第一篇：考研高數全冊小結論
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文登精編的高數小結論
1． 等價無窮小（x→0）
(1).sinx?x?tanx?e?1?ln[1?x]?arcsinx?arctanx(2).1?cosx?ax12x2(3).(1?x)?1?ax(4).a?1?xlna(5).1?n1?x?(6).n1?x?1?xnxnxlna0?|x|?x
(7).loga(1?x)?0?x??2時?2時122．
x2sinx?x?tanx1?cosx?3．如果limU?1,limV??則limUV?elim(U?1)V
4.f(x)?f(?x)2f(x)?f(?x)表示偶函數，表示奇函數
2直線L:y?kx?b為函數y?f(x)的漸近線的充分必要條件為：5．k?limf(x)xx??b?lim[f(x)?kx]x??這里的?包括??和??
6． 常見函數的導數
(記熟后解題快)(x)'?12x11()'??2xx(x)'?x(1?lnx)
xx7.關于n階導數的幾個重要公式(sinx)(n)?sin(x?nn?2)n?2)(cosx)(n)?cos(x?nn?2)n?2)(sinkx)(x)(e)xn(n)(n)?ksin(x?(coskx)(a)(x(n)(n)?kcos(x?xn?n!?e(n)x?(a)(lna))(n)
n?1(n)1t?x?n!(t?x)(?1)n?1(1t?x)?(?1)n!(t?x)n?1n[ln(t?x)](n)?(n?1)!n(t?x)人人網2012年考研資源共享小組
http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 8.泰勒公式(用來求極限)sinx?x?e?1?x?axx33!x2??xx55!3?o(x)?o(x)x?236cosx?1?x2!2?xx4!24?o(x)x352!3!ln(1?x)?x?a(a?1)(a?2)3!x?o(x)cotx?1x?x3332?3?o(x)3(1?x)?1?ax?a(a?1)2!3 tanx?x?x33?o(x)16xx?o(x)333?o(x)?x?16x?o(x)33
arcsinx?x?arctanx?x?arccosx??2323?o(x)x?o(x)333tan(tanx)?x?sin(sinx)?x?13x?o(x)339． 重要不定積分
?(sinx)dx(2n?1)cosx??(sinx)secxdx2n?1??(secx)(2n?2)dx(sinx)(cosx)(2n?1)(2n?1)??(secx)2nd(tanx)(2n?1)
(tanx)?(cosx)1dx(2n?1)sinx???x2[1?(cotx)](cotx)(2n?1)2ndcotx
?1?cosxdx?tan?C
?1?sinxn1dx?tanx?secx?C??21?tanx2?C
?(tanx)dx??(cotx)n?(tanx)?(cotx)n(secx)(secx)(cscx)(cscx)22dx??(tanx)?nd(tanx)1?(tanx)n2
22dx?ndx??(cotx)d(cotx)1?(cotx)2
?tanxdx??ln|cosx|?C?cotxdx?ln|sinx|?C
?secxdx?ln|secx?tanx|?C?cscxdx?ln|cscx?cotx|?Cx2?14
?(sinx)dx??(cox)dx?22?14sin2x?Cx2
sin2x?C人人網2012年考研資源共享小組
http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 ?(tanx)dx?tanx?x?C?(cotx)22
dx??cotx?x?C?x??x?dx2?adx22?1aarctanxa?Cx?a|?C22x?adx22?ln|x?12aln|?adx22?x?ax?axa
|?Ca?x22?arcsin2?C???e?ea?xdx?222a2aarcsin2xa?x22a?x?C22
2x?adx??2e2ln|x?ax2x?a|?x2x?a?C22axcosbxdx?sinbxdx?a?be2ax(acosbx?bsinbx)?C
(asinbx?bcosbx)?Caxa?b210． y=sinwx(w>0)
它的半個周期與x軸圍成的面積為s=2/w
把它的半個周期分成三等分,中間的那部分面積為s’=1/w
顯然s=2s’
?S?S'??w0sinwxdx??2w1w
?3w2?3wsinwxdx?11.定積分部分
（1）如果函數f（x）在[-a,a]上連續
（2）a?aa0?f(x)dx??[fx(?)f?x(dx)?]0(如果fx(為)奇函數a0))2?f(xdx)如(果fx(為)偶函數??coskxdx?0????sinkxdx?0????(coskx)??
2dx??????(sinkx)dx??2人人網2012年考研資源共享小組
http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 ?設k,l?N,且k?則,l0(3)??coskx??silnxd?xcolsxd?xsilnxd?x??coskx??
00??sinkx?a?Ta?(4).設f(x)是以周期為T的連續函數
(1).?f(x)dx??T0Tf(x)dx?T0?2T?2f(x)dx
(2).?a?nTaf(x)dx?n?f(x)dx(5).特殊積分
??
??0??0??0??0??0eeee?u2du?dx?1a?2(a?0)wp?wpp?w2222?ax????ptsinwtdt?coswtdt?dx?(p?0,w?0)(p?0,w?0)
?ptsinxx?2(6).關于三角函數定積分簡化(注意：f(x)是定義在[0,1]上的函數)????(1)?20f(sinx)dx??20f(cosx)dx?20特別的??2020(sinx)dx??n20(cosx)dxn(2)??0f(sinx)dx?2??nf(sinx)dx?2??20nf(cosx)dx?20特別的?(sinx)dx?2?0(sinx)dx?2?(cosx)dxn(3)?(cosx)dx?0?n0?(n為奇數)202?(4)?2?0(cosx)dxn（n為偶數）(n為奇數)(sinx)dx?n0?4?(5)?2?020(sinx)dxn（n為偶數）(n為奇數)(cosx)dx?n0?4?(6)?(7)?2?020(cosx)dxnn（n為偶數）(sinx)dx?(sinx)dx??nn?2?0(cosx)dx..................231?22(n為正奇數)?20n?1n?3n?5nnn?2n?4n?2n?4n?1n?3n?5
(n為正偶數)(8)??0xf(sinx)dx??2??0f(sinx)dx人人網2012年考研資源共享小組
http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 11.圖像分段的函數不一定是分段函數（如y=1/x）分段函數的圖像也可以是一條不斷開的曲線（如y=|x|）
12.如何證明一個數列是發散的？
（1）只要找到的兩個子數列收斂于不同的值
（2）找一個發散的子數列 13.必記極限
(1)limn??n!nnn?0(2)limx?0n??n?(3)limxlnx?0
?(4)lim?x?1x?0x(5)limann??n!?014.函數f(x)在[a,b]有定義，且|f(x)|在[a,b]上可積，此時f(x)在[a,b]上的積分不一定存在 列如：
f(x)?15． 注意
若f'(a)?0，只能得到結論：f(x)在a點嚴格增加。即?x?(a??,a)有f(x)?f(a)?x?(a,a??)有f(x)?f(a);但不能得到結論：f(x)在U（a,?）內單調增大1-1x為有理數x為無理數
16．設f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a處連續，則f(x)在x=a處可導?g(a)=0應用：求函數f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x-3x+2)的可導的點顯然為1,22
17.函數取得極值的第二充分條件
設f(x)在x0處n階可導，且f'(x0)?f''(x0)?f'''(x0)????ff(n)(n?1)(x0)?0(x0)?0(2?n)(n)(1)n?2k且f(2)n?2k且f(3)n=2k+1(x0)?0?f(x0)為極大值(x0)?0?f(x0)為極小值f(x0)不是極值點
(n)18.拐點的第二充分條件
設f(x)在x0處n階可導（n>2且為奇數）
若f''(x0)?f'''(x0)????f則(x0,f(x0))為拐點(n?1)(x)0?0，fn((x)0?0)19.用求導法判斷數列的單調性 人人網2012年考研資源共享小組
http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 設An?1?f(An),An?I則：(1)(2)A2?A1A2?A1若f(x)在區間I上單調遞增{An}?{An}?
注意：若f(x)在區間I上單調遞減則：?A2n?1?與?A2n?兩數列具有相反的單調性20.題目中如果出現f''(x)?0?f'(x)單調 21．ln(x?1?x2)?x22． 無窮小小談
當x?0時，有(1)當0?n?m?xmn(x?0)
?o(x)mnn(2)當0?n?m?o(x)?o(x)?o(x)(3)當0?n?m?o(x)xmnm?o(xm?n)
注意：兩個o()不可以相除(4)當m,n?0?x?o(x)?o(xmnnm?n))o(x)?o(x)?o(xm?n23． 無窮個無窮小之和與無窮個無窮小之積一定都是無窮小嗎？？？？？
哈哈！顯然都是NO111之和：lim(??????n??nnn1n?)1其(中1有無窮多個n))
之積：取knn!1?0n(其中n??k,?3n1,2?,?3n
!)顯然????1nn!n!n!n!n(!)2nnnn(24．反三角
(1)arctxa?n1?arc?tanx2t(2)arcsin(sint)?,0?t?
?2
??t求A(b)?,?2?t??25．
?a2a1|x?b|dx的最小值a1?a22時Amin(b)?14
(a1?a2)2結論：當b? 人人網2012年考研資源共享小組
http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 ba26.?(x?a?b2)dx?0
27．?lnxdx??1
0128．?10x(1?x)dx?19mn?10x(1?x)dxnm作用：?x(1?x)dx?0?10
x(1?x)dx9這下就好求了29．
若f(x)在[a,b]上可積則?f(x)dx?abba?1f(a?b?x)dxba?baf(x)dx?2??[f(x)?f(a?b?x)]dx特別的當a?0時，有如下推論：（1）?f(x)dx?0bb0
f(b?x)dx（2）?f(x)dx?0b12?b0[f(x)?f(b?x)]dx若f(x)在[a,b]上可積,則：30．???0f(x)dx????01x211f()dx?x2?C
???0[f(x)?1x2 1f()]dxx31．?f(x)f'(x)dx?f(x)2232．連續函數必有原函數且原函數連續，若f（x）是不連續的分段函數，則f（x）的原函數就一定不存在 33．
有極限?連續??可微?偏導連續 ?
