第一篇：第2章《圓錐曲線與方程-2.1 圓錐曲線》導學案

第2章 《圓錐曲線與方程-2.1》 導學案

教學過程

一、問題情境

2011年9月29日，中國成功發射了“天宮一號”飛行器，你知道“天宮一號”繞地球運行的軌跡是什么嗎？

二、數學建構

橢圓是物體運動的一種軌跡，物體運動的軌跡有很多，常見的還有直線、圓、拋物線等.一個平面截一個圓錐面，當平面經過圓錐面的頂點時，可得到兩條相交直線；當平面與圓錐面的軸垂直時，截得的圖形是一個圓.當我們改變平面的位置時，截得的圖形也在發生變化.請觀察圖1.(圖1)

對于第一種情形，可在截面的兩側分別放置一個球，使它們都與截面相切(切點分別為F1，F2)，且與圓錐面相切，兩球與圓錐面的公共點分別構成圓O1和圓O2(如圖2).(圖2)

設M是平面與圓錐面的截線上任一點，過點M作圓錐面的一條母線分別交圓O1和圓O2于P，Q兩點，則MP和MF1，MQ和MF2分別是上、下兩球的切線.因為過球外一點所作球的切線的長都相等，所以MF1=MP，MF2=MQ，故MF1+MF2=MP+MQ=PQ.因為PQ=VP-VQ，而VP，VQ是常數(分別為兩個圓錐的母線的長)，所以PQ是一個常數.也就是說，截線上任意一點到兩個定點F1，F2的距離的和等于常數.通過分析，給出橢圓的概念:

F2的距離的和等于常數(大于F1F2)的點的軌跡叫做橢圓，一般地，平面內到兩個定點F1，兩個定點F1，F2叫做橢圓的焦點，兩個焦點的距離叫做橢圓的焦距.問題1 為什么常數要大于F1F2？

解 因為動點與F1，F2構成三角形，三角形的兩邊之和大于第三邊，所以MF1+MF2>F1F2.問題2 若MF1+MF2=F1F2，動點M的軌跡是什么？ 解 線段F1F2.問題3 若MF1+MF2F1F2，動點M的軌跡不存在.拋物線的概念: 一般地，平面內到一個定點F和到一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線.說明:定點F不能在定直線l上，否則所得軌跡為過點F且與直線l垂直的一條直線.橢圓、雙曲線、拋物線統稱為圓錐曲線.三、數學運用

【例1】 已知定點P(0，3)和定直線l:y+3=0，動圓M過點P且與直線l相切，求證:圓心M的軌跡是一條拋物線.(見學生用書P15)[處理建議] 讓學生仔細審題，作出圖形，再引導學生對照拋物線的定義尋找相等關系，使問題得以解決.[規范板書] 證明 設圓M的半徑為r，點M到直線l的距離為d.∵動圓M過點P且與l相切，∴MP=r，d=r，∴MP=d.而點P不在l上，∴由拋物線的定義知圓心M的軌跡是一條拋物線.(例2)[題后反思] 本題要緊扣拋物線的定義，主要注意兩點:①到定點的距離等于到定直線的距離；②定點不在定直線上.【例2】(教材第27頁習題2.1第3題)如圖，圓F1在圓F2的內部，且點F1，F2不重合，求證:與圓F1外切且與圓F2內切的圓的圓心C的軌跡為橢圓.(見學生用書P16)[處理建議] 讓學生仔細審題，明確需要解決什么問題，再引導學生根據橢圓的定義尋找“到兩定點的距離之和為定值”的關系，使問題得以解決.[規范板書] 證明 設圓F1，F2的半徑分別為r1，r2，動圓C的半徑為t.依題意有CF1=r1+t，CF2=r2-t，消去t得CF1+CF2=r1+r2(一個大于F1F2的常數)，所以動圓圓心C的軌跡是以F1，F2為焦點的橢圓.[題后反思] 要證明某點的運動軌跡，可以先考慮動點是否滿足圓錐曲線的定義.本題要緊緊抓住到兩定點的距離之和為定值的動點的軌跡是橢圓這一定義.變式1 如圖，已知動圓C與圓F1，F2均外切(圓F1與圓F2相離)，試問:動點C的軌跡是什么曲線？

(變式1)

[處理建議] 從例2的解法中聯想思考，尋找動點滿足的幾何性質是什么.[規范板書] 解 雙曲線的一支.證明如下: 設圓F1，F2的半徑分別為r1，r2(r1>r2)，動圓C的半徑為t.依題意有CF1=r1+t，CF2=r2+t，消去t得CF1-CF2=r1-r2(一個小于F1F2的正數)，所以動圓圓心C的軌跡是以F1，F2為焦點的雙曲線的一支.[題后反思] 應引導學生學會利用圓錐曲線的定義直接得出軌跡.本題還有其他方式的變式:當兩圓相離時，動圓與兩圓均內切或與一圓內切與另一圓外切，其動圓圓心的軌跡均為雙曲線的一支.2 2 2 2變式2(1)動圓與圓C1:x+y=1和C2:(x-4)+y=4都外切，則動圓圓心的軌跡是雙曲線的一支.(2)動圓與圓C1:x 2+y 2=1和C2:(x-4)2+y 2=4都內切，則動圓圓心的軌跡是雙曲線的一支.(3)動圓與圓C1:x 2+y 2=1內切，與圓C2:(x-4)2+y 2=4外切，則動圓圓心的軌跡是雙曲線的一支.(4)動圓與圓C1:x 2+y 2=1外切，與圓C2:(x-4)2+y 2=4內切，則動圓圓心的軌跡是雙曲線的一支.*

