第一篇：2018年高考沖刺圓錐曲線

2018年高考沖刺圓錐曲線

一．選擇題（共13小題）

1．已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=10和點M（5，t），若圓C上存在兩點A，B，使得MA⊥MB，則實數t的取值范圍為（）A．[﹣2，6] B．[﹣3，5]

C．[2，6] D．[3，5]

2．已知圓x2+y2=1，點A（1，0），△ABC內接于圓，且∠BAC=60°，當B、C在圓上運動時，BC中點的軌跡方程是（）A．x2+y2= B．x2+y2= C．x2+y2=（x＜）

D．x2+y2=（x＜）

3．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圓，則a的值為（）A．a=1或a=﹣2 B．a=2或a=﹣1

C．a=﹣1

D．a=2

4．從直線x﹣y+3=0上的點向圓x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切線，則切線長的最小值為（）A． B． C．

D．

﹣1

5．由方程x2+y2+x+（m﹣1）y+m2=0所確定的圓中，最大面積是（）A．π B．π C．3π D．不存在

﹣

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線6．已知雙曲線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形（O為原點），則雙曲線的方程為（）A． B．

C．

D．

7．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（）A．16 B．14 C．12 D．10 8．已知橢圓C：

=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab=0相切，則C的離心率為（）

第1頁（共16頁）

A． B． C． D．

=1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，9．設A，B是橢圓C：+則m的取值范圍是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，D．（0，]∪[4，+∞）

]∪[9，+∞）

C．（0，1]∪[4，+∞）10．設F為拋物線C：y2=4x的焦點，曲線y=（k＞0）與C交于點P，PF⊥x軸，則k=（）A． B．1 C． D．2

+

=1（a＞b＞0）的左焦點，A，B分11．已知O為坐標原點，F是橢圓C：別為C的左，右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸，過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E．若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為（）A． B． C． D．

12．設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y2=2px（p＞0）上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|=2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為（）A． B． C．

D．1

13．已知拋物線y2=8x的焦點為F，直線y=k（x﹣2）與此拋物線相交于P，Q兩點，則+=（）C．2

D．4 A． B．1

二．填空題（共2小題）

14．過點M（1，1）作斜率為﹣的直線與橢圓C：

+

=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于

． 15．已知雙曲線﹣

=1（a＞0，b＞0）的焦距為2c，右頂點為A，拋物線x2=2py

第2頁（共16頁）

（p＞0）的焦點為F，若雙曲線截拋物線的準線所得線段長為2c，且|FA|=c，則雙曲線的漸近線方程為

．

第3頁（共16頁）

2018年高考沖刺圓錐曲線

參考答案與試題解析

一．選擇題（共13小題）

1．已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣4）2=10和點M（5，t），若圓C上存在兩點A，B，使得MA⊥MB，則實數t的取值范圍為（）A．[﹣2，6] B．[﹣3，5]

C．[2，6] D．[3，5]，即可求出實數t的取值范圍．，【分析】由題意，|CM|≤【解答】解：由題意，|CM|≤∴（5﹣1）2+（t﹣4）2≤20，∴2≤t≤6，故選C．

【點評】本題考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，正確轉化是關鍵．

2．已知圓x2+y2=1，點A（1，0），△ABC內接于圓，且∠BAC=60°，當B、C在圓上運動時，BC中點的軌跡方程是（）A．x2+y2= B．x2+y2= C．x2+y2=（x＜）

D．x2+y2=（x＜）

【分析】將圓周角為定值轉化為圓心角為定值，結合圓心距構成的直角三角形得OD=，從而得BC中點的軌跡方程． 【解答】解：設BC中點是D，∵圓心角等于圓周角的一半，∴∠BOD=60°，在直角三角形BOD中，有OD=OB=，故中點D的軌跡方程是：x2+y2=，如圖，由角BAC的極限位置可得，x＜，故選D．

第4頁（共16頁）

【點評】本題主要考查求軌跡方程，解決與平面幾何有關的軌跡問題時，要充分考慮到圖形的幾何性質，這樣會使問題的解決簡便些．

3．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圓，則a的值為（）A．a=1或a=﹣2 B．a=2或a=﹣1

C．a=﹣1

D．a=2

【分析】由二次項額系數相等不等于0，且化為一般式后滿足D2+E2﹣4F＞0聯立求解a的取值范圍．

【解答】解：若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圓，則，解得a=﹣1．

故選C．

【點評】本題考查了二元二次方程表示圓的條件，解答的關鍵是充分理解圓的一般式方程，是基礎題．

4．從直線x﹣y+3=0上的點向圓x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切線，則切線長的最小值為（）A． B． C．

