第一篇：圓錐曲線教案

與圓錐曲線有關的幾種典型題

一、教學目標(一)知識教學點

使學生掌握與圓錐曲線有關的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線相交問題等．

(二)能力訓練點

通過對圓錐曲線有關的幾種典型題的教學，培養學生綜合運用圓錐曲線知識的能力．(三)學科滲透點

通過與圓錐曲線有關的幾種典型題的教學，使學生掌握一些相關學科中的類似問題的處理方法．

二、教材分析

1．重點：圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題．

(解決辦法：先介紹基礎知識，再講解應用．)2．難點：雙圓錐曲線的相交問題．

(解決辦法：要提醒學生注意，除了要用一元二次方程的判別式，還要結合圖形分析．)3．疑點：與圓錐曲線有關的證明問題．

(解決辦法：因為這類問題涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法，所以比較靈活，只能通過一些例題予以示范．)

三、活動設計

演板、講解、練習、分析、提問．

四、教學過程(一)引入

與圓錐曲線有關的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關的證明問題等，在圓錐曲線的綜合應用中經常見到，為了讓大家對這方面的知識有一個比較系統的了解，今天來講一下“與圓錐曲線有關的幾種典型題”．

(二)與圓錐曲線有關的幾種典型題 1．圓錐曲線的弦長求法

設圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，則弦長|AB|為：

(2)若弦AB過圓錐曲線的焦點F，則可用焦半徑求弦長，|AB|=|AF|+|BF|．

A、B兩點，旦|AB|=8，求傾斜角α． 分析一：由弦長公式易解． 由學生演板完成．解答為：

∵

拋物線方程為x2=-4y，∴焦點為(0，-1)． 設直線l的方程為y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1． 將此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0． ∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k．

∴ k=±1．

∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得結果，由學生課外完成．

2．與圓錐曲線有關的最值(極值)的問題

在解析幾何中求最值，關鍵是建立所求量關于自變量的函數關系，再利用代數方法求出相應的最值．注意點是要考慮曲線上點坐標(x，y)的取值范圍．

例2 已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值與最小值；(2)x+y的最大值與最小值． 解(1)：

將x2+4(y-1)2=4代入得： x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y

由點(x，y)滿足x2+4(y-1)2=4知：

4(y-1)2≤4

即|y-1|≤1．

∴0≤y≤2．

當y=0時，(x2+y2)min=0． 解(2)：

分析：顯然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，則將此代入x2+4(y-1)2=4中得關于y的一元二次方程，借助于判別式可求得最值．

令x+y=u，則有x=u-y．

代入x2+4(y-1)2=4得： 5y2-(2u+8)y+u2=0． 又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×u2≥0．

3．與圓錐曲線有關的證明問題

它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法．

例3 在拋物線x2＝4y上有兩點A(x1，y1)和B(x2，y2)且滿足|AB|=y1+y2+2，求證：

(1)A、B和這拋物線的焦點三點共線；

證明：

(1)∵拋物線的焦點為F(0，1)，準線方程為y=-1．

∴ A、B到準線的距離分別d1＝y1+1，d2=y2+1(如圖2－46所示)．

由拋物線的定義：

|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1．

∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB|． 即A、B、F三點共線．(2)如圖2－46，設∠AFK=θ． ∵|AF|=|AA1|=|AK|+2 =|AF|sinθ+2，又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ．

小結：與圓錐曲線有關的證明問題解決的關鍵是要靈活運用圓錐曲線的定義和幾何性質．

4．圓錐曲線與圓錐曲線的相交問題

直線與圓錐曲線相交問題，一般可用兩個方程聯立后，用△≥0來處理．但用△≥0來判斷雙圓錐曲線相交問題是不可靠的．解決這類問題：方法1，由“△≥0”

與直觀圖形相結合；方法2，由“△≥0”與根與系數關系相結合；方法3，轉換參數法(以后再講)．

實數a的取值范圍．

可得：y2=2(1-a)y+a2-4=0． ∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，如圖2－47，可知：

(三)鞏固練習(用一小黑板事先寫出．)

2．已知圓(x-1)2+y2=1與拋物線y2=2px有三個公共點，求P的取值范圍．

頂點．

請三個學生演板，其他同學作課堂練習，教師巡視．解答為： 1．設P的坐標為(x，y)，則

2．由兩曲線方程消去y得：x2-(2-2P)x=0． 解得：x1=0，x2=2-2P．

∵0＜x＜2，∴0＜2-2P＜2，即0＜P＜1． 故P的取值范圍為(0，1)．

四個交點為A(4，1)，B(4，-1)，C(-4，-1)，D(-4，1)． 所以A、B、C、D是矩形的四個頂點．

五、布置作業

1．一條定拋物線C1∶y2=1-x與動圓C2∶(x-a)2+y2=1沒有公共點，求a的范圍．

2．求拋線y=x2上到直線y=2x-4的距離為最小的點P的坐標． 3．證明：從雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于虛半軸長． 作業答案：

1．當x≤1時，由C1、C2的方程中消去y，得x2-(2a+1)x+a2=0，離為d，則

似證明．

六、板書設計

第二篇：圓錐曲線教案 對稱問題教案

圓錐曲線教案 對稱問題教案

教學目標

1．引導學生探索并掌握解決中心對稱及軸對稱問題的解析方法． 2．通過對稱問題的研究求解，進一步理解數形結合的思想方法，提高分析問題和解決問題的能力．

3．通過對稱問題的探討，使學生會進一步運用運動變化的觀點，用轉化的思想來處理問題．

教學重點與難點

兩曲線關于定點和定直線的對稱知識方法是重點．把數學問題轉化為對稱問題，即用對稱觀點解決實際問題是難點．

教學過程

師：前面學過了幾種常見的曲線方程，并討論了曲線的性質．今天這節課繼續討論有關對稱的問題．大家想一想：點P(x，y)、P′(x′，y′)關于點Q(x0，y0)對稱，那么它們的坐標應滿足什么條件？

師：P(x，y)，P′(x′，y′)關于原點對稱，那么它們的坐標滿足什么條件？ 生：P和P′的中點是原點．即x=-x′且y=-y′． 師：若P和P′關于x軸對稱，它們的坐標又怎樣呢？ 生：x=x′且y=-y′．

師：若P和P′關于y軸對稱，它們的坐標有什么關系？ 生：y=y′且x=-x′．

師：若P和P′關于直線y=x對稱，它們的坐標又會怎樣？ 生：y=x′且x=y′．

生：它們關于直線y=x對稱．

師：若P與P′關于直線Ax+By+C=0對稱，它們在位置上有什么特征？ 生：P和P′必須在直線Ax+By+C=0的兩側． 師：還有補充嗎？

生：PP′的連線一定與直線Ax+By+C=0垂直．

師：P與P′在直線Ax+By+C=0的兩側且與直線垂直就能對稱了嗎？ 生：還需要保證P和P′到直線Ax+By+C=0的距離相等． 師：P與P′到直線Ax+By+C=0的距離相等的含義是什么？

生：就是P與P′的中點落在直線Ax+By+C=0上，換句話說P與P′的中點坐標滿足直線方程Ax+By+C=0．

師：下面誰來總結一下，兩點P(x，y)、P′(x′，y′)關于直線Ax+By+C=0對稱應滿足的條件？

生：應滿足兩個條件． 生：方程組中含有x′，y′，也可認為這是一個含x′，y′的二元一次方程組．換句話說，給定一個點P(x，y)和一條定直線Ax+By+C=0，可以求出P點關于直線Ax+By+C=0的對稱點P′(x′，y′)的坐標．

