第一篇：數學直線與圓錐曲線教學反思

數學直線與圓錐曲線教學反思

本節課是平面解析幾何的核心內容之一。在此之前，學生已學習了直線的基本知識，圓錐曲線的定義、標準方程和簡單的幾何性質，這為本節復習課起著鋪墊作用。本節內容是《直線與圓錐曲線的位置關系》復習的第一節課，著重是教會學生如何判斷直線與圓錐曲線的位置關系，體會運用方程思想、數形結合、分類討論、類比歸納等數學思想方法，優化學生的解題思維，提高學生解題能力。這為后面解決直線與圓錐曲線的綜合問題打下良好的基礎。這節復習課還是培養學生數學能力的良好題材，所以說是解析幾何的核心內容之一。

數學思想方法分析：作為一名數學老師，不僅要傳授給學生數學知識，更重要的是傳授給學生數學思想、數學意識。因此本節課在教學中力圖讓學生動手操作，自主探究、發現共性、類比歸納、總結解題規律。

根據上述教材結構與內容分析，考慮到學生已有的認知心理特征，制定如下教學目標：

1、知識目標：鞏固直線與圓錐曲線的基本知識和性質；掌握直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法，并會求參數的值或范圍。

2、能力目標：樹立通過坐標法用方程思想解決問題的觀念，培養學生直觀、嚴謹的思維品質；靈活運用數形結合、分類討論、類比歸納等各種數學思想方法，優化解題思維，提高解題能力。

3、情感目標：讓學生感悟數學的統一美、和諧美，端正學生的科學態度，進一步激發學生自主探究的精神。

本著課程標準，在吃透教材基礎上，我覺得這節課是解決直線與圓錐曲線綜合問題的基礎。對解決綜合問題，我覺得只有先定性分析畫出圖形并觀察圖形，以形助數，才能定量分析解決綜合問題。如：解決圓錐曲線中常見的弦長問題、中點問題、對稱問題等。

我設計了：（1）提出問題——引入課題（2）例題精析——感悟解題規律（3）課堂練習——鞏固方法（4）小結歸納——提高認識，四個層次的學法，它們環環相扣，層層深入，從而順利完成教學目標。

接下來，我再具體談談這堂課的教學過程：

（一）提出問題

課前我預先讓學生先動手解決兩個學生熟知的問題：直線與圓、直線與橢圓有兩個公共點的問題。讓學生自己歸納解決的方法。對直線與圓既可以用幾何法也可以用代數法，而直線與橢圓只能用代數法。通過問題的設置一方面鞏固舊知，又總結歸納新知：直線與圓與橢圓公共點的個數等于方程組的解的個數。

(二)例題精析

接著引導學生自然過渡到直線與拋物線、直線與雙曲線的位置關系的判斷。對于例1，師生共同完成，特別關注兩次分類討論，一次設直線方程時對斜率存在與否進行討論，另一次消去一個變量y后得到一個方程，是否為二次方程進行再次分類討論，求出三條直線方程后，引導學生在圖形中畫出。引導學生從數和形兩方面加以類比分析。再對題目進行變式，使學生感悟直線與拋物線的公共點個數問題常可通過圖形進行定性分析，但易出錯，可通過定量分析進行論證。對于例2，由學生板演，學生自主探究，師生共同歸納。

（三）課堂練習——鞏固方法

（四）類比歸納——提高認識

由學生總結本節課所學習的主要內容，以及收獲，通過數學思想方法的小結，使學生更深刻地了解數學思想方法在解題中的地位和作用，并且逐漸培養學生的良好個性品質。

第二篇：直線與圓錐曲線練習2

直線與圓錐曲線練習

一、選擇題

1．過點P(0,2)與拋物線y2＝2x只有一個公共點的直線有()．

A．0條B．1條C．2條D．3條

xy2．已知點F1，F2－1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的ab直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABF2為正三角形，則該雙曲線的離心率是()．

