4

1ax1e,v2?2eax?aa?9sin3x12x11esin3x?e2x?3cos3x?(?1)2?2?(?9sin3x)?e2xdx244232x解方程解得：esin3xdx?(sin3x?cos3x)e2x?C?1313最后一項(xiàng)是(?1)n?2?u2v2dx,實(shí)際上n就取2,最后一項(xiàng)就是?u2v2dx49.函數(shù)的可積性與原函數(shù)存在性

定理1(1)：若f為[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則f在[a,b]上可積(2)：若f是[a,b]上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)，則f在[a,b]上可積(3)：若f是[a,b]上的單調(diào)函數(shù)則f在[a,b]上可積注：即使單調(diào)函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)間斷點(diǎn)，仍不失其可積性?0?如函數(shù)：f(x)??1??n在區(qū)間[0,1]上可積x?011?x?n?1nn?1,2,3........定理2若f為[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則f在[a,b]上的原函數(shù)存在定理3

(1)：若f在[a,b]上含有第一類間斷點(diǎn)，則f在[a,b]上不存在原函數(shù)(2)：若f在[a,b]上有無(wú)窮型間斷點(diǎn)，則f在[a,b]上不存在原函數(shù)(3)：若f在[a,b]上存在原函數(shù)，若f存在間斷點(diǎn)，則f在[a,b]上的間斷點(diǎn)是第二類的

50.函數(shù)性質(zhì)在原函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)之間的傳遞性

命題1有界不交互傳遞F(x)在有限空間(a,b)無(wú)界，f(x)必?zé)o界，反之不成立1反例：F(x)?xsin,x?(0，1)F(x)在(0，上有界1)x111則f(x)?sin?2cos在(0，1)上無(wú)界xxx

命題2單調(diào)不交互傳遞F(x)為凸性或凹性單調(diào)函數(shù)時(shí)，f(x)具有單調(diào)性 f(x)具有單調(diào)不變號(hào)性時(shí)，F(xiàn)(x)必有單調(diào)性命題3奇偶性 F(x)為奇(偶)，則f(x)為偶(奇)f(x)為奇(偶)，則F(x)為一偶函數(shù)?常數(shù)(一奇函數(shù)?常數(shù))命題4周期性

TF(x)以T為周期，f(x)以T為周期f(x)以T為周期且?f(x)dx?0?F(x)以T為周期0

第三篇：高數(shù)小結(jié)論a

高數(shù)小結(jié)論

1． 等價(jià)無(wú)窮小（x→0）

(1).sinx?x?tanx?ex?1?ln[1?x]?arcsinx?arctanx1(2).1?cosx?x22(3).(1?x)a?1?ax(4).ax?1?xlnax(5).1?n1?x?nx(6).n1?x?1?n(7).loga(1?x)?0?x?2．

xlna0?|x|??2時(shí)?2時(shí)

sinx?x?tanx11?cosx?x22 3．如果limU?1,limV??則limU?eVlim(U?1)V4.[f(x)+f(-x)]/2表示偶函數(shù)

[f(x)-f(-x)]/2表示奇函數(shù)

5．直線L：y=kx+b 為y=f(x)的漸近線的充分必要條件為：

k=lim f(x)/x(x→∞)

b=lim [f(x)-kx](x→∞)注意：這里的∞，包括+∞和-∞ 要分開討論 6． 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(記熟后解題快)

(√x)’=1/2√x

(1/x)’=-1/x^2

(x^x)’=(x^x)(1+lnx)

7.關(guān)于n階導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)重要公式

(sinx)^(n)=sin(x+nπ/2)

(cosx)^(n)=cos(x+nπ/2)

(sinkx)^(n)=k^nsin(kx+nπ/2)

(coskx)^(n)=k^ncos(kx+nπ/2)

(x^n)^(n)=n！

(a^x)^(n)=a^x(lna)^n

(e^x)^(n)=e^x

(1/t-x)^(n)=n！/(t-x)^(n+1)

(1/t+x)^(n)= n！(-1)^n/(t+x)^(n+1)

[ln(t+x)]^(n)=(n-1)！(-1)^(n-1)/(t+x)^n 8.泰勒公式(用來(lái)求極限)

sinx=x-x^3/3！+x^5/5！+o(x^6)

cosx=1-x^2/2！+x^4/4！+o(x^5)

e^x=1+x+x^2/2！+x^3/3！+o(x^3)

ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+o(x^3)

(1+x)^a=1+ax+[a(a-1)/2！]x^2+o(x^2)

tanx=x+(1/3)x^3+o(x^3)

arctanx=x-(1/3)x^3+o(x^3)

cotx=1/x –x/3+o(x)

tan(tanx)=x+(2/3)x^3+o(x^3)sin(sinx)=x-(1/3)x^3+o(x^3)9． 重要不定積分

secxdx(secx)(2n?2)dx(secx)2nd(tanx)?(sinx)(2n?1)cosx??(sinx)2n?1??(sinx)(2n?1)(cosx)(2n?1)??(tanx)(2n?1)dx[1?(cotx)2]n?(cosx)(2n?1)sinx???(cotx)(2n?1)dx dx1xdx?tan?C ?1?cosx21?2dx?tanx?secx?C??C ?1?sinxx1?tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx?(tanx)dx?(tanx)22???(secx)1?(tanx)nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)?(cotx)dx??(cotx)(cscx)2dx???1?(cotx)2 nn?tanxdx??ln|cosx|?C?cotxdx?ln|sinx|?C?secxdx?ln|secx?tanx|?C?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C x1?sin2x?C24x12(cox)dx??sin2x?C?242?(sinx)dx?2(tanx)dx?tanx?x?C??(cotx)2dx??cotx?x?Cdx1x?arctan?C?x2?a2aadx22?x2?a2?ln|x?x?a|?C

dx1x?a?x2?a2?2aln|x?a|?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a??a2xx2a?xdx?arcsin?a?x2?C2a2