D．

﹣1

【分析】由題意畫出圖形，求出圓心到直線x﹣y+3=0的距離，再由勾股定理求得切線長的最小值．

【解答】解：圓x2+y2﹣4x﹣4y+7=0化為（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，圓心為C（2，2），半徑為1，如圖，第5頁（共16頁）

直線x﹣y+3=0上的點向圓x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切線，要使切線長的最小，則直線上的點與圓心的距離最小，由點到直線的距離公式可得，|PC|=∴切線長的最小值為故選：B．

【點評】本題考查圓的切線方程，考查了直線與圓位置關系的應用，是基礎題．

5．由方程x2+y2+x+（m﹣1）y+m2=0所確定的圓中，最大面積是（）A．π B．π C．3π D．不存在

．

．

【分析】圓的方程配方化為標準方程后，表示出圓心坐標和半徑的平方，根據二次函數求最值的方法求出半徑的最大值時k的值，此時圓的面積最大，即可得出結論．

【解答】解：將方程配方，得（x+）2+（y+∴r2max=，此時m=﹣1． ∴最大面積是故選：B．

【點評】此題考查學生會將圓的方程化為圓的標準方程，掌握二次函數求最大值的方法是關鍵．

6．已知雙曲線﹣

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線．）2=

．

上，△OAF是邊長為2的等邊三角形（O為原點），則雙曲線的方程為（）

第6頁（共16頁）

A． B． C． D．

【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b關系，通過c=2，求解a，b，然后等到雙曲線的方程． 【解答】解：雙曲線

﹣

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形（O為原點），可得c=2，即，解得a=1，b=故選：D．，雙曲線的焦點坐標在x軸，所得雙曲線方程為：．

【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力．

7．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（）A．16 B．14 C．12 D．10

【分析】方法一：根據題意可判斷當A與D，B，E關于x軸對稱，即直線DE的斜率為1，|AB|+|DE|最小，根據弦長公式計算即可． 方法二：設直線l1的傾斜角為θ，則l2的傾斜角為 式分別表示出|AB|，|DE|，整理求得答案

【解答】解：如圖，l1⊥l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，要使|AB|+|DE|最小，則A與D，B，E關于x軸對稱，即直線DE的斜率為1，又直線l2過點（1，0），則直線l2的方程為y=x﹣1，聯立方程組，則y2﹣4y﹣4=0，+θ，利用焦點弦的弦長公

第7頁（共16頁）

∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=?|y1﹣y2|=

×

=8，∴|AB|+|DE|的最小值為2|DE|=16，方法二：設直線l1的傾斜角為θ，則l2的傾斜角為 根據焦點弦長公式可得|AB|=|DE|==

=

=

+θ，∴|AB|+|DE|=∵0＜sin22θ≤1，+==，∴當θ=45°時，|AB|+|DE|的最小，最小為16，故選：A

【點評】本題考查了拋物線的簡單性質以及直線和拋物線的位置關系，弦長公式，對于過焦點的弦，能熟練掌握相關的結論，解決問題事半功倍屬于中檔題．

8．已知橢圓C：

=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段

第8頁（共16頁）

A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab=0相切，則C的離心率為（）A． B． C．

D．

【分析】以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab=0相切，可得原點到直線的距離=a，化簡即可得出．

【解答】解：以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab=0相切，∴原點到直線的距離

=a，化為：a2=3b2．

∴橢圓C的離心率e==故選：A．

=．

【點評】本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與圓相切的性質、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

9．設A，B是橢圓C：+

=1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則m的取值范圍是（）A．（0，1]∪[9，+∞）B．（0，D．（0，]∪[4，+∞）

]∪[9，+∞）

C．（0，1]∪[4，+∞）【分析】分類討論，由要使橢圓C上存在點M滿足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，當假設橢圓的焦點在x軸上，tan∠AMO=得橢圓的焦點在y軸上時，m＞3，tan∠AMO=取值范圍．

【解答】解：假設橢圓的焦點在x軸上，則0＜m＜3時，設橢圓的方程為：y＞0，則a2﹣x2=

≥tan60°，當即可求，即可求得m的≥tan60°=

（a＞b＞0），設A（﹣a，0），B（a，0），M（x，y），第9頁（共16頁）

∠MAB=α，∠MBA=β，∠AMB=γ，tanα=，tanβ=，=﹣

=﹣則tanγ=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=﹣=﹣=﹣，∴tanγ=﹣，當y最大時，即y=b時，∠AMB取最大值，∴M位于短軸的端點時，∠AMB取最大值，要使橢圓C上存在點M滿足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=解得：0＜m≤1；

≥tan60°=，當橢圓的焦點在y軸上時，m＞3，當M位于短軸的端點時，∠AMB取最大值，要使橢圓C上存在點M滿足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=∴m的取值范圍是（0，1]∪[9，+∞）故選A．