師：今后有很多有關對稱問題都可以用此方法處理，很有代表性．但也還有其他方法，大家一起看下面的例題．

例1 已知直線l1和l關于直線2x-2y+1=0對稱(如圖2-73)，若l1的方程是3x-2y+1=0，求l2的方程．

2(選題目的：熟悉對稱直線方程)師：哪位同學有思路請談談．

生：先求出已知兩直線的交點，設l2的斜率為k，由兩條直線的夾角公式可求出k，再用點斜式求得l2的方程．

(讓這位同學在黑板上把解題的過程寫出來，大家訂正．)

由點斜式，l2的方程為4x-6y+3=0． 師：還有別的解法嗎？

生：在直線l1上任取一點，求出這點關于2x-2y+1=0對稱的點，然后再利用交點，兩點式可求出l的直線方程。(讓這位學生在黑板上把解題過程寫出來，如有錯誤，大家訂正．)解 由方程組：

師：還有別的解法嗎？

生：在l2上任取一點P(x，y)，則P點關于2x-2y+1=0對稱的點P′(x′，y′)在l1上，列出P，P′的方程組，解出x′，y′，代入l1問題就解決了．

師：請你到黑板上把解題過程寫出來． 解 設P(x，y)為l上的任意一點，2則P點關于直線2x-2y+1=0對稱，點P′(x′，y′)在l1上(如圖2-75)，

又因為P′(x′，y′)在直線l：3x-2y+1=0上，1所以3·x′-2y′+1=0．

即l2的方程為：4x-6y+3=0．

師：很好，大家剛才的幾種解法是求對稱直線方程的常規方法．那么，如果把l1改為曲線，怎樣求曲線關于一條直線對稱的曲線方程呢？

引申：已知：曲線C：y=x2，求它關于直線x-y-2=0對稱的曲線方程．(選題目的：進一步熟悉對稱曲線方程的一般方法．)師：例1中的幾種解法還都適用嗎？ 生：

(讓學生把他的解法寫出來．)解 設P0(x0，y0)是曲線C：y=x2上任意一點，它關于直線x-y-2=0對稱的點為P′(x1，y1)，因此，連結P0(x0，y0)和P′(x1，y1)兩點的直線方程為y-y0=-(x-x0)．

師：還有不同的方法嗎？

生：用兩點關于直線對稱的方法也能解決． 師：把你的解法寫在黑板上．

生：解：設M(x，y)為所求的曲線上任一點，M0(x0，y0)是M關于直線x-y-2=0對稱的點，所以M0定在曲線C：y=x2上．

代入C的方程可得x=4y2+4y+6． 師：大家再看一個例子．

點出發射到x軸上后，沿圓的切線方向反射，求這條光線從A點到切點所經過的路程．(如圖2-77)

師：解這題的關鍵是什么？ 生：關鍵是找到x軸的交點． 師：有辦法找到交點嗎？ 生：沒人回答．

師：交點不好找，那么我們先假設M就是交點，利用交點M對解決這個問題有什么幫助嗎？

生：既然AM是入射光線，MD為反射光線，D為切點，這樣入射角就等于反射角，從而能推出∠AMO=∠DMx．

師：我們要求|AM|+|MD|能解決嗎？

生：可以先找A關于x軸的對稱點A′(0，-2)，由對稱的特征知：|AM|=|A′M|，這樣把求|AM|+|MD|就可以轉化為|A′M|+|MD|即|A′D|．

師：|A′D|怎么求呢？

生：|A′D|實際上是過A′點到圓切線的長，要求切線長，只需先連結半徑CD，再連結A′C，在Rt△A′CD，|CD|和|A′C|都已知，|AD|就可以得到了．(如圖2-77)(讓這位學生把解答寫在黑板上．)解 已知點A關于x軸的對稱點為A′(0，-2)，所求的路程即為

師：巧用對稱性，化簡了計算，很好．哪位同學能把這個題適當改一下，變成另一個題目．

生：若已知A(0，2)，D(4，1)兩定點，在x軸上，求一點P，使得|AP|+|PD|為最短．

師：誰能解答這個問題？

生：先過A(0，2)關于x軸的對稱點A′(0，-2)，連結A′D與x軸相交于點P，P為所求(如圖2-78)．

師：你能保證|AP|+|PD|最短嗎？

生：因為A，A′關于x軸對稱，所以|AP|=|A′P|，這時|AP|+|PD|=|A′D|為線段，當P點在x軸其他位置上時，如在P′處，那么，連結AP′、A′P′和P′D．這時|AP′|+|P′D|=|A′P|+|P′D|＞|A′D|．理由(三角形兩邊之和大于 生：先作A點關于x軸的對稱點A′(0，-2)，連結A′和圓心C，A′C交x軸于M點，交圓于P點，這時|AM|+|MP|最小(如圖2-79)．

師：你怎樣想到先找A點關于x軸的對稱點A′的呢？

生：由前題的結論可知，把AM線段搬到x軸下方，盡可能使它們成為直線，這樣|A′M|+|MP|最小．

師：很好，大家一起動筆算一算(同時讓這位學生上前面書寫)． 生：解A點關于x軸的對稱點為A′(0，-2)，連A′C交x軸于M，交圓C于P點，因為A′(0，-2)，C(6，4)，所以|A′C|=

師：我們一起看下面的問題．

例3 若拋物線y=a·x2-1上總存在關于直線x+y=0對稱的兩點，求a的范圍．

師：這題的思路是什么？

生：如圖2-80，設A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上關于直線x=-

師：很好，誰還有不同的解法嗎？

生：曲線y=ax2-1關于直線x+y=0對稱曲線方程為：-x=ay2-1，解方

師：今天我們討論了有關點，直線，曲線關于定點，定直線，對稱的問題．解決這些問題的關鍵所在就是牢固掌握靈活運用兩點關于定直線對稱的思想方法，結合圖象利用數形結合思想解決問題．

作業：

1．一個以原點為圓心的圓與圓：x2+y2+8x-4y=0關于直線l對稱，求直線l的方程．

(2x-y+5=0)2．ABCD是平行四邊形，已知點A(-1，3)和C(-3，2)，點D在直線x-3y-1=0上移動，則點B的軌跡方程是

______．

(x-3y+20=0)

3．若光線從點A(-3，5)射到直線3x-4y+4=0之后，反射到點B(3，9)，則此光線所經過的路程的長是______．

(12)4．已知曲線C：y=-x2+x+2關于點(a，2a)對稱的曲線是C′，若C與C′有兩個不同的公共點，求a的取值范圍．(-2＜a＜1)

設計說明

1．這節課是一節專題習題課，也可以認為是復習題，通過討論對稱問題把有關的知識進行復習，最重要的是充分突出以學生為主體．讓學生討論和發言，就是讓學生參加到數學教學中來，使學生興趣盎然，思維活躍，同時對自己也充滿了信心．這樣，才有利于發揮學生的主動性，有利于培養學生的獨立思考的習慣，發展學生的創造性和思維能力．因此，在數學教學中要有一定的時間讓學生充分地發表自己的見解，從而來提高他們的興趣，發展他們的能力．