2【例3】 已知圓F的方程為(x-2)+y=1，動圓P與圓F外切且和y軸相切.求證:動圓的圓心P在一條拋物線上運動，并請寫出這條拋物線的焦點坐標及準線方程.[處理建議] 因為要證明圓心P的軌跡是拋物線，所以可引導學生通過畫圖找到定點和定直線.[規范板書] 證明 設圓P的半徑為r，它與y軸相切于T，則PF=r+1，PT=r，所以PF=PT+1，作直線l:x=-1，PT的延長線交直線l于A，則PF=PA，故點P到定點F的距離等于它到直線l的距離，所以點P在以F(2，0)為焦點，直線l:x=-1為準線的拋物線上運動.[題后反思] 三種圓錐曲線的概念都與距離有關:橢圓和雙曲線的概念描述的都是點到點的距離；拋物線的概念描述的是點到點的距離，同時還有點到線的距離.圓與直線相切，能夠聯想到拋物線的條件.變式 點P到定點F(2，0)的距離比它到y軸的距離大1，求點P的軌跡.[處理建議] 引導學生考慮本題條件與哪種圓錐曲線的定義一致.[規范板書] 解 過點P作PT⊥y軸，垂足為T，所以PF=PT+1，作直線l:x=-1，PT的延長線交直線l于A，則PF=PA，故點P到定點F的距離等于它到直線l的距離，所以點P在以F(2，0)為焦點、直線l:x=-1為準線的拋物線上運動.[題后反思] 本題依然是屬于動點到定點和到定直線的距離，但不相等的問題，關鍵是

[2]將不等關系轉化為相等關系，可以培養學生類比推理、歸納猜想、轉化等數學思維能力.四、課堂練習

1.已知雙曲線的兩個焦點分別為F1(-3，0)和F2(3，0)，則此雙曲線的焦距為 6.2.已知點A(0，-2)，B(2，0)，動點M滿足|MA-MB|=2a(a為正常數).若點M的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線，則常數a的取值范圍為(0，提示 因為AB=

2).，即0

.，由雙曲線的定義知0<2a<23.若動圓M過點(3，2)，且與直線3x-2y-1=0相切，則點M的軌跡是拋物線.4.已知橢圓的兩個焦點分別為F1，F2，O為F1F2的中點，P為橢圓上任一動點，取線段PF1的中點Q，求證:動點Q的軌跡也是一個橢圓.證明 設PF1+PF2=m(定值)，且m>F1F2，則QF1+QO=PF1+PF2=m>F1F2=F1O，所以點Q的軌跡是一個橢圓.五、課堂小結

1.圓錐曲線可通過平面截圓錐面得到.當平面經過圓錐面的頂點時，可得到兩條相交直線；當平面與圓錐面的軸垂直時，截得的圖形是一個圓；當平面平行于圓錐面的軸時，截得的圖形是雙曲線；當平面平行于圓錐面的母線時，截得的圖形是拋物線；當平面既不平行、不垂直于圓錐面的軸也不平行于圓錐面的母線時，截得的圖形是橢圓.2.掌握三種圓錐曲線的定義，并注意:橢圓中常數大于兩個定點間距離，雙曲線中常數小于兩個定點間距離.3.會用圓錐曲線的定義判斷動點的軌跡.

第二篇：高二數學教案：圓錐曲線方程：02

橢圓及其標準方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程的推導及標準方程．(二)能力訓練點

通過對橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養學生分析探索能力，增強運用坐標法解決幾何問題的能力．

(三)學科滲透點

通過對橢圓標準方程的推導的教學，可以提高對各種知識的綜合運用能力．

二、教材分析

1．重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程．

(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強調；對橢圓的標準方程單獨列出加以比較．)2．難點：橢圓的標準方程的推導．

(解決辦法：推導分4步完成，每步重點講解，關鍵步驟加以補充說明．)3．疑點：橢圓的定義中常數加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說明動點的軌跡．)

三、活動設計

提問、演示、講授、詳細講授、演板、分析講解、學生口答．

四、教學過程(一)橢圓概念的引入

前面，大家學習了曲線的方程等概念，哪一位同學回答：

問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？ 對上述問題學生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學生溫故而知新，在已有知識基礎上去探求新知識．

提出這一問題以便說明標準方程推導中一個同解變形．

問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學生能回答：“平面內到一定點的距離為常數的點的軌跡是圓”．對同學提出的軌跡命題如：

“到兩定點距離之和等于常數的點的軌跡．” “到兩定點距離平方差等于常數的點的軌跡．” “到兩定點距離之差等于常數的點的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵同學們的探索精神．

比如說，若同學們提出了“到兩定點距離之和等于常數的點的軌跡”，那么動點軌跡是什么呢？這時教師示范引導學生繪圖：

取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(如圖2-13)，當繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓．

教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學說：“人造衛星運行軌道”等??

在此基礎上，引導學生概括橢圓的定義：

平面內到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距． 學生開始只強調主要幾何特征——到兩定點F1、F2的距離之和等于常數、教師在演示中要從兩個方面加以強調：

(1)將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需加限制條件：“在平面內”．

(2)這里的常數有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數大于|F1F2|”．

(二)橢圓標準方程的推導 1．標準方程的推導

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設點；(2)點的集合；(3)代數方程；(4)化簡方程等步驟．

(1)建系設點

建立坐標系應遵循簡單和優化的原則，如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當的．

以兩定點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖2-14)．設|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)點的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數方程

(4)化簡方程

化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規范的同學板演，其余同學在下面完成，教師巡視，適當給予提示：

①原方程要移項平方，否則化簡相當復雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對稱和諧而引入b，同時b還有幾何意義，下節課還要

(a＞b＞0)．

關于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．

示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標準方程的比較(引導學生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上．

(三)例題與練習

例題

平面內兩定點的距離是8，寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程．

分析：先根據題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數法得出軌跡方程． 解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示．取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個橢圓的標準方程是

請大家再想一想，焦點F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

練習1 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：

練習2 下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是

[

]

由學生口答，答案為D．(四)小結

1．定義：橢圓是平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

4．焦點：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．

五、布置作業

1．如圖2-17，在橢圓上的點中，A1與焦點F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標準方程．