??有定義?偏導存在34．對
??0?f(sinx)dx?2?20f(sinx)dx進行推廣：設f(x)在[0,1]上連續，且a?b?n?(n?0,1,2...)有以下結論：人人網2012年考研資源共享小組
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n?2n?2（1）n為奇數 n為偶數?babaxf(sinx)dx?xf(cosx)dx??babaf(sinx)dxf(cosx)dx??（2）若f(x)為偶函數，則
??baxf(sinx)dx?xf(cosx)dx?n?2n?2??babf(sinx)dxf(cosx)dxbaa35． 線、面積分中的對稱簡化
（1）對弧長的曲線積分設連續且分段光滑的平面線弧L關于y軸對稱，函數f(x,y)在L上有定義L 且連續，為x?0的半個區域，則：2若f(-x,y)=f(x,y)若f(-x,y)=-f(x,y)例一2
?Lf(x,y)d?sf(x,y)d?s22?2L2f(x,y)ds?2L0I=?(xy?x)ds,L為y=a?xLLL解：I=?(xy?x)ds??xyds??xds?0?2?LxdsL222??2?2acos??ad??022?22a3
2例二I???L(x?y)ds,L為x?y?R32解：I???L(x?y)ds=?0自己體會一下，為什么？）?xds+??yds=0+0=（LL33（2）對坐標的曲線積分A.設連續且分段光滑的平面有向曲線弧L關于y軸對稱，函數P(x,y)在L上有定義L且連續，為x?0的半個區域，則：2若P(-x,y)=P(x,y)若P(-x,y)=-P(x,y)例一解:I?例二解：I?
?LP(x,y)dx?2?LP(x,y)dx2L?P(x,y)dx?0R?x,方向為從左到右22?Lxy(ydx?xdy),其中L為y?22LL?Lxy(ydx?xdy)??xydx??xydy?0??Lxydy?0(這要用到下面B的結論)2222222
I???Lxydy,其中L為雙紐線的右半支：(x+y)=a(x-y),x?0的逆時針方向2由于圖像關于x軸對稱，則I?0 人人網2012年考研資源共享小組
http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 B.設連續且分段光滑的平面有向曲線弧L關于y軸對稱，函數P(x,y)在L上有定義且在左半平面部分L1與右半平面部分L2方向相反，則：若P(-x,y)=P(x,y)若P(-x,y)=-P(x,y)?LP(x,y)dy?0(上面講到的就是用的這個結論)L?P(x,y)dy?2?P(x,y)dyL1
注意：這里的方向相反是指：關于哪個軸對稱就關于誰的方向相反對于關于x軸對稱的情況就不寫了，其實是一個道理！一定要把A,B好好的比較看看兩者之間的區別與聯系例一I??Lx|y|dx,其中L為y?x上從A(1,?1)到B(1,1)的一段弧2解：L關于x軸對稱且方向相反且被積函數x|y|為y的偶函數故I=0例二I??dx?dyABCD|x|?|y|,其中ABCD是A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)為頂點的正方形的邊界線，方向為逆時針方向解：I?
?dxABCD|x|?|y|+?dyABCD|x|?|y|1|x|?|y|第一部分積分：曲線關于x軸對稱，且方向相反，而函數是y的偶函數，故積分為0，同理第二部分積分也為0故I=0(3)對面積的曲面積分設分片光滑的曲面?關于yoz平面對稱，f(x,y,z)在?上連續，則有：當f(-x,y,z)=-f(x,y,z)時，當f(-x,y,z)=f(x,y,z)時?2是?中x?0的一半????f(x,y,z)ds?0f(x,y,z)ds=2
?????2f(x,y,z)ds對于關于zox,xoy的平面對稱有類似的性質例一I????(x?y?z)ds,其中?為球面x?y?z?a上z?（h0 解：?關于xoz面對稱，故I?a4?人人網2012年考研資源共享小組 http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 (4)對坐標的曲面積分設分片光滑的曲面?關于yoz面對稱，函數p(x,y,z)在?上連續，一半，則：當f(-x,y,z)=f(x,y,z)時，當f(-x,y,z)=-f(x,y,z)時?2是?中x?0的 ????f(x,y,z)dydz?0f(x,y,z)dydz=2?????2f(x,y,z)dydz 例一I????xyzdxdy,其中?是球面x?y?z?1的外側在x?0,y?0222的部分。解：?關于xoy面對稱，故I??例二I=??xyzdxdy?2???2xyzdxdy?25 2???xdydz?ydzdx?zdxdy,其中?為曲線弧段z=y(x?0,1?z?4)222繞z軸旋轉所成的旋轉曲面的非封閉側。解：顯然曲面?關于yoz,zox面對稱，故I???zdxdy?21??2 36．輪換對稱性在積分計算中的應用舉例 1.設函數f(x,y)在有界閉區域D上連續，D對坐標x,y具有輪換對稱性，則：??Df(x,y)dxdy???Df(y,x)dxdy 何為輪換對稱性：將x,y互換后D不變 例一I???(3x?2y)dxdy,其中D為x?y?2與兩坐標軸圍成D解：D關于x,y具有輪換對稱性，則:I?例二I?2??(3x?2y)dxdy=D??(3y?2x)dxdy?D52??(x?y)dxdy?5??xdxdy?DD203 ??22(y?x)dxdy222x?y?R解：I???2(y?x)dxdy?2222??2(x?y)dxdy??I,故I?0222x?y?Rx?y?R人人網2012年考研資源共享小組 http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 2.設函數f(x,y,z)在空間有界閉區域?上連續，?對坐標x,y具有輪換對稱性，則：????f(x,y,z)dv?????f(y,x,z)dv2222例一求???(x?y?z)dv,?為x?0,y?0,z?0,x?y?z?R?解：由于積分區域關于x,y,z具有輪換對稱性，則：???xdv=???ydv????zdv??????(x?y?z)dv?3???zdv???223162?R24例二求I?hh?0）圍成的區域???(z?x?y)dv,?為z?x?y和z?（?解：積分區域關于x,y具有輪換對稱性I????(z?x?y)dv??22???(z?y?x)dv??2212???2zdv???3h3 3.設L是xoy面上一條光滑的曲線弧，L對坐標x,y具有亂換對稱性，f(x,y)在L上連續，則：?Lf(x,y)ds??Lf(y,x)ds22232例一I???xL3ds,L為星形線x?y3?a3解：顯然L對x,y具有輪換對稱性，則：223ds???yds?L2I?例二??xL31232(x??2L2?y3)ds?22122253a3??ds?3aL求??(x?z)ds,F是圓周x?y?z?R,x?y?z?0F解：F關于x,y,z具有輪換對稱性，則：??xds=??yds=??zds,F2FF222??xds=??yds=??zdsFFF2故??(x?z)ds?F13??(xF2?y?z)ds?213??(x?y?z)ds?FR23??ds?F2?R33 4.設L是xoy面上一條光滑的或者分段光滑的有向曲線弧，L對坐標x,y具有輪換對稱性，f(x,y)在L上連續，則：?LLf(x,y)ds???f(y,x)dsL 或者?f(x,y)ds+?f(y,x)ds=0L人人網2012年考研資源共享小組 http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 例一I??ydx?xdy,L為x?y?R上A(R,0)到B(0,R)的一段弧LL222222解：L對坐標x,y具有輪換對稱性，故?ydx?xdy=0例二I?33??ydx?ydx,L為雙紐線(x?y)?2axy位于第一象限部分L 取逆時針方向22解：L關于x,y具有輪換對稱性，則?y3dx?x3dy=0L5.設?是光滑曲面或者分片光滑曲面，?對坐標x,y具有輪換對稱性，f(x,y,z)在?上連續，則：?例一??f(x,y,z)ds???f(y,x,z)ds?I??解：??(x?212y?214z)ds,?:x?y?z?R222222?I???xds?2?(x?122??yds?14?22??zds1214732???12y?z)ds?(1??)??zds?2?(1?例二I?解：?11)43???(x?y?z)ds?222222?R24???(ax?by?cz)ds,?:x?y?z?R位于第一掛限部分xds???????yds????zds14 I?(a?b?c)??zds???R(a?b?c)36.設?是光滑曲面或者分片光滑曲面，?對坐標x,y具有輪換對稱性，f(x,y,z)在?上連續，則：? ??f(x,y,z)dydz???f(y,x,z)dzdx?人人網2012年考研資源共享小組 http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 例一I????(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy,?為z?x?y22(0?z?h)的外側解：?關于x,y具有輪換對稱性，則：????(y?z)dydz=??(x?z)dxdz????(x?y)dxdy???(y?x)dydx?0??xydydz?yzdzdx?zxdxdy,?為平面x?y?z?1位于第一掛限的外側所以I?0例二I??解：?關于x,y,z具有輪換對稱性，則：???xydydz????zydydx?18???zxdxdyI?3??xydydz?? 37.廣義的羅爾定理 設f(x)滿足：(1)在區間(a,??)上連續(2)在區間(a,??)內可導(3)lim?f(x)?limf(x)x?ax??? 則：???a使得f'(?)?038.需要記憶的反例 (1)(2)f(x)?|x|在x?0處不可導f(x)?1f(x)?0x?0x?0在x?0點不可導應用：設f(0)?0,則f(x)在x?0點處可導的充分必要條件為:(A)lim(C)limf(1?cosh)hh2存在存在h?0(B)limf(1?e)hhh存在存在h?0f(h?sinh)2h?0(D)limf(2h)?f(h)h?0用(1)檢驗AC,用(2)檢驗D,答案為B人人網2012年考研資源共享小組 http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707(1)若???',???'且lim則：(???)?(?'??')(2)若???',???'且lim則：(???)?(?'??')?????139.??1 40.特別要注意的地方 設f(x)為(??,??)上的連續，函數F(x)為f(x)的一原函數，則：(1)f(x)為奇函數?f(x)任意原函數F(x)為偶函數(2)f(x)為偶函數?f(x)的原函數只有一個是奇函數,即為?f(t)dt0x(3)f(x)任意原函數F(x)為周期函數?f(x)為周期函數(4)f(x)以T為周期的函數且?T0 f(x)dx?0?f(x)任意原函數F(x)以T為周期(5)函數的單調性與其原函數的單調性之間沒有邏輯上的因果關系 41.