2．這節課自始至終貫穿數形結合的數學思想，讓學生在腦海里留下一個深刻的印象，就是對稱問題，歸根結底都可以化成點關于直線的對稱問題，即可用方程組去解決．反過來，一直線與一曲線的方程組消元后得到一元二次方程，若這二次方程的判別式大于零，也可得直線與曲線有兩個交點，這種從形到數，再由數到形的轉化為我們處理解析幾何問題帶來了便利．在解題時，只有站在一定的高度上去處理問題，思路才能開闊，方法才能靈活，學生的能力才能真正的得到培養，同時水平才能提高得較快．

3．習題課的一個中心就是解題，怎樣才能讓學生做盡可能少的題，從而讓學生掌握通理通法，這是一個值得研究和探討的問題．本節課采取了讓學生把題目進行一題多變，一題多解，從中使學生悟出一些解題辦法和規律，從而達到盡可能做少量的題，而達到獲取盡可能多的知識、方法和規律的目的，真正提高學生的分析問題、提出問題、解決問題的能力．解決當前學生課業負擔過重的問題，根除題海戰術給學生帶來的危害．

4．本課的例題選擇可根據自己所教學生的實際情況，下面幾個備用題可供參考．

題目1過圓O：x2+y2=4與y軸正半軸的交點A作這圓的切線l，M為l上任一點，過M作圓O的另一條切線，切點為Q，求點M在直線l上移動時，△MAQ垂心的軌跡方程．

(選題目的：熟練用代入法求動點的軌跡方程，活用平幾簡化計算．)

解 如圖2-81所示．P為△AMQ的垂心，連OQ，則四邊形AOQP為菱形，所以|PQ|=|OA|=2，設P(x1，y1)，Q(x0，y0)．于是有x0=x1且

題目2若拋物線y=x2上存在關于直線y=m(x-3)對稱的兩點，求實數m的取值范圍．

解(如圖2-82)設拋物線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)關于直線

(選題目的：結合對稱問題，訓練反證法的應用．)此題證法很多．下面給一種證法供參考．

證明 如圖2-83，若P、Q兩點關于y=x對稱，可設P(a，b)、5．本教案作業4，5題的參考解答：

4題．解設P(x，y)是曲線y=-x2+x+2上任一點，它關于點(a，2a)的對稱點是P′(x0，y0)，則x=2a-x0，y=4a-y0，代入拋物線C的方程便得到了C′的方程：y=x2+(1-4a)x+(4a2+2a-2)．聯立曲線C與C′的方程并消去y得：x2-2ax+2a2+a-2=0，由Δ＞0得-2＜a＜1．

5題略解：如圖2-84，F1(-5，2)，F2(-1，2)，F1關于直線x-y=1的對稱點為F1(3，-6)，直線F1F2的方程為2x+y=0，代入x-y=1解得，

第三篇：人教版高中數學《圓錐曲線和方程》全部教案

人教版高中數學全部教案

橢圓及其標準方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程的推導及標準方程．(二)能力訓練點

通過對橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養學生分析探索能力，增強運用坐標法解決幾何問題的能力．

(三)學科滲透點

通過對橢圓標準方程的推導的教學，可以提高對各種知識的綜合運用能力．

二、教材分析

1．重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程．

(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強調；對橢圓的標準方程單獨列出加以比較．)2．難點：橢圓的標準方程的推導．

(解決辦法：推導分4步完成，每步重點講解，關鍵步驟加以補充說明．)3．疑點：橢圓的定義中常數加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說明動點的軌跡．)

三、活動設計

提問、演示、講授、詳細講授、演板、分析講解、學生口答．

四、教學過程(一)橢圓概念的引入

前面，大家學習了曲線的方程等概念，哪一位同學回答：

問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？

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對上述問題學生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學生溫故而知新，在已有知識基礎上去探求新知識．

提出這一問題以便說明標準方程推導中一個同解變形．

問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學生能回答：“平面內到一定點的距離為常數的點的軌跡是圓”．對同學提出的軌跡命題如：

“到兩定點距離之和等于常數的點的軌跡．” “到兩定點距離平方差等于常數的點的軌跡．” “到兩定點距離之差等于常數的點的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵同學們的探索精神．

比如說，若同學們提出了“到兩定點距離之和等于常數的點的軌跡”，那么動點軌跡是什么呢？這時教師示范引導學生繪圖：

取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(如圖2-13)，當繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓．

教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學說：“人造衛星運行軌道”等??

在此基礎上，引導學生概括橢圓的定義：

平面內到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距．

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學生開始只強調主要幾何特征——到兩定點F1、F2的距離之和等于常數、教師在演示中要從兩個方面加以強調：

(1)將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需加限制條件：“在平面內”．

(2)這里的常數有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數大于|F1F2|”．

(二)橢圓標準方程的推導 1．標準方程的推導

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設點；(2)點的集合；(3)代數方程；(4)化簡方程等步驟．

(1)建系設點

建立坐標系應遵循簡單和優化的原則，如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當的．

以兩定點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖2-14)．設|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)點的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．

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(3)代數方程

(4)化簡方程

化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規范的同學板演，其余同學在下面完成，教師巡視，適當給予提示：

①原方程要移項平方，否則化簡相當復雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對稱和諧而引入b，同時b還有幾何意義，下節課還要

(a＞b＞0)．

關于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．

示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標準方程的比較(引導學生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到．

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教師指出：在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上．

(三)例題與練習

例題

平面內兩定點的距離是8，寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程．

分析：先根據題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數法得出軌跡方程． 解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示．取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個橢圓的標準方程是

請大家再想一想，焦點F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

練習1 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：

練習2 下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是

[

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人教版高中數學全部教案

由學生口答，答案為D．(四)小結

1．定義：橢圓是平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

4．焦點：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．

五、布置作業

1．如圖2-17，在橢圓上的點中，A1與焦點F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標準方程．

人教版高中數學全部教案

3．求適合下列條件的橢圓的標準方程：

是過F1的直線被橢圓截得的線段長，求△ABF2的周長． 作業答案：

4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長為4a．

六、板書設計

人教版高中數學全部教案

橢圓及其標準方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程的推導及標準方程．(二)能力訓練點

通過對橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養學生分析探索能力，增強運用坐標法解決幾何問題的能力．

(三)學科滲透點

通過對橢圓標準方程的推導的教學，可以提高對各種知識的綜合運用能力．

二、教材分析

1．重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程．

(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強調；對橢圓的標準方程單獨列出加以比較．)2．難點：橢圓的標準方程的推導．

(解決辦法：推導分4步完成，每步重點講解，關鍵步驟加以補充說明．)

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3．疑點：橢圓的定義中常數加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說明動點的軌跡．)

三、活動設計

提問、演示、講授、詳細講授、演板、分析講解、學生口答．

四、教學過程(一)橢圓概念的引入

前面，大家學習了曲線的方程等概念，哪一位同學回答：

問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？

對上述問題學生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學生溫故而知新，在已有知識基礎上去探求新知識．

提出這一問題以便說明標準方程推導中一個同解變形．

問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學生能回答：“平面內到一定點的距離為常數的點的軌跡是圓”．對同學提出的軌跡命題如：

“到兩定點距離之和等于常數的點的軌跡．” “到兩定點距離平方差等于常數的點的軌跡．” “到兩定點距離之差等于常數的點的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵同學們的探索精神．

比如說，若同學們提出了“到兩定點距離之和等于常數的點的軌跡”，那么動點軌跡是什么呢？這時教師示范引導學生繪圖：

人教版高中數學全部教案

取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(如圖2-13)，當繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓．

教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學說：“人造衛星運行軌道”等??