3．求適合下列條件的橢圓的標準方程：

是過F1的直線被橢圓截得的線段長，求△ABF2的周長． 作業答案：

4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長為4a．

六、板書設計

第三篇：圓錐曲線教案

與圓錐曲線有關的幾種典型題

一、教學目標(一)知識教學點

使學生掌握與圓錐曲線有關的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線相交問題等．

(二)能力訓練點

通過對圓錐曲線有關的幾種典型題的教學，培養學生綜合運用圓錐曲線知識的能力．(三)學科滲透點

通過與圓錐曲線有關的幾種典型題的教學，使學生掌握一些相關學科中的類似問題的處理方法．

二、教材分析

1．重點：圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題．

(解決辦法：先介紹基礎知識，再講解應用．)2．難點：雙圓錐曲線的相交問題．

(解決辦法：要提醒學生注意，除了要用一元二次方程的判別式，還要結合圖形分析．)3．疑點：與圓錐曲線有關的證明問題．

(解決辦法：因為這類問題涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法，所以比較靈活，只能通過一些例題予以示范．)

三、活動設計

演板、講解、練習、分析、提問．

四、教學過程(一)引入

與圓錐曲線有關的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關的證明問題等，在圓錐曲線的綜合應用中經常見到，為了讓大家對這方面的知識有一個比較系統的了解，今天來講一下“與圓錐曲線有關的幾種典型題”．

(二)與圓錐曲線有關的幾種典型題 1．圓錐曲線的弦長求法

設圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，則弦長|AB|為：

(2)若弦AB過圓錐曲線的焦點F，則可用焦半徑求弦長，|AB|=|AF|+|BF|．

A、B兩點，旦|AB|=8，求傾斜角α． 分析一：由弦長公式易解． 由學生演板完成．解答為：

∵

拋物線方程為x2=-4y，∴焦點為(0，-1)． 設直線l的方程為y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1． 將此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0． ∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k．

∴ k=±1．

∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得結果，由學生課外完成．

2．與圓錐曲線有關的最值(極值)的問題

在解析幾何中求最值，關鍵是建立所求量關于自變量的函數關系，再利用代數方法求出相應的最值．注意點是要考慮曲線上點坐標(x，y)的取值范圍．

例2 已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值與最小值；(2)x+y的最大值與最小值． 解(1)：

將x2+4(y-1)2=4代入得： x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y

由點(x，y)滿足x2+4(y-1)2=4知：

4(y-1)2≤4

即|y-1|≤1．

∴0≤y≤2．

當y=0時，(x2+y2)min=0． 解(2)：

分析：顯然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，則將此代入x2+4(y-1)2=4中得關于y的一元二次方程，借助于判別式可求得最值．

令x+y=u，則有x=u-y．

代入x2+4(y-1)2=4得： 5y2-(2u+8)y+u2=0． 又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×u2≥0．

3．與圓錐曲線有關的證明問題

它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法．

例3 在拋物線x2＝4y上有兩點A(x1，y1)和B(x2，y2)且滿足|AB|=y1+y2+2，求證：

(1)A、B和這拋物線的焦點三點共線；

證明：

(1)∵拋物線的焦點為F(0，1)，準線方程為y=-1．

∴ A、B到準線的距離分別d1＝y1+1，d2=y2+1(如圖2－46所示)．

由拋物線的定義：

|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1．

∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB|． 即A、B、F三點共線．(2)如圖2－46，設∠AFK=θ． ∵|AF|=|AA1|=|AK|+2 =|AF|sinθ+2，又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ．

小結：與圓錐曲線有關的證明問題解決的關鍵是要靈活運用圓錐曲線的定義和幾何性質．

4．圓錐曲線與圓錐曲線的相交問題

直線與圓錐曲線相交問題，一般可用兩個方程聯立后，用△≥0來處理．但用△≥0來判斷雙圓錐曲線相交問題是不可靠的．解決這類問題：方法1，由“△≥0”

與直觀圖形相結合；方法2，由“△≥0”與根與系數關系相結合；方法3，轉換參數法(以后再講)．

實數a的取值范圍．

可得：y2=2(1-a)y+a2-4=0． ∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，如圖2－47，可知：

(三)鞏固練習(用一小黑板事先寫出．)

2．已知圓(x-1)2+y2=1與拋物線y2=2px有三個公共點，求P的取值范圍．

頂點．

請三個學生演板，其他同學作課堂練習，教師巡視．解答為： 1．設P的坐標為(x，y)，則

2．由兩曲線方程消去y得：x2-(2-2P)x=0． 解得：x1=0，x2=2-2P．

∵0＜x＜2，∴0＜2-2P＜2，即0＜P＜1． 故P的取值范圍為(0，1)．

四個交點為A(4，1)，B(4，-1)，C(-4，-1)，D(-4，1)． 所以A、B、C、D是矩形的四個頂點．

五、布置作業

1．一條定拋物線C1∶y2=1-x與動圓C2∶(x-a)2+y2=1沒有公共點，求a的范圍．

2．求拋線y=x2上到直線y=2x-4的距離為最小的點P的坐標． 3．證明：從雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于虛半軸長． 作業答案：

1．當x≤1時，由C1、C2的方程中消去y，得x2-(2a+1)x+a2=0，離為d，則

似證明．

六、板書設計

第四篇：人教版高中數學《圓錐曲線和方程》全部教案

人教版高中數學全部教案

橢圓及其標準方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程的推導及標準方程．(二)能力訓練點

通過對橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養學生分析探索能力，增強運用坐標法解決幾何問題的能力．

(三)學科滲透點

通過對橢圓標準方程的推導的教學，可以提高對各種知識的綜合運用能力．

二、教材分析

1．重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程．

(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強調；對橢圓的標準方程單獨列出加以比較．)2．難點：橢圓的標準方程的推導．

(解決辦法：推導分4步完成，每步重點講解，關鍵步驟加以補充說明．)3．疑點：橢圓的定義中常數加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說明動點的軌跡．)

三、活動設計

提問、演示、講授、詳細講授、演板、分析講解、學生口答．

四、教學過程(一)橢圓概念的引入

前面，大家學習了曲線的方程等概念，哪一位同學回答：

問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？

人教版高中數學全部教案

對上述問題學生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學生溫故而知新，在已有知識基礎上去探求新知識．

提出這一問題以便說明標準方程推導中一個同解變形．

問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學生能回答：“平面內到一定點的距離為常數的點的軌跡是圓”．對同學提出的軌跡命題如：

“到兩定點距離之和等于常數的點的軌跡．” “到兩定點距離平方差等于常數的點的軌跡．” “到兩定點距離之差等于常數的點的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵同學們的探索精神．

比如說，若同學們提出了“到兩定點距離之和等于常數的點的軌跡”，那么動點軌跡是什么呢？這時教師示范引導學生繪圖：

取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(如圖2-13)，當繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓．

教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學說：“人造衛星運行軌道”等??

