第一篇：論變式教學的高效性

論變式教學的高效性

摘要：“減負”的實施，讓學生從大量的習題中解放出來，培養學生的創新能力和解決問題的能力，是教師進行課堂教學改革所要追尋的最終目標。而實現這一目標的途徑是多方位、多角度、多因素的。筆者認為，注重變式教學是提高學生學習效率的一種強有力的教學措施。變式教學是對數學中的問題進行不同層次、不同情形、不同背景的變式，以暴露數學的本質，揭示不同知識點間內在聯系的一種教學方法。本文介紹了筆者在變式教學上的嘗試，旨在與同仁一起交流分享。

關鍵詞：變式教學；數學；高效

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）05-0102

題目：如圖1，在正方形ABCD中，點M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點。N是∠DCP的平分線上一點.若∠AMN=90°，求證：AM=MN.題目一拋出，思考片刻，有學生舉手。

學生1：看到∠AMN=90°這個條件，我想到構造“一線三等角”模型（如圖2）。過點N作NF⊥BP，易得∠1=∠2。再根據∠B=∠NFM=90°，得△ABM∽△MFN。

∵∠NCF=45°

∴設CF=NF=x，MC=y，BM=z，由△ABM∽△MFN得：■=■，∴■=■，化簡得：x=z。

∴■=■=■=1即AM=MN

學生2：要證明AM=MN，我想到構造全等三角形。在AB邊上截取AE=MC，連結EM。易得△EBM為等腰直角三角形，則∠AEM=∠MCN=135°，∵∠1=∠2，∴△AEM≌△MCN.∴AM=MN。

師：兩位同學的建模構造得非常漂亮！現在老師再給它找個雙胞胎兄弟。已知正方形ABCD和正方形ECGF如圖4放置（B、C、G三點共線），連結AF、DG交于點O，求證：∠AOD=45°。

生思考片刻，沒動靜。師啟發：45°角可以構造等腰直角三角形，要出現等腰三角形，我們同樣可以去構造全等三角形。

溫馨提示，可以參照圖3的解法。

生3：老師，我做出來了。如圖5，在BC邊上截取BH=CG，連結AH、FH，FH交DG于點M。則BC=AB=HG，BH=GF，∠B=∠FCG=90°，∴△ABH≌△HGF。∴AH=HF，∠1=∠2。∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°，得△AFH為等腰直角三角形。∴∠AFH=45°。又∵AD∥HG，AD=BC=HG，∴四?形AHGD為平行四邊形.∴HF⊥DG，∴∠AOD=∠FOM=45°。

話音剛落，其他學生忍不住為其鼓掌.多么敏捷的思維，多么嚴謹的語言。趁勝追擊，筆者將題進一步變式：現在老師讓調皮的小弟弟（小正方形ECGF）牽著哥哥的手（點C）旋轉到某個位置（如圖6），請問這時∠AOD還等于45°嗎？

學生紛紛點頭，嘴里嘀咕著：憑多年的解題經驗∠AOD應該還是45°。

師：那我們能不能用類似的方法去解決這種情況呢？

有學生馬上否定：肯定不是構造全等三角形了，因為此時點B、C、G不在同一條直線上，找不到剛才的那對全等三角形了。

師：哦，那我們要另尋方法了。構造不了等腰直角三角形，那我們想想，在正方形中，哪里可以找到45°的身影呢？

眾生齊答：連結正方形的對角線，對角線平分直角。

師繼續引導：所有的正方形都是相似圖形，那我們能不能從相似三角形著手試試呢？

學生有種“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的喜悅感，開始埋頭嘗試起來。

生4：老師，我真的解出來了。如圖7，連結AC、CF，設AF與DC的交點為點H.∵正方形ABCD和正方形ECGF。∴■=■=■。又∵∠ACF=45°+∠DCE+45°=90°+∠DCE，∠DCG=90°+∠DCE，∴∠ACF=∠DCG。∴△ACF∽△DCG。∴∠1=∠2。又∵∠AHC=∠DHO。∴∠AOD=∠ACD=45°。

