第一篇：圓錐曲線與直線相切的條件教案

圓錐曲線與直線相切的條件教案

教學目的(1)掌握圓錐曲線與直線相切的條件及圓錐曲線切線的定義；

(2)使學生會用初等數學方法求圓錐曲線的切線；

(3)應用相切的公式解題，從而培養學生綜合應用能力．

教學過程

一、問題提出

1．有心的二次曲線包括哪些？無心的二次曲線包括哪些？

(答：有心的二次曲線是圓、橢圓及雙曲線；無心的二次曲線是拋物線．)

(由教師啟發下，讓學生共同討論．)

(1)當α＞0，β＞0且α＝β時，方程表示為圓；

(2)當α＞0，β＞0且α≠β時，方程表示為橢圓；

(3)當α、β為異號時，方程表示為雙曲線．

因此，這個方程可以統一表示有心的二次曲線．

3．圓錐曲線與直線的相切的條件是什么？

設直線l′與圓錐曲線相交于P、Q兩點(圖1)，將直線l′繞點P旋轉，使點Q逐漸靠近點P，當l′轉到直線l的位置時，點Q與點P重合，這時，直線l叫做圓錐曲線在點P的切線．也就是圓錐曲線與直線l相切．根據這個定義，于是圓錐曲線方程

f(x，y)＝0

與直線方程

y＝kx＋m

組成的方程組應有兩個相同的實數解．實系數一元二次方程有兩個相同的實數解的充要條件是判別式Δ＝0，根據條件轉化為求Δ＝0．

(啟發學生回答，由教師歸納，然后板書課題．)

今天我們要研究“圓錐曲線與直線相切的條件”．

二、講述新課

根據上面分析，得

由②代入①，化簡、整理得(αk2＋β)x2＋2αkmβ＋α(m2－β)＝0．③

當αk＋β≠0時(二次項系數)，Δ＝4αkm－4α(αk＋β)(m－β)

＝4α2k2m2－4α2k2m2＋4α2k2β－4αβm2＋4αβ2

＝4αβ(αk2＋β－m2)．

(啟發學生討論．)

由于α、β均不為零，因此當Δ＝0時可知有心二次曲線與直線y＝kx＋m相切的充要條件為

m2＝αk2＋β，(αk2＋β≠0)④

這里αk2＋β恰是方程③的二次項系數．

(引導學生對結論④，在圓、橢圓、雙曲線各種情況下變化規律進行討論，教師邊歸納，邊板書．)

(1)對于圓x2＋y2＝γ2，可寫成

222

222

即有α＝β＝γ2，于是相切條件為m2＝γ2(k2＋1)．

(2)對于橢圓(焦點在x軸上)

即有α＝a，β＝b，于是相切條件為m＝ak＋b．

(3)對于橢圓(焦點在y軸上)

即有α＝b2，β＝a2，于是相切條件為m2＝b2k2＋a2．

(4)對于雙曲線(焦點在x軸上)

即有α＝a2，β＝－b2，于是相切條件為m2＝a2k2－b2．

(5)對于雙曲線(焦點在y軸上)

即有α＝－b2，β＝a2，于是相切條件為m2＝a2－b2k2．

[應用有心曲線統一公式，這樣就不必從圓、橢圓、雙曲線一個一個地去求，可避免一個一個冗長復雜的計算，使問題的解決變得簡捷．]

2．無心的二次曲線y2＝2px與直線y＝kx＋m相切的條件

根據上面的分析，得

由②代入①，化簡整理，得

(kx＋m)2＝2px，k2x2＋(2mk－2p)x＋m2＝0．

當二次項系數k2≠0時，Δ＝(2mk－2p)2－4k2m2＝4p2－8mkp

＝4p(p－2mk)＝0．

無心的二次曲線x2＝2py與直線y＝kx＋m相切的條件，應為

(讓學生獨立完成．)

三、鞏固新課

(讓學生直接對照上述結論，設所求公切線的斜率為k，截距為m，再根據橢

解 設所求的公切線斜率為k，截距為m，根據相切條件有

由②代入①，化簡整理，得

81k4＋36k2－5＝0，(9k2－1)(9k2＋5)＝0，∵9k2＋5≠0，∴9k2－1＝0，代入②，得m＝±5．

因此，所求的公切線方程為

即

x＋3y＋15=0或x－3y＋15=0．

求雙曲線的兩條互相垂直的切線交點的軌跡方程．

(幫助學生分析解題的幾個要點，然后由學生上黑板解，教師巡視指點．)