在此基礎上，引導學生概括橢圓的定義：

平面內到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距．

人教版高中數學全部教案

學生開始只強調主要幾何特征——到兩定點F1、F2的距離之和等于常數、教師在演示中要從兩個方面加以強調：

(1)將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需加限制條件：“在平面內”．

(2)這里的常數有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數大于|F1F2|”．

(二)橢圓標準方程的推導 1．標準方程的推導

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設點；(2)點的集合；(3)代數方程；(4)化簡方程等步驟．

(1)建系設點

建立坐標系應遵循簡單和優化的原則，如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當的．

以兩定點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖2-14)．設|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)點的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．

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(3)代數方程

(4)化簡方程

化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規范的同學板演，其余同學在下面完成，教師巡視，適當給予提示：

①原方程要移項平方，否則化簡相當復雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對稱和諧而引入b，同時b還有幾何意義，下節課還要

(a＞b＞0)．

關于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．

示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標準方程的比較(引導學生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到．

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教師指出：在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上．

(三)例題與練習

例題

平面內兩定點的距離是8，寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程．

分析：先根據題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數法得出軌跡方程． 解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示．取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個橢圓的標準方程是

請大家再想一想，焦點F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

練習1 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：

練習2 下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是

[

]

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由學生口答，答案為D．(四)小結

1．定義：橢圓是平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

4．焦點：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．

五、布置作業

1．如圖2-17，在橢圓上的點中，A1與焦點F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標準方程．

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3．求適合下列條件的橢圓的標準方程：

是過F1的直線被橢圓截得的線段長，求△ABF2的周長． 作業答案：

4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長為4a．

六、板書設計

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橢圓及其標準方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程的推導及標準方程．(二)能力訓練點

通過對橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養學生分析探索能力，增強運用坐標法解決幾何問題的能力．

(三)學科滲透點

通過對橢圓標準方程的推導的教學，可以提高對各種知識的綜合運用能力．

二、教材分析

1．重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程．

(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強調；對橢圓的標準方程單獨列出加以比較．)2．難點：橢圓的標準方程的推導．

(解決辦法：推導分4步完成，每步重點講解，關鍵步驟加以補充說明．)

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3．疑點：橢圓的定義中常數加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說明動點的軌跡．)

三、活動設計

提問、演示、講授、詳細講授、演板、分析講解、學生口答．

四、教學過程(一)橢圓概念的引入

前面，大家學習了曲線的方程等概念，哪一位同學回答：

問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？

對上述問題學生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學生溫故而知新，在已有知識基礎上去探求新知識．

提出這一問題以便說明標準方程推導中一個同解變形．

問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學生能回答：“平面內到一定點的距離為常數的點的軌跡是圓”．對同學提出的軌跡命題如：

“到兩定點距離之和等于常數的點的軌跡．” “到兩定點距離平方差等于常數的點的軌跡．” “到兩定點距離之差等于常數的點的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵同學們的探索精神．

比如說，若同學們提出了“到兩定點距離之和等于常數的點的軌跡”，那么動點軌跡是什么呢？這時教師示范引導學生繪圖：

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取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(如圖2-13)，當繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓．

教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學說：“人造衛星運行軌道”等??

在此基礎上，引導學生概括橢圓的定義：

平面內到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距．

學生開始只強調主要幾何特征——到兩定點F1、F2的距離之和等于常數、教師在演示中要從兩個方面加以強調：

(1)將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需加限制條件：“在平面內”．

(2)這里的常數有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數大于|F1F2|”．

(二)橢圓標準方程的推導 1．標準方程的推導

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設點；(2)點的集合；(3)代數方程；(4)化簡方程等步驟．

(1)建系設點

建立坐標系應遵循簡單和優化的原則，如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當的．

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以兩定點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖2-14)．設|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)點的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數方程

(4)化簡方程

化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規范的同學板演，其余同學在下面完成，教師巡視，適當給予提示：

①原方程要移項平方，否則化簡相當復雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對稱和諧而引入b，同時b還有幾何意義，下節課還要

(a＞b＞0)．

關于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．

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示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標準方程的比較(引導學生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上．

(三)例題與練習

例題

平面內兩定點的距離是8，寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程．

分析：先根據題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數法得出軌跡方程． 解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示．取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個橢圓的標準方程是

請大家再想一想，焦點F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

人教版高中數學全部教案

練習1 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：

練習2 下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是

[

]

由學生口答，答案為D．(四)小結

1．定義：橢圓是平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

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4．焦點：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．

五、布置作業

1．如圖2-17，在橢圓上的點中，A1與焦點F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標準方程．

3．求適合下列條件的橢圓的標準方程：

人教版高中數學全部教案

是過F1的直線被橢圓截得的線段長，求△ABF2的周長． 作業答案：

4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長為4a．

六、板書設計

橢圓的幾何性質

一、教學目標(一)知識教學點

人教版高中數學全部教案

通過橢圓標準方程的討論，使學生掌握橢圓的幾何性質，能正確地畫出橢圓的圖形，并了解橢圓的一些實際應用．

(二)能力訓練點

通過對橢圓的幾何性質的教學，培養學生分析問題和解決實際問題的能力．(三)學科滲透點

使學生掌握利用方程研究曲線性質的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關系概念的理解，這樣才能解決隨之而來的一些問題，如弦、最值問題等．

二、教材分析

1．重點：橢圓的幾何性質及初步運用．

(解決辦法：引導學生利用方程研究曲線的性質，最后進行歸納小結．)2．難點：橢圓離心率的概念的理解．

(解決辦法：先介紹橢圓離心率的定義，再分析離心率的大小對橢圓形狀的影響，最后通過橢圓的第二定義講清離心率e的幾何意義．)3．疑點：橢圓的幾何性質是橢圓自身所具有的性質，與坐標系選擇無關，即不隨坐標系的改變而改變．

(解決辦法：利用方程分析橢圓性質之前就先給學生說明．)