≥tan60°=，解得：m≥9，第10頁（共16頁）

【點評】本題考查橢圓的標準方程，特殊角的三角函數值，考查分類討論思想及數形結合思想的應用，考查計算能力，屬于中檔題．

10．設F為拋物線C：y2=4x的焦點，曲線y=（k＞0）與C交于點P，PF⊥x軸，則k=（）A． B．1 C． D．2

【分析】根據已知，結合拋物線的性質，求出P點坐標，再由反比例函數的性質，可得k值．

【解答】解：拋物線C：y2=4x的焦點F為（1，0），曲線y=（k＞0）與C交于點P在第一象限，由PF⊥x軸得：P點橫坐標為1，代入C得：P點縱坐標為2，故k=2，故選：D

【點評】本題考查的知識點是拋物線的簡單性質，反比例函數的性質，難度中檔．

11．已知O為坐標原點，F是橢圓C：

+

=1（a＞b＞0）的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸，過點A的直線l與線段PF

第11頁（共16頁）

交于點M，與y軸交于點E．若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為（）A． B． C． D．

【分析】由題意可得F，A，B的坐標，設出直線AE的方程為y=k（x+a），分別令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐標，再由中點坐標公式可得H的坐標，運用三點共線的條件：斜率相等，結合離心率公式，即可得到所求值． 【解答】解：由題意可設F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），設直線AE的方程為y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），設OE的中點為H，可得H（0，），由B，H，M三點共線，可得kBH=kBM，即為=，=，即為a=3c，化簡可得可得e==． 故選：A．

【點評】本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用橢圓的方程和性質，以及直線方程的運用和三點共線的條件：斜率相等，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．

12．設O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y2=2px（p＞0）上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|=2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為（）A． B． C．

D．1，y0），要求kOM的最大值，設y0＞0，【分析】由題意可得F（，0），設P（運用向量的加減運算可得=+=（+，），再由直線的斜率公式，結合基本不等式，可得最大值．

第12頁（共16頁）

【解答】解：由題意可得F（，0），設P（顯然當y0＜0，kOM＜0；當y0＞0，kOM＞0． 要求kOM的最大值，設y0＞0，則=+=+

=

+（﹣），y0），=+=（+，），可得kOM==≤=，當且僅當y02=2p2，取得等號． 故選：C．

【點評】本題考查拋物線的方程及運用，考查直線的斜率的最大值，注意運用基本不等式和向量的加減運算，考查運算能力，屬于中檔題．

13．已知拋物線y2=8x的焦點為F，直線y=k（x﹣2）與此拋物線相交于P，Q兩點，則+=（）C．2

D．4 A． B．1 【分析】由拋物線y2=8x可得焦點F（2，0），因此直線y=k（x﹣2）過焦點．把直線方程與拋物線方程聯立得到根與系數的關系，利用弦長公式即可得出． 【解答】解：由拋物線y2=8x可得焦點F（2，0），因此直線y=k（x﹣2）過焦點． 設P（x1，y1），Q（x2，y2）．，則聯立，|FQ|=x2+2．

．化為k2x2﹣（8+4k2）x+4k2=0（k≠0）．

∵△＞0，∴，x1x2=4．

第13頁（共16頁）

∴+====．

故選A．

【點評】本題考查了拋物線的焦點弦問題，屬于中檔題．

二．填空題（共2小題）

14．過點M（1，1）作斜率為﹣的直線與橢圓C：

+

=1（a＞b＞0）相交

． 于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于

【分析】利用點差法，結合M是線段AB的中點，斜率為﹣，即可求出橢圓C的離心率．

【解答】解：設A（x1，y1），B（x2，y2），則∵M是線段AB的中點，∴=1，=1，①，②，∵直線AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），∵過點M（1，1）作斜率為﹣的直線與橢圓C：A，B兩點，M是線段AB的中點，∴①②兩式相減可得∴a=∴∴e==b，=b，．

第14頁（共16頁）

+=1（a＞b＞0）相交于，即，故答案為：．

【點評】本題考查橢圓的離心率，考查學生的計算能力，正確運用點差法是關鍵．

15．已知雙曲線﹣

=1（a＞0，b＞0）的焦距為2c，右頂點為A，拋物線x2=2py（p＞0）的焦點為F，若雙曲線截拋物線的準線所得線段長為2c，且|FA|=c，則雙曲線的漸近線方程為 y=±x ．

【分析】求出雙曲線的右頂點A（a，0），拋物線x2=2py（p＞0）的焦點及準線方程，根據已知條件得出線的漸近線方程為：y=±x． 【解答】解：∵右頂點為A，∴A（a，0），∵F為拋物線x2=2py（p＞0）的焦點，F，及，求出a=b，得雙曲∵|FA|=c，∴