y=kx＋m，則由相切條件，可知m2=a2k2－b2．

(2)設兩切線交點為P(x0，y0)，則切線方程為

y－y0=k(x－x0)，即

y=kx＋(y0－kx0)．

(3)y=kx＋m，y=kx＋(y0－kx0)表示同一直線，就有

m=(y0－kx0)，∴(y0－kx0)=ak－b．

整理得

(4)k1k2=－1，用韋達定理從方程①求得k1k2，即

因此，點P的軌跡方程為

x＋y=a－b．

這里a＞b，點P的軌跡是一個實圓；

a=b，點P的軌跡是一個點圓；

a＜b，點P無軌跡(虛圓)．

解略．

法，不難得出軌跡方程為圓方程

x＋y=a＋b；

這題若改為求拋物線y=2px的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡方程，方法也類似，不難得出軌跡方程為

即點P一定在準線上．

[這樣改變一下題目，可讓學生開拓思路，舉一反三．]

四、練習

1．已知l為橢圓x＋4y=4的切線并與坐標軸交于A、B兩點，求|AB|的最小值及取得最小值時切線l的方程．

2解 如圖2，設切線方程為

y=kx＋m，根據相切條件有m2=4k2＋1，即①

|OA|2=4k2＋1．

在y=kx＋m中，令y=0，得

即

于是得

代入m=4k＋1，求得 2

因此，所求的切線共有四條(圖3)，它們的方程為

求四邊形ABCD的最大面積．

則由相切條件，知

m2=a2k2＋b2，故兩切線方程為

即

兩切線間的距離

∴四邊形ABCD的最大面積為

五、補充作業

軌跡方程．

2．求出斜率為k的圓錐曲線的切線方程．

教案說明

這一節課的指導思想是：根據現代教育理論，強調在教學的過程中培養能力，特別是思維能力．數學思維結構與科學結構十分相似，學習數學的過程，就是從一種思維結構過渡到另一種思維結構的過程，數學知識只是進行思維結構訓練的材料．二次曲線與直線相切的條件若從上述結構進行訓練，就是使學生形成完整的思維結構，使對數學的認識有新的突破．這一點已成為我在課堂教學中進行探索和研討的課題．

這節課的整個教學過程中，著重于講解——啟導——探究，培養學生的分析能力．講解時，突出重點：“相切條件”，并以此為中心，達到舉一反

三、觸類旁通．其中也穿插了自學討論，而不是教師滿堂灌．

在練習中，注意到了再現性練習、鞏固性練習，同時也留有發現性練習，使學生以新帶舊，鞏固新知，發展智力，反過來從思維結構上形成完整體系，以認識數學本身．

第二篇：怎樣證明直線與圓相切？

怎樣證明直線與圓相切？

在直線與圓的各種位置關系中，相切是一種重要的位置關系．

現介紹以下三種判別直線與圓相切的基本方法：

(1)利用切線的定義——在已知條件中有“半徑與一條直線交于半徑的外端”，于是只需直接證明這條直線垂直于半徑的外端．

例1：已知：△ABC內接于⊙O，⊙O的直徑AE交BC于F點，點P在BC的延長線上，且∠CAP=∠ABC．

求證：PA是⊙O的切線．

證明：連接EC．

∵AE是⊙O的直徑，∴∠ACE=90°，∴∠E＋∠EAC=90°．

∵∠E=∠B，又∠B=∠CAP，∴∠E=∠CAP，∴∠EAC＋∠CAP=∠EAC＋∠E=90°，∴∠EAP=90°，∴PA⊥OA，且過A點，則PA是⊙O的切線．

(2)利用切線的判定定理——在已知條件中，有“一條直線過圓上某一公共點(即為切點)，但沒有半徑”，于是先連接圓心與這個公共點成為半徑，然后再證明這條直線和這條半徑垂直．