幾個極限之間的關系 1.若liman?an??則lima1?a2??annnn???a2.若liman?a且an?0n??則lim則limn??na1a2?an?aan?aanan?1?a3.若limanan?1n???a且an?0nn?? n??但要注意：若limn??an?a且an?0，不能推出lim反例：an?2(n為偶數)=3(n為奇數) 42.函數與其反函數圖像交點問題 函數與其反函數圖像交點有如下兩個結論：(1)設f(x)是增函數，其反函數為f(x)，如果這兩個函數圖像有交點，則交點必在函數y?x上(2)設f(x)是減函數，其反函數為f(x)，如果這兩個函數圖像有交點，則交點不一定都在函數y?x上例如：y??x?2,其反函數就是其本身?1?1 人人網2012年考研資源共享小組 http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 43．階乘不等式 階乘不等式在極限證明中的應用(1)設n為自然數，則(應用：證明limn!nnnnnn)?n!?e()e2n???0nne()n!n!2?e,n??時，e?0，證明:n?lim?0nnnnn??nn22n證明limann??n!?0(a為任意實數)證明:a?0，顯然成立a?0,0?|aen|a|enn|?|a|()?()n!nnn|a|e|a|enn??時，?0,()?0nn?根據夾逼準則：lim(2)一些不常用的，可以記憶玩玩1設p?2且p為實常數，則n!?(2當n?4時，n!?(n)。nlnn。ann??n!n?0np)p 3當n?2時，則n!?(lnn) 44．中值定理 人人網2012年考研資源共享小組 http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 羅爾定理y?f(x)滿足:(1)在區間[a,b]上連續(2)區間(a,b)內可導(3)f(a)?f(b)?在區間(a,b)內至少存在一點?使得f'(?)?0注意：該定理的條件只是充分的，本定理可以推廣為：y?f(x)在區間(a,b)內可導,lim?f(x)?lim?f(x)x?ax?b ?在區間(a,b)內至少存在一點?使得f'(?)?0拉格朗日定理y?f(x)滿足:(1)在區間[a,b]上連續(2)區間(a,b)內可導?在區間(a,b)內至少存在一點?使得f'(?)?f(b)?f(a)b?a 柯西定理f(x)及F(x)滿足:(1)在區間[a,b]上連續(2)區間(a,b)內可導(3)區間(a,b)內F'(x)?0?在區間(a,b)內至少存在一點?使得f(b)?f(a)F(b)?F(a)?f'(?)F'(?) 45．需注意的地方 ?可積與連續之間的關系1.閉區間上的連續函數一定是可積的；2.可積函數不一定是連續的，但是一定有無窮多個處處稠密的連續點?可積與存在原函數之間的關系1.f(x)存在原函數，但其不一定可積，例如f(x)?1x,x?(0,??) 2.f(x)在[a,b]上可積，但f(x)不一定存在原函數，例如： 人人網2012年考研資源共享小組 http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 46．用泰勒公式分解既約分式 用泰勒公式分解既約真分式(以下只給出結論)設P(x)Q(x)是既約真分式，Q(x)在復數范圍內可以分解為(x?a1)1(x?a2)2?(x?ar)r,則nnn其能唯一分解為：P(x)Q(x)?[b11n1(x?a1)bi1?b12n1?1(x?a1)bi2??b1n1(x?a1)bini]?[b21n21nr(x?a2)?b22n2?12nr?1(x?a2)???b2n2(x?a2)br]???[j(x?ai)ni?(x?ai)ni?1??(x?a1)]??[brbrnr(x?ar)(x?ar)??(x?ar)]其中bi(i?1,2,?,r;j?1,2,?ni)都是待定的常數設fi(x)?例一P(x)(x?a1)1(x?a2)2?(x?ai?1)將3x(x?1)(x?1)2nnni?1(x?ai?1)ni?1?(x?ar)nr,且bi?jfi(j?1)(ai)(j?1)!分成部分分式3x,則f1(1)?3434,f2(?1)?2(x?1)2解：令f1(x)?f2(x)??例二將(x?1)3xx?13x2,則f2'(?1)??=3[1?321](x?1)(x?1)24x?1?x?12x?7x(x?1)(x?3)分成部分分式,f1(0)??f2(1)?94112112(x?3)73解：f1(x)?f2(x)?f3(x)??2x?7(x?1)(x?3)2x?7x(x?3)2x?7x(x?1),73x?,f3(?3)?94(x?1)2x?7x(x?1)(x?3)=??由此可見此法對分母都是一次時特別簡單例三將9x?24x?48x(x?1)(x?2)3432分成部分分式2解：f1(x)?f2(x)?f2'''(2)3!39x?24x?48x(x?2)324,f1(?1)??1,f2(2)?24,f2'(2)?12,f2''(2)2!9x?24x?48x(x?1)?12 ?6?9x?24x?48x(x?1)(x?2)4??1x?1?24(x?2)4?12(x?2)3?6(x?2)2?1x?2人人網2012年考研資源共享小組 http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 47．求不定積分的幾種特殊技巧 求定積分的幾種特殊技巧1.定義在對稱區間[a,b]上的任何函數都可以表示為一個奇函數與一個偶函數之和f(x)?f(?x)2f(x)?f(?x)表示偶函數，表示奇函數22.f(x)定義在對稱區間[a,-a]上f(x)為奇函數時，?f(x)為偶函數時，?2x?2a?af(x)dx?0f(x)dx?2?f(x)dx0aa?a(1)求定積分?xln(1?e)dx?(x)?f(x)?f(?x)2x2?2?xln(1?e)?xln(1?e2xx?x)?xln(1?e)?x12x表示奇函數12x]dx?22?2?2xln(1?e)dx=?xln(1?e)?12x?212xdx?2?2?2[xln(1?e)?x?2?212xdx2?0??20xdx?1283ln(x?1?x)1?x22(2)求定積分??1dx2值得注意的是一眼看去ln(x?1?x)1?x2不是奇函數，實際求一下發現它是奇函數3.巧用幾何意義求定積分求?ba(x?a)(b?x)dx(b?a)(x?a)(b?x)?(b?a2)?(x?2解：被積函數f(x)?a?b2)是以(2a?b2,0)為b?a11b?a2?22圓心，為半徑的上半圓，上半圓的面積為S=?r??()?(b?a)22228根據定積分的幾何意義，?ba(x?a)(b?x)dx??8(b?a)24.前面我面有這樣一個結論：?xf(sinx)dx?0ba???2?0f(sinx)dx現在我們再給出特殊一點的式子：?xf(x)dx??以下有結論：設函數f(x)在[a,b]上連續，且f(x)關于x?a?b2對稱，則：?baxf(x)dx?a?b2?baf(x)dx人人網2012年考研資源共享小組 http://xiaozu.renren.com/xiaozu/126707 48．矩陣積分法 設ui?(ui?1)'vi??vi?1dx(i?1,2,?)函數序列一：u0,u1,u2,?un,?函數序列二：v0,v1,v2,?vn,?一.形如?xsinaxdx的積分函數序列一：u0?x,u1?nx函數序列二：v0?sinax,v1?nn?1n,?un?n!cosax,?vn?(?1)ann?1asin[ax??2n]函數序列一和函數序列二作為矩陣的一二行，構造一個輔助矩陣，就可以方便的求得結果求?(x?2x?3)sin3xdxx?2x?3?sin3x1?cosx3333x?2??26x?19sin3x1276?cos3x1810sin3x111132原式?(x?2x?3)(?cosx)?(3x?2)(?sin3x)?6x(cos3x)?6(sin3x)392781??cos3x(x?2x?3)?3nnax13(3x?2)92sin3x?2x9cos3x?227sin3x?C注：按unvn?1規則進行斜線相乘，每一項正負交替出現二.形如?xcosaxdx，?xedx的積分方法與上述一樣三.形如?eaxsinbxdx的積分2函數序列一：u0?sinbx,u1?bcosbx,u2??bsinbx?函數序列二：v0?e,v1?求?e2xax1ae,v2?ax1a2e?axsin3xdx的積分3cos3x??12e2xsin3x?9sin3xe2x14 e2x 第一輪，目的：打好基礎。用書：教材，教材同步練習冊一本；教育部考試中心《數學考試參考書》 時間：2004年7月15日——9月底，其中7.15~8月底復習高數，主要用書為同濟四版的《高等數學》，按照大綱劃去不需要看的內容，然后就是以3~4天為一個小周期，一個周期一章內容； 第一天，看前面的講解，分析公式的推導，定理的應用條件，結論，記憶公式，做書后習題。一定要做，拿出小本子，認真地寫步驟，熟練之后可以不那么正規，可以節省時間，但最好標清楚，以待今后復習時使用；而且積攢起來的厚厚的草紙本讓你有成就感； 第二天，完成書后全部的習題，最好配一本帶有書后題講解的書，同步練習，鞏固基礎； 第三天，做教育部的《數學考試參考書》，這本書的內容很基礎，比教材略難（實際就是真題的難度和題型），做完。 根據不同章節的難度詳略自由調整這個小復習周期的長短，做題時，在題號上做標記，我采用幾種符號： 1，特別熟練，迅速準確地做出來的題，打X，今后復習一帶而過； 2，一般熟練，了解思路，有部分小失誤，但今后可以避免的，打，3，有點困難，稍加提示就恍然大悟，并且今后遇到應該不再錯的，打一個O再劃X，4，比較困難，需要看提示才能正確解答的，甚至看提示也覺得吃力的，打一個O一道 5，非常困難，完全沒有思路，甚至看了答案都不知道怎么回事的，打O 每過1~2周左右，用一個小本子，把帶有O和Φ的題認真抄一遍，反復總結，沒事就翻開看看，從陌生到熟悉，從熟悉到幾乎機械的記憶，看到10遍左右時，基本就徹底掌握了。這個總結方法可以讓你無論何時都對自己的水平有明確把握。每看一遍，不妨用不同顏色的筆寫下心得和疑問，下次再看到的時候，也許就迎刃而解了。 9月初~9月底，線性代數部分，用書：同濟四版《工程數學 線性代數》，配套書后題答案一本，同步練習一本，我用的是《線性代數習題集》史榮昌編，機械工業出版社，這里的題很多，但不少特別偏，難度遠高于考研的線代難度，做過之后就有了居高臨下的感覺；做題方法和時間進度安排同上；不贅述。 第一輪復習過后，應該做到，所有的公式、定理、應用條件熟練掌握，譬如定積分公式，應該可以做到常用的擴展公式和基本積分公式應該不經過大腦就可以機械地寫出來的程度。數學二的內容少，第一輪復習2~2.5個月就夠了，如果是數學一，內容多可以適當延長，最好不要超過4個月，這時遺忘的速度可能超過了復習的速度。實際上，我在2.個半月結束數學一輪時，剛開始看的題和公式就有點忘了，但沒關系，今后的復習逐步強化。 第二輪：復習目的：鞏固提高基礎知識，掌握一些技巧。用書：《二李復習全書》 時間：10月1日~10月20日。