師：非常棒！以上的三個題，我們體驗了根據題意出發，完美構造全等三角形和構造相似三角形，同時也體驗了從圖形特殊的位置（三點共線）到旋轉至任意位置的解題策略。

現在老師暫且給類似圖6的兩個雙胞胎（相似圖形）的一個頂點重合在一起的兩個圖形稱為“手牽手”型。剛才的兩個雙胞胎是正方形，老師在想，當雙胞胎的形狀發生改變時，不知還會不會有類似的結論。

這時，教室里開始一陣“騷動”，學生們開始躍躍欲試了。

生5：老師，我想到了最簡單但又很美的圖形――等腰直角三角形（該生邊說邊上臺畫出了圖8的圖形），然后自信滿滿地說：此時的∠AOC=45°。明白的同學請舉手。

在座的學生先是愣了一下，隨后不約而同地舉起了雙手！多么聰明的孩子啊，把正方形的另一半“拋棄”以后就成了這種“手牽手”型的，我不禁感嘆學生的聰穎與睿智！

受到了這位同學的啟發，其他學生也不甘落后，開始大膽猜測、驗證。

生6：老師，我覺得還可以是兩個等邊三角形“手牽手”型.如圖9，∵兩個等邊三角形相似，同理可得△ACE∽△BCD，∴∠1=∠2。又∵∠BHC=∠AHO。∴∠AOB=∠ACB=60°。

掌聲響起了，那是源自學生內心深處的喜悅啊！

生7：老師，老師，我還有發現.我覺得只要兩個頂角相等的等腰三角形“手牽手”，同理可得∠AOB=∠ACB，也就是∠AOB的度數等于等腰三角形的頂角度數。

生8：老師，我還總結出了這樣一個結論：“手牽手”型的三角形全等或相似都是SAS型的，其中兩邊是兩個相似圖形的大邊和小邊，夾角是它們的相等的內角加上公共角。

這時，教室里頓時沸騰起來，所有的學生向生7和生8投去了“羨慕、嫉妒、恨”的目光。此刻學生的思維已經達到了質的飛躍，從正方形的“手牽手”型著手，讓學生自己去觀察、發現、創造、概括，讓學生經歷了方法模型的過程，掌握了抓住基本圖形的變化，體會變中不變的性質，筆者認為這肯定是傳統課堂所嚴重缺失的部分。

“手牽手”型的變式歷程，讓筆者更加堅信變式教學的高效性，尤其是在教師引導下的學生自主地對題目進行改編并進行解答，能最大程度地激發學生的好奇心和求知欲，在變式訓練中提高學生識別和運用基本模型的能力，使學生的解題能力得到更高層次的提升，對學生思維發展提供知識再創造的過程，也使類比、轉化、特殊與一般數學思想在變題、解題過程中自然、完美地進行滲透，真正達到舉一反

三、觸類旁通的效果。

相信在變式的路上，抓住數學的本質，形散而神不散，一定會迎來繁花相送的美麗景象！

（作者單位：浙江省寧波市鄞州區姜山鎮中心初級中學 315100）

第二篇：變式教學

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怎樣進行變式教學

變式教學是指在教學過程中通過變更概念非本質的特征、改變問題的條件或結論、轉換問題的形式或內容，有意識、有目的地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究 “變”的規律的一種教學方式。數學變式教學是通過一個問題的變式來達到解決一類問題的目的，對引導學生主動學習，掌握數學“雙基”，領會數學思想，發展應用意識和創新意識，提高數學素養，形成積極的情感態度，養成良好的學習習慣，提高數學學習的能力都具有很好的積極作用。

一、類比變式，幫助學生理解數學知識的含義

初中數學具有一定的抽象性，許多數學概念概括性比較強，學生理解非常困難；有些知識包含了隱性內容，有僅僅依靠老師的情景創設和知識講解學生可能無法全面理解數學的內涵的，所以需要運用更加豐富的教學手段幫助學生理解數學知識。

例如在學習“分式的意義”時，一個分式的值為零是包含兩層含義：(1)分式的分子為零(2)分母不為零。因此，如果僅有“當x為何值時分式 的值為零”，此類簡單模仿性的問題，學生對“分子為零且分母不為零”這個條件還是很不清晰的，考慮“分母不為零” 意識還不會很強。但如果以下的變形訓練，教學效果會大不相同：

