第一篇：高二數(shù)學教案：圓錐曲線方程：02

橢圓及其標準方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程的推導(dǎo)及標準方程．(二)能力訓(xùn)練點

通過對橢圓概念的引入與標準方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學生分析探索能力，增強運用坐標法解決幾何問題的能力．

(三)學科滲透點

通過對橢圓標準方程的推導(dǎo)的教學，可以提高對各種知識的綜合運用能力．

二、教材分析

1．重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程．

(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強調(diào)；對橢圓的標準方程單獨列出加以比較．)2．難點：橢圓的標準方程的推導(dǎo)．

(解決辦法：推導(dǎo)分4步完成，每步重點講解，關(guān)鍵步驟加以補充說明．)3．疑點：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說明動點的軌跡．)

三、活動設(shè)計

提問、演示、講授、詳細講授、演板、分析講解、學生口答．

四、教學過程(一)橢圓概念的引入

前面，大家學習了曲線的方程等概念，哪一位同學回答：

問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？ 對上述問題學生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學生溫故而知新，在已有知識基礎(chǔ)上去探求新知識．

提出這一問題以便說明標準方程推導(dǎo)中一個同解變形．

問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學生能回答：“平面內(nèi)到一定點的距離為常數(shù)的點的軌跡是圓”．對同學提出的軌跡命題如：

“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡．” “到兩定點距離平方差等于常數(shù)的點的軌跡．” “到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵同學們的探索精神．

比如說，若同學們提出了“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡”，那么動點軌跡是什么呢？這時教師示范引導(dǎo)學生繪圖：

取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(如圖2-13)，當繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓．

教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學說：“人造衛(wèi)星運行軌道”等??

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學生概括橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距． 學生開始只強調(diào)主要幾何特征——到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個方面加以強調(diào)：

(1)將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需加限制條件：“在平面內(nèi)”．

(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”．

(二)橢圓標準方程的推導(dǎo) 1．標準方程的推導(dǎo)

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點；(2)點的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡方程等步驟．

(1)建系設(shè)點

建立坐標系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點的坐標、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當?shù)模?/p>

以兩定點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖2-14)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)．

(2)點的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數(shù)方程

(4)化簡方程

化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學板演，其余同學在下面完成，教師巡視，適當給予提示：

①原方程要移項平方，否則化簡相當復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對稱和諧而引入b，同時b還有幾何意義，下節(jié)課還要

(a＞b＞0)．

關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．

示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標準方程的比較(引導(dǎo)學生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上．

(三)例題與練習

例題

平面內(nèi)兩定點的距離是8，寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程．

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示．取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個橢圓的標準方程是

請大家再想一想，焦點F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

練習1 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：

練習2 下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是

[

]

由學生口答，答案為D．(四)小結(jié)

1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

4．焦點：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)．

五、布置作業(yè)

1．如圖2-17，在橢圓上的點中，A1與焦點F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標準方程．

3．求適合下列條件的橢圓的標準方程：

是過F1的直線被橢圓截得的線段長，求△ABF2的周長． 作業(yè)答案：

4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長為4a．

六、板書設(shè)計

第二篇：2013白蒲中學高二數(shù)學教案：圓錐曲線方程：13(蘇教版)

求曲線的軌跡方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生掌握常用動點的軌跡以及求動點軌跡方程的常用技巧與方法．(二)能力訓(xùn)練點

通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養(yǎng)學生綜合運用各方面知識的能力．

(三)學科滲透點

通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學生掌握常用動點的軌跡，為學習物理等學科打下扎實的基礎(chǔ)．

二、教材分析

1．重點：求動點的軌跡方程的常用技巧與方法．

(解決辦法：對每種方法用例題加以說明，使學生掌握這種方法．)2．難點：作相關(guān)點法求動點的軌跡方法．

(解決辦法：先使學生了解相關(guān)點法的思路，再用例題進行講解．)

三、活動設(shè)計

提問、講解方法、演板、小測驗．

四、教學過程(一)復(fù)習引入

大家知道，平面解析幾何研究的主要問題是：(1)根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；(2)通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)．

我們已經(jīng)對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進行過這兩個方面的研究，今天在上面已經(jīng)研究的基礎(chǔ)上來對根據(jù)已知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進行系統(tǒng)分析．

1(二)幾種常見求軌跡方程的方法 1．直接法

由題設(shè)所給(或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出)的動點所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法．

例1(1)求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等于k的動點P的軌跡方程；(2)過點A(a，o)作圓O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割線，求割線被圓O截得弦的中點的軌跡．

對(1)分析：

動點P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動點P的運動規(guī)律：|OP|=2R或|OP|=0．

解：設(shè)動點P(x，y)，則有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0．

故所求動點P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0． 對(2)分析：

題設(shè)中沒有具體給出動點所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出，即圓心與弦的中點連線垂直于弦，它們的斜率互為負倒數(shù)．由學生演板完成，解答為：

設(shè)弦的中點為M(x，y)，連結(jié)OM，則OM⊥AM． ∵kOM·kAM=-1，其軌跡是以O(shè)A為直徑的圓在圓O內(nèi)的一段弧(不含端點)． 2．定義法

利用所學過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設(shè)中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件．

直平分線l交半徑OQ于點P(見圖2－45)，當Q點在圓周上運動時，求點P的軌跡方程．

分析：

∵點P在AQ的垂直平分線上，∴|PQ|=|PA|． 又P在半徑OQ上．

∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．

故P點到兩定點距離之和是定值，可用橢圓定義 寫出P點的軌跡方程．

解：連接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|． 又P在半徑OQ上． ∴|PO|+|PQ|=2．

由橢圓定義可知：P點軌跡是以O(shè)、A為焦點的橢圓．

3．相關(guān)點法

若動點P(x，y)隨已知曲線上的點Q(x0，y0)的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點坐標表達式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程．這種方法稱為相關(guān)點法(或代換法)．

例3 已知拋物線y2=x+1，定點A(3，1)、B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當B點在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程．

分析：

P點運動的原因是B點在拋物線上運動，因此B可作為相關(guān)點，應(yīng)先找出點P與點B的聯(lián)系．

解：設(shè)點P(x，y)，且設(shè)點B(x0，y0)