在此基礎上，引導學生概括橢圓的定義：

平面內到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距．

學生開始只強調主要幾何特征——到兩定點F1、F2的距離之和等于常數、教師在演示中要從兩個方面加以強調：

(1)將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需加限制條件：“在平面內”．

(2)這里的常數有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數大于|F1F2|”．

(二)橢圓標準方程的推導 1．標準方程的推導

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設點；(2)點的集合；(3)代數方程；(4)化簡方程等步驟．

(1)建系設點

建立坐標系應遵循簡單和優化的原則，如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當的．

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以兩定點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖2-14)．設|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)點的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數方程

(4)化簡方程

化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規范的同學板演，其余同學在下面完成，教師巡視，適當給予提示：

①原方程要移項平方，否則化簡相當復雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對稱和諧而引入b，同時b還有幾何意義，下節課還要

(a＞b＞0)．

關于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．

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示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標準方程的比較(引導學生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上．

(三)例題與練習

例題

平面內兩定點的距離是8，寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程．

分析：先根據題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數法得出軌跡方程． 解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示．取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個橢圓的標準方程是

請大家再想一想，焦點F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

人教版高中數學全部教案

練習1 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：

練習2 下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是

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由學生口答，答案為D．(四)小結

1．定義：橢圓是平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

人教版高中數學全部教案

4．焦點：F1(-c，0)，F2(c，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．

五、布置作業

1．如圖2-17，在橢圓上的點中，A1與焦點F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標準方程．

3．求適合下列條件的橢圓的標準方程：

人教版高中數學全部教案

是過F1的直線被橢圓截得的線段長，求△ABF2的周長． 作業答案：

4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長為4a．

六、板書設計

橢圓的幾何性質

一、教學目標(一)知識教學點

人教版高中數學全部教案

通過橢圓標準方程的討論，使學生掌握橢圓的幾何性質，能正確地畫出橢圓的圖形，并了解橢圓的一些實際應用．

(二)能力訓練點

通過對橢圓的幾何性質的教學，培養學生分析問題和解決實際問題的能力．(三)學科滲透點

使學生掌握利用方程研究曲線性質的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關系概念的理解，這樣才能解決隨之而來的一些問題，如弦、最值問題等．

二、教材分析

1．重點：橢圓的幾何性質及初步運用．

(解決辦法：引導學生利用方程研究曲線的性質，最后進行歸納小結．)2．難點：橢圓離心率的概念的理解．

(解決辦法：先介紹橢圓離心率的定義，再分析離心率的大小對橢圓形狀的影響，最后通過橢圓的第二定義講清離心率e的幾何意義．)3．疑點：橢圓的幾何性質是橢圓自身所具有的性質，與坐標系選擇無關，即不隨坐標系的改變而改變．

(解決辦法：利用方程分析橢圓性質之前就先給學生說明．)

三、活動設計

提問、講解、閱讀后重點講解、再講解、演板、講解后歸納、小結．

四、教學過程(一)復習提問

1．橢圓的定義是什么？ 2．橢圓的標準方程是什么？ 學生口述，教師板書．(二)幾何性質

根據曲線的方程研究曲線的幾何性質，并正確地畫出它的圖形，是

人教版高中數學全部教案

b＞0)來研究橢圓的幾何性質．說明：橢圓自身固有幾何量所具有的性質是與坐標系選擇無關，即不隨坐標系的改變而改變．

1．范圍

即|x|≤a，|y|≤b，這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里(圖2-18)．注意結合圖形講解，并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點．

2．對稱性

先請大家閱讀課本橢圓的幾何性質2．

設問：為什么“把x換成-x，或把y換成-y？，或把x、y同時換成-x、-y時，方程都不變，所以圖形關于y軸、x軸或原點對稱的” 呢？

事實上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當點P(x，y)在曲線上時，點P關于y軸的對稱點Q(-x，y)也在曲線上，所以曲線關于y軸對稱．類似可以證明其他兩個命題．

同時向學生指出：如果曲線具有關于y軸對稱、關于x軸對稱和關于原點對稱中的任意兩種，那么它一定具有另一種對稱．如：如果曲線關于x軸和原點對稱，那么它一定關于y軸對稱．

事實上，設P(x，y)在曲線上，因為曲線關于x軸對稱，所以點P1(x，-y)必在曲線上．又因為曲線關于原點對稱，所以P1關于原點對稱點P2(-x，y)必在曲線上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲線上，所以曲線關于y軸對稱．

最后指出：x軸、y軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心即橢圓中心． 3．頂點

人教版高中數學全部教案

只須令x=0，得y=±b，點B1(0，-b)、B2(0，b)是橢圓和y軸的兩個交點；令y=0，得x=±a，點A1(-a，0)、A2(a，0)是橢圓和x軸的兩個交點．強調指出：橢圓有四個頂點A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．

教師還需指出：

(1)線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b；

(2)a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；

這時，教師可以小結以下：由橢圓的范圍、對稱性和頂點，再進行描點畫圖，只須描出較少的點，就可以得到較正確的圖形．

4．離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

等到介紹橢圓的第二定義時，再講清離心率e的幾何意義． 先分析橢圓的離心率e的取值范圍： ∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．

再結合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響：

(2)當e接近0時，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓；(3)當e=0時，c=0，a=b兩焦點重合，橢圓的標準方程成為x2+y2=a2，圖形就是圓了．

(三)應用

為了加深對橢圓的幾何性質的認識，掌握用描點法畫圖的基本方法，給出如下例1．

人教版高中數學全部教案

例1 求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用描點法畫出它的圖形．

本例前一部分請一個同學板演，教師予以訂正，估計不難完成．后一部分由教師講解，以引起學生重視，步驟是：

(2)描點作圖．先描點畫出橢圓在第一象限內的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫出整個橢圓(圖2-19)．要強調：利用對稱性可以使計算量大大減少．

本例實質上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統一定義做準備的，同時再一次使學生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細講解：

設d是點M到直線l的距離，根據題意，所求軌跡就是集合P={M

人教版高中數學全部教案

將上式化簡，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．

這是橢圓的標準方程，所以點M的軌跡是橢圓． 由此例不難歸納出橢圓的第二定義．(四)橢圓的第二定義 1．定義

平面內點M與一個定點的距離和它到一定直線的距離的比是常數

線叫做橢圓的準線，常數e是橢圓的離心率． 2．說明

這時還要講清e的幾何意義是：橢圓上一點到焦點的距離和它到準線的距離的比．

(五)小結

人教版高中數學全部教案

解法研究圖形的性質是通過對方程的討論進行的，同一曲線由于坐標系選取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性質是一樣的，即與坐標系的選取無關．前面我們著重分析了第一個標準方程的橢圓的性質，類似可以理解第二個標準方程的橢圓的性質．布置學生最后小結下列表格：

五、布置作業

1．求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、各個頂點和焦點坐標、準線方程：

(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．

2．我國發射的科學實驗人造地球衛星的運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，近地點距地面266Km，遠地點距地面1826Km，求這顆衛星的軌道方程．