變形1：當x______時，分式 的值為零？

變形2：當x______時，分式 的值為零？

變形3：當x______時，分式 的值為零？ 通過以上的變形，可以對概念的理解逐漸加深，對概念中本質的東西有個非常清晰的認識，因此，數學變式教學有助于養成學生深入反思數學問題的習慣，善于抓住數學問題的本質和規律，探索相關數學問題間的內涵聯系以及外延關系。

二、模仿變式，更快熟悉數學的基本方法

數學方法是數學學習的一個重要內容，而這些數學方法的掌握往往需要通過適當改變問題的背景或者提問方式，通過模仿訓練來熟悉。所以，在教學中通過精心設計變式問題，或挖掘教材自身的資源可以更快地幫助學生熟悉數學的基本方法。

例如人教版課標教材八年級《數學》（上）中，為了使學生更好地掌握三角形全等的判定的“SSS”方法的運用，就很好地采用了變式教學的設計形式。

（1）如圖(1)，△ABC是一個鋼架，AB=AC，AD是連接點A和BC的中點D的支架，求證：△ABD≌△ACD；（例題1）

（2）如圖(2)，AB=AD,CB=CD,△ABC與△ADC全等嗎？(習題13.2中的復習鞏固)（3）如圖(3)，C是AB的中點，AD=CE,CD=BE，求證△ACD≌△CBE；(習題13.2中的復習鞏固)（4）如圖(4)，B、E、C、F在一條直線上，AB=DE,AC=DF,BE=CF.求證∠A＝∠D.(習題13.2中的綜合運用)教材中為了讓學生掌握“SSS”方法，首先安排了（1）中的簡單訓練，其中全等的兩個三角形有公共邊的三角形，相等關系較為直接，只要驗證全等的條件是否齊全、是否對應即可以；而（2）則是例1的圖形略為變形，旨在增強學生針對圖形變化應注意全等條件的驗證意識；（3）、（4）中的兩個三角形雖然已經一對邊之間有直接關系，但其中一對邊的相等關系需要經過簡單的推理而得到，難度有所加強，對學生是否掌握“SSS”方法的要求更高。這樣的變式訓練，讓學生通過模仿逐步掌握數學的基本方法，對初中學生有著更普遍的意義。

三、階梯變式，訓練中總結數學規律

初中數學內容的形式化趨勢比較明顯，而學生的對形式化的數學知識理解普遍感到困難，對某些規律的形式化的歸納往往更是無從下手，所以，適當地從學生的實際出發，設計變式教學環節，讓學生從變式問題中“變化量”的相互關系中，幫助學生總結數學規律。

例如人教版課標教材九年級《數學》（下）關于二次函數y=ax2的圖像的對稱軸、頂點、開口等變化規律與a的取值的的關系時就是采用變式教學的形式，讓學生通過類比推理總結出這類函數的性質的規律的。

首先，用描點法分別畫出兩個簡單的二次函數“y= x2”和“ y=2x2”的圖像，引導學生通過觀察它們與“y=x2”的圖像的不同點、共同點，發現如下結論：

（1）三個函數對稱軸都是y軸；（2）三個函數的頂點都是原點；（3）開口均向上。

其次，進行變式后再嘗試驗證。同樣用描點法別畫出兩個簡單的二次函數“y=-x2”、“y=-x2”、“ y=-2x2”的圖像引導學生通過觀察它們與圖像的不同點、共同點的系數的可以引導學生驗證上述結論，發現（1）、（2）依然成立，而（3）有了不同的變化，就是拋物線的開口方向實際上與函數中系數的正負有關，當a＞0時，開口向上；當a＜0時開口向下。

這樣，因為需要對圖形的幾何性質等規律性知識進行總結或驗證時，從簡單的一類問題開始進行變式，借助變式教學的方法可以很好地提高學生的學習效率，數學中其它規律的發現與驗證都可以使用變式教學。

四、拓展變式，有利于學生形成數學知識之間的聯系

數學知識之間的聯系往往不是十分明顯，經常隱藏于例題或習題之中，教學中如果重視對課本例題和習題的“改裝”或引申，進行必要的挖掘，即通過一個典型的例題進行拓展，最大可能的覆蓋知識點，把分散的知識點串成一條線，往往會起到意想不到的效果，有利于學生知識的建構。