∵BP∶PA=1∶2，且P為線段AB的內(nèi)分點．

4．待定系數(shù)法

求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求．

例4 已知拋物線y2=4x和以坐標軸為對稱軸、實軸在y軸上的雙曲

曲線方程． 分析：

因為雙曲線以坐標軸為對稱軸，實軸在y軸上，所以可設(shè)雙曲線方

ax2-4b2x+a2b2=0 ∵拋物線和雙曲線僅有兩個公共點，根據(jù)它們的對稱性，這兩個點的橫坐標應(yīng)相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0應(yīng)有等根．

∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．(以下由學生完成)

由弦長公式得：

即a2b2=4b2-a2．

(三)鞏固練習

用十多分鐘時間作一個小測驗，檢查一下教學效果．練習題用一小黑板給出． 1．△ABC一邊的兩個端點是B(0，6)和C(0，-6)，另兩邊斜率的

2．點P與一定點F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形？

3．求拋物線y2=2px(p＞0)上各點與焦點連線的中點的軌跡方程． 答案：

義法)

由中點坐標公式得：

(四)小結(jié)

求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關(guān)點法、待定系數(shù)法，還有參數(shù)法、復(fù)數(shù)法也是求曲線的軌跡方程的常見方法，這等到講了參數(shù)方程、復(fù)數(shù)以后再作介紹．

五、布置作業(yè)

1．兩定點的距離為6，點M到這兩個定點的距離的平方和為26，求點M的軌跡方程．

2．動點P到點F1(1，0)的距離比它到F2(3，0)的距離少2，求P點的軌跡． 3．已知圓x2+y2=4上有定點A(2，0)，過定點A作弦AB，并延長到點P，使3|AB|=2|AB|，求動點P的軌跡方程．作業(yè)答案：

1．以兩定點A、B所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，得點M的軌跡方程x2+y2=4 2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P點只能在x軸上且x＜1，軌跡是一條射線

六、板書設(shè)計

第三篇：高二數(shù)學教案：拋物線及其標準方程

一．課題：拋物線及其標準方程（1）

二．教學目標：

1.使學生掌握拋物線的定義、拋物線的標準方程及其推導(dǎo)過程．

2.要求學生進一步熟練掌握解析幾何的基本思想方法，提高分析、對比、概括、轉(zhuǎn)化等方面的能力．

3.通過一個簡單實驗引入拋物線的定義，可以對學生進行理論來源于實踐的辯證唯物主義思想教育．

三．教學重、難點：

1.重點：拋物線的定義和標準方程．(解決辦法：通過一個簡單實驗與橢圓、雙曲線的定義相比較引入拋物線的定義；通過一些例題加深對標準方程的認識)．

2.難點：拋物線的標準方程的推導(dǎo)．(解決辦法：由三種建立坐標系的方法中選出一種最佳方法，避免了硬性規(guī)定坐標系．)

四、教學過程

(一)導(dǎo)出課題：我們已學習了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線．今天我們將學習第四種圓錐曲線——拋物線，以及它的定義和標準方程．課題是“拋物線及其標準方程”．

請大家思考兩個問題：

問題1：同學們對拋物線已有了哪些認識？

在物理中，拋物線被認為是拋射物體的運行軌道；在數(shù)學中，拋物線是二次函數(shù)的圖象？ 問題2：在二次函數(shù)中研究的拋物線有什么特征？

在二次函數(shù)中研究的拋物線，它的對稱軸是平行于y軸、開口向上或開口向下兩種情形． 引導(dǎo)學生進一步思考：如果拋物線的對稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函數(shù)的圖象來研究了．今天，我們突破函數(shù)研究中這個限制，從更一般意義上來研究拋物線．(二)拋物線的定義

1．回顧：平面內(nèi)與一個定點F的距離和一條定直線l的距離的比是常數(shù)e的軌跡，當0＜e＜1時是橢圓，當e＞1時是雙曲線，那么當e=1時，它又是什么曲線？ 2．簡單實驗

如圖2-29，把一根直尺固定在畫圖板內(nèi)直線l的位置上，一塊三角板的一條直角邊緊靠直尺的邊緣；把一條繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上的點A，截取繩子的長等于A到直線l的距離AC，并且把繩子另一端固定在圖板上的一點F；用一支鉛筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直尺左右滑動，這樣鉛筆就描出一條曲線，這條曲線叫做拋物線．反復(fù)演示后，請同學們來歸納拋物線的定義，教師總結(jié)． 3．定義：

平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)．定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線．

(三)拋物線的標準方程

設(shè)定點F到定直線l的距離為p(p為已知數(shù)且大于0)．下面，我們來求拋物線的方程．怎樣選擇直角坐標系，才能使所得的方程取較簡單的形式呢？

讓學生議論一下，教師巡視，啟發(fā)輔導(dǎo)，最后簡單小結(jié)建立直角坐標系的幾種方案：

方案1：(由第一組同學完成，請一優(yōu)等生演板．)以l為y軸，過點F與直線l垂直的直線為x軸建立直角坐標系(圖2-30)．設(shè)定點F(p，0)，動點M的坐標為(x，y)，過M作MD⊥y軸于D，拋物線的集合為：

用心

愛心

專心

p={M||MF|=|MD|}．

化簡后得：y=2px?p(p＞0)．

方案2：(由第二組同學完成，請一優(yōu)等生演板)以定點F為原點，平行l(wèi)的直線為y軸建立直角坐標系(圖2-31)．設(shè)動點M的坐標為(x，y)，且設(shè)直線l的方程為x=-p，定點F(0，0)，過M作MD⊥l于D，拋物線的集合為： p={M||MF|=|MD|}．

22化簡得：y2=2px+p2(p＞0)．

方案3：(由第三、四組同學完成，請一優(yōu)等生演板．)取過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(圖2-32)．

拋物線上的點M(x，y)到l的距離為d，拋物線是集合p={M||MF|=d}．

化簡后得：y=2px(p＞0)．

比較所得的各個方程，應(yīng)該選擇哪些方程作為拋物線的標準方程呢？ 引導(dǎo)學生分析出：方案3中得出的方程作為拋物線的標準方程．這是因為這個方程不僅具有較簡的形式，而方程中的系數(shù)有明確的幾何意義：一次項系數(shù)是焦點到準線距離的2倍．由于焦點和準線在坐標系下的不同分布情況，拋物線的標準方程有四種情形(列表如下)： 2

用心

愛心

專心

由學生講清為什么會出現(xiàn)四種不同的情形，四種情形中P＞0；并指出圖形的位置特征和方程的形式應(yīng)結(jié)合起來記憶．即：當對稱軸為x軸時，方程等號右端為±2px，相應(yīng)地左端為y2；當對稱軸為y軸時，方程等號的右端為±2py，相應(yīng)地左端為x2．同時注意：當焦點在正半軸上時，取正號；當焦點在負半軸上時，取負號．(四)四種標準方程的應(yīng)用