A．2B.C．3D.3

3．(2010·遼寧)設拋物線y＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝()．

A．4 B．8C．8 D．16

14．已知拋物線C的方程為x2，過點A(0，－1)和點B(t,3)的直線與拋物線C沒有公共點，2

則實數t的取值范圍是()．

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.－∞，－?222?2??? ∪，＋∞?2??2C．(－∞，－2∪(2，＋∞)D．(2)∪(，＋∞)

5．(2011·杭州模擬)過點M(－2,0)的直線l與橢圓x＋2y＝2交于P1，P2，線段P1P2的中點為P.設直線l的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1k2等于()．

11A．－ B．－2C.D．2 22

二、填空題

6．已知以原點為頂點的拋物線C，焦點在x軸上，直線x－y＝0與拋物線C交于A，B的兩點．若P(2,2)為AB 中點，則拋物線C的方程為________．

x227．(2011·中山模擬)設F1，F2為橢圓y＝1的左、右焦點，過橢圓中心任作一直線與橢圓4

→→

交于P，Q兩點，當四邊形PF1QF2面積最大時，PF1·PF2的值等于________．

8．(2011·浙江金華十校模擬)斜率為的直線l過拋物線y2＝4x的焦點且與該拋物線交于A，B的兩點，則|AB|＝________.三、解答題

9．在直角坐標系xOy上取兩個定點A1(－2,0)，A2(2,0)，再取兩個動點N1(0，m)，N2(0，n)，且mn＝3.求直線A1N1與A2N2交點的軌跡M的方程；

第三篇：圓錐曲線與直線相切的條件教案

圓錐曲線與直線相切的條件教案

教學目的(1)掌握圓錐曲線與直線相切的條件及圓錐曲線切線的定義；

(2)使學生會用初等數學方法求圓錐曲線的切線；

(3)應用相切的公式解題，從而培養學生綜合應用能力．

教學過程

一、問題提出

1．有心的二次曲線包括哪些？無心的二次曲線包括哪些？

(答：有心的二次曲線是圓、橢圓及雙曲線；無心的二次曲線是拋物線．)

(由教師啟發下，讓學生共同討論．)

(1)當α＞0，β＞0且α＝β時，方程表示為圓；

(2)當α＞0，β＞0且α≠β時，方程表示為橢圓；

(3)當α、β為異號時，方程表示為雙曲線．

因此，這個方程可以統一表示有心的二次曲線．

3．圓錐曲線與直線的相切的條件是什么？

設直線l′與圓錐曲線相交于P、Q兩點(圖1)，將直線l′繞點P旋轉，使點Q逐漸靠近點P，當l′轉到直線l的位置時，點Q與點P重合，這時，直線l叫做圓錐曲線在點P的切線．也就是圓錐曲線與直線l相切．根據這個定義，于是圓錐曲線方程

f(x，y)＝0

與直線方程

y＝kx＋m

組成的方程組應有兩個相同的實數解．實系數一元二次方程有兩個相同的實數解的充要條件是判別式Δ＝0，根據條件轉化為求Δ＝0．

(啟發學生回答，由教師歸納，然后板書課題．)

今天我們要研究“圓錐曲線與直線相切的條件”．

二、講述新課

根據上面分析，得

由②代入①，化簡、整理得(αk2＋β)x2＋2αkmβ＋α(m2－β)＝0．③

當αk＋β≠0時(二次項系數)，Δ＝4αkm－4α(αk＋β)(m－β)

＝4α2k2m2－4α2k2m2＋4α2k2β－4αβm2＋4αβ2

＝4αβ(αk2＋β－m2)．

(啟發學生討論．)

由于α、β均不為零，因此當Δ＝0時可知有心二次曲線與直線y＝kx＋m相切的充要條件為

m2＝αk2＋β，(αk2＋β≠0)④

這里αk2＋β恰是方程③的二次項系數．

(引導學生對結論④，在圓、橢圓、雙曲線各種情況下變化規律進行討論，教師邊歸納，邊板書．)