拋物線的準線方程為由得，由①②，得∵c2=a2+b2，∴a=b，∴雙曲線的漸近線方程為：y=±x，故答案為：y=±x．

【點評】熟練掌握圓錐曲線的圖象與性質是解題的關鍵．

第15頁（共16頁）

=2c，即c2=2a2，第16頁（共16頁）

第二篇：高考沖刺

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第三篇：高考圓錐曲線題型歸類總結50

高考圓錐曲線題型歸類總結50 高考圓錐曲線的七種題型；題型一：定義的應用；

1、圓錐曲線的定義：；（1）橢圓；（2）橢圓；（3）橢圓；

2、定義的應用；（1）尋找符合條件的等量關系；（2）等價轉換，數形結合；

3、定義的適用條件：；典型例題；例

1、動圓M與圓C1:(x+1)+y=36內切,；例

2、方程；題型二：圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程；

1、橢圓：由

2、雙曲線：由，分母的大小決高考圓錐曲線的七種題型

題型一：定義的應用

1、圓錐曲線的定義：（1）橢圓（2）橢圓（3）橢圓

2、定義的應用

（1）尋找符合條件的等量關系（2）等價轉換，數形結合

3、定義的適用條件： 典型例題

例

1、動圓M與圓C1:(x+1)+y=36內切,與圓C2:(x-1)+y=4外切,求圓心M的軌跡方程。

例

2、方程

題型二：圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）：

1、橢圓：由

2、雙曲線：由，分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。項系數的正負決定，焦點在系數為正的坐標軸上； 表示的曲線是 2222

3、拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。典型例題 x2y2 例

1、已知方程??1表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是 m?12?m x2y2 ??1的曲線： 例

2、k為何值時,方程9?k5?k(1)是橢圓;(2)是雙曲線.題型三：圓錐曲線焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）問題

1、橢圓焦點三角形面積S?btan2? 2 ；雙曲線焦點三角形面積S?bcot2? 2

2、常利用第一定義和正弦、余弦定理求解

3、m?n,m?n,mn,m2?n2四者的關系在圓錐曲線中的應用； 典型例題

22xy例

1、橢圓22?，求1(a?b?0)上一點P與兩個焦點FFPF?1，2的張角∠F12?ab 證：△F1PF2的面積為btan2?。2 例

2、已知雙曲線的離心率為2，F1、F2是左右焦點，P為雙曲線上一點，且

．求該雙曲線的標準方程

題型四：圓錐曲線中離心率，漸近線的求法

1、a,b,c三者知道任意兩個或三個的相等關系式，可求離心率，漸進線的值；，2、a,b,c三者知道任意兩個或三個的不等關系式，可求離心率，漸進線的最值或范圍；

3、注重數形結合思想不等式解法 典型例題 x2y2 例

1、已知F1、F2是雙曲線2?2?1（a?0,b?0）的兩焦點，以線段F1F2為邊作正ab 三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）A.4?2 B.?1 C.?1 D.?1 2 x2y2 例

2、雙曲線2?2?1（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|,ab 則雙曲線離心率的取值范圍為 A.(1,3)B.?1,3? C.(3,+?)D.?3,??? x2y2 例

3、橢圓G：2?2?1(a?b?0)的兩焦點為F1(?c,0),F2(c,0)，橢圓上存在 ab 點M使F1M?F2M?0.求橢圓離心率e的取值范圍； ?? x2y2 例

4、已知雙曲線2?2?1(a?0,b?0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60?的直線 ab 與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（A）(1,2]（B）(1,2)（C）[2,??)（D）(2,??)題型五：點、直線與圓錐的位置關系判斷

1、點與橢圓的位置關系 x2y2 點在橢圓內?2?2?1 ab x2y2 點在橢圓上?2?2?1 ab x2y2 點在橢圓外?2?2?1 ab

2、直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題： ?>0?相交

?=0?相切（需要注意二次項系數為0的情況）?<0?相離

3、弦長公式： AB??k2x1?x2??k2(x1?x2)??k2? a AB??111? y?y??(y?y)??1212222kkka

4、圓錐曲線的中點弦問題：

1、偉達定理：

2、點差法：

（1）帶點進圓錐曲線方程，做差化簡

（2）得到中點坐標比值與直線斜率的等式關系 典型例題

例

1、雙曲線x2-4y2=4的弦AB被點M(3,-1)平分,求直線AB的方程.例

2、已知中心在原點，對稱軸在坐標軸上的橢圓與直線L:x+y=1交于A,B兩點，C是AB的中點，若|AB|=22，O為坐標原點，OC的斜率為2/2，求橢圓的方程。

題型六：動點軌跡方程：

1、求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍；

2、求軌跡方程的常用方法：（1）直接法：直接利用條件建立之間的關系； 例

1、如已知動點P到定點F(1,0)和直線 的距離之和等于4，求P的軌跡方程．

（2）待定系數法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數。

例

2、如線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0），端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線，則此拋物線方程為(3)定義法：先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；