例題：(1)已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程；(2)已知拋物線的焦點坐標是F(0，?2)，求它的標準方程．

方程是x=?8y．

練習：根據(jù)下列所給條件，寫出拋物線的標準方程：

(1)焦點是F(3，0)；

答案是：(1)y2=12x；

(2)y2=?x；

(3)焦點到準線的距離是2．

(3)y2=4x，y2=?4x，x2=4y，x2=?4y．

由三名學生演板，教師予以訂正．

這時，教師小結(jié)一下：由于拋物線的標準方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個系數(shù)p，因此只要給出確定p的一個條件，就可以求出拋物線的標準方程．當拋物線的焦點坐標或準線方程給定以后，它的標準方程就唯一確定了；若拋物線的焦點坐標或準線方程沒有給定，則所求的標準方程就會有多解．(五)小結(jié)：

本次課主要介紹了拋物線的定義，推導(dǎo)出拋物線的四種標準方程形式，并加以運用．

五、作業(yè)：

2到準線的距離是多少？點M的橫坐標是多少？

22222．求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：(1)x=2y；(2)4x+3y=0；(3)2y+5x=0；(4)y?6x=0． 3．根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并描點畫出圖形：

(1)頂點在原點，對稱軸是x軸，并且頂點與焦點的距離等于6；(2)頂點在原點，對稱軸是y軸，并經(jīng)過點p(?6，?3)． 4．求焦點在直線3x?4y?12=0上的拋物線的標準方程． 作業(yè)答案：

3．(1)y=24x，y=?2x，(2)x=?12y(圖略)2224．分別令x=0，y=0得兩個焦點F1(0，?3)，F(xiàn)2(4，0)，從而可得拋物線方程為x=?12y或

用心

愛心

專心

用心

愛心專心y2=16x.

第四篇：高二數(shù)學教案：直線的方程

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直線的方程（1）

【教學目標】1.掌握由一點和斜率導(dǎo)出直線方程的方法，掌握直線的點斜式方程，了解直線方程的斜截式是點斜式的特例；

2.能通過待定系數(shù)（直線上的一個點的坐標(x1,y1)及斜率k，或者直線的斜率k及在y軸上的截距b）求直線方程； 3.掌握斜率不存在時的直線方程，即x?x1．

【教學重點】直線的點斜式、斜截式方程的推導(dǎo)及運用.【教學難點】直線的點斜式的推導(dǎo)。【教學過程】

（一）復(fù)習：（1）直線的傾斜角和斜率的概念；

（2）直線上兩個不同點(x1,y1),(x2,y2)，x1?x2，求此直線的斜率k．

（二）新課講解： 1．點斜式

問題引入：已知直線l經(jīng)過點P1(x1,y1)，且斜率為k，求直線l的方程.設(shè)點P(x,y)是直線l不同于點P1(x1,y1)的任意一點，根據(jù)直線的斜率公式，得：k?y?y1x?x1，可化為y?y1?k(x?x1)．

可以驗證：直線l上每一個點的坐標都是方程的解，以方程的解為坐標的點都在直線l上.這個方程就是過點P1，斜率為k的直線l的方程，叫做直線方程的點斜式．

2．兩種特殊的直線方程

（1）直線l經(jīng)過點P1(x1,y1)的傾斜角為0?，則k?tan0??0，直線l的方程是y?y1；（2）直線l經(jīng)過點P1(x1,y1)的傾斜角為90，則斜率不存在，因為直線l上每一點的橫坐標都等于x1，直線l的方程是x?x1．

此時不能使用直線方程的點斜式求它的方程，這時直線l的方程是x?x1。3．問：k?y?y1x?x1?與y?y1?k(x?x1)表示同一直線嗎？．

（三）例題分析：

例1．一條直線經(jīng)過點P1(?2,3)，傾斜角為??45，求這條直線方程，并畫出圖形。

解：∵直線經(jīng)過點P1(?2,3)，且斜率k?tan45?1，代入點斜式，得：y?3?x?2，即x?y?5?0．

x?y?5?0

??y

?5 O x

例2．直線l斜率為k，與y軸的交點是P(0,b)，求直線l的方程。

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解：代入直線的點斜式，得：y?b?k(x?0)，即y?kx?b．

說明：（1）直線l與x軸交點(a,0)，與y軸交點(0,b)，稱a為直線l在x軸上的截距，稱b為直線l在y軸上的截距；

（2）這個方程由直線l斜率k和它在y軸上的截距b確定，叫做直線方程的斜截式；

（3）初中學習的一次函數(shù)y?kx?b中，常數(shù)k是直線的斜率，常數(shù)b為直線在y軸上的截距（b可以大于0，也可以等于或小于0）．

例3．已知直線l經(jīng)過點P(2,1)，且傾斜角等于直線y?2x?1的傾斜角的2倍，求直線l的方程．

解：設(shè)已知直線的傾斜角為?，則直線l的傾斜角為2?，2tan?4 ∵tan??2，∴k?tan2??，??21?tan?3又∵直線l經(jīng)過點P(2,1)，∴直線l的方程為y?1??(x?2)，3即所求的直線方程為4x?3y?11?0． 4例4．求直線y??3(x?2)繞點(2,0)按順時針方向旋轉(zhuǎn)30?所得的直線方程。

解：設(shè)直線y??3(x?2)的傾斜角為?，則tan???3，又∵??[0?,180?)，∴??120?，∴所求的直線的傾斜角為120??30??90?，所以，所求的直線方程為x?2．

例5：已知直線過點P（-2，3），且與兩坐標軸圍成的三角形面積為4，求直線的方程。

分析：關(guān)鍵是求斜率k.解：因為直線與x軸不垂直，所以可設(shè)直線的方程為y-3=k(x+2)令x=0得y=2k+3;令y=0得x=?12（|2k?3）(?3k3k3k?2 ?由題意得：

?2)|?4，?2)?8,無解；若（2k?3）(?3k?2)??8,解得：k??12,k??92若（2k?3）(?

?所求直線的方程為y?3??12(x?2)和y?3??92(x?2)

即x?2y?4?0和9x?2y?12?0規(guī)律：已知直線過一個點常選用直線方程的點斜式。

（四）．課堂練習：1．課本第39頁練習1，2，3；

? 2．求直線y?x?cot??1,??(,?)的傾斜角； 3．求過點(2,1)且傾斜角?滿足sin??