(1)對于圓x2＋y2＝γ2，可寫成

222

222

即有α＝β＝γ2，于是相切條件為m2＝γ2(k2＋1)．

(2)對于橢圓(焦點在x軸上)

即有α＝a，β＝b，于是相切條件為m＝ak＋b．

(3)對于橢圓(焦點在y軸上)

即有α＝b2，β＝a2，于是相切條件為m2＝b2k2＋a2．

(4)對于雙曲線(焦點在x軸上)

即有α＝a2，β＝－b2，于是相切條件為m2＝a2k2－b2．

(5)對于雙曲線(焦點在y軸上)

即有α＝－b2，β＝a2，于是相切條件為m2＝a2－b2k2．

[應用有心曲線統一公式，這樣就不必從圓、橢圓、雙曲線一個一個地去求，可避免一個一個冗長復雜的計算，使問題的解決變得簡捷．]

2．無心的二次曲線y2＝2px與直線y＝kx＋m相切的條件

根據上面的分析，得

由②代入①，化簡整理，得

(kx＋m)2＝2px，k2x2＋(2mk－2p)x＋m2＝0．

當二次項系數k2≠0時，Δ＝(2mk－2p)2－4k2m2＝4p2－8mkp

＝4p(p－2mk)＝0．

無心的二次曲線x2＝2py與直線y＝kx＋m相切的條件，應為

(讓學生獨立完成．)

三、鞏固新課

(讓學生直接對照上述結論，設所求公切線的斜率為k，截距為m，再根據橢

解 設所求的公切線斜率為k，截距為m，根據相切條件有

由②代入①，化簡整理，得

81k4＋36k2－5＝0，(9k2－1)(9k2＋5)＝0，∵9k2＋5≠0，∴9k2－1＝0，代入②，得m＝±5．

因此，所求的公切線方程為

即

x＋3y＋15=0或x－3y＋15=0．

求雙曲線的兩條互相垂直的切線交點的軌跡方程．

(幫助學生分析解題的幾個要點，然后由學生上黑板解，教師巡視指點．)

y=kx＋m，則由相切條件，可知m2=a2k2－b2．

(2)設兩切線交點為P(x0，y0)，則切線方程為

y－y0=k(x－x0)，即

y=kx＋(y0－kx0)．

(3)y=kx＋m，y=kx＋(y0－kx0)表示同一直線，就有

m=(y0－kx0)，∴(y0－kx0)=ak－b．

整理得

(4)k1k2=－1，用韋達定理從方程①求得k1k2，即

因此，點P的軌跡方程為

x＋y=a－b．

這里a＞b，點P的軌跡是一個實圓；

a=b，點P的軌跡是一個點圓；

a＜b，點P無軌跡(虛圓)．

解略．

法，不難得出軌跡方程為圓方程

x＋y=a＋b；

這題若改為求拋物線y=2px的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡方程，方法也類似，不難得出軌跡方程為

即點P一定在準線上．

[這樣改變一下題目，可讓學生開拓思路，舉一反三．]

四、練習

1．已知l為橢圓x＋4y=4的切線并與坐標軸交于A、B兩點，求|AB|的最小值及取得最小值時切線l的方程．

2解 如圖2，設切線方程為

y=kx＋m，根據相切條件有m2=4k2＋1，即①

|OA|2=4k2＋1．

在y=kx＋m中，令y=0，得

即

于是得

代入m=4k＋1，求得 2

因此，所求的切線共有四條(圖3)，它們的方程為

求四邊形ABCD的最大面積．

則由相切條件，知

m2=a2k2＋b2，故兩切線方程為

即

兩切線間的距離

∴四邊形ABCD的最大面積為

五、補充作業

軌跡方程．

2．求出斜率為k的圓錐曲線的切線方程．

教案說明

這一節課的指導思想是：根據現代教育理論，強調在教學的過程中培養能力，特別是思維能力．數學思維結構與科學結構十分相似，學習數學的過程，就是從一種思維結構過渡到另一種思維結構的過程，數學知識只是進行思維結構訓練的材料．二次曲線與直線相切的條件若從上述結構進行訓練，就是使學生形成完整的思維結構，使對數學的認識有新的突破．這一點已成為我在課堂教學中進行探索和研討的課題．