例

3、由動點P向圓作兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，∠APB=60，則動點0P的軌跡方程為

例

4、點M與點F(4,0)的距離比它到直線 例

5、一動圓與兩圓⊙M： 的軌跡為

(4)代入轉移法：動點

在某已知曲線上，則可先用跡方程: 例

6、如動點P是拋物線則M的軌跡方程為__________(5)參數法：當動點 慮將

例

7、過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，則弦AB的中點M的軌跡方坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考上任一點，定點為,點M分所成的比為2，依賴于另一動點 的代數式表示的變化而變化，并且，再將又和⊙N：都外切，則動圓圓心的距離小于1，則點M的軌跡方程是_______ 代入已知曲線得要求的軌均用一中間變量（參數）表示，得參數方程，再消去參數得普通方程）。程是

題型七：（直線與圓錐曲線常規解題方法）

一、設直線與方程；（提醒：①設直線時分斜率存在與；

二、設交點坐標；（提醒:之所以要設是因為不去求出；

三、聯立方程組；；

四、消元韋達定理；（提醒：拋物線時經常是把拋物線；

五、根據條件重轉化；常有以下類型：；①“以弦AB為直徑的圓過點0”（提醒：需討論K是；?OA?OB?K1?K2??1?；②“點在圓內、圓上、圓外問題”；?“直角、銳角、鈍角問題

一、設直線與方程；（提醒：①設直線時分斜率存在與不存在；②設為y=kx+b與x=my+n的區別）

二、設交點坐標；（提醒:之所以要設是因為不去求出它,即“設而不求”）

三、聯立方程組；

四、消元韋達定理；（提醒：拋物線時經常是把拋物線方程代入直線方程反而簡單）

五、根據條件重轉化；常有以下類型：

①“以弦AB為直徑的圓過點0”（提醒：需討論K是否存在）?OA?OB ?K1?K2??1 ?OA?OB?0 ? x1x2?y1y2?0 ②“點在圓內、圓上、圓外問題”

?“直角、銳角、鈍角問題” ?“向量的數量積大于、等于、小于0問題” ?x1x2?y1y2>0；

③“等角、角平分、角互補問題” ?斜率關系（K1?K2?0或K1?K2）； ④“共線問題”

（如：AQ??QB ?數的角度：坐標表示法；形的角度：距離轉化法）；（如：A、O、B三點共線?直線OA與OB斜率相等）； ⑤“點、線對稱問題” ?坐標與斜率關系； ⑥“弦長、面積問題”

?轉化為坐標與弦長公式問題（提醒：注意兩個面積公式的合理選擇）；

六、化簡與計算；

七、細節問題不忽略；

①判別式是否已經考慮；②拋物線問題中二次項系數是否會出現0.基本解題思想：

1、“常規求值”問題：需要找等式，“求范圍”問題需要找不等式；

2、“是否存在”問題：當作存在去求，若不存在則計算時自然會無解；

3、證明定值問題的方法：⑴常把變動的元素用參數表示出來，然后證明計算結果與參數無

關；⑵也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。

4、處理定點問題的方法：⑴常把方程中參數的同次項集在一起，并令各項的系數為零，求出定點；⑵也可先取參數的特殊值探求定點，然后給出證明

5、求最值問題時：將對象表示為變量的函數，幾何法、配方法（轉化為二次函數的最值）、三角代換法（轉化為三角函數的最值）、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等再解決；

6、轉化思想：有些題思路易成，但難以實施。這就要優化方法，才能使計算具有可行性，關鍵是積累“轉化”的經驗；

7、思路問題：大多數問題只要忠實、準確地將題目每個條件和要求表達出來，即可自然而然產生思路。

典型例題：

例

1、已知點F?0,1?，直線l：y??1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且QP?QF?FP?FQ．

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）已知圓M過定點D?0,2?，圓心M在軌跡C上運動，且圓M與x軸交于A、B兩點，設DA?l1，DB?l2，求

例

2、如圖半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為 線段OD的中點，已知|AB|=4，曲線C過Q點，動點P在曲線C上 運動且保持|PA|+|PB|的值不變.(1)建立適當的平面直角坐標系，求曲線C的方程； l1l2?的最大值． l2l1(2)過D點的直線l與曲線C相交于不同的兩點M、N，且M在D、N之間，設 求λ的取值范圍.DM=λ，DN x2y2 例

3、設F1、F2分別是橢圓C：2?2?1(a?b?0)的左右焦點。ab（1）設橢圓C 上點到兩點F1、F2距離和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；（2）設K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段KF1的中點B的軌跡方程；（3）設點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M，N兩點，當直線