45的直線方程.3eud教育網(wǎng) http://www.3edu.net 教學資源集散地。可能是最大的免費教育資源網(wǎng)！3eud教育網(wǎng)

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（五）．小結(jié)：要求直線方程，通過待定系數(shù)：直線上的一個點的坐標(x1,y1)及斜率k，或者直線的斜

率k及在y軸上的截距b，代入點斜式或斜截式求出直線方程.（六）．作業(yè)：課本第44頁第1題（1）（3）（5）

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第五篇：人教版高中數(shù)學《圓錐曲線和方程》全部教案

人教版高中數(shù)學全部教案

橢圓及其標準方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程的推導(dǎo)及標準方程．(二)能力訓(xùn)練點

通過對橢圓概念的引入與標準方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學生分析探索能力，增強運用坐標法解決幾何問題的能力．

(三)學科滲透點

通過對橢圓標準方程的推導(dǎo)的教學，可以提高對各種知識的綜合運用能力．

二、教材分析

1．重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程．

(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強調(diào)；對橢圓的標準方程單獨列出加以比較．)2．難點：橢圓的標準方程的推導(dǎo)．

(解決辦法：推導(dǎo)分4步完成，每步重點講解，關(guān)鍵步驟加以補充說明．)3．疑點：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說明動點的軌跡．)

三、活動設(shè)計

提問、演示、講授、詳細講授、演板、分析講解、學生口答．

四、教學過程(一)橢圓概念的引入

前面，大家學習了曲線的方程等概念，哪一位同學回答：

問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？

人教版高中數(shù)學全部教案

對上述問題學生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學生溫故而知新，在已有知識基礎(chǔ)上去探求新知識．

提出這一問題以便說明標準方程推導(dǎo)中一個同解變形．

問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學生能回答：“平面內(nèi)到一定點的距離為常數(shù)的點的軌跡是圓”．對同學提出的軌跡命題如：

“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡．” “到兩定點距離平方差等于常數(shù)的點的軌跡．” “到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵同學們的探索精神．

比如說，若同學們提出了“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡”，那么動點軌跡是什么呢？這時教師示范引導(dǎo)學生繪圖：

取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(如圖2-13)，當繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓．

教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學說：“人造衛(wèi)星運行軌道”等??

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學生概括橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距．

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學生開始只強調(diào)主要幾何特征——到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個方面加以強調(diào)：

(1)將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需加限制條件：“在平面內(nèi)”．

(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”．

(二)橢圓標準方程的推導(dǎo) 1．標準方程的推導(dǎo)

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點；(2)點的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡方程等步驟．

(1)建系設(shè)點

建立坐標系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點的坐標、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當?shù)模?/p>

以兩定點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖2-14)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)．

(2)點的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．

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(3)代數(shù)方程

(4)化簡方程

化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學板演，其余同學在下面完成，教師巡視，適當給予提示：

①原方程要移項平方，否則化簡相當復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對稱和諧而引入b，同時b還有幾何意義，下節(jié)課還要

(a＞b＞0)．

關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．

示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標準方程的比較(引導(dǎo)學生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到．

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教師指出：在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上．

(三)例題與練習

例題

平面內(nèi)兩定點的距離是8，寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程．

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示．取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個橢圓的標準方程是

請大家再想一想，焦點F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

練習1 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：

練習2 下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是

[

]

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由學生口答，答案為D．(四)小結(jié)

1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

4．焦點：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)．

五、布置作業(yè)

1．如圖2-17，在橢圓上的點中，A1與焦點F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標準方程．

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3．求適合下列條件的橢圓的標準方程：

是過F1的直線被橢圓截得的線段長，求△ABF2的周長． 作業(yè)答案：

4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長為4a．

六、板書設(shè)計

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橢圓及其標準方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程的推導(dǎo)及標準方程．(二)能力訓(xùn)練點

通過對橢圓概念的引入與標準方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學生分析探索能力，增強運用坐標法解決幾何問題的能力．

(三)學科滲透點

通過對橢圓標準方程的推導(dǎo)的教學，可以提高對各種知識的綜合運用能力．

二、教材分析

1．重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程．

(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強調(diào)；對橢圓的標準方程單獨列出加以比較．)2．難點：橢圓的標準方程的推導(dǎo)．

(解決辦法：推導(dǎo)分4步完成，每步重點講解，關(guān)鍵步驟加以補充說明．)

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3．疑點：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說明動點的軌跡．)

三、活動設(shè)計

提問、演示、講授、詳細講授、演板、分析講解、學生口答．

四、教學過程(一)橢圓概念的引入

前面，大家學習了曲線的方程等概念，哪一位同學回答：

問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？

對上述問題學生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學生溫故而知新，在已有知識基礎(chǔ)上去探求新知識．

提出這一問題以便說明標準方程推導(dǎo)中一個同解變形．

問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學生能回答：“平面內(nèi)到一定點的距離為常數(shù)的點的軌跡是圓”．對同學提出的軌跡命題如：

“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡．” “到兩定點距離平方差等于常數(shù)的點的軌跡．” “到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡．” 教師要加以肯定，以鼓勵同學們的探索精神．

比如說，若同學們提出了“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡”，那么動點軌跡是什么呢？這時教師示范引導(dǎo)學生繪圖：

人教版高中數(shù)學全部教案

取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(如圖2-13)，當繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓．

教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學說：“人造衛(wèi)星運行軌道”等??