2ax2x2?a2dx??ln|x?x2?a2|?x?a2?C2222axeax?ecosbxdx?a2?b2(acosbx?bsinbx)?C axeaxesinbxdx?(asinbx?bcosbx)?C?a2?b210． y=sinwx(w>0)

它的半個(gè)周期與x軸圍成的面積為s=2/w

把它的半個(gè)周期分成三等分,中間的那部分面積為s’=1/w

顯然s=2s’

20w ?1S'??23?wsinwxdx?w3wS??wsinwxdx?11.定積分部分

（1）如果函數(shù)f（x）在[-a,a]上連續(xù)

??a?af(x)dx??[fx(?)f?x(dx)?]0a0(如果fx(為奇函數(shù))a0)2?f(xdx)如果(fx(為偶函數(shù)))（2）

??coskxdx?0???sinkxdx?0 ???(coskx)^2dx?????(sinkx)^2dx???????

(3).設(shè)k,l?N?,且k?l,則??coskxsinlxdx?0????coskxcoslxdx?0??

??sinkxsinlxdx?0??(4).設(shè)f(x)是以周期為T的連續(xù)函數(shù)

(1).?a?Taf(x)dx??f(x)dx??0TT2T?2f(x)dx

(2).?a?nTaf(x)dx?n?f(x)dx0T(5).特殊積分

??

??0??e?udu?e?axdx?2?21(a?0)a0??w

(p?0,w?0)?0p2?w2??p?ptecoswtdt?(p?0,w?0)?0p2?w2??sinx?dx??0x2(6).關(guān)于三角函數(shù)定積分簡(jiǎn)化(注意：f(x)是定義在[0,1]上的函數(shù))e?ptsinwtdt??20

?20??(1?)f(sxindx)??f(2?)f(sxindx)?0(xcdxos)特別的??20x(dxsi?n?)20nxndx(cos)?0???n20n?0?0202fx(sdxin?)(co特別的s)??f2xdx20xdx?(s?in)xdx2??(s2inx)ndx2(cos)(3?)?0n(cxosdx)?(n為奇數(shù))?02?2(coxsndx)n(sxi)ndx?（n為偶數(shù)）(n為奇數(shù))(4?)2?0?04?2(sinx)ndx0（n為偶數(shù)）(n為奇數(shù))(5)?(cosx)ndx?02?2?0?4?2(cosx)ndx02?0（n為偶數(shù)）(6)?(sinx)ndx??(cosx)ndx0?0(7)?2(sinx)ndx?n?1n?3n?52.........(n為正奇數(shù))nn?2n?43n?1n?3n?51??.........(n為正偶數(shù))nn?2n?422(8)?xf(sinx)dx?0??2?0?f(sinx)dx

11.圖像分段的函數(shù)不一定是分段函數(shù)（如y=1/x）分段函數(shù)的圖像也可以是一條不斷開的曲線（如y=|x|）

12.如何證明一個(gè)數(shù)列是發(fā)散的？

（1）只要找到的兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的值

（2）找一個(gè)發(fā)散的子數(shù)列 13.必記極限

n!(1)lim?nn??n 01(2)linmn?n??(3)l?ixmxl?nx?0x(4)l?ixm?x?00114.函數(shù)f(x)在[a,b]有定義，且|f(x)|在[a,b]上可積，此時(shí)f(x)在[a,b]上的積分不一定存在 列如：

f(x)?15． 注意 1-1x為有理數(shù)

x為無(wú)理數(shù)若f'(a)?0，只能得到結(jié)論：f(x)在a點(diǎn)嚴(yán)格增加。即?x?(a??,a)有f(x)?f(a)?x?(a,a??)有f(x)?f(a);但不能得到結(jié)論：f(x)在U（a,?）內(nèi)單調(diào)增大16．

設(shè)f(x)=|x-a|g(x),其中g(shù)(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處可導(dǎo)?g(a)=0應(yīng)用：求函數(shù)f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可導(dǎo)的點(diǎn)顯然為1,217.函數(shù)取得極值的第二充分條件

設(shè)f(x)在x0處n階可導(dǎo)，且f'(x0)?f''(x0)?f'''(x0)????f(n?1)(x0)?0f(n)(x0)?0(2?n)(1)n?2k且f(n)(x0)?0?f(x0)為極大值(2)n?2k且f(n)(x0)?0?f(x0)為極小值(3)n=2k+118.拐點(diǎn)的第二充分條件

f(x0)不是極值點(diǎn)設(shè)f(x)在x0處n階可導(dǎo)（n>2且為奇數(shù)）

若f''(x)?f'''(x)????f則(x,f(x))為拐點(diǎn)0000(n?1)(x)?0，f0n()(x)0?0.用求導(dǎo)法判斷數(shù)列的單調(diào)性 設(shè)An?1?f(An),An?I若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增則：(1)(2)A2?A1{An}?A2?A1{An}?

注意：若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減則：?A2n?1?與?A2n?兩數(shù)列具有相反的單調(diào)性20.題目中如果出現(xiàn)f''(x)?0?f'(x)單調(diào) 21．ln(x?1?x2)?x(x?0)22． 無(wú)窮小小談

當(dāng)x?0時(shí)，有(1)當(dāng)0?n?m?xm?o(xn)(2)當(dāng)0?n?m?o(xm)?o(xn)?o(xn)o(xm)m?n(3)當(dāng)0?n?m??o(x)nx注意：兩個(gè)o()不可以相除(4)當(dāng)m,n?0?xm?o(xn)?o(xm?n)o(xm)?o(xn)?o(xm?n)23． 無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小之和與無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小之積一定都是無(wú)窮小嗎？？？？？