三、活動設計

提問、講解、閱讀后重點講解、再講解、演板、講解后歸納、小結．

四、教學過程(一)復習提問

1．橢圓的定義是什么？ 2．橢圓的標準方程是什么？ 學生口述，教師板書．(二)幾何性質

根據曲線的方程研究曲線的幾何性質，并正確地畫出它的圖形，是

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b＞0)來研究橢圓的幾何性質．說明：橢圓自身固有幾何量所具有的性質是與坐標系選擇無關，即不隨坐標系的改變而改變．

1．范圍

即|x|≤a，|y|≤b，這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里(圖2-18)．注意結合圖形講解，并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點．

2．對稱性

先請大家閱讀課本橢圓的幾何性質2．

設問：為什么“把x換成-x，或把y換成-y？，或把x、y同時換成-x、-y時，方程都不變，所以圖形關于y軸、x軸或原點對稱的” 呢？

事實上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當點P(x，y)在曲線上時，點P關于y軸的對稱點Q(-x，y)也在曲線上，所以曲線關于y軸對稱．類似可以證明其他兩個命題．

同時向學生指出：如果曲線具有關于y軸對稱、關于x軸對稱和關于原點對稱中的任意兩種，那么它一定具有另一種對稱．如：如果曲線關于x軸和原點對稱，那么它一定關于y軸對稱．

事實上，設P(x，y)在曲線上，因為曲線關于x軸對稱，所以點P1(x，-y)必在曲線上．又因為曲線關于原點對稱，所以P1關于原點對稱點P2(-x，y)必在曲線上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲線上，所以曲線關于y軸對稱．

最后指出：x軸、y軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心即橢圓中心． 3．頂點

人教版高中數學全部教案

只須令x=0，得y=±b，點B1(0，-b)、B2(0，b)是橢圓和y軸的兩個交點；令y=0，得x=±a，點A1(-a，0)、A2(a，0)是橢圓和x軸的兩個交點．強調指出：橢圓有四個頂點A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．

教師還需指出：

(1)線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b；

(2)a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；

這時，教師可以小結以下：由橢圓的范圍、對稱性和頂點，再進行描點畫圖，只須描出較少的點，就可以得到較正確的圖形．

4．離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

等到介紹橢圓的第二定義時，再講清離心率e的幾何意義． 先分析橢圓的離心率e的取值范圍： ∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．

再結合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響：

(2)當e接近0時，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓；(3)當e=0時，c=0，a=b兩焦點重合，橢圓的標準方程成為x2+y2=a2，圖形就是圓了．

(三)應用

為了加深對橢圓的幾何性質的認識，掌握用描點法畫圖的基本方法，給出如下例1．

人教版高中數學全部教案

例1 求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用描點法畫出它的圖形．

本例前一部分請一個同學板演，教師予以訂正，估計不難完成．后一部分由教師講解，以引起學生重視，步驟是：

(2)描點作圖．先描點畫出橢圓在第一象限內的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫出整個橢圓(圖2-19)．要強調：利用對稱性可以使計算量大大減少．

本例實質上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統一定義做準備的，同時再一次使學生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細講解：

設d是點M到直線l的距離，根據題意，所求軌跡就是集合P={M

人教版高中數學全部教案

將上式化簡，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．

這是橢圓的標準方程，所以點M的軌跡是橢圓． 由此例不難歸納出橢圓的第二定義．(四)橢圓的第二定義 1．定義

平面內點M與一個定點的距離和它到一定直線的距離的比是常數

線叫做橢圓的準線，常數e是橢圓的離心率． 2．說明

這時還要講清e的幾何意義是：橢圓上一點到焦點的距離和它到準線的距離的比．

(五)小結

人教版高中數學全部教案

解法研究圖形的性質是通過對方程的討論進行的，同一曲線由于坐標系選取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性質是一樣的，即與坐標系的選取無關．前面我們著重分析了第一個標準方程的橢圓的性質，類似可以理解第二個標準方程的橢圓的性質．布置學生最后小結下列表格：

五、布置作業

1．求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、各個頂點和焦點坐標、準線方程：

(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．

2．我國發射的科學實驗人造地球衛星的運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，近地點距地面266Km，遠地點距地面1826Km，求這顆衛星的軌道方程．

3．點P與一定點F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形． 的方程． 作業答案：

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4．頂點(0，2)可能是長軸的端點，也可能是短軸的一個端點，故分兩種情況求方程：

六、板書設計

橢圓的幾何性質

人教版高中數學全部教案

一、教學目標(一)知識教學點

通過橢圓標準方程的討論，使學生掌握橢圓的幾何性質，能正確地畫出橢圓的圖形，并了解橢圓的一些實際應用．

(二)能力訓練點

通過對橢圓的幾何性質的教學，培養學生分析問題和解決實際問題的能力．(三)學科滲透點

使學生掌握利用方程研究曲線性質的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關系概念的理解，這樣才能解決隨之而來的一些問題，如弦、最值問題等．

二、教材分析

1．重點：橢圓的幾何性質及初步運用．

(解決辦法：引導學生利用方程研究曲線的性質，最后進行歸納小結．)2．難點：橢圓離心率的概念的理解．

(解決辦法：先介紹橢圓離心率的定義，再分析離心率的大小對橢圓形狀的影響，最后通過橢圓的第二定義講清離心率e的幾何意義．)3．疑點：橢圓的幾何性質是橢圓自身所具有的性質，與坐標系選擇無關，即不隨坐標系的改變而改變．

(解決辦法：利用方程分析橢圓性質之前就先給學生說明．)

三、活動設計

提問、講解、閱讀后重點講解、再講解、演板、講解后歸納、小結．

四、教學過程(一)復習提問

1．橢圓的定義是什么？ 2．橢圓的標準方程是什么？

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學生口述，教師板書．(二)幾何性質

根據曲線的方程研究曲線的幾何性質，并正確地畫出它的圖形，是

b＞0)來研究橢圓的幾何性質．說明：橢圓自身固有幾何量所具有的性質是與坐標系選擇無關，即不隨坐標系的改變而改變．

1．范圍

即|x|≤a，|y|≤b，這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里(圖2-18)．注意結合圖形講解，并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點．