? 例如下面問題可以進行充分運用會有更加意想不到的效果：

如圖

（一）在DABC中，?/SPAN>B=?/SPAN>C，點D是邊BC上的一點，DE^AC，DF^AB，垂足分別是E、F，AB=10cm，DE=5cm，DF=3 cm，求（1）SDABC。（2）AB上的高。

上題通過連接AD分割成兩個以腰為底的三角形即可求解SDABC=40 cm2 ；借助于添加AB上的高CH，利用面積公式和第一題的結論，不難求的AB上的高為8cm。我在教學中并未把求得結論作為終極目標，而是繼續問：3+5=8，在此題中是否是一個巧合？探究DE、DF、CH之間的內在聯系，（引導學生猜想CH=DE+DF）。

引出變式題（1）如圖

（二）在DABC中，?/SPAN>B=?/SPAN>C，點D是邊BC上的任一點，DE^AC，DF^AB，CH^AB，垂足分別是E、F、H，求證：CH=DE+DF 在計算例題的基礎上，學生已經具有了用面積的不同求法把各條垂線段聯系起來的意識，此題的證明很容易解決。

在學生思維的積極性充分調動起來的此時，我又借機給出變式（2）如圖

（三）在等邊DABC中，P是形內任意一點，PD^AB于D，PE^BC于E，PF^AC于F，求證PD+PE+PF是一個定值。通過這組變式訓練，面積法在幾何計算和證明中的應用得到了很好的體現，同時這一組變式訓練經歷了一個特殊到一般的過程，有助于深化、鞏固知識，學生猜想、歸納能力也有了進一步提高，更重要的是培養學生的問題意識和探究意識。

五、背景變式，強化學生數學思維的訓練

在解題教學的思維訓練中，通過改變問題背景進行變式訓練是一種很有效的方法。通過從不同角度去改變題目，通過解題后的反思，歸納出同一類問題的解題思維的形成過程與方法的采用，通過改變條件，可以讓學生對滿足不同條件的情況作出正確的分析，通過改變結論等培養學生推理、探索的思維能力，使學生的思維更加靈活性和嚴密性。

例如：已知等腰三角形的腰長是5，底長為6，求周長。我們可以將此例題進行一題多變。

變式1：已知等腰三角形一腰長為5，周長為16，求底邊長。變式2：已等腰三角形一邊長為5；另一邊長為

6，求周長。

變式3：已知等腰三角形的一邊長為2，另一邊長為16，求周長。

變式4：已知等腰三角形的腰長為x，求底邊長y的取值范圍。

變式5：已知等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，周長是16。請先寫出二者的函數關系式，再在平面直角坐標內畫出二者的圖象。

變式1是在原問題的基礎上訓練學生的逆向思維能力，變式2與前兩題相比需要改變思維策略，進行分類討論，而變式3中的“5”顯然只能為底的長，否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養學生思維嚴密性，變式4與前面相比，要求又提高了，特別是對條件0﹤y﹤2x的理解運用，是完成此問題的關鍵。通過問題的層層變式，學生對三邊關系定理的認識又深了一步，有利于培養學生從特殊到一般，從具體到抽象地分析問題、解決問題；通過例題解法多變的教學則有利于幫助學生形成思維定勢，而又打破思維定勢，有利于培養思維的靈活性和嚴密性。

變式教學實際上是在教學中根據數學教學要求、授課對象、數學教材內容和教學環境形成的一種教學方法。變式教學是一種教學形式,要想它能取得較好的課堂教學效益，必須充分考慮上述教學因素；變式教學就是外因，學生的學習活動則是內因，變式教學能為學生提供更多的主動參與學習的時間、空間,促進學生學習的內化的機會。

第三篇：變式教學釋義

變式教學釋義

1引言

在新課程標準的指引下，數學教學方法也在不斷改進、創新。數學教學不應局限于一個狹窄的課本知識領域里，應該是讓學生對知識和技能初步理解與掌握后，進一步的深化和熟練，使學生在學習中學會運用課本的知識舉一反三，應用數學“變式教學”的方法是十分有效的手段。所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉化。即教師可不斷更換命題中的非本質特征；變換問題中的條件或結論；轉換問題的內容和形式；配置實際應用的各種環境，但應保留好對象中的本質因素，從而使學生掌握數學對象的本質屬性。在學校做了幾年的數學教師，下面我結合自己的教學對數學變式教學談幾點看法。