哈哈！顯然都是NO11111之和：lim(???????)1其中(有無(wú)窮多個(gè))n??nnnnn

kn之積：取?0(其中n??k,?1,2??,3)n!1n2n3nnnn(!)n顯然????1nn!n!n!n!n(!)24．反三角

(1)arctxa?n

1?arc?tanx2t,0?t??2

(2)arcsin(sint)???t,a2a1?2?t??25．

求A(b)??|x?b|dx的最小值a?a結(jié)論：當(dāng)b?12時(shí)21Amin(b)?(a1?a2)24

26.?ba(x?a?b)dx?0 227．?lnxdx??1

0101?28．29． x(1?x)dx??xn(1?x)mdx0191900mn1

作用：?x(1?x)dx??x(1?x)dx若f(x)在[a,b]上可積則?f(x)dx??f(a?b?x)dxaabb這下就好求了1b?af(x)dx?2?a[f(x)?f(b?x)]dx

特別的當(dāng)a?0時(shí)，有如下推論：b（1）?f(x)dx??f(b?x)dx00bb1b（2）?0f(x)dx?2?0[f(x)?f(b?x)]dxb若f(x)在[a,b]上可積,則：30．?? ??111??11?0f(x)dx??0x2f(x)dx?2?0[f(x)?x2f(x)]dxf2(x)?C 31．?f(x)f'(x)dx?232．連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)且原函數(shù)連續(xù)，若f（x）是不連續(xù)的分段函數(shù)，則f（x）的原函數(shù)就一定不存在 33．

有極限?連續(xù)?

?可微?偏導(dǎo)連續(xù) ???有定義?偏導(dǎo)存在34．對(duì)

???0f(sinx)dx?2?2f(sinx)dx進(jìn)行推廣：0設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，且a?b?n?(n?0,1,2...)有以下結(jié)論：n?bf(sinx)dx?a?a2bn?b n為偶數(shù)xf(cosx)dx?f(cosx)dx?a?a2（2）若f(x)為偶函數(shù)，則（1）n為奇數(shù)bxf(sinx)dx?n?xf(sinx)dx??a2bn?xf(cosx)dx??a2b??babf(sinx)dxf(cosx)dxa35． 線、面積分中的對(duì)稱簡(jiǎn)化

（1）對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分設(shè)連續(xù)且分段光滑的平面線弧L關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)f(x,y)在L上有定義L 且連續(xù)，為x?0的半個(gè)區(qū)域，則：

2若f(-x,y)=f(x,y)s?2f(x,y)dsL?f(x,y)d?L2若f(-x,y)=-f(x,y)?Lf(x,y)d?s0例一I=?(xy?x2)ds,L為y=a2?x2L解：I=?(xy?x2)ds??xyds??x2ds?0?2?Lx2dsLLL2??2?2a2cos2??ad??0?2a3

例二3222I??(x?y)ds,L為x?y?R?L33解：I??(x?y)ds=xds+y（自己體會(huì)一下，為什么？）?????ds=0+0=0LLL（2）對(duì)坐標(biāo)的曲線積分A.設(shè)連續(xù)且分段光滑的平面有向曲線弧L關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)P(x,y)在L上有定義L 且連續(xù)，為x?0的半個(gè)區(qū)域，則：2若P(-x,y)=P(x,y)?P(x,y)dx?2?LP(x,y)dxL2若P(-x,y)=-P(x,y)未完待續(xù)

?LP(x,y)dx?0

第四篇：高數(shù)小結(jié)論(完結(jié)版)

高數(shù)小結(jié)論

1． 等價(jià)無(wú)窮小（x→0）

(1).sinx?x?tanx?ex?1?ln[1?x]?arcsinx?arctanx1(2).1?cosx?x22(3).(1?x)a?1?ax(4).ax?1?xlnax(5).1?n1?x?nx(6).n1?x?1?n(7).loga(1?x)?0?x?2．

xlna0?|x|??2時(shí)?2時(shí)

sinx?x?tanx11?cosx?x22 3．如果limU?1,limV??則limU?eVlim(U?1)V4.f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)表示偶函數(shù)，表示奇函數(shù)

22直線L:y?kx?b為函數(shù)y?f(x)的漸近線的充分必要條件為：5． f(x)k?limb?lim[f(x)?kx]這里的?包括??和??x??x??x6． 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(記熟后解題快)(x)'?12x11()'??2xx(xx)'?xx(1?lnx)

7.關(guān)于n階導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)重要公式

n?)2n?(sinkx)(n)?knsin(x?)2(xn)(n)?n!(sinx)(n)?sin(x?(ex)(n)?ex1(n)(?1)nn!()?t?x(t?x)n?1n?)2n?(cosx)(n)?cos(x?)2(ax)(n)?(ax)(lna)n(cosx)(n)?cos(x?(1(n)n!)?t?x(t?x)n?1(n)

[ln(t?x)](?1)n?1(n?1)!?(t?x)n8.泰勒公式(用來(lái)求極限)x3x5x2x46sinx?x???o(x)cosx?1???o(x5)3!5!2!4!x2x3x2x3x3e?1?x???o(x)ln(1?x)?x???o(x3)2!3!23a(a?1)2a(a?1)(a?2)3(1?x)a?1?ax?x?x?o(x3)2!3!x31x tanx?x? ?o(x3)cotx???o(x)3x31?1arcsinx?x?x3?o(x3)arccosx??x?x3?o(x3)626x3arctanx?x??o(x3)321tan(tanx)?x?x3?o(x3)sin(sinx)?x?x3?o(x3)339． 重要不定積分

secxdx(secx)(2n?2)dx(secx)2nd(tanx)?(sinx)(2n?1)cosx??(sinx)2n?1??(sinx)(2n?1)(cosx)(2n?1)??(tanx)(2n?1)dx[1?(cotx)2]n?(cosx)(2n?1)sinx???(cotx)(2n?1)dx dx1xdx?tan?C ?1?cosx21?2dx?tanx?secx?C??C ?1?sinxx1?tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx?(tanx)dx?(tanx)???(secx)21?(tanx)2nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)?(cotx)dx??(cotx)(cscx)2dx???1?(cotx)2 nn?tanxdx??ln|cosx|?C ?cotxdx?ln|sinx|?C?secxdx?ln|secx?tanx|?C ?cscxdx?ln|cscx?cotx|?Cx1?sin2x?C24

x12(cox)dx??sin2x?C?242?(sinx)dx?2(tanx)dx?tanx?x?C??(cotx)dx??cotx?x?C2

dx1x?arctan?C?x2?a2aadx22?ln|x?x?a|?C?x2?a2

dx1x?a?x2?a2?2aln|x?a|?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a??a2xx2a?xdx?arcsin?a?x2?C2a2 2ax2x2?a2dx??ln|x?x2?a2|?x?a2?C2222axeax?ecosbxdx?a2?b2(acosbx?bsinbx)?C axeaxesinbxdx?(asinbx?bcosbx)?C22?a?b10． y=sinwx(w>0)