（時間僅為數學二參考，數學一用時可能會長1倍）為了避免線性代數遺忘，先做線性代數部分，用時5天左右；所有的習題做一遍，注意是做，不是看；做不出來看解答。然后是高等數學部分，用時15天左右，最后用3~4天總結做題時畫O和Φ的。二李復習全書注重基礎，比教材略難，第一輪復習后的水平應該可以比較順利地做出其中60%左右的題，20%有困難，20%不會。第二輪復習之后，按真題水平自測，應該在100分左右。 第三輪，復習目的：強化復習，重點提高，做難題，達到居高臨下的效果。用書《陳文燈數學復習指南》 這本書總體感覺很偏，不適合作為考研用書，因此做了一些之后發現不用放太多精力在其上，尤其是線性代數，如果做完以上說的那些書，你會發現陳的線代很多是低水平的重復。本書最好的地方個人認為是高數的證明部分，很多題總結得都很充分，但不是所有的技巧都簡練易懂，一些題如果結合二李復習全書的證明技巧會有豁然開朗、事半功倍的效果，非常好。比較偏的地方，比如微分算子，變態的不定積分，都沒有必要太重視。不定積分做到教材上書后題水平就差不多了。太偏的不用做。 時間安排：11月初~11月20日。其中線代用時4天，高數用14天，總結2天。 第四輪，復習目的：綜合，提高解題速度，全面找不足，查缺補漏。用書《二李400題》 本書感覺還是很基礎，計算量較大，題目難度一般。掐表按時完成，一天一套，3小時做題，1小時總結。可以全面檢測漏洞，再下一輪重點攻關。10套題，用時為10天。 此輪過后，我03真題自測水平在120~130左右。 第五輪，復習目的：根據上一輪的弱點重點突破。用書：我選的是《陳文燈題型集粹》 題目很多，不需要全做，正常來說這時已經比較疲勞，不愿意大量做題，太簡單的就略過，做中等難度的就可以。時間：11月20日~11月末 第五輪：目的：防止被幾本書束縛思維，博采眾家之長。用書：《二李超越135分》 時間：12月初~12月10日。此輪后看真題已經沒有陌生感，也不覺得有難題了。 第六輪：大量的模擬訓練。熟悉考試，鍛煉解題速度。用書：《考試蟲模擬8套卷》《東方飛龍 20套卷》 時間：12月10日~12月底 第七輪：1月1日~1月15日 半個月時間，認真做真題，熟悉真題思路，矯正一些慣性思維，訓練得分細節。 從難度上來說，經過了半年的磨練，看真題幾乎就是小兒科了，通常2小時10分鐘左右就可以做完，成績應該在130~140左右（按數學二來算，數學一三四不了解，不敢妄談）。不應該有不會的題，關鍵是如何盡可能地不丟細節分，答全最重要。因此，數學真題半個月足夠了。看近5年的題就可以了。時間充裕的話可以多看看。 考前6天左右 回歸基礎，看看基本題，看看教材，看看真題，調整狀態等待上戰場。 自我總結：復習時間191天，做過的習題有《教材》《二李復習全書》《陳文燈復習指南》《陳文燈題型集粹》《二李400題》《二李超越135》《教育部數學復習參考書》《考試蟲8套卷》《東方飛龍20套》（沒做完）《歷年真題》總共做題量約7000~8000。 雖然今年數學讓我感到格外別扭，可能是計算量較大，平時做題時就容易犯低級錯誤，考試時一緊張仍未避免最簡單的計算錯誤，考得可能也很慘，我始終覺得自己的復習沒有什么漏洞，重在總結，數學一定要動筆做，決不可只看不做，只做不總結，只總結不想。對于在職考研和在校考研，時間不如我這么充裕，就更要注重總結的重要性了。做題量也未必需要這么多，但是一條原則要記住，數學一旦開始復習，絕對不可以中斷，不允許出現24小時之內不碰數學的情況（當然數學基礎特別好的除外），數學的手感很重要的。一天不做可能手就生了。 高數小結論 1． 等價無窮小（x→0） (1).sinx?x?tanx?ex?1?ln[1?x]?arcsinx?arctanx1(2).1?cosx?x22(3).(1?x)a?1?ax(4).ax?1?xlnax(5).1?n1?x?nx(6).n1?x?1?n(7).loga(1?x)?0?x?2． xlna0?|x|??2時?2時 sinx?x?tanx11?cosx?x22 3．如果limU?1,limV??則limU?eVlim(U?1)V4.[f(x)+f(-x)]/2表示偶函數 [f(x)-f(-x)]/2表示奇函數 5．直線L：y=kx+b 為y=f(x)的漸近線的充分必要條件為： k=lim f(x)/x(x→∞) b=lim [f(x)-kx](x→∞)注意：這里的∞，包括+∞和-∞ 要分開討論 6． 常見函數的導數 (記熟后解題快) (√x)’=1/2√x (1/x)’=-1/x^2 (x^x)’=(x^x)(1+lnx) 7.關于n階導數的幾個重要公式 (sinx)^(n)=sin(x+nπ/2) (cosx)^(n)=cos(x+nπ/2) (sinkx)^(n)=k^nsin(kx+nπ/2) (coskx)^(n)=k^ncos(kx+nπ/2) (x^n)^(n)=n！ (a^x)^(n)=a^x(lna)^n (e^x)^(n)=e^x (1/t-x)^(n)=n！/(t-x)^(n+1) (1/t+x)^(n)= n！(-1)^n/(t+x)^(n+1) [ln(t+x)]^(n)=(n-1)！(-1)^(n-1)/(t+x)^n 8.泰勒公式(用來求極限) sinx=x-x^3/3！+x^5/5！+o(x^6) cosx=1-x^2/2！+x^4/4！+o(x^5) e^x=1+x+x^2/2！+x^3/3！+o(x^3) ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+o(x^3) (1+x)^a=1+ax+[a(a-1)/2！]x^2+o(x^2) tanx=x+(1/3)x^3+o(x^3) arctanx=x-(1/3)x^3+o(x^3) cotx=1/x –x/3+o(x) tan(tanx)=x+(2/3)x^3+o(x^3)sin(sinx)=x-(1/3)x^3+o(x^3)9． 重要不定積分 secxdx(secx)(2n?2)dx(secx)2nd(tanx)?(sinx)(2n?1)cosx??(sinx)2n?1??(sinx)(2n?1)(cosx)(2n?1)??(tanx)(2n?1)dx[1?(cotx)2]n?(cosx)(2n?1)sinx???(cotx)(2n?1)dx dx1xdx?tan?C ?1?cosx21?2dx?tanx?secx?C??C ?1?sinxx1?tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx?(tanx)dx?(tanx)22???(secx)1?(tanx)nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)?(cotx)dx??(cotx)(cscx)2dx???1?(cotx)2 nn?tanxdx??ln|cosx|?C?cotxdx?ln|sinx|?C?secxdx?ln|secx?tanx|?C?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C x1?sin2x?C24x12(cox)dx??sin2x?C?242?(sinx)dx?2(tanx)dx?tanx?x?C??(cotx)2dx??cotx?x?Cdx1x?arctan?C?x2?a2aadx22?x2?a2?ln|x?x?a|?C dx1x?a?x2?a2?2aln|x?a|?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a??a2xx2a?xdx?arcsin?a?x2?C2a2 2ax2x2?a2dx??ln|x?x2?a2|?x?a2?C2222axeax?ecosbxdx?a2?b2(acosbx?bsinbx)?C axeaxesinbxdx?(asinbx?bcosbx)?C?a2?b210． y=sinwx(w>0) 它的半個周期與x軸圍成的面積為s=2/w 把它的半個周期分成三等分,中間的那部分面積為s’=1/w 顯然s=2s’ 20w ?1S'??23?wsinwxdx?w3wS??wsinwxdx?11.定積分部分 （1）如果函數f（x）在[-a,a]上連續 ??a?af(x)dx??[fx(?)f?x(dx)?]0a0(如果fx(為奇函數)a0)2?f(xdx)如果(fx(為偶函數))（2） ??coskxdx?0???sinkxdx?0 ???(coskx)^2dx?????(sinkx)^2dx??????? (3).設k,l?N?,且k?l,則??coskxsinlxdx?0????coskxcoslxdx?0?? ??sinkxsinlxdx?0??(4).設f(x)是以周期為T的連續函數 (1).?a?Taf(x)dx??f(x)dx??0TT2T?2f(x)dx (2).?a?nTaf(x)dx?n?f(x)dx0T(5).特殊積分 ?? ??0??e?udu?e?axdx?2?21(a?0)a0??w (p?0,w?0)?0p2?w2??p?ptecoswtdt?(p?0,w?0)?0p2?w2??sinx?dx??0x2(6).關于三角函數定積分簡化(注意：f(x)是定義在[0,1]上的函數)e?ptsinwtdt??20 ?20??(1?)f(sxindx)??f(2?)f(sxindx)?0(xcdxos)特別的??20x(dxsi?n?)20nxndx(cos)?0???n20n?0?0202fx(sdxin?)(co特別的s)??f2xdx20xdx?(s?in)xdx2??(s2inx)ndx2(cos)(3?)?0n(cxosdx)?(n為奇數)?02?2(coxsndx)n(sxi)ndx?（n為偶數）(n為奇數)(4?)2?0?04?2(sinx)ndx0（n為偶數）(n為奇數)(5)?(cosx)ndx?02?2?0?4?2(cosx)ndx02?0（n為偶數）(6)?(sinx)ndx??(cosx)ndx0?0(7)?2(sinx)ndx?n?1n?3n?52.........(n為正奇數)nn?2n?43n?1n?3n?51??.........(n為正偶數)nn?2n?422(8)?xf(sinx)dx?0??2?0?f(sinx)dx 11.圖像分段的函數不一定是分段函數（如y=1/x）分段函數的圖像也可以是一條不斷開的曲線（如y=|x|） 12.如何證明一個數列是發散的？ （1）只要找到的兩個子數列收斂于不同的值 （2）找一個發散的子數列 13.必記極限 n!(1)lim?nn??n 01(2)linmn?n??(3)l?ixmxl?nx?0x(4)l?ixm?x?00114.函數f(x)在[a,b]有定義，且|f(x)|在[a,b]上可積，此時f(x)在[a,b]上的積分不一定存在 列如： f(x)?15． 注意 1-1x為有理數 x為無理數若f'(a)?0，只能得到結論：f(x)在a點嚴格增加。即?x?(a??,a)有f(x)?f(a)?x?(a,a??)有f(x)?f(a);但不能得到結論：f(x)在U（a,?）內單調增大15． 設f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a處連續，則f(x)在x=a處可導?g(a)=0應用：求函數f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可導的點顯然為1,216.