2．對稱性

先請大家閱讀課本橢圓的幾何性質2．

設問：為什么“把x換成-x，或把y換成-y？，或把x、y同時換成-x、-y時，方程都不變，所以圖形關于y軸、x軸或原點對稱的” 呢？

事實上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當點P(x，y)在曲線上時，點P關于y軸的對稱點Q(-x，y)也在曲線上，所以曲線關于y軸對稱．類似可以證明其他兩個命題．

同時向學生指出：如果曲線具有關于y軸對稱、關于x軸對稱和關于原點對稱中的任意兩種，那么它一定具有另一種對稱．如：如果曲線關于x軸和原點對稱，那么它一定關于y軸對稱．

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事實上，設P(x，y)在曲線上，因為曲線關于x軸對稱，所以點P1(x，-y)必在曲線上．又因為曲線關于原點對稱，所以P1關于原點對稱點P2(-x，y)必在曲線上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲線上，所以曲線關于y軸對稱．

最后指出：x軸、y軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心即橢圓中心． 3．頂點

只須令x=0，得y=±b，點B1(0，-b)、B2(0，b)是橢圓和y軸的兩個交點；令y=0，得x=±a，點A1(-a，0)、A2(a，0)是橢圓和x軸的兩個交點．強調指出：橢圓有四個頂點A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．

教師還需指出：

(1)線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b；

(2)a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；

這時，教師可以小結以下：由橢圓的范圍、對稱性和頂點，再進行描點畫圖，只須描出較少的點，就可以得到較正確的圖形．

4．離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

等到介紹橢圓的第二定義時，再講清離心率e的幾何意義． 先分析橢圓的離心率e的取值范圍： ∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．

再結合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響：

(2)當e接近0時，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓；

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(3)當e=0時，c=0，a=b兩焦點重合，橢圓的標準方程成為x2+y2=a2，圖形就是圓了．

(三)應用

為了加深對橢圓的幾何性質的認識，掌握用描點法畫圖的基本方法，給出如下例1． 例1 求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用描點法畫出它的圖形．

本例前一部分請一個同學板演，教師予以訂正，估計不難完成．后一部分由教師講解，以引起學生重視，步驟是：

(2)描點作圖．先描點畫出橢圓在第一象限內的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫出整個橢圓(圖2-19)．要強調：利用對稱性可以使計算量大大減少．

本例實質上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統一定義做準備的，同時再一次使學生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細講解：

設d是點M到直線l的距離，根據題意，所求軌跡就是集合P={M

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將上式化簡，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．

這是橢圓的標準方程，所以點M的軌跡是橢圓． 由此例不難歸納出橢圓的第二定義．(四)橢圓的第二定義 1．定義

平面內點M與一個定點的距離和它到一定直線的距離的比是常數

線叫做橢圓的準線，常數e是橢圓的離心率． 2．說明

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這時還要講清e的幾何意義是：橢圓上一點到焦點的距離和它到準線的距離的比．

(五)小結

解法研究圖形的性質是通過對方程的討論進行的，同一曲線由于坐標系選取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性質是一樣的，即與坐標系的選取無關．前面我們著重分析了第一個標準方程的橢圓的性質，類似可以理解第二個標準方程的橢圓的性質．布置學生最后小結下列表格：

五、布置作業

1．求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、各個頂點和焦點坐標、準線方程：

(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．

2．我國發射的科學實驗人造地球衛星的運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，近地點距地面266Km，遠地點距地面1826Km，求這顆衛星的軌道方程．

3．點P與一定點F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形． 的方程．

人教版高中數學全部教案

作業答案：

4．頂點(0，2)可能是長軸的端點，也可能是短軸的一個端點，故分兩種情況求方程：

六、板書設計

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雙曲線及其標準方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生掌握雙曲線的定義和標準方程，以及標準方程的推導．(二)能力訓練點

在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識，從而培養學生分析、歸納、推理等能力．(三)學科滲透點

本次課注意發揮類比和設想的作用，與橢圓進行類比、設想，使學生得到關于雙曲線的定義、標準方程一個比較深刻的認識．

二、教材分析

1．重點：雙曲線的定義和雙曲線的標準方程．

(解決辦法：通過一個簡單實驗得出雙曲線，再通過設問給出雙曲線的定義；對于雙曲線的標準方程通過比較加深認識．)2．難點：雙曲線的標準方程的推導．

(解決辦法：引導學生完成，提醒學生與橢圓標準方程的推導類比．)3．疑點：雙曲線的方程是二次函數關系嗎？

(解決辦法：教師可以從引導學生回憶函數定義和觀察雙曲線圖形來解決，同時讓學生在課外去研究在什么附加條件下，雙曲線方程可以轉化為函數式．)

三、活動設計

提問、實驗、設問、歸納定義、講解、演板、口答、重點講解、小結．

四、教學過程(一)復習提問

1．橢圓的定義是什么？(學生回答，教師板書)

人教版高中數學全部教案

平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．教師要強調條件：(1)平面內；(2)到兩定點F1、F2的距離的和等于常數；(3)常數2a＞|F1F2|．

2．橢圓的標準方程是什么？(學生口答，教師板書)

(二)雙曲線的概念

把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點的軌跡會怎樣？它的方程是怎樣的呢？

1．簡單實驗(邊演示、邊說明)如圖2-23，定點F1、F2是兩個按釘，MN是一個細套管，兩條細繩分別拴在按釘上且穿過套管，點M移動時，|MF1|-|MF2|是常數，這樣就畫出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數，可以畫出另一支．

注意：常數要小于|F1F2|，否則作不出圖形．這樣作出的曲線就叫做雙曲線． 2．設問

問題1：定點F1、F2與動點M不在平面上，能否得到雙曲線？ 請學生回答，不能．強調“在平面內”． 問題2：|MF1|與|MF2|哪個大？

請學生回答，不定：當M在雙曲線右支上時，|MF1|＞|MF2|；當點M在雙曲線左支上時，|MF1|＜|MF2|．

問題3：點M與定點F1、F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|？

請學生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正確表示為||MF2|-|MF1||．

人教版高中數學全部教案

問題4：這個常數是否會大于等于|F1F2|？

請學生回答，應小于|F1F2|且大于零．當常數=|F1F2|時，軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線；當常數＞|F1F2|時，無軌跡．