它的半個(gè)周期與x軸圍成的面積為s=2/w

把它的半個(gè)周期分成三等分,中間的那部分面積為s’=1/w

顯然s=2s’

20w ?1S'??23?wsinwxdx?w3wS??wsinwxdx?11.定積分部分

（1）如果函數(shù)f（x）在[-a,a]上連續(xù)

（2）??a?af(x)dx??[fx(?)f?x(dx)?]0a0(如果fx(為奇函數(shù))a0)2?f(xdx)如果(fx(為偶函數(shù)))??coskxdx?0???sinkxdx?0 ???(coskx)dx?????(sinkx)dx????2?2???設(shè)k,l?N,且k?則,l(3)??coskx??silnxd?xcolsxd?xsilnxd?x000

??coskx????sinkx??(4).設(shè)f(x)是以周期為T的連續(xù)函數(shù)

(1).?a?Taf(x)dx??f(x)dx??0TT2T?2f(x)dx

(2).?a?nTaf(x)dx?n?f(x)dx0T(5).特殊積分

??

??0??e?udu?e?axdx?2?21(a?0)a0??w

(p?0,w?0)?0p2?w2??p?ptecoswtdt?(p?0,w?0)?0p2?w2??sinx?dx??0x2(6).關(guān)于三角函數(shù)定積分簡(jiǎn)化(注意：f(x)是定義在[0,1]上的函數(shù))e?ptsinwtdt?????n0(1)?20f(sinx)dx??20f(cosx)dx?0特別的?(sinx)dx??2(cosx)ndx20(2)?f(sinx)dx?2?2f(sinx)dx?2?2f(cosx)dx00??特別的?(sinx)dx?2?(sinx)dx?2?2(cosx)ndx0200??nn?(3)?(cosx)ndx?0?0?(n為奇數(shù))02?2(cosx)ndx0?（n為偶數(shù)）(n為奇數(shù))(4)?(5)?2?0(sinx)ndx?4?2(sinx)ndx0（n為偶數(shù)）(n為奇數(shù))2?0(cosx)ndx?0?4?2(cosx)ndx0（n為偶數(shù)）(6)?2?0(sinx)ndx??2?0(cosx)ndx?0(7)?2(sinx)ndx?n?1n?3n?52.........(n為正奇數(shù))nn?2n?43n?1n?3n?51??.........(n為正偶數(shù))nn?2n?422

(8)?xf(sinx)dx?0??2??0f(sinx)dx11.圖像分段的函數(shù)不一定是分段函數(shù)（如y=1/x）分段函數(shù)的圖像也可以是一條不斷開的曲線（如y=|x|）

12.如何證明一個(gè)數(shù)列是發(fā)散的？

（1）只要找到的兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的值

（2）找一個(gè)發(fā)散的子數(shù)列 13.必記極限

(1)limn??n!?0nn

(2)limnn?1n??(3)limxlnx?0?x?0(4)limxx?1?x?014.函數(shù)f(x)在[a,b]有定義，且|f(x)|在[a,b]上可積，此時(shí)f(x)在[a,b]上的積分不一定存在 列如：

f(x)?15． 注意 1-1x為有理數(shù)

x為無(wú)理數(shù)若f'(a)?0，只能得到結(jié)論：f(x)在a點(diǎn)嚴(yán)格增加。即?x?(a??,a)有f(x)?f(a)?x?(a,a??)有f(x)?f(a);但不能得到結(jié)論：f(x)在U（a,?）內(nèi)單調(diào)增大16．

設(shè)f(x)=|x-a|g(x),其中g(shù)(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處可導(dǎo)?g(a)=0應(yīng)用：求函數(shù)f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可導(dǎo)的點(diǎn)顯然為1,217.函數(shù)取得極值的第二充分條件

設(shè)f(x)在x0處n階可導(dǎo)，且f'(x0)?f''(x0)?f'''(x0)????f(n?1)(x0)?0f(n)(x0)?0(2?n)(1)n?2k且f(n)(x0)?0?f(x0)為極大值(2)n?2k且f(n)(x0)?0?f(x0)為極小值(3)n=2k+118.拐點(diǎn)的第二充分條件

f(x0)不是極值點(diǎn)設(shè)f(x)在x0處n階可導(dǎo)（n>2且為奇數(shù)）

若f''(x)?f'''(x)????f則(x,f(x))為拐點(diǎn)0000(n?1)(x)?0，f0n()(x)0?0.用求導(dǎo)法判斷數(shù)列的單調(diào)性 設(shè)An?1?f(An),An?I若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增則：(1)(2)A2?A1{An}?A2?A1{An}?