3．點P與一定點F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形． 的方程． 作業答案：

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4．頂點(0，2)可能是長軸的端點，也可能是短軸的一個端點，故分兩種情況求方程：

六、板書設計

橢圓的幾何性質

人教版高中數學全部教案

一、教學目標(一)知識教學點

通過橢圓標準方程的討論，使學生掌握橢圓的幾何性質，能正確地畫出橢圓的圖形，并了解橢圓的一些實際應用．

(二)能力訓練點

通過對橢圓的幾何性質的教學，培養學生分析問題和解決實際問題的能力．(三)學科滲透點

使學生掌握利用方程研究曲線性質的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關系概念的理解，這樣才能解決隨之而來的一些問題，如弦、最值問題等．

二、教材分析

1．重點：橢圓的幾何性質及初步運用．

(解決辦法：引導學生利用方程研究曲線的性質，最后進行歸納小結．)2．難點：橢圓離心率的概念的理解．

(解決辦法：先介紹橢圓離心率的定義，再分析離心率的大小對橢圓形狀的影響，最后通過橢圓的第二定義講清離心率e的幾何意義．)3．疑點：橢圓的幾何性質是橢圓自身所具有的性質，與坐標系選擇無關，即不隨坐標系的改變而改變．

(解決辦法：利用方程分析橢圓性質之前就先給學生說明．)

三、活動設計

提問、講解、閱讀后重點講解、再講解、演板、講解后歸納、小結．

四、教學過程(一)復習提問

1．橢圓的定義是什么？ 2．橢圓的標準方程是什么？

人教版高中數學全部教案

學生口述，教師板書．(二)幾何性質

根據曲線的方程研究曲線的幾何性質，并正確地畫出它的圖形，是

b＞0)來研究橢圓的幾何性質．說明：橢圓自身固有幾何量所具有的性質是與坐標系選擇無關，即不隨坐標系的改變而改變．

1．范圍

即|x|≤a，|y|≤b，這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里(圖2-18)．注意結合圖形講解，并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點．

2．對稱性

先請大家閱讀課本橢圓的幾何性質2．

設問：為什么“把x換成-x，或把y換成-y？，或把x、y同時換成-x、-y時，方程都不變，所以圖形關于y軸、x軸或原點對稱的” 呢？

事實上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當點P(x，y)在曲線上時，點P關于y軸的對稱點Q(-x，y)也在曲線上，所以曲線關于y軸對稱．類似可以證明其他兩個命題．

同時向學生指出：如果曲線具有關于y軸對稱、關于x軸對稱和關于原點對稱中的任意兩種，那么它一定具有另一種對稱．如：如果曲線關于x軸和原點對稱，那么它一定關于y軸對稱．

人教版高中數學全部教案

事實上，設P(x，y)在曲線上，因為曲線關于x軸對稱，所以點P1(x，-y)必在曲線上．又因為曲線關于原點對稱，所以P1關于原點對稱點P2(-x，y)必在曲線上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲線上，所以曲線關于y軸對稱．

最后指出：x軸、y軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心即橢圓中心． 3．頂點

只須令x=0，得y=±b，點B1(0，-b)、B2(0，b)是橢圓和y軸的兩個交點；令y=0，得x=±a，點A1(-a，0)、A2(a，0)是橢圓和x軸的兩個交點．強調指出：橢圓有四個頂點A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．

教師還需指出：

(1)線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b；

(2)a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；

這時，教師可以小結以下：由橢圓的范圍、對稱性和頂點，再進行描點畫圖，只須描出較少的點，就可以得到較正確的圖形．

4．離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

等到介紹橢圓的第二定義時，再講清離心率e的幾何意義． 先分析橢圓的離心率e的取值范圍： ∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．

再結合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響：

(2)當e接近0時，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓；

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(3)當e=0時，c=0，a=b兩焦點重合，橢圓的標準方程成為x2+y2=a2，圖形就是圓了．

(三)應用

為了加深對橢圓的幾何性質的認識，掌握用描點法畫圖的基本方法，給出如下例1． 例1 求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用描點法畫出它的圖形．

本例前一部分請一個同學板演，教師予以訂正，估計不難完成．后一部分由教師講解，以引起學生重視，步驟是：

(2)描點作圖．先描點畫出橢圓在第一象限內的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫出整個橢圓(圖2-19)．要強調：利用對稱性可以使計算量大大減少．

本例實質上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統一定義做準備的，同時再一次使學生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細講解：

設d是點M到直線l的距離，根據題意，所求軌跡就是集合P={M

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將上式化簡，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．

這是橢圓的標準方程，所以點M的軌跡是橢圓． 由此例不難歸納出橢圓的第二定義．(四)橢圓的第二定義 1．定義

平面內點M與一個定點的距離和它到一定直線的距離的比是常數

線叫做橢圓的準線，常數e是橢圓的離心率． 2．說明

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這時還要講清e的幾何意義是：橢圓上一點到焦點的距離和它到準線的距離的比．

(五)小結

解法研究圖形的性質是通過對方程的討論進行的，同一曲線由于坐標系選取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性質是一樣的，即與坐標系的選取無關．前面我們著重分析了第一個標準方程的橢圓的性質，類似可以理解第二個標準方程的橢圓的性質．布置學生最后小結下列表格：

五、布置作業

1．求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、各個頂點和焦點坐標、準線方程：

(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．

2．我國發射的科學實驗人造地球衛星的運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，近地點距地面266Km，遠地點距地面1826Km，求這顆衛星的軌道方程．

3．點P與一定點F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形． 的方程．

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作業答案：

4．頂點(0，2)可能是長軸的端點，也可能是短軸的一個端點，故分兩種情況求方程：

六、板書設計

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雙曲線及其標準方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生掌握雙曲線的定義和標準方程，以及標準方程的推導．(二)能力訓練點

在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識，從而培養學生分析、歸納、推理等能力．(三)學科滲透點

本次課注意發揮類比和設想的作用，與橢圓進行類比、設想，使學生得到關于雙曲線的定義、標準方程一個比較深刻的認識．

二、教材分析

1．重點：雙曲線的定義和雙曲線的標準方程．

(解決辦法：通過一個簡單實驗得出雙曲線，再通過設問給出雙曲線的定義；對于雙曲線的標準方程通過比較加深認識．)2．難點：雙曲線的標準方程的推導．

(解決辦法：引導學生完成，提醒學生與橢圓標準方程的推導類比．)3．疑點：雙曲線的方程是二次函數關系嗎？

(解決辦法：教師可以從引導學生回憶函數定義和觀察雙曲線圖形來解決，同時讓學生在課外去研究在什么附加條件下，雙曲線方程可以轉化為函數式．)

三、活動設計

提問、實驗、設問、歸納定義、講解、演板、口答、重點講解、小結．

四、教學過程(一)復習提問

1．橢圓的定義是什么？(學生回答，教師板書)

人教版高中數學全部教案

平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．教師要強調條件：(1)平面內；(2)到兩定點F1、F2的距離的和等于常數；(3)常數2a＞|F1F2|．

2．橢圓的標準方程是什么？(學生口答，教師板書)