例2：以Rt△ABC的直角邊BC為直徑作⊙O交斜邊AB于P，Q為AC的中點． 求證：PQ必為⊙O的切線．

證明 連接OP，CP．

∵BC為直徑，∴∠BPC=90°，即∠APC=90°．

又∵Q為AC中點，∴QP=QC，∴∠1=∠2．

又OP=OC，∴∠3=∠4．

又∠ACB=90°，∴∠2＋∠4=∠1＋∠3=∠ACB＝90°，∴∠OPQ=90°．

∵P點在⊙O上，且P為半徑OP的端點，則QP為⊙O的切線．

說明：要證PQ與半徑垂直，即連接OP．這是判別相切中添輔助線的常用方法．

(3)證明“d=R”——在已知條件中“沒有半徑，也沒有與圓有公共交點的直線”，于是過圓心作直線的垂線，然后再證明這條垂線的長(d)等于圓的半徑(R)．

例3：已知：在△ABC中，AD⊥BC與D，且AD=BC，E、F為AB、AC的中點，O為EF2的中點。

求證：以EF為直徑的圓與BC相切．

證明：作OH⊥BC于H，設AD與EF交于M，又AD⊥BC，∴OH∥MD，則OHDM是矩形．

∴OH是⊙O的半徑，則EF為直徑的圓與BC相切.思考題：

1．AB是⊙O的直徑，AC是弦，AC=CD，EF過點C，EF⊥BD于G．

求證：EF是⊙O的切線．

提示：連接CO，則OC是⊙O的半徑，再證OC⊥EF．

2．DB是圓的直徑，點A在DB的延長線上，AB=OB，∠CAD=30°．求證：AC是⊙O的切線．

提示：∵AC與⊙O沒有公共點，∴作OE⊥AC于E，再證OE是⊙O的半徑．

第三篇：直線與圓錐曲線練習2

直線與圓錐曲線練習

一、選擇題

1．過點P(0,2)與拋物線y2＝2x只有一個公共點的直線有()．

A．0條B．1條C．2條D．3條

xy2．已知點F1，F2－1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的ab直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABF2為正三角形，則該雙曲線的離心率是()．

A．2B.C．3D.3

3．(2010·遼寧)設拋物線y＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝()．

A．4 B．8C．8 D．16

14．已知拋物線C的方程為x2，過點A(0，－1)和點B(t,3)的直線與拋物線C沒有公共點，2

則實數t的取值范圍是()．

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.－∞，－?222?2??? ∪，＋∞?2??2C．(－∞，－2∪(2，＋∞)D．(2)∪(，＋∞)

5．(2011·杭州模擬)過點M(－2,0)的直線l與橢圓x＋2y＝2交于P1，P2，線段P1P2的中點為P.設直線l的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1k2等于()．

11A．－ B．－2C.D．2 22

二、填空題

6．已知以原點為頂點的拋物線C，焦點在x軸上，直線x－y＝0與拋物線C交于A，B的兩點．若P(2,2)為AB 中點，則拋物線C的方程為________．

x227．(2011·中山模擬)設F1，F2為橢圓y＝1的左、右焦點，過橢圓中心任作一直線與橢圓4

→→

交于P，Q兩點，當四邊形PF1QF2面積最大時，PF1·PF2的值等于________．

8．(2011·浙江金華十校模擬)斜率為的直線l過拋物線y2＝4x的焦點且與該拋物線交于A，B的兩點，則|AB|＝________.三、解答題

9．在直角坐標系xOy上取兩個定點A1(－2,0)，A2(2,0)，再取兩個動點N1(0，m)，N2(0，n)，且mn＝3.求直線A1N1與A2N2交點的軌跡M的方程；

第四篇：數學直線與圓錐曲線教學反思

數學直線與圓錐曲線教學反思

本節課是平面解析幾何的核心內容之一。在此之前，學生已學習了直線的基本知識，圓錐曲線的定義、標準方程和簡單的幾何性質，這為本節復習課起著鋪墊作用。本節內容是《直線與圓錐曲線的位置關系》復習的第一節課，著重是教會學生如何判斷直線與圓錐曲線的位置關系，體會運用方程思想、數形結合、分類討論、類比歸納等數學思想方法，優化學生的解題思維，提高學生解題能力。這為后面解決直線與圓錐曲線的綜合問題打下良好的基礎。這節復習課還是培養學生數學能力的良好題材，所以說是解析幾何的核心內容之一。

數學思想方法分析：作為一名數學老師，不僅要傳授給學生數學知識，更重要的是傳授給學生數學思想、數學意識。因此本節課在教學中力圖讓學生動手操作，自主探究、發現共性、類比歸納、總結解題規律。

根據上述教材結構與內容分析，考慮到學生已有的認知心理特征，制定如下教學目標：

1、知識目標：鞏固直線與圓錐曲線的基本知識和性質；掌握直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法，并會求參數的值或范圍。

2、能力目標：樹立通過坐標法用方程思想解決問題的觀念，培養學生直觀、嚴謹的思維品質；靈活運用數形結合、分類討論、類比歸納等各種數學思想方法，優化解題思維，提高解題能力。

3、情感目標：讓學生感悟數學的統一美、和諧美，端正學生的科學態度，進一步激發學生自主探究的精神。

本著課程標準，在吃透教材基礎上，我覺得這節課是解決直線與圓錐曲線綜合問題的基礎。對解決綜合問題，我覺得只有先定性分析畫出圖形并觀察圖形，以形助數，才能定量分析解決綜合問題。如：解決圓錐曲線中常見的弦長問題、中點問題、對稱問題等。