注意：若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減則：?A2n?1?與?A2n?兩數(shù)列具有相反的單調(diào)性20.題目中如果出現(xiàn)f''(x)?0?f'(x)單調(diào) 21．ln(x?1?x2)?x(x?0)22． 無(wú)窮小小談

當(dāng)x?0時(shí)，有(1)當(dāng)0?n?m?xm?o(xn)(2)當(dāng)0?n?m?o(xm)?o(xn)?o(xn)o(xm)m?n(3)當(dāng)0?n?m??o(x)nx注意：兩個(gè)o()不可以相除(4)當(dāng)m,n?0?xm?o(xn)?o(xm?n)o(xm)?o(xn)?o(xm?n)23． 無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小之和與無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小之積一定都是無(wú)窮小嗎？？？？？

哈哈！顯然都是NO11111之和：lim(???????)1其中(有無(wú)窮多個(gè))n??nnnnn

kn之積：取?0(其中n??k,?1,2??,3)n!1n2n3nnnn(!)n顯然????1nn!n!n!n!n(!)24．反三角

(1)arctxa?n

1?arc?tanx2t,0?t??2

(2)arcsin(sint)???t,a2a1?2?t??25．

求A(b)??|x?b|dx的最小值a?a結(jié)論：當(dāng)b?12時(shí)21Amin(b)?(a1?a2)24

26.?ba(x?a?b)dx?0 227．?lnxdx??1

0101?28．29． x(1?x)dx??xn(1?x)mdx0191900mn1

作用：?x(1?x)dx??x(1?x)dx若f(x)在[a,b]上可積則?f(x)dx??f(a?b?x)dxaabb這下就好求了1b?af(x)dx?2?a[f(x)?f(b?x)]dx

特別的當(dāng)a?0時(shí)，有如下推論：b（1）?f(x)dx??f(b?x)dx00bb1b（2）?0f(x)dx?2?0[f(x)?f(b?x)]dxb若f(x)在[a,b]上可積,則：30．?? ??111??11?0f(x)dx??0x2f(x)dx?2?0[f(x)?x2f(x)]dxf2(x)?C 31．?f(x)f'(x)dx?232．連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)且原函數(shù)連續(xù)，若f（x）是不連續(xù)的分段函數(shù)，則f（x）的原函數(shù)就一定不存在 33．

有極限?連續(xù)?

?可微?偏導(dǎo)連續(xù) ???有定義?偏導(dǎo)存在34．對(duì)

???0f(sinx)dx?2?2f(sinx)dx進(jìn)行推廣：0設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，且a?b?n?(n?0,1,2...)有以下結(jié)論：n?bf(sinx)dx?a?a2bn?b n為偶數(shù)xf(cosx)dx?f(cosx)dx?a?a2（2）若f(x)為偶函數(shù)，則（1）n為奇數(shù)bxf(sinx)dx?n?xf(sinx)dx??a2bn?xf(cosx)dx??a2b??babf(sinx)dxf(cosx)dxa35． 線、面積分中的對(duì)稱簡(jiǎn)化

（1）對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分設(shè)連續(xù)且分段光滑的平面線弧L關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)f(x,y)在L上有定義L 且連續(xù)，為x?0的半個(gè)區(qū)域，則：

2若f(-x,y)=f(x,y)s?2f(x,y)dsL?f(x,y)d?L2若f(-x,y)=-f(x,y)?Lf(x,y)d?s0例一I=?(xy?x2)ds,L為y=a2?x2L解：I=?(xy?x2)ds??xyds??x2ds?0?2?Lx2dsLLL2??2?2a2cos2??ad??0?2a3

例二3222I??(x?y)ds,L為x?y?R?L33解：I??(x?y)ds=xds+y（自己體會(huì)一下，為什么？）?????ds=0+0=0LLL（2）對(duì)坐標(biāo)的曲線積分A.設(shè)連續(xù)且分段光滑的平面有向曲線弧L關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)P(x,y)在L上有定義L 且連續(xù)，為x?0的半個(gè)區(qū)域，則：2若P(-x,y)=P(x,y)?P(x,y)dx?2?LP(x,y)dxL2若P(-x,y)=-P(x,y)例一?LP(x,y)dx?0I??xy(ydx?xdy),其中L為y?R2?x2,方向?yàn)閺淖蟮接襆LLLL解:I??xy(ydx?xdy)??xy2dx??x2ydy?0??x2ydy?0(這要用到下面B的結(jié)論)例二解： 2222222I???xydy,其中L為雙紐線的右半支：(x+y)=a(x-y),x?0的逆時(shí)針方向L

由于圖像關(guān)于x軸對(duì)稱，則I?0B.設(shè)連續(xù)且分段光滑的平面有向曲線弧L關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)P(x,y)在L上有定義且在左半平面部分L1與右半平面部分L2方向相反，則：若P(-x,y)=P(x,y)若P(-x,y)=-P(x,y)?LP(x,y)dy?0(上面講到的就是用的這個(gè)結(jié)論)L?P(x,y)dy?2?P(x,y)dyL1

注意：這里的方向相反是指：關(guān)于哪個(gè)軸對(duì)稱就關(guān)于誰(shuí)的方向相反對(duì)于關(guān)于x軸對(duì)稱的情況就不寫了，其實(shí)是一個(gè)道理！一定要把A,B好好的比較看看兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系例一I??x|y|dx,其中L為y2?x上從A(1,?1)到B(1,1)的一段弧L解：L關(guān)于x軸對(duì)稱且方向相反且被積函數(shù)x|y|為y的偶函數(shù)故I=0例二I??dx?dy,其中ABCD是A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)為ABCD|x|?|y| 頂點(diǎn)的正方形的邊界線，方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向dxdy解：I??+?ABCD|x|?|y|ABCD|x|?|y|第一部分積分：曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，且方向相反，而函數(shù)是y的偶函數(shù)，故積分為0，同理第二部分積分也為0故I=0(3)對(duì)面積的曲面積分設(shè)分片光滑的曲面?關(guān)于yoz平面對(duì)稱，f(x,y,z)在?上連續(xù)，則有：當(dāng)f(-x,y,z)=-f(x,y,z)時(shí)，當(dāng)f(-x,y,z)=f(x,y,z)時(shí)對(duì)于關(guān)于zox,xoy的平面對(duì)稱有類似的性質(zhì)?1|x|?|y|?2是?中x?0的一半