變式教學的原則

1.1 針對性原則 數學課通常有新授課、習題課和復習課，數學變式教學中遇到最多的是概念變式和習題變式。對于不同的授課，變式教學服務的對象也應不同。例如，新授課的習題或概念變式應服務于本節課的教學目的；習題課的習題變式應以本章節內容為主，適當滲透一些數學思想和數學方法；復習課的習題變式不但要滲透數學思想和數學方法，還要進行縱向和橫向的聯系。

1.2 適用性原則 選擇課本內容進行變式，不能“變”得過于簡單，過于簡單的變式題對學生來說是重復勞動，學生思維的質量得不到很好的提高；也不能“變”得過于難，難度太大容易挫傷學生的學習積極性，起不到很好的教學效果。因此在選擇課本習題進行變式時要根據教學目標和學生的學習現狀，在適當的范圍內變式。

1.3 參與性原則 在變式教學中，教師不能總是自己變題，然后讓學生練，要鼓勵學生主動參與變題，然后再練習，這樣能更好鍛煉學生的思維能力。

變式教學的方法

下面舉一些具體的例子，談談變式教學的方法。

2.1 變換條件或結論 變換條件或結論是將原題的條件或結論進行變動或加深，但所用的知識不離開原題的范圍。

在學習函數的單調性時，老師可以講解這樣的例題：判斷函數在指定區間內的單調性。y=x2，x∈(0，+∞)。變式1：y=x2，x∈（-∞，0）可讓學生練習。變式2：y=x2，將后面的條件都去掉，問學生此時函數的單調性，學生要認真思考，會發現此時這個函數不具備單調性。又如在三角函數中，已知cosα=-，<α<π，求α的其他三角函數值。已知了α的范圍，相對來說解題比較簡單。如果作這樣的變式：已知cosα=-，求α的其他三角函數值，改變后的題少了一個條件，角α的范圍，這樣就要分情況討論了。這樣的變式可以讓學生接觸到同一類型題的不同情況，有利于學生更全面的掌握所學知識。

2.2 條件一般化 條件一般化是指將原題中特殊條件，改為具有普遍性的條件，使題目具有一般性，這是設計變式題經常考慮的一種方法。

已知拋物線的方程是y2=4x，在曲線上求一點M（x，y），使它到原點的距離最短。變式1：已知拋物線的方程是y2=4x，在曲線上求一點M（x，y），使它到點A（a，0）的距離最短。變式2：已知拋物線的方程是y2=2px，在曲線上求一點M（x，y），使它到原點的距離最短。

這種變式將特殊的條件變得更一般，符合由特殊到一般的認識規律，學生容易接受。

2.3 聯系實際 聯系實際是將數學問題與日常生活中常見的問題聯系起來，這要求教師要有豐富的生活經驗和數學應用意識，教師在教學過程中，要創設情景，引起或指引學生進行聯想，讓學生知道數學與生活是緊密聯系，不可分割的，很多數學問題在生活中都能找到模型。通過聯系實際的變式教學來提高學生應用數學的意識和學習數學的興趣。

已知拋物線的焦點是F（0，8），準線方程是y=8，求拋物線的標準方程。這是完完全全的數學問題，可將這類題變式為：橋洞是拋物線拱形，當水面寬4米時，橋洞高2米，當水面下降1米后，水面的寬是多少？

這樣與實際結合的變式練習，能提高學生學習數學的興趣，從而更好的達到教學目的。

變式教學在數學教學中的作用

3.1 運用變式教學能促進學生學習的主動性。課堂教學效果很大程度上取決于學生的參與情況，這就首先要求學生有學習的主動性，有了學習主動性才能積極參與學習。增強學生在課堂中的主動學習意識，使學生真正成為課堂的主人，是現代數學教學的趨勢。變式教學使一題多用，多題重組，給人一種新鮮、生動的感覺，能喚起學生的好奇心和求知欲，因而能夠產生主動參與學習的動力，保持其參與教學活動的興趣和熱情