函數取得極值的第二充分條件 設f(x)在x0處n階可導，且f'(x0)?f''(x0)?f'''(x0)????f(n?1)(x0)?0f(n)(x0)?0(2?n)(1)n?2k且f(n)(x0)?0?f(x0)為極大值(2)n?2k且f(n)(x0)?0?f(x0)為極小值(3)n=2k+117.拐點的第二充分條件 f(x0)不是極值點設f(x)在x0處n階可導（n>2且為奇數） 若f''(x)?f'''(x)????f則(x,f(x))為拐點0000(n?1)(x)?0，f0n()(x)0?0.用求導法判斷數列的單調性 設An?1?f(An),An?I若f(x)在區間I上單調遞增則：(1)(2)A2?A1{An}?A2?A1{An}? 注意：若f(x)在區間I上單調遞減則：?A2n?1?與?A2n?兩數列具有相反的單調性19.題目中如果出現f''(x)?0?f'(x)單調 20．ln(x?1?x2)?x(x?0)21． 無窮小小談 當x?0時，有(1)當0?n?m?xm?o(xn)(2)當0?n?m?o(xm)?o(xn)?o(xn)o(xm)m?n(3)當0?n?m??o(x)nx注意：兩個o()不可以相除(4)當m,n?0?xm?o(xn)?o(xm?n)o(xm)?o(xn)?o(xm?n)22． 無窮個無窮小之和與無窮個無窮小之積一定都是無窮小嗎？？？？？ 哈哈！顯然都是NO11111之和：lim(???????)1其中(有無窮多個)n??nnnnn kn之積：取?0(其中n??k,?1,2??,3)n!1n2n3nnnn(!)n顯然????1nn!n!n!n!n(!)23．反三角 (1)arctxa?n 1?arc?tanx2t,0?t??2 (2)arcsin(sint)???t,a2a1?2?t??24． 求A(b)??|x?b|dx的最小值a?a結論：當b?12時21Amin(b)?(a1?a2)24 25.?ba(x?a?b)dx?0 226．?lnxdx??1 0101?27． x(1?x)dx??xn(1?x)mdx0191900mn1 作用：?x(1?x)dx??x(1?x)dx這下就好求了 高數小結論 1． 等價無窮小（x→0） (1).sinx?x?tanx?ex?1?ln[1?x]?arcsinx?arctanx1(2).1?cosx?x22(3).(1?x)a?1?ax(4).ax?1?xlnax(5).1?n1?x?nx(6).n1?x?1?n(7).loga(1?x)?0?x?2． xlna0?|x|??2時?2時 sinx?x?tanx11?cosx?x22 3．如果limU?1,limV??則limU?eVlim(U?1)V4.f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)表示偶函數，表示奇函數 22直線L:y?kx?b為函數y?f(x)的漸近線的充分必要條件為：5． f(x)k?limb?lim[f(x)?kx]這里的?包括??和??x??x??x6． 常見函數的導數 (記熟后解題快)(x)'?12x11()'??2xx(xx)'?xx(1?lnx) 7.關于n階導數的幾個重要公式 n?)2n?(sinkx)(n)?knsin(x?)2(xn)(n)?n!(sinx)(n)?sin(x?(ex)(n)?ex1(n)(?1)nn!()?t?x(t?x)n?1n?)2n?(coskx)(n)?kncos(x?)2(ax)(n)?(ax)(lna)n 1(n)n!()?t?x(t?x)n?1(cosx)(n)?cos(x?[ln(t?x)](n)(?1)n?1(n?1)!?(t?x)n1(n)(?1)nn!n()?aax?b(ax?b)n?18.泰勒公式(用來求極限) (ln(ax?b))(n)(?1)n?1(n?1)!?a(ax?b)nnx3x5x2x46sinx?x???o(x)cosx?1???o(x5)3!5!2!4!x2x3x2x3x3e?1?x???o(x)ln(1?x)?x???o(x3)2!3!23a(a?1)2a(a?1)(a?2)3(1?x)a?1?ax?x?x?o(x3)2!3!x31x tanx?x? ?o(x3)cotx???o(x)3x31?1arcsinx?x?x3?o(x3)arccosx??x?x3?o(x3)626x3arctanx?x??o(x3)321tan(tanx)?x?x3?o(x3)sin(sinx)?x?x3?o(x3)339． 重要不定積分 secxdx(secx)(2n?2)dx(secx)2nd(tanx)?(sinx)(2n?1)cosx??(sinx)2n?1??(sinx)(2n?1)??(tanx)(2n?1)(cosx)(2n?1)dx[1?(cotx)2]n?(cosx)(2n?1)sinx???(cotx)(2n?1)dcotx dx1xdx?tan?C ?1?cosx21?2dx?tanx?secx?C??C ?1?sinxx1?tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx?(tanx)dx?(tanx)22???(secx)1?(tanx)nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)?(cotx)dx??(cotx)(cscx)2dx???1?(cotx)2 nn?tanxdx??ln|cosx|?C ?cotxdx?ln|sinx|?C?secxdx?ln|secx?tanx|?C ?cscxdx?ln|cscx?cotx|?Cx1?sin2x?C24 x12(cox)dx??sin2x?C?242(sinx)dx??2(tanx)dx?tanx?x?C??(cotx)dx??cotx?x?C2 dx1x?arctan?C?x2?a2aadx22?x2?a2?ln|x?x?a|?C dx1x?a?x2?a2?2aln|x?a|?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a??a2xx2a?xdx?arcsin?a?x2?C2a2 2ax2x2?a2dx??ln|x?x2?a2|?x?a2?C2222axeax?ecosbxdx?a2?b2(acosbx?bsinbx)?C axeaxesinbxdx?(asinbx?bcosbx)?C?a2?b210． y=sinwx(w>0) 它的半個周期與x軸圍成的面積為s=2/w 把它的半個周期分成三等分,中間的那部分面積為s’=1/w 顯然s=2s’ 20w ?1S'??23?wsinwxdx?w3wS??wsinwxdx?11.定積分部分 （1）如果函數f（x）在[-a,a]上連續 ????a?af(x)dx??[fx(?)f?x(dx)?]0a0(如果fx(為奇函數)a0)2?f(xdx)如果(fx(為偶函數)2)（2）??coskxdx???sinkxdx?0 ??(coskx)dx???(sinkx)dx?? ??????2 ?設k,l?N,且k?則,l:(3) kx??cos?a?T?silnxd?x?T???coskxcol?sx?dx??T2T?2?sinkx?silnxdx0 (4).設f(x)是以周期為T的連續函數 (1).?af(x)dx??f(x)dx??0f(x)dx (2).?a?nTaf(x)dx?n?f(x)dx0T(5).特殊積分 ?? ??0??e?udu?e?axdx?2?21(a?0)a0??w (p?0,w?0)?0p2?w2??p?ptecoswtdt?(p?0,w?0)?0p2?w2??sinx?dx??0x2(6).關于三角函數定積分簡化(注意：f(x)是定義在[0,1]上的函數)e?ptsinwtdt?????n0(1)?20f(sinx)dx??20f(cosx)dx?0特別的?(sinx)dx??2(cosx)ndx20(2)?f(sinx)dx?2?2f(sinx)dx?2?2f(cosx)dx00??特別的?(sinx)dx?2?2(sinx)dx?2?2(cosx)ndx000??nn?(3)?(cosx)ndx?0?0?(n為奇數)02?2(cosx)ndx0?（n為偶數）(n為奇數)(4)?(5)?2?0(sinx)ndx?4?2(sinx)ndx0（n為偶數）(n為奇數)2?0(cosx)ndx?0?4?2(cosx)ndx0（n為偶數）(6)?2?0(sinx)dx?n?2?0(cosx)ndx?0(7)?2(sinx)ndx?n?1n?3n?52.........(n為正奇數)nn?2n?43n?1n?3n?51??.........(n為正偶數)nn?2n?422 (8)?xf(sinx)dx?0??2??0f(sinx)dx11.圖像分段的函數不一定是分段函數（如y=1/x）分段函數的圖像也可以是一條不斷開的曲線（如y=|x|） 12.如何證明一個數列是發散的？ （1）只要找到的兩個子數列收斂于不同的值 （2）找一個發散的子數列 13.必記極限 (1)limn??n??n!?0nn(2)limnn?(3)limxlnx?0 ?x?0x(4)limx?1?x?0an(5)lim?0n??n!14.函數f(x)在[a,b]有定義，且|f(x)|在[a,b]上可積，此時f(x)在[a,b]上的積分不一定存在 列如： f(x)?15． 注意 1-1x為有理數 x為無理數若f'(a)?0，只能得到結論：f(x)在a點嚴格增加。即?x?(a??,a)有f(x)?f(a)?x?(a,a??)有f(x)?f(a);但不能得到結論：f(x)在U（a,?）內單調增大16． 設f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a處連續，則f(x)在x=a處可導?g(a)=0應用：求函數f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可導的點顯然為1,217.函數取得極值的第二充分條件 設f(x)在x0處n階可導，且f'(x0)?f''(x0)?f'''(x0)????f(n?1)(x0)?0f(n)(x0)?0(2?n)(1)n?2k且f(n)(x0)?0?f(x0)為極大值(2)n?2k且f(n)(x0)?0?f(x0)為極小值(3)n=2k+118.拐點的第二充分條件 f(x0)不是極值點設f(x)在x0處n階可導（n>2且為奇數） 若f''(x)?f'''(x)????f則(x,f(x))為拐點0000(n?1)(x)?0，f0n()(x)0?0 19.用求導法判斷數列的單調性 設An?1?f(An),An?I若f(x)在區間I上單調遞增則：(1)(2)A2?A1{An}?A2?A1{An}? 注意：若f(x)在區間I上單調遞減則：?A2n?1?與?A2n?兩數列具有相反的單調性20.題目中如果出現f''(x)?0?f'(x)單調 21．ln(x?1?x2)?x(x?0)22． 無窮小小談 當x?0時，有(1)當0?n?m?xm?o(xn)(2)當0?n?m?o(xm)?o(xn)?o(xn)o(xm)m?n(3)當0?n?m??o(x)nx注意：兩個o()不可以相除(4)當m,n?0?xm?o(xn)?o(xm?n)o(xm)?o(xn)?o(xm?n)23． 