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學生概括橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距．

學生開始只強調(diào)主要幾何特征——到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個方面加以強調(diào)：

(1)將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需加限制條件：“在平面內(nèi)”．

(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”．

(二)橢圓標準方程的推導(dǎo) 1．標準方程的推導(dǎo)

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點；(2)點的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡方程等步驟．

(1)建系設(shè)點

建立坐標系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點的坐標、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當?shù)模?/p>

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以兩定點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖2-14)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)．

(2)點的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數(shù)方程

(4)化簡方程

化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學板演，其余同學在下面完成，教師巡視，適當給予提示：

①原方程要移項平方，否則化簡相當復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對稱和諧而引入b，同時b還有幾何意義，下節(jié)課還要

(a＞b＞0)．

關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．

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示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標準方程的比較(引導(dǎo)學生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上．

(三)例題與練習

例題

平面內(nèi)兩定點的距離是8，寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程．

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示．取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個橢圓的標準方程是

請大家再想一想，焦點F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

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練習1 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：

練習2 下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是

[

]

由學生口答，答案為D．(四)小結(jié)

1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

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4．焦點：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)．

五、布置作業(yè)

1．如圖2-17，在橢圓上的點中，A1與焦點F1的距離最小，|A1F1|=2，A2 F1的距離最大，|A2F1|=14，求橢圓的標準方程．

3．求適合下列條件的橢圓的標準方程：

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是過F1的直線被橢圓截得的線段長，求△ABF2的周長． 作業(yè)答案：

4．由橢圓定義易得，△ABF2的周長為4a．

六、板書設(shè)計

橢圓的幾何性質(zhì)

一、教學目標(一)知識教學點

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通過橢圓標準方程的討論，使學生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形，并了解橢圓的一些實際應(yīng)用．

(二)能力訓(xùn)練點

通過對橢圓的幾何性質(zhì)的教學，培養(yǎng)學生分析問題和解決實際問題的能力．(三)學科滲透點

使學生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決隨之而來的一些問題，如弦、最值問題等．

二、教材分析

1．重點：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運用．

(解決辦法：引導(dǎo)學生利用方程研究曲線的性質(zhì)，最后進行歸納小結(jié)．)2．難點：橢圓離心率的概念的理解．

(解決辦法：先介紹橢圓離心率的定義，再分析離心率的大小對橢圓形狀的影響，最后通過橢圓的第二定義講清離心率e的幾何意義．)3．疑點：橢圓的幾何性質(zhì)是橢圓自身所具有的性質(zhì)，與坐標系選擇無關(guān)，即不隨坐標系的改變而改變．

(解決辦法：利用方程分析橢圓性質(zhì)之前就先給學生說明．)

三、活動設(shè)計

提問、講解、閱讀后重點講解、再講解、演板、講解后歸納、小結(jié)．

四、教學過程(一)復(fù)習提問

1．橢圓的定義是什么？ 2．橢圓的標準方程是什么？ 學生口述，教師板書．(二)幾何性質(zhì)

根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是

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b＞0)來研究橢圓的幾何性質(zhì)．說明：橢圓自身固有幾何量所具有的性質(zhì)是與坐標系選擇無關(guān)，即不隨坐標系的改變而改變．

1．范圍

即|x|≤a，|y|≤b，這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里(圖2-18)．注意結(jié)合圖形講解，并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點．

2．對稱性

先請大家閱讀課本橢圓的幾何性質(zhì)2．

設(shè)問：為什么“把x換成-x，或把y換成-y？，或把x、y同時換成-x、-y時，方程都不變，所以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點對稱的” 呢？

事實上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當點P(x，y)在曲線上時，點P關(guān)于y軸的對稱點Q(-x，y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱．類似可以證明其他兩個命題．

同時向?qū)W生指出：如果曲線具有關(guān)于y軸對稱、關(guān)于x軸對稱和關(guān)于原點對稱中的任意兩種，那么它一定具有另一種對稱．如：如果曲線關(guān)于x軸和原點對稱，那么它一定關(guān)于y軸對稱．

事實上，設(shè)P(x，y)在曲線上，因為曲線關(guān)于x軸對稱，所以點P1(x，-y)必在曲線上．又因為曲線關(guān)于原點對稱，所以P1關(guān)于原點對稱點P2(-x，y)必在曲線上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱．

最后指出：x軸、y軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心即橢圓中心． 3．頂點

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只須令x=0，得y=±b，點B1(0，-b)、B2(0，b)是橢圓和y軸的兩個交點；令y=0，得x=±a，點A1(-a，0)、A2(a，0)是橢圓和x軸的兩個交點．強調(diào)指出：橢圓有四個頂點A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．

教師還需指出：

(1)線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b；

(2)a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；

這時，教師可以小結(jié)以下：由橢圓的范圍、對稱性和頂點，再進行描點畫圖，只須描出較少的點，就可以得到較正確的圖形．

4．離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

等到介紹橢圓的第二定義時，再講清離心率e的幾何意義． 先分析橢圓的離心率e的取值范圍： ∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．

再結(jié)合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響：

(2)當e接近0時，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓；(3)當e=0時，c=0，a=b兩焦點重合，橢圓的標準方程成為x2+y2=a2，圖形就是圓了．

(三)應(yīng)用

為了加深對橢圓的幾何性質(zhì)的認識，掌握用描點法畫圖的基本方法，給出如下例1．

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例1 求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用描點法畫出它的圖形．

本例前一部分請一個同學板演，教師予以訂正，估計不難完成．后一部分由教師講解，以引起學生重視，步驟是：

(2)描點作圖．先描點畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫出整個橢圓(圖2-19)．要強調(diào)：利用對稱性可以使計算量大大減少．

本例實質(zhì)上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統(tǒng)一定義做準備的，同時再一次使學生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細講解：

設(shè)d是點M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合P={M

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將上式化簡，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．

這是橢圓的標準方程，所以點M的軌跡是橢圓． 由此例不難歸納出橢圓的第二定義．(四)橢圓的第二定義 1．定義

平面內(nèi)點M與一個定點的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)

線叫做橢圓的準線，常數(shù)e是橢圓的離心率． 2．說明

這時還要講清e的幾何意義是：橢圓上一點到焦點的距離和它到準線的距離的比．

(五)小結(jié)

人教版高中數(shù)學全部教案

解法研究圖形的性質(zhì)是通過對方程的討論進行的，同一曲線由于坐標系選取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性質(zhì)是一樣的，即與坐標系的選取無關(guān)．前面我們著重分析了第一個標準方程的橢圓的性質(zhì)，類似可以理解第二個標準方程的橢圓的性質(zhì)．布置學生最后小結(jié)下列表格：

五、布置作業(yè)

1．求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、各個頂點和焦點坐標、準線方程：

(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．

2．我國發(fā)射的科學實驗人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，近地點距地面266Km，遠地點距地面1826Km，求這顆衛(wèi)星的軌道方程．

3．點P與一定點F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形． 的方程． 作業(yè)答案：

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4．頂點(0，2)可能是長軸的端點，也可能是短軸的一個端點，故分兩種情況求方程：

六、板書設(shè)計

橢圓的幾何性質(zhì)

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一、教學目標(一)知識教學點

通過橢圓標準方程的討論，使學生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形，并了解橢圓的一些實際應(yīng)用．