3.2 運用變式教學能培養學生的創新精神。創新，即通過舊的知識，新的組合，得出新的結果的過程。“新”可以是與別人不一樣的，也可以是自己新的提高，它突出與眾不同。創新學習的關鍵是培養學生的“問題’意識，學生有疑問，才會去思考，才能有所創新。在課堂中運用變式教學可以引導學生多側面，多角度，多渠道地思考問題，讓學生多探討，多爭論，能有效地訓練學生思維創造性，大大地激發了學生的興趣，從而培養了學生的創新能力。

3.3 運用變式教學能培養學生思維的深刻性。變式教學變換問題的條件和結論，變換問題的形式，但不改變問題的本質，使本質的東西更全面。使學生學習時不只是停留于事物的表象，而能自覺地從本質看問題，同時學會比較全面地看問題，注意從事物之間的聯系的矛盾上來理解事物的本質，在一定程度上可以克服和減少思維僵化及思維惰性，從而可以更深刻地理解課堂教學的內容。

變式教學可以讓教師有目的、有意識地引導學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，可以幫助學生使所學的知識點融會貫通，從而讓學生在無窮的變化中領略數學的魅力，體會學習數學的樂趣。總之，在新課標下的教師要不斷更新觀念，因材施教，繼續完善好“變式”教學模式，最終達到提高教學質量的目的，并為學生學好數學、用好數學打下良好的基礎。

第四篇：變式教學讀后感（推薦）

變式教學研究讀后感

對于一個毫無毫無教學經歷并且對變式教學一無所知的我來說,想要讀懂看懂這篇文章無疑是難如登天。在這里，我就大膽的寫下我閱讀時的聯想和感想。

文章的開始比較了中國、日本和美國的數學教學和數學學業成就，有些西方學者認為中國數學教學是“被動灌輸”和“機械訓練”的，也有少數西方學者認為中國數學教學是精心設計的而并非是機械的單純講授式的。我從小學到大學都接受著傳統的中國數學教學，我認為它就是一門藝術，一門科學藝術，老師對課堂教學的精心設計，使得知識更加容易被理解掌握。

對于變式，我之前的認識僅僅就是中學數學題目里的變式

一、變式二等。如，二次函數定義式的變式：

2f(x)?ax?bx?c，其中a,b,c為常數且a?0。二次函數定義式：

2f(x)?a(x?m)?n,其中a，m,n為常數且a?0，(m,n)為其圖像的頂變式一：點。

變式二：個根。

變式一和變式二的靈活運用為我們的解題帶來的極大的便利，相信這種經驗大家都是親身感受過的。

到底什么是變式呢？百度百科如是說:變式一是指通過變更對象的非本質特征以突出對象的本質特征而形成的表現形式。二是指通過變更對象的本質特征以突出對象的非本質特征，從而顯示概念的內涵發生了變化。它的特點就是變更人們觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質特征，突出那些隱蔽的本質要素。

在學習過程中,老師反復強調要舉一反三,只有通過舉一反三，我們才能觸類旁通。而且通過老師精心挑選的的變式題,使我們免于“題海戰術”的折磨，從而減輕了我們的負擔，同時讓我們深化了對知識點的理解。另外,無論中考高考還是其他的一些考試都要根據考試大綱出題,而這些考試題目也就是我們課本例題和練習題的變式,因此變式教學也是一種高f(x)?a(x?x1)(x?x2)，其中a?0，x1、x22是方程ax?bx?c?0的兩效的應試教學模式。

然而，說到中國教育的不足，文中也提到中國學生在解決應用性和開放性等問題上不盡人意，這也是我國教育不能忽視的問題。因此培養學生的探究能力和實際問題的解決能力是我國教育努力的方向。老師要拋給學生一些問題但不直接給予答案，讓學生根據問題自己動手實踐、分析探究，自行提取信息，互相交流討論并最終解決問題。在這一環節中還應注重學生與學生，學生與教師之間的相互協作關系，培養學生的人際交往能力以及合作的意識和能力。現在的社會是團結合作共同發展的社會，學習上也要發展分享和合作的團隊精神。

閱讀了這篇文章之后，對于我自己，我有以下收獲：對變式有了進一步的表面認識。變式有概念性變式（使學生獲得對概念的多角度理解）和過程性變式，其中概念變式又分為標準變式和非標準變式，我想對于一個數學師范生來說，這些變式本質和作用的清楚理解以及合理運用理應是我們必備的技能。但對于目前的我們來說，去理解這樣的一篇文章都有很大的難度，可見我們專業知識的匱乏。而且，隨著教學模式的進一步發展和改革，未來，我們需要學習和掌握的理論也會不斷增加，并且要懂得將理論用于實踐中去。教育是一門科學藝術，想要教書育人，我們必須要有真材實料并堅持持之以恒地學習。