無窮個無窮小之和與無窮個無窮小之積一定都是無窮小嗎？？？？？ 哈哈！顯然都是NO11111之和：lim(???????)1其中(有無窮多個)n??nnnnn kn之積：取?0(其中n??k,?1,2??,3)n!1n2n3nnnn(!)n顯然????1nn!n!n!n!n(!)24．反三角 (1)arctxa?n 1?arc?tanx2t,0?t??2 (2)arcsin(sint)???t,a2a1?2?t??25． 求A(b)??|x?b|dx的最小值a?a結論：當b?12時21Amin(b)?(a1?a2)24 26.?ba(x?a?b)dx?0 227．?lnxdx??1 0101?28．29． x(1?x)dx??xn(1?x)mdx0191900mn1 作用：?x(1?x)dx??x(1?x)dx若f(x)在[a,b]上可積則?f(x)dx??f(a?b?x)dxaabb這下就好求了1b?af(x)dx?2?a[f(x)?f(a?b?x)]dx 特別的當a?0時，有如下推論：b（1）?f(x)dx??f(b?x)dx00bb1b（2）?0f(x)dx?2?0[f(x)?f(b?x)]dxb若f(x)在[a,b]上可積,則：30．?? ??111??11?0f(x)dx??0x2f(x)dx?2?0[f(x)?x2f(x)]dxf2(x)?C 31．?f(x)f'(x)dx?232．連續函數必有原函數且原函數連續，若f（x）是不連續的分段函數，則f（x）的原函數就一定不存在 33． 有極限?連續? ?可微?偏導連續 ???有定義?偏導存在34．對 ???0f(sinx)dx?2?2f(sinx)dx進行推廣：0設f(x)在[0,1]上連續，且a?b?n?(n?0,1,2...)有以下結論：n?bf(sinx)dx?a?a2bn?b n為偶數xf(cosx)dx?f(cosx)dx?a?a2（2）若f(x)為偶函數，則（1）n為奇數bxf(sinx)dx?n?xf(sinx)dx??a2bn?xf(cosx)dx??a2b??babf(sinx)dxf(cosx)dxa35． 線、面積分中的對稱簡化 （1）對弧長的曲線積分設連續且分段光滑的平面線弧L關于y軸對稱，函數f(x,y)在L上有定義L 且連續，為x?0的半個區域，則： 2若f(-x,y)=f(x,y)s?2f(x,y)dsL?f(x,y)d?L2若f(-x,y)=-f(x,y)?Lf(x,y)d?s0例一I=?(xy?x2)ds,L為y=a2?x2L解：I=?(xy?x2)ds??xyds??x2ds?0?2?Lx2dsLLL2??2?2a2cos2??ad??0?2a3 例二3222I??(x?y)ds,L為x?y?R?L33解：I??(x?y)ds=xds+y（自己體會一下，為什么？）?????ds=0+0=0LLL（2）對坐標的曲線積分A.設連續且分段光滑的平面有向曲線弧L關于y軸對稱，函數P(x,y)在L上有定義L 且連續，為x?0的半個區域，則：2若P(-x,y)=P(x,y)?P(x,y)dx?2?LP(x,y)dxL2若P(-x,y)=-P(x,y)例一?LP(x,y)dx?0I??xy(ydx?xdy),其中L為y?R2?x2,方向為從左到右LLLLL解:I??xy(ydx?xdy)??xy2dx??x2ydy?0??x2ydy?0(這要用到下面B的結論)例二解： 2222222I???xydy,其中L為雙紐線的右半支：(x+y)=a(x-y),x?0的逆時針方向L 由于圖像關于x軸對稱，則I?0B.設連續且分段光滑的平面有向曲線弧L關于y軸對稱，函數P(x,y)在L上有定義且在左半平面部分L1與右半平面部分L2方向相反，則：若P(-x,y)=P(x,y)若P(-x,y)=-P(x,y)?LP(x,y)dy?0(上面講到的就是用的這個結論)L?P(x,y)dy?2?P(x,y)dyL1 注意：這里的方向相反是指：關于哪個軸對稱就關于誰的方向相反對于關于x軸對稱的情況就不寫了，其實是一個道理！一定要把A,B好好的比較看看兩者之間的區別與聯系例一I??x|y|dx,其中L為y2?x上從A(1,?1)到B(1,1)的一段弧L解：L關于x軸對稱且方向相反且被積函數x|y|為y的偶函數故I=0例二I??dx?dy,其中ABCD是A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)為ABCD|x|?|y| 頂點的正方形的邊界線，方向為逆時針方向dxdy解：I??+?ABCD|x|?|y|ABCD|x|?|y|第一部分積分：曲線關于x軸對稱，且方向相反，而函數是y的偶函數，故積分為0，同理第二部分積分也為0故I=0(3)對面積的曲面積分設分片光滑的曲面?關于yoz平面對稱，f(x,y,z)在?上連續，則有：當f(-x,y,z)=-f(x,y,z)時，當f(-x,y,z)=f(x,y,z)時對于關于zox,xoy的平面對稱有類似的性質?1|x|?|y|?2是?中x?0的一半 ???f(x,y,z)ds?0f(x,y,z)ds??f(x,y,z)ds=2???2例一I?2222(x?y?z)ds,其中為球面x?y?z?a上z?（h0 解：?關于xoz面對稱，故I???zxds? (4)對坐標的曲面積分設分片光滑的曲面?關于yoz面對稱，函數p(x,y,z)在?上連續，一半，則：當f(-x,y,z)=f(x,y,z)時，當f(-x,y,z)=-f(x,y,z)時??2是?中x?0的 ??f(x,y,z)dydz?0f(x,y,z)dydz=2??f(x,y,z)dydz??2?? 例一I??的部分。??xyzdxdy,其中?是球面x2?y2?z2?1的外側在x?0,y?0解：?關于xoy面對稱，故I?例二2xyzdxdy?2xyzdxdy?????5??2 I=??x2dydz?y2dzdx?z2dxdy,其中?為曲線弧段z=y2(x?0,1?z?4)?繞z軸旋轉所成的旋轉曲面的非封閉側。解：顯然曲面?關于yoz,zox面對稱，故I???z2dxdy?21?? 36．輪換對稱性在積分計算中的應用舉例 1.設函數f(x,y)在有界閉區域D上連續，D對坐標x,y具有輪換對稱性，則：??f(x,y)dxdy???f(y,x)dxdyDD 何為輪換對稱性：將x,y互換后D不變 例一I???(3x?2y)dxdy,其中D為x?y?2與兩坐標軸圍成D解：D關于x,y具有輪換對稱性，則:I?例二I???(3x?2y)dxdy=D??(3y?2x)dxdy?D520 (x?y)dxdy?5xdxdy???2??3DDx2?y2?R2??(y2?x2)dxdy解：I?x2?y2?R2??(y2?x2)dxdy?x2?y2?R2??(x2?y2)dxdy??I,故I?02.設函數f(x,y,z)在空間有界閉區域?上連續，?對坐標x,y具有輪換對稱性，則：???f(x,y,z)dv????f(y,x,z)dv??例一求???(x?y?z)dv,?為x?0,y?0,z?0,x2?y2?z2?R2?解：由于積分區域關于x,y,z具有輪換對稱性，則：???xdv=???ydv????zdv??????(x?y?z)dv?3???zdv???3?R416例二求I????(z?x2?y2)dv,?為z?x2?y2和z?（hh?0）圍成的區域?解：積分區域關于x,y具有輪換對稱性I????(z?x2?y2)dv????(z?y2?x2)dv???1?32zdv?h???2?3 3.設L是xoy面上一條光滑的曲線弧，L對坐標x,y具有亂換對稱性，f(x,y)在L上連續，則：?f(x,y)ds??f(y,x)dsLL例一I???xds,L為星形線x?y?aL232323232323解：顯然L對x,y具有輪換對稱性，則：222511I??xds??yds??(x3?y3)ds?a3?ds?3a3????2L2LLL例二22222求?(x?z)ds,F是圓周x?y?z?R,x?y?z?0?F解：F關于x,y,z具有輪換對稱性，則：??xds=??yds=??zds,FFF2222??xds=??yds=??zdsFFF11R2222故?(x?z)ds??(x?y?z)ds??(x?y?z)ds????3F3F3F2?R3ds???3 F4.設L是xoy面上一條光滑的或者分段光滑的有向曲線弧，L對坐標x,y具有輪換對稱性，f(x,y)在L上連續，則：?f(x,y)ds???f(y,x)dsLL 或者?f(x,y)ds+?f(y,x)ds=0LL例一I??ydx?xdy,L為x?y?R上A(R,0)到B(0,R)的一段弧L解：L對坐標x,y具有輪換對稱性，故?ydx?xdy=0L例二2222I??ydx?ydx,L為雙紐線(x?y)?2axy位于第一象限部分?L2323 取逆時針方向解：L關于x,y具有輪換對稱性，則?ydx?xdy=0L23235.設?是光滑曲面或者分片光滑曲面，?對坐標x,y具有輪換對稱性，f(x,y,z)在?上連續，則：f(x,y,z)ds???f(y,x,z)ds??11I???(x2?y2?z2)ds,?:x2?y2?z2?R224?解：??1111I???(x2?y2?z2)ds?(1??)??z2ds2424??1117?(1??)??(x2?y2?z2)ds??R42433?例二I?解：2222(ax?by?cz)ds,:x?y?z?R位于第一掛限部分??????例一???xds???yds???zds222???xds???yds???zds?? 1I?(a?b?c)??zds??R3(a?b?c)4?6.設?是光滑曲面或者分片光滑曲面，?對坐標x,y具有輪換對稱性，f(x,y,z)在?上連續，則：? ??f(x,y,z)dydz???f(y,x,z)dzdx?例一I??(0?z?h)的外側??(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy,?為z?x2?y2解：?關于x,y具有輪換對稱性，則：???(y?z)dydz=??(x?z)dxdz???所以I?0例二I???(x?y)dxdy???(y?x)dydx?0??xydydz?yzdzdx?zxdxdy,?為平面x?y?z?1位于第一掛限的外側?解：?關于x,y,z具有輪換對稱性，則：???xydydz???zydydx???zxdxdy?? 1I?3??xydydz?8?37.廣義的羅爾定理 設f(x)滿足：(1)在區間(a,??)上連續(2)在區間(a,??)內可導(3)limf(x)?limf(x)?x?ax???則：???a使得f'(?)?038.需要記憶的反例 (1)(2)f(x)?|x|在x?0處不可導f(x)?1f(x)?0x?0x?0在x?0點不可導應用：設f(0)?0,則f(x)在x?0點處可導的充分必要條件為: f(1?cosh)f(1?eh)(A)lim存在(B)lim存在h?0h?0h2hf(h?sinh)f(2h)?f(h)(C)lim存在(D)lim存在h?0h?0h2h用(1)檢驗AC,用(2)檢驗D,答案為B(1)若???',???'且lim39.??1????1? 則：(???)?(?'??')