這節課的整個教學過程中，著重于講解——啟導——探究，培養學生的分析能力．講解時，突出重點：“相切條件”，并以此為中心，達到舉一反

三、觸類旁通．其中也穿插了自學討論，而不是教師滿堂灌．

在練習中，注意到了再現性練習、鞏固性練習，同時也留有發現性練習，使學生以新帶舊，鞏固新知，發展智力，反過來從思維結構上形成完整體系，以認識數學本身．

第四篇：例析直線與圓錐曲線的綜合應用

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例析直線與圓錐曲線的綜合應用

作者：管永建

來源：《高考進行時·高三數學》2013年第02期

直線與圓錐曲線的知識在直線與圓關系的基礎上展開，是高考中的重點，也是學習中的難點。這部分內容既有幾何關系的表述，又有代數關系的轉化，推理運算的要求較高，需從解析幾何基本思想的高度去透徹理解概念以靈活運用其中蘊藏的各類知識，提高綜合解決問題的能力。

例題 在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心是坐標原點O，以直線l：x=-4為準線，離心率為22.（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若M是直線l上任意一點，以OM為直徑的圓D與圓O：x2+y2=8相交于A、B兩點，求證：直線AB必過定點E，并求出點E的坐標；

（3）若點M的縱坐標大于0，直線AB與橢圓C交于P、Q兩點，點P在x軸上方，且EP=3QE，求此時弦AB的長.分析 直線和曲線相交將幾何關系轉化為二次方程來討論，這是解析幾何的基本思想。由于定點是橢圓的焦點，故可聯系橢圓的定義及三角形相似等知識，數形結合是靈活解決問題的關鍵。

第五篇：文峰中學高三數學專題-直線與圓錐曲線的位置關系

直線與圓錐曲線的位置關系

一．知識網絡結構：

??幾何角度(主要適用于直線與圓的位置關系)?直線與圓錐曲線的位置關系???代數角度（適用于所有直線與圓錐曲線位置關系）1.直線與圓錐曲線??利用一般弦長公式（容易）?直線與圓錐曲線相交的弦長問題???利用兩點間距離公式（繁瑣）?