(二)雙曲線的概念

把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點的軌跡會怎樣？它的方程是怎樣的呢？

1．簡單實驗(邊演示、邊說明)如圖2-23，定點F1、F2是兩個按釘，MN是一個細套管，兩條細繩分別拴在按釘上且穿過套管，點M移動時，|MF1|-|MF2|是常數，這樣就畫出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數，可以畫出另一支．

注意：常數要小于|F1F2|，否則作不出圖形．這樣作出的曲線就叫做雙曲線． 2．設問

問題1：定點F1、F2與動點M不在平面上，能否得到雙曲線？ 請學生回答，不能．強調“在平面內”． 問題2：|MF1|與|MF2|哪個大？

請學生回答，不定：當M在雙曲線右支上時，|MF1|＞|MF2|；當點M在雙曲線左支上時，|MF1|＜|MF2|．

問題3：點M與定點F1、F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|？

請學生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正確表示為||MF2|-|MF1||．

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問題4：這個常數是否會大于等于|F1F2|？

請學生回答，應小于|F1F2|且大于零．當常數=|F1F2|時，軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線；當常數＞|F1F2|時，無軌跡．

3．定義

在上述基礎上，引導學生概括雙曲線的定義：

平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點F1、F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距．

教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記．(三)雙曲線的標準方程

現在來研究雙曲線的方程．我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程．這時設問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學生回答，主要引起學生思考，隨即引導學生給出雙曲線的方程的推導．

標準方程的推導：(1)建系設點

取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)

建立直角坐標系．

設M(x，y)為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐標分別是(-c，0)、(c，0)．又設點M與F1、F2的距離的差的絕對值等于常數．

(2)點的集合

由定義可知，雙曲線就是集合：

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P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．(3)代數方程

(4)化簡方程(由學生演板)將這個方程移項，兩邊平方得：

化簡得：

兩邊再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

(以上推導完全可以仿照橢圓方程的推導．)由雙曲線定義，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 設c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2．

這就是雙曲線的標準方程．

兩種標準方程的比較(引導學生歸納)：

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教師指出：

(1)雙曲線標準方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果x2項的系數是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數是正的，那么焦點在y軸上．注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標軸上．

(3)雙曲線標準方程中a、b、c的關系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2．(四)練習與例題

1．求滿足下列的雙曲線的標準方程： 焦點F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；

3．已知兩點F1(-5，0)、F2(5，0)，求與它們的距離的差的絕對值是6的點的軌跡方程．如果把這里的數字6改為12，其他條件不變，會出現什么情況？

由教師講解：

按定義，所求點的軌跡是雙曲線，因為c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．

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因為2a=12，2c=10，且2a＞2c． 所以動點無軌跡．(五)小結

1．定義：平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡．

3．圖形(見圖2-25)：

4．焦點：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)． 5．a、b、c的關系：c2=a2+b2；c=a2+b2．

五、布置作業

1．根據下列條件，求雙曲線的標準方程：

(1)焦點的坐標是(-6，0)、(6，0)，并且經過點A(-5，2)；

3．已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦點坐標． 作業答案：

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2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1

六、板書設計

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雙曲線及其標準方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生掌握雙曲線的定義和標準方程，以及標準方程的推導．(二)能力訓練點

在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識，從而培養學生分析、歸納、推理等能力．(三)學科滲透點

本次課注意發揮類比和設想的作用，與橢圓進行類比、設想，使學生得到關于雙曲線的定義、標準方程一個比較深刻的認識．

二、教材分析

1．重點：雙曲線的定義和雙曲線的標準方程．

(解決辦法：通過一個簡單實驗得出雙曲線，再通過設問給出雙曲線的定義；對于雙曲線的標準方程通過比較加深認識．)2．難點：雙曲線的標準方程的推導．

(解決辦法：引導學生完成，提醒學生與橢圓標準方程的推導類比．)3．疑點：雙曲線的方程是二次函數關系嗎？

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(解決辦法：教師可以從引導學生回憶函數定義和觀察雙曲線圖形來解決，同時讓學生在課外去研究在什么附加條件下，雙曲線方程可以轉化為函數式．)

三、活動設計

提問、實驗、設問、歸納定義、講解、演板、口答、重點講解、小結．

四、教學過程(一)復習提問

1．橢圓的定義是什么？(學生回答，教師板書)平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．教師要強調條件：(1)平面內；(2)到兩定點F1、F2的距離的和等于常數；(3)常數2a＞|F1F2|．

2．橢圓的標準方程是什么？(學生口答，教師板書)

(二)雙曲線的概念

把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點的軌跡會怎樣？它的方程是怎樣的呢？

1．簡單實驗(邊演示、邊說明)如圖2-23，定點F1、F2是兩個按釘，MN是一個細套管，兩條細繩分別拴在按釘上且穿過套管，點M移動時，|MF1|-|MF2|是常數，這樣就畫出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數，可以畫出另一支．

注意：常數要小于|F1F2|，否則作不出圖形．這樣作出的曲線就叫做雙曲線． 2．設問

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問題1：定點F1、F2與動點M不在平面上，能否得到雙曲線？ 請學生回答，不能．強調“在平面內”． 問題2：|MF1|與|MF2|哪個大？

請學生回答，不定：當M在雙曲線右支上時，|MF1|＞|MF2|；當點M在雙曲線左支上時，|MF1|＜|MF2|．

問題3：點M與定點F1、F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|？

請學生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正確表示為||MF2|-|MF1||． 問題4：這個常數是否會大于等于|F1F2|？

請學生回答，應小于|F1F2|且大于零．當常數=|F1F2|時，軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線；當常數＞|F1F2|時，無軌跡．

3．定義

在上述基礎上，引導學生概括雙曲線的定義：

平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點F1、F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距．

教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記．(三)雙曲線的標準方程

現在來研究雙曲線的方程．我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程．這時設問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學生回答，主要引起學生思考，隨即引導學生給出雙曲線的方程的推導．

標準方程的推導：(1)建系設點

取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)

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建立直角坐標系．

設M(x，y)為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐標分別是(-c，0)、(c，0)．又設點M與F1、F2的距離的差的絕對值等于常數．

(2)點的集合

由定義可知，雙曲線就是集合：

P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．(3)代數方程

(4)化簡方程(由學生演板)將這個方程移項，兩邊平方得：

化簡得：

兩邊再平方，整理得：

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(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

(以上推導完全可以仿照橢圓方程的推導．)由雙曲線定義，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 設c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2．

這就是雙曲線的標準方程．

兩種標準方程的比較(引導學生歸納)：

教師指出：

(1)雙曲線標準方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果x2項的系數是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數是正的，那么焦點在y軸上．注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標軸上．

(3)雙曲線標準方程中a、b、c的關系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2．(四)練習與例題

1．求滿足下列的雙曲線的標準方程： 焦點F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；

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3．已知兩點F1(-5，0)、F2(5，0)，求與它們的距離的差的絕對值是6的點的軌跡方程．如果把這里的數字6改為12，其他條件不變，會出現什么情況？

由教師講解：

按定義，所求點的軌跡是雙曲線，因為c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．

因為2a=12，2c=10，且2a＞2c． 所以動點無軌跡．(五)小結

1．定義：平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡．

3．圖形(見圖2-25)：

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4．焦點：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)． 5．a、b、c的關系：c2=a2+b2；c=a2+b2．