(二)能力訓(xùn)練點

通過對橢圓的幾何性質(zhì)的教學，培養(yǎng)學生分析問題和解決實際問題的能力．(三)學科滲透點

使學生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決隨之而來的一些問題，如弦、最值問題等．

二、教材分析

1．重點：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運用．

(解決辦法：引導(dǎo)學生利用方程研究曲線的性質(zhì)，最后進行歸納小結(jié)．)2．難點：橢圓離心率的概念的理解．

(解決辦法：先介紹橢圓離心率的定義，再分析離心率的大小對橢圓形狀的影響，最后通過橢圓的第二定義講清離心率e的幾何意義．)3．疑點：橢圓的幾何性質(zhì)是橢圓自身所具有的性質(zhì)，與坐標系選擇無關(guān)，即不隨坐標系的改變而改變．

(解決辦法：利用方程分析橢圓性質(zhì)之前就先給學生說明．)

三、活動設(shè)計

提問、講解、閱讀后重點講解、再講解、演板、講解后歸納、小結(jié)．

四、教學過程(一)復(fù)習提問

1．橢圓的定義是什么？ 2．橢圓的標準方程是什么？

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學生口述，教師板書．(二)幾何性質(zhì)

根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是

b＞0)來研究橢圓的幾何性質(zhì)．說明：橢圓自身固有幾何量所具有的性質(zhì)是與坐標系選擇無關(guān)，即不隨坐標系的改變而改變．

1．范圍

即|x|≤a，|y|≤b，這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里(圖2-18)．注意結(jié)合圖形講解，并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點．

2．對稱性

先請大家閱讀課本橢圓的幾何性質(zhì)2．

設(shè)問：為什么“把x換成-x，或把y換成-y？，或把x、y同時換成-x、-y時，方程都不變，所以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點對稱的” 呢？

事實上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當點P(x，y)在曲線上時，點P關(guān)于y軸的對稱點Q(-x，y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱．類似可以證明其他兩個命題．

同時向?qū)W生指出：如果曲線具有關(guān)于y軸對稱、關(guān)于x軸對稱和關(guān)于原點對稱中的任意兩種，那么它一定具有另一種對稱．如：如果曲線關(guān)于x軸和原點對稱，那么它一定關(guān)于y軸對稱．

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事實上，設(shè)P(x，y)在曲線上，因為曲線關(guān)于x軸對稱，所以點P1(x，-y)必在曲線上．又因為曲線關(guān)于原點對稱，所以P1關(guān)于原點對稱點P2(-x，y)必在曲線上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱．

最后指出：x軸、y軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心即橢圓中心． 3．頂點

只須令x=0，得y=±b，點B1(0，-b)、B2(0，b)是橢圓和y軸的兩個交點；令y=0，得x=±a，點A1(-a，0)、A2(a，0)是橢圓和x軸的兩個交點．強調(diào)指出：橢圓有四個頂點A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．

教師還需指出：

(1)線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b；

(2)a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；

這時，教師可以小結(jié)以下：由橢圓的范圍、對稱性和頂點，再進行描點畫圖，只須描出較少的點，就可以得到較正確的圖形．

4．離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

等到介紹橢圓的第二定義時，再講清離心率e的幾何意義． 先分析橢圓的離心率e的取值范圍： ∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．

再結(jié)合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響：

(2)當e接近0時，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓；

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(3)當e=0時，c=0，a=b兩焦點重合，橢圓的標準方程成為x2+y2=a2，圖形就是圓了．

(三)應(yīng)用

為了加深對橢圓的幾何性質(zhì)的認識，掌握用描點法畫圖的基本方法，給出如下例1． 例1 求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用描點法畫出它的圖形．

本例前一部分請一個同學板演，教師予以訂正，估計不難完成．后一部分由教師講解，以引起學生重視，步驟是：

(2)描點作圖．先描點畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫出整個橢圓(圖2-19)．要強調(diào)：利用對稱性可以使計算量大大減少．

本例實質(zhì)上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統(tǒng)一定義做準備的，同時再一次使學生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細講解：

設(shè)d是點M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合P={M

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將上式化簡，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．

這是橢圓的標準方程，所以點M的軌跡是橢圓． 由此例不難歸納出橢圓的第二定義．(四)橢圓的第二定義 1．定義

平面內(nèi)點M與一個定點的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)

線叫做橢圓的準線，常數(shù)e是橢圓的離心率． 2．說明

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這時還要講清e的幾何意義是：橢圓上一點到焦點的距離和它到準線的距離的比．

(五)小結(jié)

解法研究圖形的性質(zhì)是通過對方程的討論進行的，同一曲線由于坐標系選取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性質(zhì)是一樣的，即與坐標系的選取無關(guān)．前面我們著重分析了第一個標準方程的橢圓的性質(zhì)，類似可以理解第二個標準方程的橢圓的性質(zhì)．布置學生最后小結(jié)下列表格：

五、布置作業(yè)

1．求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、各個頂點和焦點坐標、準線方程：

(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．

2．我國發(fā)射的科學實驗人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，近地點距地面266Km，遠地點距地面1826Km，求這顆衛(wèi)星的軌道方程．

3．點P與一定點F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形． 的方程．

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作業(yè)答案：

4．頂點(0，2)可能是長軸的端點，也可能是短軸的一個端點，故分兩種情況求方程：

六、板書設(shè)計

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雙曲線及其標準方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生掌握雙曲線的定義和標準方程，以及標準方程的推導(dǎo)．(二)能力訓(xùn)練點

在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識，從而培養(yǎng)學生分析、歸納、推理等能力．(三)學科滲透點

本次課注意發(fā)揮類比和設(shè)想的作用，與橢圓進行類比、設(shè)想，使學生得到關(guān)于雙曲線的定義、標準方程一個比較深刻的認識．

二、教材分析

1．重點：雙曲線的定義和雙曲線的標準方程．

(解決辦法：通過一個簡單實驗得出雙曲線，再通過設(shè)問給出雙曲線的定義；對于雙曲線的標準方程通過比較加深認識．)2．難點：雙曲線的標準方程的推導(dǎo)．

(解決辦法：引導(dǎo)學生完成，提醒學生與橢圓標準方程的推導(dǎo)類比．)3．疑點：雙曲線的方程是二次函數(shù)關(guān)系嗎？

(解決辦法：教師可以從引導(dǎo)學生回憶函數(shù)定義和觀察雙曲線圖形來解決，同時讓學生在課外去研究在什么附加條件下，雙曲線方程可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)式．)