PM，PN 的斜率都存在，并記為kPM，kPN，試探究kPM?KPN的值是否與點P及直線L有關，并證明你的結論。

例

4、已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）若直線l:y?kx?m與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

例

5、已知橢圓兩焦點F1、F2在y 軸上，短軸長為，P是橢圓在第一 2 ?象限弧上一點，且PF1?PF2?1，過P作關于直線F1P對稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓

于A、B兩點。（1）求P點坐標；

（2）求證直線AB的斜率為定值； 典型例題： 例

1、由①、②解得，x?a?2． 不妨設A?a?2,0?，B?a?2,0?，∴ l1? l2?．

l1l2l12?l222∴???l2l1l1l2 ? ? ③ l1l2?? ? l2l1 當a? 0時，由③得，當且僅當a?? 當a?0時，由③得，l1l2?? 2． l2l1 故當a??l1l2?的最大值為 l 2l1 例

2、解：(1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點，建立平面直角坐標系，∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=222；設其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=；x22；∴曲線C的方程為+y=1.；(2)設直線l的方程為y=kx+2,；x2222；代入+y=1,得(1+5k)x+20kx+15=；Δ=(20k)－4×15(1+5k)＞0,得k＞；DMx13；?.由圖可知=λDNx25；20k?；x?x??122??1? ∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=222?12?2＞|AB|=4.∴曲線C為以原點為中心，A、B為焦點的橢圓.設其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,∴a=5,c=2,b=1.x22 ∴曲線C的方程為+y=1.5(2)設直線l的方程為y=kx+2, x2222 代入+y=1,得(1+5k)x+20kx+15=0.5 Δ=(20k)－4×15(1+5k)＞0,得k＞ 2 2 2 DMx13 ?.由圖可知=λ DNx25 20k? x?x??122??1?5k由韋達定理得? 15?x?x? 12?1?5k2? 將x1=λx2代入得 ?400k222 ?(1??)x2??(1?5k2)2 ? ??x2?15 2?1?5k2?(1??)2400k280兩式相除得 ??2?15(1?5k)3(5?)k2 3151208016 ?k2?,?0?2?,?5?2?,即4?? 1533kk?533(2?5)k(1??)216DM1?4??,0,?解得???3 ?3DN3 ① ② ??? x1DM?,M在D、N中間，∴λ＜1 x2DN 又∵當k不存在時，顯然λ=綜合得：1/3 ≤λ＜1.DM1 ?(此時直線l與y軸重合)DN3 例

3、解：（1）由于點? 2 2 ?1b2 得2a=4, ?2分 x2y2 ??1橢圓C的方程為 43x2y2??1把K的坐標代入橢圓43，焦點坐標分別為(?1,0),(1,0)??4分

（2）設KF1的中點為B（x, y）則點K(2x?1,2y)?5分(2x?1)2(2y)2 ??1中得 43 ?7分 12y2 ?1線段KF1的中點B的軌跡方程為(x?)?2 4 設M(x0,y0)N(?x0,?y0), ?8分

（3）過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N關于坐標原點對稱 p(x,y), x02y02x2y2 M,N,P在橢圓上，應滿足橢圓方程，得2?2?12?2?1 ??10分 ababb2y?y0y?y0y2?y02 =?2 ???13分 kPM?KPN=??2 2 ax?x0x?x0x?x0 故：kPM?KPN的值與點P的位置無關，同時與直線L無關，??14分 x2y2 ??1．（5分）例

4、解：（Ⅰ）橢圓的標準方程為43（Ⅱ）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，?y?kx?m，?222 聯立?x2y2得(3?4k)x?8mkx?4(m?3)?0，?1.?? 43? ? ???64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，即3?4k2?m2?0，則? 8mk? x?x??，?122 3?4k? ?4(m2?3).?x1?x2? 3?4k2? 3(m2?4k2)又y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?，2 3?4k 2 2 0)，因為以AB為直徑的圓過橢圓的右焦點D(2，?kADkBD??1，即 y1y 2??1，x1?2x2?2 3(m2?4k2)4(m2?3)16mk ???4?0，?y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0，? 3?4k23?4k23?4k2 ?9m2?16mk?4k2?0． 解得：m1??2k，m2?? 2k22，且均滿足3?4k?m?0，7

1、當m1??2k時，l的方程為y?k(x?2)，直線過定點(2，0)，與已知矛盾；當m2??