???f(x,y,z)ds?0f(x,y,z)ds??f(x,y,z)ds=2???2例一I?2222(x?y?z)ds,其中為球面x?y?z?a上z?（h0

解：?關(guān)于xoz面對(duì)稱，故I???zxds?(4)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分設(shè)分片光滑的曲面?關(guān)于yoz面對(duì)稱，函數(shù)p(x,y,z)在?上連續(xù)，一半，則：當(dāng)f(-x,y,z)=f(x,y,z)時(shí)，當(dāng)f(-x,y,z)=-f(x,y,z)時(shí)??2是?中x?0的

??f(x,y,z)dydz?0f(x,y,z)dydz=2??f(x,y,z)dydz??2??例一I??的部分。??xyzdxdy,其中?是球面x2?y2?z2?1的外側(cè)在x?0,y?0解：?關(guān)于xoy面對(duì)稱，故I?例二2xyzdxdy?2xyzdxdy?????5??2

I=??x2dydz?y2dzdx?z2dxdy,其中?為曲線弧段z=y2(x?0,1?z?4)?繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的非封閉側(cè)。解：顯然曲面?關(guān)于yoz,zox面對(duì)稱，故I???z2dxdy?21??

36．輪換對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用舉例

1.設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，D對(duì)坐標(biāo)x,y具有輪換對(duì)稱性，則：??f(x,y)dxdy???f(y,x)dxdyDD

何為輪換對(duì)稱性：將x,y互換后D不變

例一I???(3x?2y)dxdy,其中D為x?y?2與兩坐標(biāo)軸圍成D解：D關(guān)于x,y具有輪換對(duì)稱性，則:I?例二I???(3x?2y)dxdy=D??(3y?2x)dxdy?D520

(x?y)dxdy?5xdxdy???2??3DDx2?y2?R2??(y2?x2)dxdy解：I?x2?y2?R2??(y2?x2)dxdy?x2?y2?R2??(x2?y2)dxdy??I,故I?02.設(shè)函數(shù)f(x,y,z)在空間有界閉區(qū)域?上連續(xù)，?對(duì)坐標(biāo)x,y具有輪換對(duì)稱性，則：???f(x,y,z)dv????f(y,x,z)dv??例一求???(x?y?z)dv,?為x?0,y?0,z?0,x2?y2?z2?R2?解：由于積分區(qū)域關(guān)于x,y,z具有輪換對(duì)稱性，則：???xdv=???ydv????zdv??????(x?y?z)dv?3???zdv???3?R416例二求I????(z?x2?y2)dv,?為z?x2?y2和z?（hh?0）圍成的區(qū)域?解：積分區(qū)域關(guān)于x,y具有輪換對(duì)稱性I????(z?x2?y2)dv????(z?y2?x2)dv???1?32zdv?h???2?3

3.設(shè)L是xoy面上一條光滑的曲線弧，L對(duì)坐標(biāo)x,y具有亂換對(duì)稱性，f(x,y)在L上連續(xù)，則：?f(x,y)ds??f(y,x)dsLL例一I???xds,L為星形線x?y?aL232323232323解：顯然L對(duì)x,y具有亂換對(duì)稱性，則：222511I??xds??yds??(x3?y3)ds?a3?ds?3a3????2L2LLL例二22222求?(x?z)ds,F是圓周x?y?z?R,x?y?z?0?F解：F關(guān)于x,y,z具有亂換對(duì)稱性，則：??xds=??yds=??zds,FFF2222??xds=??yds=??zdsFFF11R2222故?(x?z)ds??(x?y?z)ds??(x?y?z)ds????3F3F3F2?R3ds???3 F4.設(shè)L是xoy面上一條光滑的或者分段光滑的有向曲線弧，L對(duì)坐標(biāo)x,y具有輪換對(duì)稱性，f(x,y)在L上連續(xù)，則：?f(x,y)ds???f(y,x)dsLL

或者?f(x,y)ds+?f(y,x)ds=0LL例一I??ydx?xdy,L為x?y?R上A(R,0)到B(0,R)的一段弧L解：L對(duì)坐標(biāo)x,y具有輪換對(duì)稱性，故?ydx?xdy=0L例二2222I??ydx?ydx,L為雙紐線(x?y)?2axy位于第一象限部分?L2323

取逆時(shí)針方向解：L關(guān)于x,y具有輪換對(duì)稱性，則?ydx?xdy=0L23235.設(shè)?是光滑曲面或者分片光滑曲面，?對(duì)坐標(biāo)x,y具有輪換對(duì)稱性，f(x,y,z)在?上連續(xù)，則：f(x,y,z)ds???f(y,x,z)ds??11I???(x2?y2?z2)ds,?:x2?y2?z2?R224?解：??1111I???(x2?y2?z2)ds?(1??)??z2ds2424??1117?(1??)??(x2?y2?z2)ds??R42433?例二I?解：2222(ax?by?cz)ds,:x?y?z?R位于第一掛限部分??????例一???xds???yds???zds222???xds???yds???zds??

1I?(a?b?c)??zds??R3(a?b?c)4?6.設(shè)?是光滑曲面或者分片光滑曲面，?對(duì)坐標(biāo)x,y具有輪換對(duì)稱性，f(x,y,z)在?上連續(xù)，則：?

??f(x,y,z)dydz???f(y,x,z)dzdx?例一I??(0?z?h)的外側(cè)??(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy,?為z?x2?y2解：?關(guān)于x,y具有輪換對(duì)稱性，則：???(y?z)dydz=??(x?z)dxdz???所以I?0例二I???(x?y)dxdy???(y?x)dydx?0??xydydz?yzdzdx?zxdxdy,?為平面x?y?z?1位于第一掛限的外側(cè)?解：?關(guān)于x,y,z具有輪換對(duì)稱性，則：???xydydz???zydydx???zxdxdy??

1I?3??xydydz?8?