三、活動設(shè)計

提問、實驗、設(shè)問、歸納定義、講解、演板、口答、重點講解、小結(jié)．

四、教學過程(一)復(fù)習提問

1．橢圓的定義是什么？(學生回答，教師板書)

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平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．教師要強調(diào)條件：(1)平面內(nèi)；(2)到兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)；(3)常數(shù)2a＞|F1F2|．

2．橢圓的標準方程是什么？(學生口答，教師板書)

(二)雙曲線的概念

把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點的軌跡會怎樣？它的方程是怎樣的呢？

1．簡單實驗(邊演示、邊說明)如圖2-23，定點F1、F2是兩個按釘，MN是一個細套管，兩條細繩分別拴在按釘上且穿過套管，點M移動時，|MF1|-|MF2|是常數(shù)，這樣就畫出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數(shù)，可以畫出另一支．

注意：常數(shù)要小于|F1F2|，否則作不出圖形．這樣作出的曲線就叫做雙曲線． 2．設(shè)問

問題1：定點F1、F2與動點M不在平面上，能否得到雙曲線？ 請學生回答，不能．強調(diào)“在平面內(nèi)”． 問題2：|MF1|與|MF2|哪個大？

請學生回答，不定：當M在雙曲線右支上時，|MF1|＞|MF2|；當點M在雙曲線左支上時，|MF1|＜|MF2|．

問題3：點M與定點F1、F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|？

請學生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正確表示為||MF2|-|MF1||．

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問題4：這個常數(shù)是否會大于等于|F1F2|？

請學生回答，應(yīng)小于|F1F2|且大于零．當常數(shù)=|F1F2|時，軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線；當常數(shù)＞|F1F2|時，無軌跡．

3．定義

在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學生概括雙曲線的定義：

平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點F1、F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距．

教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記．(三)雙曲線的標準方程

現(xiàn)在來研究雙曲線的方程．我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程．這時設(shè)問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學生回答，主要引起學生思考，隨即引導(dǎo)學生給出雙曲線的方程的推導(dǎo)．

標準方程的推導(dǎo)：(1)建系設(shè)點

取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)

建立直角坐標系．

設(shè)M(x，y)為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐標分別是(-c，0)、(c，0)．又設(shè)點M與F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)．

(2)點的集合

由定義可知，雙曲線就是集合：

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P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．(3)代數(shù)方程

(4)化簡方程(由學生演板)將這個方程移項，兩邊平方得：

化簡得：

兩邊再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

(以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo)．)由雙曲線定義，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 設(shè)c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2．

這就是雙曲線的標準方程．

兩種標準方程的比較(引導(dǎo)學生歸納)：

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教師指出：

(1)雙曲線標準方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上．注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標軸上．

(3)雙曲線標準方程中a、b、c的關(guān)系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2．(四)練習與例題

1．求滿足下列的雙曲線的標準方程： 焦點F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；

3．已知兩點F1(-5，0)、F2(5，0)，求與它們的距離的差的絕對值是6的點的軌跡方程．如果把這里的數(shù)字6改為12，其他條件不變，會出現(xiàn)什么情況？

由教師講解：

按定義，所求點的軌跡是雙曲線，因為c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．

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因為2a=12，2c=10，且2a＞2c． 所以動點無軌跡．(五)小結(jié)

1．定義：平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡．

3．圖形(見圖2-25)：

4．焦點：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)． 5．a(chǎn)、b、c的關(guān)系：c2=a2+b2；c=a2+b2．

五、布置作業(yè)

1．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：

(1)焦點的坐標是(-6，0)、(6，0)，并且經(jīng)過點A(-5，2)；

3．已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦點坐標． 作業(yè)答案：

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2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1

六、板書設(shè)計

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雙曲線及其標準方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生掌握雙曲線的定義和標準方程，以及標準方程的推導(dǎo)．(二)能力訓(xùn)練點

在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識，從而培養(yǎng)學生分析、歸納、推理等能力．(三)學科滲透點

本次課注意發(fā)揮類比和設(shè)想的作用，與橢圓進行類比、設(shè)想，使學生得到關(guān)于雙曲線的定義、標準方程一個比較深刻的認識．

二、教材分析

1．重點：雙曲線的定義和雙曲線的標準方程．

(解決辦法：通過一個簡單實驗得出雙曲線，再通過設(shè)問給出雙曲線的定義；對于雙曲線的標準方程通過比較加深認識．)2．難點：雙曲線的標準方程的推導(dǎo)．

(解決辦法：引導(dǎo)學生完成，提醒學生與橢圓標準方程的推導(dǎo)類比．)3．疑點：雙曲線的方程是二次函數(shù)關(guān)系嗎？

人教版高中數(shù)學全部教案

(解決辦法：教師可以從引導(dǎo)學生回憶函數(shù)定義和觀察雙曲線圖形來解決，同時讓學生在課外去研究在什么附加條件下，雙曲線方程可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)式．)

三、活動設(shè)計

提問、實驗、設(shè)問、歸納定義、講解、演板、口答、重點講解、小結(jié)．

四、教學過程(一)復(fù)習提問

1．橢圓的定義是什么？(學生回答，教師板書)平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．教師要強調(diào)條件：(1)平面內(nèi)；(2)到兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)；(3)常數(shù)2a＞|F1F2|．

2．橢圓的標準方程是什么？(學生口答，教師板書)

(二)雙曲線的概念

把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點的軌跡會怎樣？它的方程是怎樣的呢？

1．簡單實驗(邊演示、邊說明)如圖2-23，定點F1、F2是兩個按釘，MN是一個細套管，兩條細繩分別拴在按釘上且穿過套管，點M移動時，|MF1|-|MF2|是常數(shù)，這樣就畫出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數(shù)，可以畫出另一支．

注意：常數(shù)要小于|F1F2|，否則作不出圖形．這樣作出的曲線就叫做雙曲線． 2．設(shè)問

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問題1：定點F1、F2與動點M不在平面上，能否得到雙曲線？ 請學生回答，不能．強調(diào)“在平面內(nèi)”． 問題2：|MF1|與|MF2|哪個大？

請學生回答，不定：當M在雙曲線右支上時，|MF1|＞|MF2|；當點M在雙曲線左支上時，|MF1|＜|MF2|．

問題3：點M與定點F1、F2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|？

請學生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正確表示為||MF2|-|MF1||． 問題4：這個常數(shù)是否會大于等于|F1F2|？