2.直線與圓錐曲線的位置關系：

⑴.從幾何角度看：（特別注意）要特別注意當直線與雙曲線的漸進線平行時，直線與雙曲線只有一個交點；當直線與拋物線的對稱軸平行或重合時，直線與拋物線也只有一個交點。

⑵.從代數角度看：設直線L的方程與圓錐曲線的方程聯立得到ax?bx?c?0。

①.若a=0，當圓錐曲線是雙曲線時，直線L與雙曲線的漸進線平行或重合；

當圓錐曲線是拋物線時，直線L與拋物線的對稱軸平行或重合。

②.若a?0，設??b?4ac。a.??0時，直線和圓錐曲線相交于不同兩點，相交。

b.??0時，直線和圓錐曲線相切于一點，相切。c.??0時，直線和圓錐曲線沒有公共點，相離。22

二．常考題型解讀：題型一：直線與橢圓的位置關系：

x2y2

例1.橢圓??1上的點到直線x?2y?2?0的最大距離是（）164

A.3B.C.22D.x2y2

例2.如果橢圓??1的弦被點(4,2)平分，則這條弦所在的直線方程是（）369

A.x?2y?0B.x?2y?4?0C.2x?3y?12?0D.x?2y?8?0

題型二：直線與雙曲線的位置關系：

例3.已知直線L:y?kx?1與雙曲線C:x?y=4。

⑴若直線L與雙曲線C無公共點，求k的范圍；

⑵若直線L與雙曲線C有兩個公共點，求k的范圍；

⑶若直線L與雙曲線C有一個公共點，求k的范圍；

⑷若直線L與雙曲線C的右支有兩個公共點，求k的范圍；

⑸若直線L與雙曲線C的兩支各有一個公共點，求k的范圍。22

題型三：直線與拋物線的位置關系：

例4.在拋物線y?2x上求一點P，使P到焦點F與P到點A(3,2)的距離之和最小。

題型四：弦長問題：

直線與圓錐曲線相交時的弦長問題是一個難點，化解這個難點的方法是：設而不求，根據根與系數的關系，進行整體代入。即當直線斜率為k與圓錐曲線交于點A?x1,y1?，B?x2,y2?時，則

??

AB=?k2x1?x2=?k2

=?

?x1?x2?2?4x1x2 y1?y22?4y1y

211y?y?=12k2k2

可根據直線方程與圓錐曲線方程聯立消元后得到的一元二次方程，利用根與系數的關系得到兩根之和，兩根之積的代數式，然后再進行整體帶入求解。

x2y2

例5.過雙曲線??1的右焦點F2，傾斜角為300的直線交雙曲線于A、B兩點，求AB。

題型五：中點弦問題：求以某定點為中點的圓錐曲線的弦的方程的幾種方法：

⑴.點差法：將弦的兩個端點坐標代入曲線方程，兩式相減，即可確定弦的斜率，然后由點斜式得出弦的方程；

⑵.設弦的點斜式方程，將弦的方程與曲線方程聯立，消元后得到關于x（或y）的一元二次方程，用根與系數的關系求出中點坐標，從而確定弦的斜率k，然后寫出弦的方程；

⑶.設弦的兩個端點分別為?x1,y1?,?x2,y2?，則這兩點坐標分別滿足曲線方程，又?

?x1?x2y1?y2,2?2?

?為?

弦的中點，從而得到四個方程，由這四個方程可以解出兩個端點，從而求出弦的方程。

例6.已知雙曲線方程2x?y=2。

⑴求以A?2,1?為中點的雙曲線的弦所在的直線方程；

⑵過點?1,1?能否作直線L，使L與雙曲線交于Q1，Q2兩點，且Q1，Q2兩點的中點為?1,1?？如果存在，求出直線L的方程；如果不存在，說明理由。

題型六：圓錐曲線上的點到直線的距離問題：

例7.在拋物線y?64x上求一點，使它到直線L：4x?3y?46?0的距離最短，并求這個最短距離。

高考題強化訓練

1.過點A(1,0)作傾斜角為

?2的直線，與拋物線y?2x交于M、N兩點，則MN。4

寫出所涉及到的公式：

2.已知拋物線C的頂點坐標為原點，焦點在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A，B兩點，若P?2,2?為AB的中點，則拋物線C的方程為。

x2y2

3.過橢圓??1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標

原點，則△OAB的面積為

4.已知直線L過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，L與C交于A，B兩點，|AB|?12，P為C的準線上一點，則?ABP的面積為（）A．18

B．2

4C．36D．48

5.設斜率為2的直線l過拋物線y?ax(a?0)的焦點F,且和y軸交于點A,若△OAF(O為坐標原點)的面積為4,則拋物線方程為()

A.y??4xB.y??8xC.y?4xD.y?8x

2222

x2y2

6.設雙曲線2?2?1的一條漸近線與拋物線y=x2+1 只有一個公共點，則雙曲線的離心率為()

ab

.A.B.5C.D.24

y2

7.設F1,F2分別是橢圓E：x+2=1（0﹤b﹤1）的左、右焦點，過F1的直線L與E相交于A、B兩點，b

且AF2，AB，BF2成等差數列。⑴求AB

⑵若直線L的斜率為1，求b的值。

8.已知過拋物線y?2px?p?0?的焦點，斜率為22的直線交拋物線于A?x1,y2?,B?x2,y2?（x1?x2）

兩點，且AB?9． ⑴求該拋物線的方程；

⑵O為坐標原點，C為拋物線上一點，若???，求?的值．