(2)若???',???'且lim則：(???)?(?'??') 40.特別要注意的地方 設f(x)為(??,??)上的連續，函數F(x)為f(x)的一原函數，則：(1)f(x)為奇函數?f(x)任意原函數F(x)為偶函數(2)f(x)為偶函數?f(x)的原函數只有一個是奇函數,即為?f(t)dt0x(3)f(x)任意原函數F(x)為周期函數?f(x)為周期函數(4)f(x)以T為周期的函數且?f(x)dx?0?f(x)任意原函數F(x)以T為周期0T (5)函數的單調性與其原函數的單調性之間沒有邏輯上的因果關系 41.幾個極限之間的關系 1.若liman?an??則lim2.若liman?a且an?0n??a1?a2??an?an??n則limna1a2?an?an??n??3.若liman?a且an?0n??an?1n??則limnan?aan?an??an?1 但要注意：若limnan?a且an?0，不能推出lim反例：an?2(n為偶數)=3(n為奇數) 42.函數與其反函數圖像交點問題 函數與其反函數圖像交點有如下兩個結論：(1)設f(x)是增函數，其反函數為f?1(x)，如果這兩個函數圖像有交點，則交點必在函數y?x上(2)設f(x)是減函數，其反函數為f(x)，如果這兩個函數圖像有交點，則交點不一定都在函數y?x上例如：y??x?2,其反函數就是其本身 ?1 43．階乘不等式 階乘不等式在極限證明中的應用nn(1)設n為自然數，則()n?n!?e()ne2n!應用：證明limn?0n??nne()nn!een!證明:n?2n?n,n??時，n?0，limn?0n??nnn22an證明lim?0(a為任意實數)n??n!證明:a?0，顯然成立ane|a|ena?0,0?||?|an|()n?()n!nn|a|e|a|enn??時，?0,()?0nnan?根據夾逼準則：lim?0n??n!(2)一些不常用的，可以記憶玩玩n1。設p?2且p為實常數，則n!?()pp2。當n?4時，n!?(n)nn 3。當n?2時，則n!?(lnn)lnn 44．中值定理 羅爾定理y?f(x)滿足:(1)在區間[a,b]上連續(2)區間(a,b)內可導(3)f(a)?f(b)?在區間(a,b)內至少存在一點?使得f'(?)?0注意：該定理的條件只是充分的，本定理可以推廣為：y?f(x)在區間(a,b)內可導,lim?f(x)?lim?f(x)x?ax?b ?在區間(a,b)內至少存在一點?使得f'(?)?0拉格朗日定理y?f(x)滿足:(1)在區間[a,b]上連續(2)區間(a,b)內可導?在區間(a,b)內至少存在一點?使得f'(?)?柯西定理f(x)及F(x)滿足:(1)在區間[a,b]上連續(2)區間(a,b)內可導(3)區間(a,b)內F'(x)?0?在區間(a,b)內至少存在一點?使得f(b)?f(a)f'(?)?F(b)?F(a)F'(?) f(b)?f(a)b?a 45．需注意的地方 ?可積與連續之間的關系1.閉區間上的連續函數一定是可積的；2.可積函數不一定是連續的，但是一定有無窮多個處處稠密的連續點?可積與存在原函數之間的關系11.f(x)存在原函數，但其不一定可積，例如f(x)?,x?(0,??)x2.f(x)在[a,b]上可積，但f(x)不一定存在原函數，例如： 46．用泰勒公式分解既約分式 用泰勒公式分解既約真分式(以下只給出結論)設P(x)是既約真分式，Q(x)在復數范圍內可以分解為(x?a1)n1(x?a2)n2?(x?ar)nr,則Q(x)其能唯一分解為：b11b12b1n1b21b22b2n2P(x)?[???]?[???]??Q(x)(x?a1)n1(x?a1)n1?1(x?a1)(x?a2)n2(x?a2)n2?1(x?a2)bi1bi2binibr1br2brnr?[???]??[???](x?ai)ni(x?ai)ni?1(x?a1)(x?ar)nr(x?ar)nr?1(x?ar)其中bij(i?1,2,?,r;j?1,2,?ni)都是待定的常數fi(j?1)(ai)P(x)j設fi(x)?,且bi?(x?a1)n1(x?a2)n2?(x?ai?1)ni?1(x?ai?1)ni?1?(x?ar)nr(j?1)!例一3x分成部分分式2(x?1)(x?1)3x3解：令f1(x)?,則f(1)?1(x?1)243x33f2(x)?,則f2'(?1)??,f2(?1)?x?1423x3121?=[??]22(x?1)(x?1)4x?1(x?1)x?12x?7將分成部分分式x(x?1)(x?3)2x?77解：f1(x)?,f1(0)??(x?1)(x?3)32x?79f2(x)?,f2(1)?x(x?3)42x?71f3(x)?,f3(?3)?x(x?1)122x?7791?=???x(x?1)(x?3)3x4(x?1)12(x?3)將9x3?24x2?48x將分成部分分式4(x?1)(x?2)9x3?24x2?48x解：f1(x)?,f1(?1)??1(x?2)4f''(2)9x3?24x2?48xf2(x)?,f2(2)?24,f2'(2)?12,2?6(x?1)2!f2'''(2)?13!9x3?24x2?48x1241261???????(x?1)(x?2)4x?1(x?2)4(x?2)3(x?2)2x?2例二由此可見此法對分母都是一次時特別簡單例三 47．求不定積分的幾種特殊技巧 求定積分的幾種特殊技巧1.定義在對稱區間[a,b]上的任何函數都可以表示為一個奇函數與一個偶函數之和f(x)?f(?x)f(x)?f(?x)表示偶函數，表示奇函數222.f(x)定義在對稱區間[a,-a]上f(x)為奇函數時，?f(x)dx?0?aaf(x)為偶函數時，?f(x)dx?2?f(x)dx?a0aa(1)求定積分?xln(1?ex)dx?22f(x)?f(?x)xln(1?ex)?xln(1?e?x)1?(x)???xln(1?ex)?x2表示奇函數22222221121212xxx2??2xln(1?e)dx=??2xln(1?e)?2x?2xdx???2[xln(1?e)?2x]dx???22xdx28?0??x2dx?03ln(x?1?x2)(2)求定積分?dx?11?x21ln(x?1?x2)值得注意的是一眼看去不是奇函數，實際求一下發現它是奇函數21?x3.巧用幾何意義求定積分求?ba(x?a)(b?x)dx(b?a)b?a2a?b2a?b)?(x?)是以(,0)為222b?a11b?a2?圓心，為半徑的上半圓，上半圓的面積為S=?r2??()?(b?a)222228解：被積函數f(x)?(x?a)(b?x)?(根據定積分的幾何意義，?(x?a)(b?x)dx?ab?(b?a)284.前面我面有這樣一個結論：?xf(sinx)dx?0ba???f(sinx)dx?02a?b對稱，則：2現在我們再給出特殊一點的式子：?xf(x)dx??以下有結論：設函數f(x)在[a,b]上連續，且f(x)關于x??baa?bbxf(x)dx?f(x)dx2?a 48．矩陣積分法 設ui?(ui?1)'vi??vi?1dx(i?1,2,?)函數序列一：u0,u1,u2,?un,?函數序列二：v0,v1,v2,?vn,?一.形如?xnsinaxdx的積分函數序列一：u0?xn,u1?nxn?1,?un?n!?1(?1)n?函數序列二：v0?sinax,v1?cosax,?vn?nsin[ax?n]aa2函數序列一和函數序列二作為矩陣的一二行，構造一個輔助矩陣，就可以方便的求得結果求?(x3?2x?3)sin3xdxx3?2x?3?sin3x3x2?2?6x?6?01111?cosx?sin3xcos3xsin3x3927811111原式?(x3?2x?3)(?cosx)?(3x2?2)(?sin3x)?6x(cos3x)?6(sin3x)3927811(3x2?2)2x23??cos3x(x?2x?3)?sin3x?cos3x?sin3x?C39927注：按unvn?1規則進行斜線相乘，每一項正負交替出現nax二.形如?xncosaxdx，?xedx的積分方法與上述一樣三.形如?eaxsinbxdx的積分函數序列一：u0?sinbx,u1?bcosbx,u2??b2sinbx?函數序列二：v0?eax,v1?求?e2xsin3xdx的積分sin3x?e2x原式?12xe23cos3x?12xe4 1ax1e,v2?2eax?aa?9sin3x12x11esin3x?e2x?3cos3x?(?1)2?2?(?9sin3x)?e2xdx244232x解方程解得：esin3xdx?(sin3x?cos3x)e2x?C?1313最后一項是(?1)n?2?u2v2dx,實際上n就取2,最后一項就是?u2v2dx49.函數的可積性與原函數存在性 定理1(1)：若f為[a,b]上的連續函數，則f在[a,b]上可積(2)：若f是[a,b]上只有有限個間斷點的有界函數，則f在[a,b]上可積(3)：若f是[a,b]上的單調函數則f在[a,b]上可積注：即使單調函數有無窮多個間斷點，仍不失其可積性?0?如函數：f(x)??1??n在區間[0,1]上可積x?011?x?n?1nn?1,2,3........定理2若f為[a,b]上的連續函數，則f在[a,b]上的原函數存在定理3 (1)：若f在[a,b]上含有第一類間斷點，則f在[a,b]上不存在原函數(2)：若f在[a,b]上有無窮型間斷點，則f在[a,b]上不存在原函數(3)：若f在[a,b]上存在原函數，若f存在間斷點，則f在[a,b]上的間斷點是第二類的 50.函數性質在原函數與其導函數之間的傳遞性 命題1有界不交互傳遞F(x)在有限空間(a,b)無界，f(x)必無界，反之不成立1反例：F(x)?xsin,x?(0，1)F(x)在(0，上有界1)x111則f(x)?sin?2cos在(0，1)上無界xxx 命題2單調不交互傳遞F(x)為凸性或凹性單調函數時，f(x)具有單調性 f(x)具有單調不變號性時，F(x)必有單調性命題3奇偶性 F(x)為奇(偶)，則f(x)為偶(奇)f(x)為奇(偶)，則F(x)為一偶函數?常數(一奇函數?常數)命題4周期性 TF(x)以T為周期，f(x)以T為周期f(x)以T為周期且?f(x)dx?0?F(x)以T為周期0 高數小結論 1． 等價無窮小（x→0） (1).sinx?x?tanx?ex?1?ln[1?x]?arcsinx?arctanx1(2).1?cosx?x22(3).(1?x)a?1?ax(4).ax?1?xlnax(5).1?n1?x?nx(6).n1?x?1?n(7).loga(1?x)?0?x?2． xlna0?|x|??2時?2時 sinx?x?tanx11?cosx?x22 3．如果limU?1,limV??則limU?eVlim(U?1)V4.[f(x)+f(-x)]/2表示偶函數 [f(x)-f(-x)]/2表示奇函數 5．直線L：y=kx+b 為y=f(x)的漸近線的充分必要條件為： k=lim f(x)/x(x→∞) b=lim [f(x)-kx](x→∞)注意：這里的∞，包括+∞和-∞ 要分開討論 6． 常見函數的導數 (記熟后解題快) (√x)’=1/2√x (1/x)’=-1/x^2 (x^x)’=(x^x)(1+lnx) 7.