五、布置作業

1．根據下列條件，求雙曲線的標準方程：

(1)焦點的坐標是(-6，0)、(6，0)，并且經過點A(-5，2)；

3．已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦點坐標． 作業答案：

2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1

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六、板書設計

雙曲線的幾何性質

一、教學目標(一)知識教學點

使學生理解并掌握雙曲線的幾何性質，并能從雙曲線的標準方程出發，推導出這些性質，并能具體估計雙曲線的形狀特征．

(二)能力訓練點

在與橢圓的性質的類比中獲得雙曲線的性質，從而培養學生分析、歸納、推理等能力．(三)學科滲透點

使學生進一步掌握利用方程研究曲線性質的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關系概念的理解，這樣才能解決雙曲線中的弦、最值等問題．

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二、教材分析

1．重點：雙曲線的幾何性質及初步運用．

(解決辦法：引導學生類比橢圓的幾何性質得出，至于漸近線引導學生證明．)2．難點：雙曲線的漸近線方程的導出和論證．

(解決辦法：先引導學生觀察以原點為中心，2a、2b長為鄰邊的矩形的兩條對角線，再論證這兩條對角線即為雙曲線的漸近線．)3．疑點：雙曲線的漸近線的證明．(解決辦法：通過詳細講解．)

三、活動設計

提問、類比、重點講解、演板、講解并歸納、小結．

四、教學過程

(一)復習提問引入新課

1．橢圓有哪些幾何性質，是如何探討的？

請一同學回答．應為：范圍、對稱性、頂點、離心率，是從標準方程探討的． 2．雙曲線的兩種標準方程是什么？

再請一同學回答．應為：中心在原點、焦點在x軸上的雙曲線的標

下面我們類比橢圓的幾何性質來研究它的幾何性質．(二)類比聯想得出性質(性質1～3)引導學生完成下列關于橢圓與雙曲線性質的表格(讓學生回答，教師引導、啟發、訂正并板書)．<見下頁>(三)問題之中導出漸近線(性質4)

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在學習橢圓時，以原點為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對于估計

仍以原點為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形(板書圖形)，那么雙曲線和這個矩形有什么關系？這個矩形對于估計和畫出雙曲線簡圖(圖2-26)有什么指導意義？這些問題不要求學生回答，只引起學生類比聯想．

接著再提出問題：當a、b為已知時，這個矩形的兩條對角線的方程是什么？

下面，我們來證明它：

雙曲線在第一象限的部分可寫成：

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當x逐漸增大時，|MN|逐漸減小，x無限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON．

在其他象限內也可以證明類似的情況．

現在來看看實軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點在y軸上的雙曲線方程是由焦點在x軸上的雙曲線方程，將x、y字

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母對調所得到，自然前者漸近線方程也可由后者漸近線方程將x、y字

這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠處趨向問題，從而可比較精

再描幾個點，就可以隨后畫出比較精確的雙曲線．(四)順其自然介紹離心率(性質5)由于正確認識了漸近線的概念，對于離心率的直觀意義也就容易掌握了，為此，介紹一下雙曲線的離心率以及它對雙曲線的形狀的影響：

變得開闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊．

這時，教師指出：焦點在y軸上的雙曲線的幾何性質可以類似得出，雙曲線的幾何性質與坐標系的選擇無關，即不隨坐標系的改變而改變．

(五)練習與例題

1．求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程．

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請一學生演板，其他同學練習，教師巡視，練習畢予以訂正．

由此可知，實半軸長a=4，虛半軸長b=3．

焦點坐標是(0，-5)，(0，5)．

本題實質上是雙曲線的第二定義，要重點講解并加以歸納小結．

解：設d是點M到直線l的距離，根據題意，所求軌跡就是集合：

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化簡得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

這就是雙曲線的標準方程．

由此例不難歸納出雙曲線的第二定義．(六)雙曲線的第二定義 1．定義(由學生歸納給出)平面內點M與一定點的距離和它到一條直線的距離的比是常數e=

叫做雙曲線的準線，常數e是雙曲線的離心率． 2．說明

(七)小結(由學生課后完成)將雙曲線的幾何性質按兩種標準方程形式列表小結．

五、布置作業

1．已知雙曲線方程如下，求它們的兩個焦點、離心率e和漸近線方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144．

第四篇：4.4.9圓錐曲線的參數方程 教案范文

第三課時 圓錐曲線的參數方程

一、教學目標：

知識與技能：了解圓錐曲線的參數方程及參數的意義 過程與方法：能選取適當的參數，求簡單曲線的參數方程

情感、態度與價值觀：通過觀察、探索、發現的創造性過程，培養創新意識。

二、重難點：教學重點：圓錐曲線參數方程的定義及方法

教學難點：選擇適當的參數寫出曲線的參數方程.三、教學方法：啟發、誘導發現教學.四、教學過程：

（一）、復習引入：

1．寫出圓方程的標準式和對應的參數方程。

?x?rcos?(1)圓x2?y2?r2參數方程?（?為參數）

y?rsin???x?x0?rcos?（2）圓(x?x0)?(yy0)?r參數方程為：（?為參數）??y?y0?rsin?2222．寫出橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程。

3．能模仿圓參數方程的推導，寫出圓錐曲線的參數方程嗎？

（二）、講解新課：

?x?acos?x2y21.橢圓的參數方程推導：橢圓2?2?1參數方程 ?（?為參

ab?y?bsin?數）,參數?的幾何意義是以a為半徑所作圓上一點和橢圓中心的連線與X軸正半軸的夾角。

6543A21M-8-6-4-2-1OL12N46810-2-3-4-5-6-7 ?x?asec?x2y22.雙曲線的參數方程的推導：雙曲線2?2?1參數方程 ?（?ab?y?btan?為參數）

25002000QP1500B1000500A-4000-3000-2000-***0M40005000-500-1000-1500-2000-2500-3000-3500 參數?幾何意義為以a為半徑所作圓上一點和橢圓中心的連線與X軸正半軸的夾角。

?x?2Pt23.拋物線的參數方程：拋物線y?2Px參數方程?（t為參數）,t

y?2Pt?2為以拋物線上一點（X,Y）與其頂點連線斜率的倒數。

（1）、關于參數幾點說明：

A.參數方程中參數可以是有物理意義，幾何意義，也可以沒有明顯意義。B.同一曲線選取的參數不同，曲線的參數方程形式也不一樣 C.在實際問題中要確定參數的取值范圍(2)、參數方程的意義：

參數方程是曲線點的位置的另一種表示形式，它借助于中間變量把曲線上的動點的兩個坐標間接地聯系起來，參數方程與變通方程同等地描述，了解曲線，y分別為曲線上點M的橫坐標和縱坐標。參數方程實際上是一個方程組，其中x，（3）、參數方程求法：（A）建立直角坐標系，設曲線上任一點P坐標為(x,y)；（B）選取適當的參數；（C）根據已知條件和圖形的幾何性質，物理意義，建立點P坐標與參數的函數式；（D）證明這個參數方程就是所由于的曲線的方程

(4)、關于參數方程中參數的選取：選取參數的原則是曲線上任一點坐標當參數的關系比較明顯關系相對簡單。與運動有關的問題選取時間t做參數；與旋轉的有關問題選取角?做參數；或選取有向線段的數量、長度、直線的傾斜斜角、斜率等。

?x?acos?x2y24、橢圓的參數方程常見形式：（1）、橢圓2?2?1參數方程 ?（?ab?y?bsin?x?bcos?x?y?1(b?a?0)(?為參數，且0???2?）.2為參數）；橢圓2的參數方程是?y?asin?ba22（2）、以(x0,y)為中心焦點的連線平行于x 軸的橢圓的參數方程是0x0?acos??x?acos?。（3）在利用?研究橢圓問題時，橢圓上的點{y?y?bsin?(?為參數）0?y?bsin?x?的坐標可記作（acos?,bsin?）。

（三）、鞏固訓練

1?x?t??t(t為參數)22x?y?4。

1、曲線?的普通方程為1?y?t?t?

