圓錐曲線計算技巧

——整理自有道精品課關旭老師公開課“新高三圓錐曲線專項”

給定一個橢圓和一條直線：

橢圓方程：x2a2+y2b2=1

直線方程：y=kx+b

一般做法：

1)

聯立方程組

x2a2+y2b2=1

y=kx+b

2)

將直線方程帶入橢圓方程中

x2a2+kx+m2b2=1

3)

通分

b2+a2k2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0

4)

求判別式

Δ=(2a2km)2-4(b2+a2k2)(a2m2-a2b2)

5)

當Δ>0，用韋達定理求x1+x2,x1x2

x1+x2=2a2kmb2+a2k2

x1x2=

a2m2-a2b2b2+a2k2

上面的運算數不是有點復雜呢，那接著往下看看關旭老師提供的計算技巧吧：

巧運算

1)

聯立方程組

x2a2+y2b2=1

y=kx+b

2)

將直線方程帶入橢圓方程中

x2a2+kx+m2b2=1

不用通分！

上式可換做：

1a2+k2b2x2+2kmb2x+m2b2-1=0

記x2的系數為A,x的系數為B,常數項為C

則上式可記為：Ax2+Bx+C=0

3)

求判別式

Δ=（2km/b2）2-4(1/a2+k2/b2)(m2/b2-1)=-4m2/a2b2-4/a2+4k2/b2

這個式子展開后有五項，然而有兩項是可以消掉的，所以只剩三項。

4)

當Δ>0，用韋達定理求x1+x2,x1x2

x1+x2=-BA

x1x2=

CA

（這樣子運算是不是簡單了很多呢！）

此外，常用的兩個結論還有：

一、直線交橢圓的弦長：L=1+k2ΔA

（因為只要聯立了方程組，就一定要求判別式，將判別式代入這個式子求弦長會比一般做法簡單很多）

二、y1+y2=k(x1+x2)+2m

y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

用此方法可大幅節省運算時間，圓錐曲線是不是簡單了不少呢？

這里給出了兩道非常簡單的例題，快用簡潔的方法算一算吧。

1、.若橢圓與直線y=2x+5相切，求橢圓方程。

2、.若直線y=kx+與橢圓．交于不同的兩點A、B，O為坐標原點，且?>2，求k的取值范圍？

答案:1.a=9

2.1/4

備注：數學公式真的好難輸入QAQ,有點擔心排版的時候公式復制過去會亂，所以把那些數學式子截成了小圖片附在這里：