第五篇：2變式教學論文

變式教學優化思維品質

———高一一節二次函數求最值的變式教學課有感

摘要：本文通過引用一節二次函數求最值的變式教學課，著重論述了變式教學對培養學生思維的連貫性，嚴密性，深刻性，廣闊性，變通性，雙向性，靈活性，發散性和創造性等方面來闡述變式教學的優越性，優化課堂效率。

關鍵詞：變式教學，培養，思維

變式教學是指教師將數學中各種知識點有效地組合起來，從最簡單的命題入手，不斷變換問題的條件或者結論或者情景，層層推進，逐漸揭示出問題的本質特征的一種教學方式。在不斷的變化中去尋找數學的規律性，使學生從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，使所有知識點融會貫通，從而透過現象，看到本質，這就是人們常講的“萬變不離其宗”。通過變式對數學問題多角度、多方位、多層次的討論和思考，能幫助學生打通知識關節，找到解題方法，拓寬解題思路，對于優化課堂效率，提高解題能力，培養思維的連貫性，嚴密性，深刻性，廣闊性，變通性，雙向性，靈活性，發散性和創造性等方面都是大有益處的。

引例（1）求f(x)?x2?2x?1在R上的最小值

（2）求f(x)?x2?2x?1在[2,3]上的最小值（3）求f(x)?x2?2x?1在[0,3]上的最小值

本堂課由一個二次函數，在三個不同的區間上求最小值的問題引入，揭露出二次函數求最值的本質，于何處取得最值？關鍵是圖像對稱軸與區間的關系的討論。區間不同，結果也不同，體現出在解決函數問題時，定義域的重要性，即所研究問題的范圍。問題串式編題，既有相同之處，又有細微區別，區別之處揭露本質。

一、改變條件加入討論構造變式，培養思維的嚴密性和深刻性

變式教學不是為了變式而變式，而是要根據教學與學習的需要，遵循學生的認知規律，在重要處和關鍵處進行變式，讓學生充分領會問題的本質，實現教學目標。

變式一

求f(x)?x?2x?1在[0,a]上的值域

(1)當0

(3)當a>2時,min=0,max=f(a),? 值域為[0,a2-2a+1]

變式二

求f(x)?x2?2x?1在[a,a+2]上的值域

，當a??1時，f(x)?[f(a?2),f(a)]當?1?a?0時，f(x)?[0,f(a)]當0

二、調換參數位置構造變式，培養思維的廣闊性和變通性

數學教學中由一個基本問題出發，運用類比，聯想等思維方式，可以構造出很多數學問題情境。在類比的變式中，引導學生在變中看到不變的本質，找到解決問題的主思路。

變式三

求f(x)?x?2kx?1在[-1,1]上的最小值m(k)

當k<-1時，m(k)=f(-1)=2+2k當-1?k?1時，m(k)=f(k)=-k2?1當k>1時，m(k)=f(1)=2-2k?2+2k,k<-1?綜上：m(k)=?-k2?1,-1?k?1?2-2k,k>1?

變式四

求f(x)?kx?2x?1在[-1,1]上的最大值M(k)當k=0時，M(k)=f(-1)=3當k>0時，M(k)=f(-1)=k+3

1當k<0時，當<-1時，即-1

k1 當-1?<0時，即k?-1時，M(k)=f(k)=1-

kk?k?3k??1?綜上M(k)??1

1?k??1??k變式三和變式四將參數從區間的位置轉移到解析式處，變成軸變區間定的模型，訓練思維的變通性。但是變題的本質仍然沒有變，最關鍵的仍是何處取得最大值或者最小值，仍然是圖像的對稱軸與區間的關系。變式三和變式四比變式一和變式二在思維上實現了一點跳躍，一個是軸定區間動，一個是軸動區間定，要求學生思維上能靈活變通，善于抓住最本質不變的特征。但是從變式三到變式四，難度上又有稍稍遞進，從分類討論的角度，變式四要比變式三更復雜些，既要討論二次項系數為零，為正，為負等各種情況，又要討論各種情況下的對稱軸與區間的關系，即在左邊，在中間或者在右邊，在運算的過程中，根據參數的范圍，有時又可以省略掉一些討論，對于訓練學生思維的深刻性、嚴謹性和變通性大有益處。