請學生回答，應(yīng)小于|F1F2|且大于零．當常數(shù)=|F1F2|時，軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線；當常數(shù)＞|F1F2|時，無軌跡．

3．定義

在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學生概括雙曲線的定義：

平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點F1、F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距．

教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記．(三)雙曲線的標準方程

現(xiàn)在來研究雙曲線的方程．我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程．這時設(shè)問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學生回答，主要引起學生思考，隨即引導(dǎo)學生給出雙曲線的方程的推導(dǎo)．

標準方程的推導(dǎo)：(1)建系設(shè)點

取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)

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建立直角坐標系．

設(shè)M(x，y)為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐標分別是(-c，0)、(c，0)．又設(shè)點M與F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)．

(2)點的集合

由定義可知，雙曲線就是集合：

P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．(3)代數(shù)方程

(4)化簡方程(由學生演板)將這個方程移項，兩邊平方得：

化簡得：

兩邊再平方，整理得：

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(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

(以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo)．)由雙曲線定義，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 設(shè)c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2．

這就是雙曲線的標準方程．

兩種標準方程的比較(引導(dǎo)學生歸納)：

教師指出：

(1)雙曲線標準方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上．注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標軸上．

(3)雙曲線標準方程中a、b、c的關(guān)系是c2=a2+b2，不同于橢圓方程中c2=a2-b2．(四)練習與例題

1．求滿足下列的雙曲線的標準方程： 焦點F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；

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3．已知兩點F1(-5，0)、F2(5，0)，求與它們的距離的差的絕對值是6的點的軌跡方程．如果把這里的數(shù)字6改為12，其他條件不變，會出現(xiàn)什么情況？

由教師講解：

按定義，所求點的軌跡是雙曲線，因為c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．

因為2a=12，2c=10，且2a＞2c． 所以動點無軌跡．(五)小結(jié)

1．定義：平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡．

3．圖形(見圖2-25)：

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4．焦點：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)． 5．a(chǎn)、b、c的關(guān)系：c2=a2+b2；c=a2+b2．

五、布置作業(yè)

1．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：

(1)焦點的坐標是(-6，0)、(6，0)，并且經(jīng)過點A(-5，2)；

3．已知圓錐曲線的方程為mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦點坐標． 作業(yè)答案：

2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1

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六、板書設(shè)計

雙曲線的幾何性質(zhì)

一、教學目標(一)知識教學點

使學生理解并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，并能從雙曲線的標準方程出發(fā)，推導(dǎo)出這些性質(zhì)，并能具體估計雙曲線的形狀特征．

(二)能力訓(xùn)練點

在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，從而培養(yǎng)學生分析、歸納、推理等能力．(三)學科滲透點

使學生進一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決雙曲線中的弦、最值等問題．

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二、教材分析

1．重點：雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運用．

(解決辦法：引導(dǎo)學生類比橢圓的幾何性質(zhì)得出，至于漸近線引導(dǎo)學生證明．)2．難點：雙曲線的漸近線方程的導(dǎo)出和論證．

(解決辦法：先引導(dǎo)學生觀察以原點為中心，2a、2b長為鄰邊的矩形的兩條對角線，再論證這兩條對角線即為雙曲線的漸近線．)3．疑點：雙曲線的漸近線的證明．(解決辦法：通過詳細講解．)

三、活動設(shè)計

提問、類比、重點講解、演板、講解并歸納、小結(jié)．

四、教學過程

(一)復(fù)習提問引入新課

1．橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何探討的？

請一同學回答．應(yīng)為：范圍、對稱性、頂點、離心率，是從標準方程探討的． 2．雙曲線的兩種標準方程是什么？

再請一同學回答．應(yīng)為：中心在原點、焦點在x軸上的雙曲線的標

下面我們類比橢圓的幾何性質(zhì)來研究它的幾何性質(zhì)．(二)類比聯(lián)想得出性質(zhì)(性質(zhì)1～3)引導(dǎo)學生完成下列關(guān)于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格(讓學生回答，教師引導(dǎo)、啟發(fā)、訂正并板書)．<見下頁>(三)問題之中導(dǎo)出漸近線(性質(zhì)4)

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在學習橢圓時，以原點為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對于估計

仍以原點為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形(板書圖形)，那么雙曲線和這個矩形有什么關(guān)系？這個矩形對于估計和畫出雙曲線簡圖(圖2-26)有什么指導(dǎo)意義？這些問題不要求學生回答，只引起學生類比聯(lián)想．

接著再提出問題：當a、b為已知時，這個矩形的兩條對角線的方程是什么？

下面，我們來證明它：

雙曲線在第一象限的部分可寫成：

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當x逐漸增大時，|MN|逐漸減小，x無限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON．

在其他象限內(nèi)也可以證明類似的情況．

現(xiàn)在來看看實軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點在y軸上的雙曲線方程是由焦點在x軸上的雙曲線方程，將x、y字

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母對調(diào)所得到，自然前者漸近線方程也可由后者漸近線方程將x、y字

這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠處趨向問題，從而可比較精

再描幾個點，就可以隨后畫出比較精確的雙曲線．(四)順其自然介紹離心率(性質(zhì)5)由于正確認識了漸近線的概念，對于離心率的直觀意義也就容易掌握了，為此，介紹一下雙曲線的離心率以及它對雙曲線的形狀的影響：

變得開闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊．

這時，教師指出：焦點在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)可以類似得出，雙曲線的幾何性質(zhì)與坐標系的選擇無關(guān)，即不隨坐標系的改變而改變．

(五)練習與例題

1．求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程．

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請一學生演板，其他同學練習，教師巡視，練習畢予以訂正．

由此可知，實半軸長a=4，虛半軸長b=3．

焦點坐標是(0，-5)，(0，5)．

本題實質(zhì)上是雙曲線的第二定義，要重點講解并加以歸納小結(jié)．

解：設(shè)d是點M到直線l的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合：

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化簡得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

這就是雙曲線的標準方程．

由此例不難歸納出雙曲線的第二定義．(六)雙曲線的第二定義 1．定義(由學生歸納給出)平面內(nèi)點M與一定點的距離和它到一條直線的距離的比是常數(shù)e=

叫做雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率． 2．說明

(七)小結(jié)(由學生課后完成)將雙曲線的幾何性質(zhì)按兩種標準方程形式列表小結(jié)．

五、布置作業(yè)

1．已知雙曲線方程如下，求它們的兩個焦點、離心率e和漸近線方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144．