2、2k2??2?? 時，l的方程為y?k?x??，直線過定點?，0?． 77??7?? 所以，直線l過定點，定點坐標為?，0?．（14分）?2 ?7?? y2x2 ??1例

5、解（1）F1F2(0,，設P(x0,y0)(x0?0,y0?0)42。

??22則PF1?PF2?x0?(2?y0)?1 1?(?x0y0),PF2?(?x0,y0), ?PF 222 x0y04?y02 ?1.?x0? ?點P(x0,y0)在曲線上，則? 2422 4?y02 ?(2?y0)? 1，得y0?P 的坐標為 從而2（2）由（1）知PF1//x軸，直線PA、PB斜率互為相反數，設PB斜率為k(k?0)，?y?k(x?1)? 則PB 的直線方程為：y?k(x?1)由?x2y2得 ?1?? ?24(2?k2)x2?2kk)x?k)2?4?0 2k(k?k2??2 ?1?設B(xB,y B),則xB? 22 2?k2?kx?x? 同理可得xA?，則AB(xA?1)?k(x1 yA?yB??kB? 所以：AB 的斜率kAB? 8k 2 2?k yA?yB ? xA?xB sin? 4例

6、解：（1）由23?1|OF|?|FP|?sin?,得|OF|?|FP|?43,由cos??tsin?，2 分

得tan??4.3分 t ?4?t?43?1?tan?[0,?] ∴夾角?的取值范圍是（?? ,）??643（2）設P(x0,y0),則(x0?c,y0),?(c,0).?OF?FP?(x0?c,y0)?(c,0)?(x0?c)c?t?1)c2 ?1???S?OFP?|OF|?|y0|?y0?2?x08分

?|OP|?10分 ∴當且僅當3c? 4,即c?2時,|OP|取最小值26,此時,OP?(23,?23)c ?? 3(2,23)?(0,1)?(2,3)33 或?(2,?23)?(0,1)?(2,?1)12分 橢圓長軸 2a?(2?2)2?(3?0)2?(2?2)2?(3?0)2?8 ?a?4,b2?12 或2a?(2?2)2?(?1?0)2?(2?2)2?(?1?0)2?1??a? 1?21? ,b? 22 x2y2 ??1.或x2?y2?1 14分 故所求橢圓方程為 16129?1?2 2

第四篇：高考數學-圓錐曲線簡化計算技巧

圓錐曲線計算技巧

——整理自有道精品課關旭老師公開課“新高三圓錐曲線專項”

給定一個橢圓和一條直線：

橢圓方程：x2a2+y2b2=1

直線方程：y=kx+b

一般做法：

1)

聯立方程組

x2a2+y2b2=1

y=kx+b

2)

將直線方程帶入橢圓方程中

x2a2+kx+m2b2=1

3)

通分

b2+a2k2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0

4)

求判別式

Δ=(2a2km)2-4(b2+a2k2)(a2m2-a2b2)

5)

當Δ>0，用韋達定理求x1+x2,x1x2

x1+x2=2a2kmb2+a2k2

x1x2=

a2m2-a2b2b2+a2k2

上面的運算數不是有點復雜呢，那接著往下看看關旭老師提供的計算技巧吧：

巧運算

1)

聯立方程組

x2a2+y2b2=1

y=kx+b

2)

將直線方程帶入橢圓方程中

x2a2+kx+m2b2=1

不用通分！

上式可換做：

1a2+k2b2x2+2kmb2x+m2b2-1=0

記x2的系數為A,x的系數為B,常數項為C

則上式可記為：Ax2+Bx+C=0

3)

求判別式

Δ=（2km/b2）2-4(1/a2+k2/b2)(m2/b2-1)=-4m2/a2b2-4/a2+4k2/b2

這個式子展開后有五項，然而有兩項是可以消掉的，所以只剩三項。

4)

當Δ>0，用韋達定理求x1+x2,x1x2

x1+x2=-BA

x1x2=

CA

（這樣子運算是不是簡單了很多呢！）

此外，常用的兩個結論還有：

一、直線交橢圓的弦長：L=1+k2ΔA

（因為只要聯立了方程組，就一定要求判別式，將判別式代入這個式子求弦長會比一般做法簡單很多）

二、y1+y2=k(x1+x2)+2m

y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

用此方法可大幅節省運算時間，圓錐曲線是不是簡單了不少呢？

這里給出了兩道非常簡單的例題，快用簡潔的方法算一算吧。

1、.若橢圓與直線y=2x+5相切，求橢圓方程。

2、.若直線y=kx+與橢圓．交于不同的兩點A、B，O為坐標原點，且?>2，求k的取值范圍？

答案:1.a=9

2.1/4

備注：數學公式真的好難輸入QAQ,有點擔心排版的時候公式復制過去會亂，所以把那些數學式子截成了小圖片附在這里：

第五篇：圓錐曲線教案

與圓錐曲線有關的幾種典型題

一、教學目標(一)知識教學點

使學生掌握與圓錐曲線有關的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線相交問題等．

(二)能力訓練點

通過對圓錐曲線有關的幾種典型題的教學，培養學生綜合運用圓錐曲線知識的能力．(三)學科滲透點

通過與圓錐曲線有關的幾種典型題的教學，使學生掌握一些相關學科中的類似問題的處理方法．

二、教材分析

1．重點：圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題．

(解決辦法：先介紹基礎知識，再講解應用．)2．難點：雙圓錐曲線的相交問題．

(解決辦法：要提醒學生注意，除了要用一元二次方程的判別式，還要結合圖形分析．)3．疑點：與圓錐曲線有關的證明問題．

(解決辦法：因為這類問題涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法，所以比較靈活，只能通過一些例題予以示范．)