二、已知最值反求參數構造變式，培養思維的雙向性和靈活性 此變式屬于逆向思維的變式，從已知參數求最值，到已知最值反過來求參數的變題訓練，可以有效的訓練思維的靈活性，防止僵化。但問題的關鍵仍然是函數在區間上的何處取得最大值，仍是討論圖像對稱軸與區間的關系，讓學生體會從變種掌握不變的本質。

變式五

已知f(x)?kx?2x?1在[-1,1]上的最大值為，求k的值

252?k?3k??151?解法一：在變式四時已解得M(k)??1，當M(k)?時，得 k??

221?k??1??k解法二：經圖像的分析，得到最大值取得無非是在區間端點處或者對稱軸處

57若f(?1)?,則k?,檢驗得不滿足22511若f(1)?,則k??,檢驗得滿足情況 綜上得k??222 157若f()?,則k?，檢驗得不滿足k22變式五與變式四是倆逆向思維的變題，在解決變式五中又從一題多解的角度體現了方法的多樣性與思維的靈活性。變式五在變式四的基礎上進行編排，省去了準備工作階段的很多重復運算，實現課堂效率的優化。方法一重分類討論解決二次函數最值的問題，方法二具有一定的巧妙性，是一種特殊法思想，體會樹形結合解決問題。分類討論思想和數形結合思想都是高中階段需要好好培養的兩種思想方法，說明本堂課的內容是豐富飽滿的。特殊法思想讓學生體驗常規之外的靈活多樣，訓練思維的靈活性。

四、轉變函數形式構造變式，培養思維的發散性和創造性

著名數學教育家波利亞曾形象的說：“好問題同某種蘑菇有些相似，它們大多成堆的成長，找到一個后，你應該在周圍找一找，很可能附近就有好幾個。”掌握上述題型的求解之后，我們還應舉一反三，經過適當變化之后，能看出問題考察的知識點本質是什么，將貌似不熟悉的題目化歸到我們所熟悉的題型；反之對于我們所熟悉的題型，也能發散出去，編寫創造出與其它知識點相聯系的變題。

變式六：（1）求f(x)??cosx2?2asinx?a的最小值

令t?sinx,轉化為求函數y?t2?2at?a?1在[?1,1]上的最小值，與變式三同類型。

（2）設a?0,若f(x)??cosx2?2asinx?b的最大值為0，最小值為-4,求a,b的值

令t?sinx,轉化為已知函數y?t2?2at?b?1在[?1,1]上的最小值為-4，最大值為1，求a,b的值，與變式五同類型.（3）求f(x)??（asinx+cosx）+sinxcosx的最小值

t21令t?sinx?cosx,t?[?2,2],轉化為求y??at?在[?2,2]上的最小值

22變式六重視培養學生的應用能力和化歸的思想，經過變形仍轉化為二次函數在區間的何處取得最值的問題。第（3）小題在難度和思維的發散上均達到一個高峰，要求學生既能領會問題的本質，又有較大的創新和變通能力，綜合性較強。變式六的類型其實與變式三和變式五同類型，只是結合了三角函數的知識，可以教師給出這些題讓學生通過適當換元看出問題的本質，也可以讓學生自己編出與上述題類似的變題。

試看我們平常的教學，師生往往陷于題海戰術中不能自拔，這種沙里淘金的方式，效果很不理想。變式教學運用各種變式挖掘、延伸、改造，即能運用較少的時間，將所學的知識條理化，系統化，揭露出問題最本質的特征，又能培養學生的思維能力，提高解決問題的應變能力，是一種能大大提高課堂效率為廣大學生所接受并喜愛的一種教學方式。減輕學業負擔，形成高超數學能力，優化思維品質，變式教學功不可沒。

參考文獻：

[1]中學數學，湖北大學中學數學雜志社，2009，（7）[2]中學數學，湖北大學中學數學雜志社，2009，（12）[3]中學數學月刊，蘇州大學出版社，2009，（11）