3．定義

在上述基礎上，引導學生概括雙曲線的定義：

平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點F1、F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距．

教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記．(三)雙曲線的標準方程

現在來研究雙曲線的方程．我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程．這時設問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學生回答，主要引起學生思考，隨即引導學生給出雙曲線的方程的推導．

標準方程的推導：(1)建系設點

取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)

建立直角坐標系．

設M(x，y)為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐標分別是(-c，0)、(c，0)．又設點M與F1、F2的距離的差的絕對值等于常數．

(2)點的集合

由定義可知，雙曲線就是集合：

人教版高中數學全部教案

P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．(3)代數方程

(4)化簡方程(由學生演板)將這個方程移項，兩邊平方得：

化簡得：

兩邊再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

(以上推導完全可以仿照橢圓方程的推導．)由雙曲線定義，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 設c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2．

這就是雙曲線的標準方程．

兩種標準方程的比較(引導學生歸納)：

人教版高中數學全部教案

教師指出：

(1)雙曲線標準方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果x2項的系數是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數是正的，那么焦點在y軸上．注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標軸上．

(3)雙曲線標準方程中a、b、c的關系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2．(四)練習與例題

1．求滿足下列的雙曲線的標準方程： 焦點F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；

3．已知兩點F1(-5，0)、F2(5，0)，求與它們的距離的差的絕對值是6的點的軌跡方程．如果把這里的數字6改為12，其他條件不變，會出現什么情況？

由教師講解：

按定義，所求點的軌跡是雙曲線，因為c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．

人教版高中數學全部教案

因為2a=12，2c=10，且2a＞2c． 所以動點無軌跡．(五)小結

1．定義：平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡．

3．圖形(見圖2-25)：

4．焦點：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)． 5．a、b、c的關系：c2=a2+b2；c=a2+b2．

五、布置作業

1．根據下列條件，求雙曲線的標準方程：

(1)焦點的坐標是(-6，0)、(6，0)，并且經過點A(-5，2)；

3．已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦點坐標． 作業答案：

人教版高中數學全部教案

2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1

六、板書設計

人教版高中數學全部教案

雙曲線及其標準方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生掌握雙曲線的定義和標準方程，以及標準方程的推導．(二)能力訓練點

在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識，從而培養學生分析、歸納、推理等能力．(三)學科滲透點

本次課注意發揮類比和設想的作用，與橢圓進行類比、設想，使學生得到關于雙曲線的定義、標準方程一個比較深刻的認識．

二、教材分析

1．重點：雙曲線的定義和雙曲線的標準方程．

(解決辦法：通過一個簡單實驗得出雙曲線，再通過設問給出雙曲線的定義；對于雙曲線的標準方程通過比較加深認識．)2．難點：雙曲線的標準方程的推導．

(解決辦法：引導學生完成，提醒學生與橢圓標準方程的推導類比．)3．疑點：雙曲線的方程是二次函數關系嗎？

人教版高中數學全部教案

(解決辦法：教師可以從引導學生回憶函數定義和觀察雙曲線圖形來解決，同時讓學生在課外去研究在什么附加條件下，雙曲線方程可以轉化為函數式．)

三、活動設計

提問、實驗、設問、歸納定義、講解、演板、口答、重點講解、小結．

四、教學過程(一)復習提問

1．橢圓的定義是什么？(學生回答，教師板書)平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．教師要強調條件：(1)平面內；(2)到兩定點F1、F2的距離的和等于常數；(3)常數2a＞|F1F2|．

2．橢圓的標準方程是什么？(學生口答，教師板書)

(二)雙曲線的概念

把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點的軌跡會怎樣？它的方程是怎樣的呢？

1．簡單實驗(邊演示、邊說明)如圖2-23，定點F1、F2是兩個按釘，MN是一個細套管，兩條細繩分別拴在按釘上且穿過套管，點M移動時，|MF1|-|MF2|是常數，這樣就畫出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數，可以畫出另一支．

注意：常數要小于|F1F2|，否則作不出圖形．這樣作出的曲線就叫做雙曲線． 2．設問

人教版高中數學全部教案

問題1：定點F1、F2與動點M不在平面上，能否得到雙曲線？ 請學生回答，不能．強調“在平面內”． 問題2：|MF1|與|MF2|哪個大？

請學生回答，不定：當M在雙曲線右支上時，|MF1|＞|MF2|；當點M在雙曲線左支上時，|MF1|＜|MF2|．

問題3：點M與定點F1、F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|？

請學生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正確表示為||MF2|-|MF1||． 問題4：這個常數是否會大于等于|F1F2|？

請學生回答，應小于|F1F2|且大于零．當常數=|F1F2|時，軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線；當常數＞|F1F2|時，無軌跡．

3．定義

在上述基礎上，引導學生概括雙曲線的定義：

平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點F1、F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距．

教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記．(三)雙曲線的標準方程

現在來研究雙曲線的方程．我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程．這時設問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學生回答，主要引起學生思考，隨即引導學生給出雙曲線的方程的推導．

標準方程的推導：(1)建系設點

取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)

人教版高中數學全部教案

建立直角坐標系．

設M(x，y)為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐標分別是(-c，0)、(c，0)．又設點M與F1、F2的距離的差的絕對值等于常數．

(2)點的集合

由定義可知，雙曲線就是集合：

P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．(3)代數方程

(4)化簡方程(由學生演板)將這個方程移項，兩邊平方得：

化簡得：

兩邊再平方，整理得：

人教版高中數學全部教案

(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

(以上推導完全可以仿照橢圓方程的推導．)由雙曲線定義，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 設c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2．

這就是雙曲線的標準方程．

兩種標準方程的比較(引導學生歸納)：

教師指出：

(1)雙曲線標準方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果x2項的系數是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數是正的，那么焦點在y軸上．注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標軸上．

(3)雙曲線標準方程中a、b、c的關系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2．(四)練習與例題