2、曲線?12?x?cos??y?sin?(?為參數)上的點到兩坐標軸的距離之和的最大值是（D）

A． B．2 C．1 D．2 2?x?3cos??

3、已知橢圓?(?為參數)求（1）??時對應的點P的坐標

6?y?2sin?（2）直線OP的傾斜角

（四）、小結：本課要求大家了解圓錐曲線的參數方程及參數的意義，能選取適當的參數，求簡單曲線的參數方程，通過推到橢圓及雙曲線的參數方程，體會求曲線的參數方程方法和步驟，對橢圓的參數方程常見形式要理解和掌握。

（五）、作業：

五、教學反思：

第五篇：圓錐曲線題型總結

圓錐曲線題型

與圓錐曲線有關的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關的證明問題等，在圓錐曲線的綜合應用中經常見到，為了讓同學們對這方面的知識有一個比較系統的了解，本文系統闡述一下“與圓錐曲線有關的幾種典型題”．

一、重、難、疑點分析

1．重點：圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題．

2．難點：雙圓錐曲線的相交問題．(應當提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判別式，還要結合圖形分析．)3．疑點：與圓錐曲線有關的證明問題．(解決辦法：因為這類問題涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法，所以比較靈活，只能通過一些例題予以示范．)

二、題型展示

1．圓錐曲線的弦長求法

設圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點，則弦長|AB|為：

(2)若弦AB過圓錐曲線的焦點F，則可用焦半徑求弦長，|AB|=|AF|+|BF|．

例1 過拋物線y??14x的焦點作傾斜角為?的直線l與拋物線交于A、B兩點，旦

2|AB|=8，求傾斜角?．

分析一：由弦長公式易解．解答為：

∵

拋物線方程為x2=-4y，∴焦點為(0，-1)．

設直線l的方程為y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．

將此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0．∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k． 由|AB|=8得:8?1?k2???4k?2或??3?4?4?1???4? ∴k??1

又有tan???1得:???4.p2,BF??y2?p2分析二:利用焦半徑關系.∵AF??y1?

∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得結果，可由同學們自己試試完成．

2．與圓錐曲線有關的最值(極值)的問題

在解析幾何中求最值，關鍵是建立所求量關于自變量的函數關系，再利用代數方法求出相應的最值．注意點是要考慮曲線上點坐標(x，y)的取值范圍．

例2已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值與最小值;(2)x+y的最大值與最小值． 解一：將x2+4(y-1)2=4代入得：x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y

由點(x，y)滿足x2+4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1．∴0≤y≤2．

當y=0時，(x2+y2)min=0．

解二：分析：顯然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，則將此代入x2+4(y-1)2=4中得關于y的一元二次方程，借助于判別式可求得最值．

令x+y=u，則有x=u-y,代入x2+4(y-1)2=4得：5y2-(2u+8)y+u2=0． 又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×u2≥0． ∴1?5?u?1?5

當u?1?5時,y?1?55??0,2?;當u?1?5時,y?1?55??0,2?

∴?x?y?max?1?5;?x?y?min?1?5

3．與圓錐曲線有關的證明問題

它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法．

例3.在拋物線x2＝4y上有兩點A(x1，y1)和B(x2，y2)且滿足|AB|=y1+y2+2，求證：(1)A、B和這拋物線的焦點三點共線；(2)

1AF?1BF為定值.證明：(1)∵拋物線的焦點為F(0，1)，準線方程為y=-1．

∴ A、B到準線的距離分別d1＝y1+1，d2=y2+1(如圖2－46所示)．

由拋物線的定義：|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1． ∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB| 即A、B、F三點共線．(2)如圖2－46，設∠AFK=θ．

∵|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sinθ+2 ∴AF?又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ ∴BF?21?sin?21?sin?

小結:與圓錐曲線有關的證明問題解決的關鍵是要靈活運用圓錐曲線的定義和幾何性質.4．圓錐曲線與圓錐曲線的相交問題 直線與圓錐曲線相交問題，一般可用兩個方程聯立后，用△≥0來處理．但用△≥0來判斷雙圓錐曲線相交問題是不可靠的．解決這類問題：方法1，由“△≥0”與直觀圖形相結合；方法2，由“△≥0”與根與系數關系相結合；方法3，轉換參數法(以后再講)． 例4 已知曲線C1:x?2?y?a?22 ?1及C2:y?x?1有公共點,求實數a的取值范圍．

2可得：y=2(1-a)y+a-4=0．

∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，∴a?如圖2－47，可知：

5222.橢圓中心?0,a?,半軸長a??交時,a?1?2.2?a?522,拋物線頂點為?0,1?,所以當圓錐曲線在下方相切或相綜上所述,當1?時, 曲線C1與C2相交.5．利用共線向量解決圓錐曲線中的參數范圍問題 例5.已知橢圓xa22?yb22?1(a?b?0)的長、短軸端點分別為A、B，從此橢圓上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F1，向量AB與OM是共線向量。（1）求橢圓的離心率e；（2）設Q是橢圓上任意一點，F1、F2分別是左、右焦點，求∠F1QF2 的取值范圍；

解：（1）∵F1(?c,0),則xM??c,yM?b2a，∴kOM??2b2ac。

∵kAB??ba,OM與AB是共線向量，∴?bac??ba，∴b=c,故e?22。

（2）設F1Q?r1,F2Q?r2,?F1QF2??,?r1?r2?2a,F1F2?2c，r1?r2?4c2r1r2222cos???(r1?r2)?2r1r2?4c2r1r222?a2r1r2?1?(a22r1?r2?1?0)2當且僅當r1?r2時，cosθ=0，∴θ?[0,?2]。

由于共線向量與解析幾何中平行線、三點共線等具有異曲同工的作用，因此，解析幾何中與平行線、三點共線等相關的問題均可在向量共線的新情景下設計問題。求解此類問題的關鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點共線等的關系，把有關向量的問題轉化為解析幾何問題.6.利用向量的數量積解決圓錐曲線中的參數范圍問題

例6.橢圓x29?y24?1的焦點為F1,F2，點P為其上的動點，當∠F1P F2為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是___。

解：由橢圓x29?y24?1的知焦點為F1（－5,0）F2（5,0）.設橢圓上的點可設為P（3cos?,2sin?）.??F1PF2為鈍角 ?????????（?∴ PF1?PF2?

5?3cos?,?2sin?)?(5?3cos?,?2sin?)

=9cos2?－5＋4sin2?=5 cos2?－1<0 解得：?55?cos??55 ∴點P橫坐標的取值范圍是（?3535）.,55解決與角有關的一類問題，總可以從數量積入手。本題中把條件中的角為鈍角轉化為向量的數量積為負值，通過坐標運算列出不等式，簡潔明了.