我設計了：（1）提出問題——引入課題（2）例題精析——感悟解題規律（3）課堂練習——鞏固方法（4）小結歸納——提高認識，四個層次的學法，它們環環相扣，層層深入，從而順利完成教學目標。

接下來，我再具體談談這堂課的教學過程：

（一）提出問題

課前我預先讓學生先動手解決兩個學生熟知的問題：直線與圓、直線與橢圓有兩個公共點的問題。讓學生自己歸納解決的方法。對直線與圓既可以用幾何法也可以用代數法，而直線與橢圓只能用代數法。通過問題的設置一方面鞏固舊知，又總結歸納新知：直線與圓與橢圓公共點的個數等于方程組的解的個數。

(二)例題精析

接著引導學生自然過渡到直線與拋物線、直線與雙曲線的位置關系的判斷。對于例1，師生共同完成，特別關注兩次分類討論，一次設直線方程時對斜率存在與否進行討論，另一次消去一個變量y后得到一個方程，是否為二次方程進行再次分類討論，求出三條直線方程后，引導學生在圖形中畫出。引導學生從數和形兩方面加以類比分析。再對題目進行變式，使學生感悟直線與拋物線的公共點個數問題?？赏ㄟ^圖形進行定性分析，但易出錯，可通過定量分析進行論證。對于例2，由學生板演，學生自主探究，師生共同歸納。

（三）課堂練習——鞏固方法

（四）類比歸納——提高認識

由學生總結本節課所學習的主要內容，以及收獲，通過數學思想方法的小結，使學生更深刻地了解數學思想方法在解題中的地位和作用，并且逐漸培養學生的良好個性品質。

第五篇：證明直線與圓相切的常見方法（定稿）

證明直線與圓相切的常見方法

學習了直線與圓的位置關系,常會遇到證明一條直線是圓的切線的題目,如何證明一條直線是圓的切線,一般會出現以下三種情況.一、若證明是圓的切線的直線與圓有公共點,且存在連接公共點的半徑,此時可根據“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明.簡記為“見半徑，證垂直”.例1如圖1,已知AB為⊙O的直徑,直線PA過點A,且∠PAC=∠B.求證:PA是⊙O的切線.圖 1分析：要證明PA是⊙O的切線，因為AB是⊙O的直徑，所以只要證明AB⊥AP.可結合直徑所對的圓周為直角進行推理.證明：因為AB為⊙O的直徑，所以∠ACB=90°，所以∠CAB+∠B=90°，因為∠PAC=∠B，所以∠CAB+∠PAC=90°，即∠BAP=90°，所以PA是⊙O的切線.二、若給出了直線與圓的公共點，但未給出過這點的半徑，則連結公共點和圓心，然后根據“經過半徑外端且垂直這條半徑的直線是圓的切線”來證明.簡記為“作半徑，證垂直”.例2如圖2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圓，AB是⊙Ｏ的直徑，D是AB的延長線上的一點，AE⊥DC交DC的延長線于點E，且AC平分∠EAB．

求證：DE是⊙O的切線．

證明：連接OC，則OA=OC，所以∠CAO=∠ACO，因為AC平分∠EAB，所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，所以AE∥CO，又AE⊥DE，所以CO⊥DE，所以DE是⊙O的切線．

三、若直線與圓的公共點不明確時，則過圓心作該直線的垂線段，然后根據“圓心到直線的距離等于圓的半徑，該直線是圓的切線”來證明.簡記為“作垂直，證相等”.例3如圖3，已知，O為正方形ABCD對角線上一點，以O為圓心，OA的長為半徑的⊙O與BC相切于M，與AB、AD分別相交于E、F.求證：CD與⊙O相切．

圖3

分析：要識別“CD與⊙O相切”，由于不知道CD經過圓上哪一點，所以先過點O作：ON⊥CD于N，再證明ON是⊙O半徑。易知OM是⊙O的半徑，只要證明：OM=ON即可.證明：連結OM，作ON⊥CD于N，因為 ⊙O與BC相切，所以 OM⊥BC.因為四邊形ABCD是正方形，所以 AC平分∠BCD.所以OM=ON.圖 4

所以CD與⊙O相切.總結： 切線判斷并不難，認真審題是重點；直線與圓有交點，連接半徑是關鍵，推得垂直是切線；若沒明確是切點，作過圓心垂線段，半徑相等得切線.