關于n階導數的幾個重要公式 (sinx)^(n)=sin(x+nπ/2) (cosx)^(n)=cos(x+nπ/2) (sinkx)^(n)=k^nsin(kx+nπ/2) (coskx)^(n)=k^ncos(kx+nπ/2) (x^n)^(n)=n！ (a^x)^(n)=a^x(lna)^n (e^x)^(n)=e^x (1/t-x)^(n)=n！/(t-x)^(n+1) (1/t+x)^(n)= n！(-1)^n/(t+x)^(n+1) [ln(t+x)]^(n)=(n-1)！(-1)^(n-1)/(t+x)^n 8.泰勒公式(用來求極限) sinx=x-x^3/3！+x^5/5！+o(x^6) cosx=1-x^2/2！+x^4/4！+o(x^5) e^x=1+x+x^2/2！+x^3/3！+o(x^3) ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+o(x^3) (1+x)^a=1+ax+[a(a-1)/2！]x^2+o(x^2) tanx=x+(1/3)x^3+o(x^3) arctanx=x-(1/3)x^3+o(x^3) cotx=1/x –x/3+o(x) tan(tanx)=x+(2/3)x^3+o(x^3)sin(sinx)=x-(1/3)x^3+o(x^3)9． 重要不定積分 secxdx(secx)(2n?2)dx(secx)2nd(tanx)?(sinx)(2n?1)cosx??(sinx)2n?1??(sinx)(2n?1)(cosx)(2n?1)??(tanx)(2n?1)dx[1?(cotx)2]n?(cosx)(2n?1)sinx???(cotx)(2n?1)dx dx1xdx?tan?C ?1?cosx21?2dx?tanx?secx?C??C ?1?sinxx1?tan2(secx)2nd(tanx)(tanx)dx?(tanx)dx?(tanx)22???(secx)1?(tanx)nn(cscx)2(cotx)nd(cotx)?(cotx)dx??(cotx)(cscx)2dx???1?(cotx)2 nn?tanxdx??ln|cosx|?C?cotxdx?ln|sinx|?C?secxdx?ln|secx?tanx|?C?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C x1?sin2x?C24x12(cox)dx??sin2x?C?242?(sinx)dx?2(tanx)dx?tanx?x?C??(cotx)2dx??cotx?x?Cdx1x?arctan?C?x2?a2aadx22?x2?a2?ln|x?x?a|?C dx1x?a?x2?a2?2aln|x?a|?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a??a2xx2a?xdx?arcsin?a?x2?C2a2 2ax2x2?a2dx??ln|x?x2?a2|?x?a2?C2222axeax?ecosbxdx?a2?b2(acosbx?bsinbx)?C axeaxesinbxdx?(asinbx?bcosbx)?C?a2?b210． y=sinwx(w>0) 它的半個周期與x軸圍成的面積為s=2/w 把它的半個周期分成三等分,中間的那部分面積為s’=1/w 顯然s=2s’ 20w ?1S'??23?wsinwxdx?w3wS??wsinwxdx?11.定積分部分 （1）如果函數f（x）在[-a,a]上連續 ??a?af(x)dx??[fx(?)f?x(dx)?]0a0(如果fx(為奇函數)a0)2?f(xdx)如果(fx(為偶函數))（2） ??coskxdx?0???sinkxdx?0 ???(coskx)^2dx?????(sinkx)^2dx??????? (3).設k,l?N?,且k?l,則??coskxsinlxdx?0????coskxcoslxdx?0?? ??sinkxsinlxdx?0??(4).設f(x)是以周期為T的連續函數 (1).?a?Taf(x)dx??f(x)dx??0TT2T?2f(x)dx (2).?a?nTaf(x)dx?n?f(x)dx0T(5).特殊積分 ?? ??0??e?udu?e?axdx?2?21(a?0)a0??w (p?0,w?0)?0p2?w2??p?ptecoswtdt?(p?0,w?0)?0p2?w2??sinx?dx??0x2(6).關于三角函數定積分簡化(注意：f(x)是定義在[0,1]上的函數)e?ptsinwtdt??20 ?20??(1?)f(sxindx)??f(2?)f(sxindx)?0(xcdxos)特別的??20x(dxsi?n?)20nxndx(cos)?0???n20n?0?0202fx(sdxin?)(co特別的s)??f2xdx20xdx?(s?in)xdx2??(s2inx)ndx2(cos)(3?)?0n(cxosdx)?(n為奇數)?02?2(coxsndx)n(sxi)ndx?（n為偶數）(n為奇數)(4?)2?0?04?2(sinx)ndx0（n為偶數）(n為奇數)(5)?(cosx)ndx?02?2?0?4?2(cosx)ndx02?0（n為偶數）(6)?(sinx)ndx??(cosx)ndx0?0(7)?2(sinx)ndx?n?1n?3n?52.........(n為正奇數)nn?2n?43n?1n?3n?51??.........(n為正偶數)nn?2n?422(8)?xf(sinx)dx?0??2?0?f(sinx)dx 11.圖像分段的函數不一定是分段函數（如y=1/x）分段函數的圖像也可以是一條不斷開的曲線（如y=|x|） 12.如何證明一個數列是發散的？ （1）只要找到的兩個子數列收斂于不同的值 （2）找一個發散的子數列 13.必記極限 n!(1)lim?nn??n 01(2)linmn?n??(3)l?ixmxl?nx?0x(4)l?ixm?x?00114.函數f(x)在[a,b]有定義，且|f(x)|在[a,b]上可積，此時f(x)在[a,b]上的積分不一定存在 列如： f(x)?15． 注意 1-1x為有理數 x為無理數若f'(a)?0，只能得到結論：f(x)在a點嚴格增加。即?x?(a??,a)有f(x)?f(a)?x?(a,a??)有f(x)?f(a);但不能得到結論：f(x)在U（a,?）內單調增大16． 設f(x)=|x-a|g(x),其中g(x)在x=a處連續，則f(x)在x=a處可導?g(a)=0應用：求函數f(x)=|x(x-1)(x-2)|(x2-3x+2)的可導的點顯然為1,217.函數取得極值的第二充分條件 設f(x)在x0處n階可導，且f'(x0)?f''(x0)?f'''(x0)????f(n?1)(x0)?0f(n)(x0)?0(2?n)(1)n?2k且f(n)(x0)?0?f(x0)為極大值(2)n?2k且f(n)(x0)?0?f(x0)為極小值(3)n=2k+118.拐點的第二充分條件 f(x0)不是極值點設f(x)在x0處n階可導（n>2且為奇數） 若f''(x)?f'''(x)????f則(x,f(x))為拐點0000(n?1)(x)?0，f0n()(x)0?0.用求導法判斷數列的單調性 設An?1?f(An),An?I若f(x)在區間I上單調遞增則：(1)(2)A2?A1{An}?A2?A1{An}? 注意：若f(x)在區間I上單調遞減則：?A2n?1?與?A2n?兩數列具有相反的單調性20.題目中如果出現f''(x)?0?f'(x)單調 21．ln(x?1?x2)?x(x?0)22． 無窮小小談 當x?0時，有(1)當0?n?m?xm?o(xn)(2)當0?n?m?o(xm)?o(xn)?o(xn)o(xm)m?n(3)當0?n?m??o(x)nx注意：兩個o()不可以相除(4)當m,n?0?xm?o(xn)?o(xm?n)o(xm)?o(xn)?o(xm?n)23． 無窮個無窮小之和與無窮個無窮小之積一定都是無窮小嗎？？？？？ 哈哈！顯然都是NO11111之和：lim(???????)1其中(有無窮多個)n??nnnnn kn之積：取?0(其中n??k,?1,2??,3)n!1n2n3nnnn(!)n顯然????1nn!n!n!n!n(!)24．反三角 (1)arctxa?n 1?arc?tanx2t,0?t??2 (2)arcsin(sint)???t,a2a1?2?t??25． 求A(b)??|x?b|dx的最小值a?a結論：當b?12時21Amin(b)?(a1?a2)24 26.?ba(x?a?b)dx?0 227．?lnxdx??1 0101?28．29． x(1?x)dx??xn(1?x)mdx0191900mn1 作用：?x(1?x)dx??x(1?x)dx若f(x)在[a,b]上可積則?f(x)dx??f(a?b?x)dxaabb這下就好求了1b?af(x)dx?2?a[f(x)?f(b?x)]dx 特別的當a?0時，有如下推論：b（1）?f(x)dx??f(b?x)dx00bb1b（2）?0f(x)dx?2?0[f(x)?f(b?x)]dxb若f(x)在[a,b]上可積,則：30．?? ??111??11?0f(x)dx??0x2f(x)dx?2?0[f(x)?x2f(x)]dxf2(x)?C 31．?f(x)f'(x)dx?232．連續函數必有原函數且原函數連續，若f（x）是不連續的分段函數，則f（x）的原函數就一定不存在 33． 有極限?連續? ?可微?偏導連續 ???有定義?偏導存在34．對 ???0f(sinx)dx?2?2f(sinx)dx進行推廣：0設f(x)在[0,1]上連續，且a?b?n?(n?0,1,2...)有以下結論：n?bf(sinx)dx?a?a2bn?b n為偶數xf(cosx)dx?f(cosx)dx?a?a2（2）若f(x)為偶函數，則（1）n為奇數bxf(sinx)dx?n?xf(sinx)dx??a2bn?xf(cosx)dx??a2b??babf(sinx)dxf(cosx)dxa35． 線、面積分中的對稱簡化 （1）對弧長的曲線積分設連續且分段光滑的平面線弧L關于y軸對稱，函數f(x,y)在L上有定義L 且連續，為x?0的半個區域，則： 2若f(-x,y)=f(x,y)s?2f(x,y)dsL?f(x,y)d?L2若f(-x,y)=-f(x,y)?Lf(x,y)d?s0例一I=?(xy?x2)ds,L為y=a2?x2L解：I=?(xy?x2)ds??xyds??x2ds?0?2?Lx2dsLLL2??2?2a2cos2??ad??0?2a3 例二3222I??(x?y)ds,L為x?y?R?L33解：I??(x?y)ds=xds+y（自己體會一下，為什么？）?????ds=0+0=0LLL（2）對坐標的曲線積分A.設連續且分段光滑的平面有向曲線弧L關于y軸對稱，函數P(x,y)在L上有定義L 且連續，為x?0的半個區域，則：2若P(-x,y)=P(x,y)?P(x,y)dx?2?LP(x,y)dxL2若P(-x,y)=-P(x,y)未完待續 ?LP(x,y)dx?0第二篇：考研高數全冊小結論
第三篇：高數小結論
第四篇：高數小結論
第五篇：高數小結論a
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