1．求滿足下列的雙曲線的標準方程： 焦點F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；

人教版高中數學全部教案

3．已知兩點F1(-5，0)、F2(5，0)，求與它們的距離的差的絕對值是6的點的軌跡方程．如果把這里的數字6改為12，其他條件不變，會出現什么情況？

由教師講解：

按定義，所求點的軌跡是雙曲線，因為c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．

因為2a=12，2c=10，且2a＞2c． 所以動點無軌跡．(五)小結

1．定義：平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡．

3．圖形(見圖2-25)：

人教版高中數學全部教案

4．焦點：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)． 5．a、b、c的關系：c2=a2+b2；c=a2+b2．

五、布置作業

1．根據下列條件，求雙曲線的標準方程：

(1)焦點的坐標是(-6，0)、(6，0)，并且經過點A(-5，2)；

3．已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦點坐標． 作業答案：

2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1

人教版高中數學全部教案

六、板書設計

雙曲線的幾何性質

一、教學目標(一)知識教學點

使學生理解并掌握雙曲線的幾何性質，并能從雙曲線的標準方程出發，推導出這些性質，并能具體估計雙曲線的形狀特征．

(二)能力訓練點

在與橢圓的性質的類比中獲得雙曲線的性質，從而培養學生分析、歸納、推理等能力．(三)學科滲透點

使學生進一步掌握利用方程研究曲線性質的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關系概念的理解，這樣才能解決雙曲線中的弦、最值等問題．

人教版高中數學全部教案

二、教材分析

1．重點：雙曲線的幾何性質及初步運用．

(解決辦法：引導學生類比橢圓的幾何性質得出，至于漸近線引導學生證明．)2．難點：雙曲線的漸近線方程的導出和論證．

(解決辦法：先引導學生觀察以原點為中心，2a、2b長為鄰邊的矩形的兩條對角線，再論證這兩條對角線即為雙曲線的漸近線．)3．疑點：雙曲線的漸近線的證明．(解決辦法：通過詳細講解．)

三、活動設計

提問、類比、重點講解、演板、講解并歸納、小結．

四、教學過程

(一)復習提問引入新課

1．橢圓有哪些幾何性質，是如何探討的？

請一同學回答．應為：范圍、對稱性、頂點、離心率，是從標準方程探討的． 2．雙曲線的兩種標準方程是什么？

再請一同學回答．應為：中心在原點、焦點在x軸上的雙曲線的標

下面我們類比橢圓的幾何性質來研究它的幾何性質．(二)類比聯想得出性質(性質1～3)引導學生完成下列關于橢圓與雙曲線性質的表格(讓學生回答，教師引導、啟發、訂正并板書)．<見下頁>(三)問題之中導出漸近線(性質4)

人教版高中數學全部教案

在學習橢圓時，以原點為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對于估計

仍以原點為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形(板書圖形)，那么雙曲線和這個矩形有什么關系？這個矩形對于估計和畫出雙曲線簡圖(圖2-26)有什么指導意義？這些問題不要求學生回答，只引起學生類比聯想．

接著再提出問題：當a、b為已知時，這個矩形的兩條對角線的方程是什么？

下面，我們來證明它：

雙曲線在第一象限的部分可寫成：

人教版高中數學全部教案

當x逐漸增大時，|MN|逐漸減小，x無限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON．

在其他象限內也可以證明類似的情況．

現在來看看實軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點在y軸上的雙曲線方程是由焦點在x軸上的雙曲線方程，將x、y字

人教版高中數學全部教案

母對調所得到，自然前者漸近線方程也可由后者漸近線方程將x、y字

這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠處趨向問題，從而可比較精

再描幾個點，就可以隨后畫出比較精確的雙曲線．(四)順其自然介紹離心率(性質5)由于正確認識了漸近線的概念，對于離心率的直觀意義也就容易掌握了，為此，介紹一下雙曲線的離心率以及它對雙曲線的形狀的影響：

變得開闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊．

這時，教師指出：焦點在y軸上的雙曲線的幾何性質可以類似得出，雙曲線的幾何性質與坐標系的選擇無關，即不隨坐標系的改變而改變．

(五)練習與例題

1．求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程．

人教版高中數學全部教案

請一學生演板，其他同學練習，教師巡視，練習畢予以訂正．

由此可知，實半軸長a=4，虛半軸長b=3．

焦點坐標是(0，-5)，(0，5)．

本題實質上是雙曲線的第二定義，要重點講解并加以歸納小結．

解：設d是點M到直線l的距離，根據題意，所求軌跡就是集合：

人教版高中數學全部教案

化簡得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

這就是雙曲線的標準方程．

由此例不難歸納出雙曲線的第二定義．(六)雙曲線的第二定義 1．定義(由學生歸納給出)平面內點M與一定點的距離和它到一條直線的距離的比是常數e=

叫做雙曲線的準線，常數e是雙曲線的離心率． 2．說明

(七)小結(由學生課后完成)將雙曲線的幾何性質按兩種標準方程形式列表小結．

五、布置作業

1．已知雙曲線方程如下，求它們的兩個焦點、離心率e和漸近線方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144．

第五篇：圓錐曲線統一的極坐標方程及應用

圓錐曲線統一的極坐標方程及應用

以圓錐曲線的焦點（橢圓的左焦點、雙曲線的右焦點、拋物線的焦點）為極點，過極點引相應準線的垂線的反向延長線為極軸，則圓錐曲線的統一極坐標方程為??ep，其中e為離心率，p是焦點到相應準線的距離。1?ecos?

例

1、過雙曲線x2?y2?4的右焦點F作傾斜角為105?的直線交雙曲線于P,Q兩點，則|FP|?|FQ|的值為例

2、拋物線y2?4x的焦點為F，準線為l，經過F且斜率為3的直線與拋物線在x軸上

方的部分交于點A，AK?l，垂足為K，則?AKF的面積是（）

A.4B.3C.43D.8

例

3、中心在原點O的橢圓右焦點為F（3,0），右準線l的方程為x?12.（1）求橢圓的方程；

（2）在橢圓上任取三個不同的點P1、P2、P3，使?P1FP2??P2FP3??P3FP1,證明：

111為定值，并求出此定值。??|FP1||FP2||FP3|