37.廣義的羅爾定理

設(shè)f(x)滿足：(1)在區(qū)間(a,??)上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,??)內(nèi)可導(dǎo)(3)limf(x)?limf(x)?x?ax???則：???a使得f'(?)?0

38.需要記憶的反例

(1)(2)f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)f(x)?1f(x)?0x?0x?0在x?0點(diǎn)不可導(dǎo)應(yīng)用：設(shè)f(0)?0,則f(x)在x?0點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件為: f(1?cosh)f(1?eh)(A)lim存在(B)lim存在2h?0h?0hhf(h?sinh)f(2h)?f(h)(C)lim存在(D)lim存在h?0h?0h2h用(1)檢驗(yàn)AC,用(2)檢驗(yàn)D,答案為B(1)若???',???'且lim39.??1????1? 則：(???)?(?'??')(2)若???',???'且lim則：(???)?(?'??')40.特別要注意的地方

設(shè)f(x)為(??,??)上的連續(xù)，函數(shù)F(x)為f(x)的一原函數(shù)，則：(1)f(x)為奇函數(shù)?f(x)任意原函數(shù)F(x)為偶函數(shù)(2)f(x)為偶函數(shù)?f(x)的原函數(shù)只有一個(gè)是奇函數(shù),即為?f(t)dt0x(3)f(x)任意原函數(shù)F(x)為周期函數(shù)?f(x)為周期函數(shù)(4)f(x)以T為周期的函數(shù)且?f(x)dx?0?f(x)任意原函數(shù)F(x)以T為周期0T

(5)函數(shù)的單調(diào)性與其原函數(shù)的單調(diào)性之間沒有邏輯上的因果關(guān)系

第五篇：考研高數(shù)全冊(cè)小結(jié)論

第一輪，目的：打好基礎(chǔ)。用書：教材，教材同步練習(xí)冊(cè)一本；教育部考試中心《數(shù)學(xué)考試參考書》

時(shí)間：2004年7月15日——9月底，其中7.15~8月底復(fù)習(xí)高數(shù)，主要用書為同濟(jì)四版的《高等數(shù)學(xué)》，按照大綱劃去不需要看的內(nèi)容，然后就是以3~4天為一個(gè)小周期，一個(gè)周期一章內(nèi)容；

第一天，看前面的講解，分析公式的推導(dǎo)，定理的應(yīng)用條件，結(jié)論，記憶公式，做書后習(xí)題。一定要做，拿出小本子，認(rèn)真地寫步驟，熟練之后可以不那么正規(guī)，可以節(jié)省時(shí)間，但最好標(biāo)清楚，以待今后復(fù)習(xí)時(shí)使用；而且積攢起來(lái)的厚厚的草紙本讓你有成就感；

第二天，完成書后全部的習(xí)題，最好配一本帶有書后題講解的書，同步練習(xí)，鞏固基礎(chǔ)； 第三天，做教育部的《數(shù)學(xué)考試參考書》，這本書的內(nèi)容很基礎(chǔ)，比教材略難（實(shí)際就是真題的難度和題型），做完。

根據(jù)不同章節(jié)的難度詳略自由調(diào)整這個(gè)小復(fù)習(xí)周期的長(zhǎng)短，做題時(shí)，在題號(hào)上做標(biāo)記，我采用幾種符號(hào)：

1，特別熟練，迅速準(zhǔn)確地做出來(lái)的題，打X，今后復(fù)習(xí)一帶而過； 2，一般熟練，了解思路，有部分小失誤，但今后可以避免的，打，3，有點(diǎn)困難，稍加提示就恍然大悟，并且今后遇到應(yīng)該不再錯(cuò)的，打一個(gè)O再劃X，4，比較困難，需要看提示才能正確解答的，甚至看提示也覺得吃力的，打一個(gè)O一道 5，非常困難，完全沒有思路，甚至看了答案都不知道怎么回事的，打O 每過1~2周左右，用一個(gè)小本子，把帶有O和Φ的題認(rèn)真抄一遍，反復(fù)總結(jié)，沒事就翻開看看，從陌生到熟悉，從熟悉到幾乎機(jī)械的記憶，看到10遍左右時(shí)，基本就徹底掌握了。這個(gè)總結(jié)方法可以讓你無(wú)論何時(shí)都對(duì)自己的水平有明確把握。每看一遍，不妨用不同顏色的筆寫下心得和疑問，下次再看到的時(shí)候，也許就迎刃而解了。

9月初~9月底，線性代數(shù)部分，用書：同濟(jì)四版《工程數(shù)學(xué) 線性代數(shù)》，配套書后題答案一本，同步練習(xí)一本，我用的是《線性代數(shù)習(xí)題集》史榮昌編，機(jī)械工業(yè)出版社，這里的題很多，但不少特別偏，難度遠(yuǎn)高于考研的線代難度，做過之后就有了居高臨下的感覺；做題方法和時(shí)間進(jìn)度安排同上；不贅述。

第一輪復(fù)習(xí)過后，應(yīng)該做到，所有的公式、定理、應(yīng)用條件熟練掌握，譬如定積分公式，應(yīng)該可以做到常用的擴(kuò)展公式和基本積分公式應(yīng)該不經(jīng)過大腦就可以機(jī)械地寫出來(lái)的程度。數(shù)學(xué)二的內(nèi)容少，第一輪復(fù)習(xí)2~2.5個(gè)月就夠了，如果是數(shù)學(xué)一，內(nèi)容多可以適當(dāng)延長(zhǎng)，最好不要超過4個(gè)月，這時(shí)遺忘的速度可能超過了復(fù)習(xí)的速度。實(shí)際上，我在2.個(gè)半月結(jié)束數(shù)學(xué)一輪時(shí)，剛開始看的題和公式就有點(diǎn)忘了，但沒關(guān)系，今后的復(fù)習(xí)逐步強(qiáng)化。