三、活動設計

演板、講解、練習、分析、提問．

四、教學過程(一)引入

與圓錐曲線有關的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關的證明問題等，在圓錐曲線的綜合應用中經常見到，為了讓大家對這方面的知識有一個比較系統的了解，今天來講一下“與圓錐曲線有關的幾種典型題”．

(二)與圓錐曲線有關的幾種典型題 1．圓錐曲線的弦長求法

設圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，則弦長|AB|為：

(2)若弦AB過圓錐曲線的焦點F，則可用焦半徑求弦長，|AB|=|AF|+|BF|．

A、B兩點，旦|AB|=8，求傾斜角α． 分析一：由弦長公式易解． 由學生演板完成．解答為：

∵

拋物線方程為x2=-4y，∴焦點為(0，-1)． 設直線l的方程為y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1． 將此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0． ∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k．

∴ k=±1．

∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得結果，由學生課外完成．

2．與圓錐曲線有關的最值(極值)的問題

在解析幾何中求最值，關鍵是建立所求量關于自變量的函數關系，再利用代數方法求出相應的最值．注意點是要考慮曲線上點坐標(x，y)的取值范圍．

例2 已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值與最小值；(2)x+y的最大值與最小值． 解(1)：

將x2+4(y-1)2=4代入得： x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y

由點(x，y)滿足x2+4(y-1)2=4知：

4(y-1)2≤4

即|y-1|≤1．

∴0≤y≤2．

當y=0時，(x2+y2)min=0． 解(2)：

分析：顯然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，則將此代入x2+4(y-1)2=4中得關于y的一元二次方程，借助于判別式可求得最值．

令x+y=u，則有x=u-y．

代入x2+4(y-1)2=4得： 5y2-(2u+8)y+u2=0． 又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×u2≥0．

3．與圓錐曲線有關的證明問題

它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法．

例3 在拋物線x2＝4y上有兩點A(x1，y1)和B(x2，y2)且滿足|AB|=y1+y2+2，求證：

(1)A、B和這拋物線的焦點三點共線；

證明：

(1)∵拋物線的焦點為F(0，1)，準線方程為y=-1．

∴ A、B到準線的距離分別d1＝y1+1，d2=y2+1(如圖2－46所示)．

由拋物線的定義：

|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1．

∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB|． 即A、B、F三點共線．(2)如圖2－46，設∠AFK=θ． ∵|AF|=|AA1|=|AK|+2 =|AF|sinθ+2，又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ．

小結：與圓錐曲線有關的證明問題解決的關鍵是要靈活運用圓錐曲線的定義和幾何性質．

4．圓錐曲線與圓錐曲線的相交問題

直線與圓錐曲線相交問題，一般可用兩個方程聯立后，用△≥0來處理．但用△≥0來判斷雙圓錐曲線相交問題是不可靠的．解決這類問題：方法1，由“△≥0”

與直觀圖形相結合；方法2，由“△≥0”與根與系數關系相結合；方法3，轉換參數法(以后再講)．

實數a的取值范圍．

可得：y2=2(1-a)y+a2-4=0． ∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，如圖2－47，可知：

(三)鞏固練習(用一小黑板事先寫出．)

2．已知圓(x-1)2+y2=1與拋物線y2=2px有三個公共點，求P的取值范圍．

頂點．

請三個學生演板，其他同學作課堂練習，教師巡視．解答為： 1．設P的坐標為(x，y)，則

2．由兩曲線方程消去y得：x2-(2-2P)x=0． 解得：x1=0，x2=2-2P．

∵0＜x＜2，∴0＜2-2P＜2，即0＜P＜1． 故P的取值范圍為(0，1)．

四個交點為A(4，1)，B(4，-1)，C(-4，-1)，D(-4，1)． 所以A、B、C、D是矩形的四個頂點．

五、布置作業

1．一條定拋物線C1∶y2=1-x與動圓C2∶(x-a)2+y2=1沒有公共點，求a的范圍．

2．求拋線y=x2上到直線y=2x-4的距離為最小的點P的坐標． 3．證明：從雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于虛半軸長． 作業答案：

1．當x≤1時，由C1、C2的方程中消去y，得x2-(2a+1)x+a2=0，離為d，則

似證明．

六、板書設計