第二輪：復(fù)習(xí)目的：鞏固提高基礎(chǔ)知識(shí)，掌握一些技巧。用書：《二李復(fù)習(xí)全書》 時(shí)間：10月1日~10月20日。（時(shí)間僅為數(shù)學(xué)二參考，數(shù)學(xué)一用時(shí)可能會(huì)長(zhǎng)1倍）為了避免線性代數(shù)遺忘，先做線性代數(shù)部分，用時(shí)5天左右；所有的習(xí)題做一遍，注意是做，不是看；做不出來(lái)看解答。然后是高等數(shù)學(xué)部分，用時(shí)15天左右，最后用3~4天總結(jié)做題時(shí)畫O和Φ的。二李復(fù)習(xí)全書注重基礎(chǔ)，比教材略難，第一輪復(fù)習(xí)后的水平應(yīng)該可以比較順利地做出其中60%左右的題，20%有困難，20%不會(huì)。第二輪復(fù)習(xí)之后，按真題水平自測(cè)，應(yīng)該在100分左右。

第三輪，復(fù)習(xí)目的：強(qiáng)化復(fù)習(xí)，重點(diǎn)提高，做難題，達(dá)到居高臨下的效果。用書《陳文燈數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》 這本書總體感覺很偏，不適合作為考研用書，因此做了一些之后發(fā)現(xiàn)不用放太多精力在其上，尤其是線性代數(shù)，如果做完以上說(shuō)的那些書，你會(huì)發(fā)現(xiàn)陳的線代很多是低水平的重復(fù)。本書最好的地方個(gè)人認(rèn)為是高數(shù)的證明部分，很多題總結(jié)得都很充分，但不是所有的技巧都簡(jiǎn)練易懂，一些題如果結(jié)合二李復(fù)習(xí)全書的證明技巧會(huì)有豁然開朗、事半功倍的效果，非常好。比較偏的地方，比如微分算子，變態(tài)的不定積分，都沒有必要太重視。不定積分做到教材上書后題水平就差不多了。太偏的不用做。

時(shí)間安排：11月初~11月20日。其中線代用時(shí)4天，高數(shù)用14天，總結(jié)2天。

第四輪，復(fù)習(xí)目的：綜合，提高解題速度，全面找不足，查缺補(bǔ)漏。用書《二李400題》 本書感覺還是很基礎(chǔ)，計(jì)算量較大，題目難度一般。掐表按時(shí)完成，一天一套，3小時(shí)做題，1小時(shí)總結(jié)。可以全面檢測(cè)漏洞，再下一輪重點(diǎn)攻關(guān)。10套題，用時(shí)為10天。

此輪過后，我03真題自測(cè)水平在120~130左右。

第五輪，復(fù)習(xí)目的：根據(jù)上一輪的弱點(diǎn)重點(diǎn)突破。用書：我選的是《陳文燈題型集粹》

題目很多，不需要全做，正常來(lái)說(shuō)這時(shí)已經(jīng)比較疲勞，不愿意大量做題，太簡(jiǎn)單的就略過，做中等難度的就可以。時(shí)間：11月20日~11月末

第五輪：目的：防止被幾本書束縛思維，博采眾家之長(zhǎng)。用書：《二李超越135分》 時(shí)間：12月初~12月10日。此輪后看真題已經(jīng)沒有陌生感，也不覺得有難題了。

第六輪：大量的模擬訓(xùn)練。熟悉考試，鍛煉解題速度。用書：《考試蟲模擬8套卷》《東方飛龍 20套卷》

時(shí)間：12月10日~12月底

第七輪：1月1日~1月15日

半個(gè)月時(shí)間，認(rèn)真做真題，熟悉真題思路，矯正一些慣性思維，訓(xùn)練得分細(xì)節(jié)。

從難度上來(lái)說(shuō)，經(jīng)過了半年的磨練，看真題幾乎就是小兒科了，通常2小時(shí)10分鐘左右就可以做完，成績(jī)應(yīng)該在130~140左右（按數(shù)學(xué)二來(lái)算，數(shù)學(xué)一三四不了解，不敢妄談）。不應(yīng)該有不會(huì)的題，關(guān)鍵是如何盡可能地不丟細(xì)節(jié)分，答全最重要。因此，數(shù)學(xué)真題半個(gè)月足夠了。看近5年的題就可以了。時(shí)間充裕的話可以多看看。

考前6天左右

回歸基礎(chǔ)，看看基本題，看看教材，看看真題，調(diào)整狀態(tài)等待上戰(zhàn)場(chǎng)。

自我總結(jié)：復(fù)習(xí)時(shí)間191天，做過的習(xí)題有《教材》《二李復(fù)習(xí)全書》《陳文燈復(fù)習(xí)指南》《陳文燈題型集粹》《二李400題》《二李超越135》《教育部數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)參考書》《考試蟲8套卷》《東方飛龍20套》（沒做完）《歷年真題》總共做題量約7000~8000。

雖然今年數(shù)學(xué)讓我感到格外別扭，可能是計(jì)算量較大，平時(shí)做題時(shí)就容易犯低級(jí)錯(cuò)誤，考試時(shí)一緊張仍未避免最簡(jiǎn)單的計(jì)算錯(cuò)誤，考得可能也很慘，我始終覺得自己的復(fù)習(xí)沒有什么漏洞，重在總結(jié)，數(shù)學(xué)一定要?jiǎng)庸P做，決不可只看不做，只做不總結(jié)，只總結(jié)不想。對(duì)于在職考研和在校考研，時(shí)間不如我這么充裕，就更要注重總結(jié)的重要性了。做題量也未必需要這么多，但是一條原則要記住，數(shù)學(xué)一旦開始復(fù)習(xí)，絕對(duì)不可以中斷，不允許出現(xiàn)24小時(shí)之內(nèi)不碰數(shù)學(xué)的情況（當(dāng)然數(shù)學(xué)基礎(chǔ)特別好的除外），數(shù)學(xué)的手感很重要的。一天不做可能手就生了。