第一篇：圓錐曲線題型總結
圓錐曲線題型
與圓錐曲線有關的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關的證明問題等，在圓錐曲線的綜合應用中經常見到，為了讓同學們對這方面的知識有一個比較系統的了解，本文系統闡述一下“與圓錐曲線有關的幾種典型題”．
一、重、難、疑點分析
1．重點：圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題．
2．難點：雙圓錐曲線的相交問題．(應當提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判別式，還要結合圖形分析．)3．疑點：與圓錐曲線有關的證明問題．(解決辦法：因為這類問題涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法，所以比較靈活，只能通過一些例題予以示范．)
二、題型展示
1．圓錐曲線的弦長求法
設圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點，則弦長|AB|為：
(2)若弦AB過圓錐曲線的焦點F，則可用焦半徑求弦長，|AB|=|AF|+|BF|．
例1 過拋物線y??14x的焦點作傾斜角為?的直線l與拋物線交于A、B兩點，旦
2|AB|=8，求傾斜角?．
分析一：由弦長公式易解．解答為：
∵
拋物線方程為x2=-4y，∴焦點為(0，-1)．
設直線l的方程為y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．
將此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0．∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k． 由|AB|=8得:8?1?k2???4k?2或??3?4?4?1???4? ∴k??1
又有tan???1得:???4.p2,BF??y2?p2分析二:利用焦半徑關系.∵AF??y1?
∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得結果，可由同學們自己試試完成．
2．與圓錐曲線有關的最值(極值)的問題
在解析幾何中求最值，關鍵是建立所求量關于自變量的函數關系，再利用代數方法求出相應的最值．注意點是要考慮曲線上點坐標(x，y)的取值范圍．
例2已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值與最小值;(2)x+y的最大值與最小值． 解一：將x2+4(y-1)2=4代入得：x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y
由點(x，y)滿足x2+4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1．∴0≤y≤2．
當y=0時，(x2+y2)min=0．
解二：分析：顯然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，則將此代入x2+4(y-1)2=4中得關于y的一元二次方程，借助于判別式可求得最值．
令x+y=u，則有x=u-y,代入x2+4(y-1)2=4得：5y2-(2u+8)y+u2=0． 又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×u2≥0． ∴1?5?u?1?5
當u?1?5時,y?1?55??0,2?;當u?1?5時,y?1?55??0,2?
∴?x?y?max?1?5;?x?y?min?1?5
3．與圓錐曲線有關的證明問題
它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法．
例3.在拋物線x2＝4y上有兩點A(x1，y1)和B(x2，y2)且滿足|AB|=y1+y2+2，求證：(1)A、B和這拋物線的焦點三點共線；(2)
1AF?1BF為定值.證明：(1)∵拋物線的焦點為F(0，1)，準線方程為y=-1．
∴ A、B到準線的距離分別d1＝y1+1，d2=y2+1(如圖2－46所示)．
由拋物線的定義：|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1． ∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB| 即A、B、F三點共線．(2)如圖2－46，設∠AFK=θ．
∵|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sinθ+2 ∴AF?又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ ∴BF?21?sin?21?sin?
小結:與圓錐曲線有關的證明問題解決的關鍵是要靈活運用圓錐曲線的定義和幾何性質.4．圓錐曲線與圓錐曲線的相交問題 直線與圓錐曲線相交問題，一般可用兩個方程聯立后，用△≥0來處理．但用△≥0來判斷雙圓錐曲線相交問題是不可靠的．解決這類問題：方法1，由“△≥0”與直觀圖形相結合；方法2，由“△≥0”與根與系數關系相結合；方法3，轉換參數法(以后再講)． 例4 已知曲線C1:x?2?y?a?22 ?1及C2:y?x?1有公共點,求實數a的取值范圍．
2可得：y=2(1-a)y+a-4=0．
∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，∴a?如圖2－47，可知：
5222.橢圓中心?0,a?,半軸長a??交時,a?1?2.2?a?522,拋物線頂點為?0,1?,所以當圓錐曲線在下方相切或相綜上所述,當1?時, 曲線C1與C2相交.5．利用共線向量解決圓錐曲線中的參數范圍問題 例5.已知橢圓xa22?yb22?1(a?b?0)的長、短軸端點分別為A、B，從此橢圓上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F1，向量AB與OM是共線向量。（1）求橢圓的離心率e；（2）設Q是橢圓上任意一點，F1、F2分別是左、右焦點，求∠F1QF2 的取值范圍；
解：（1）∵F1(?c,0),則xM??c,yM?b2a，∴kOM??2b2ac。
∵kAB??ba,OM與AB是共線向量，∴?bac??ba，∴b=c,故e?22。
（2）設F1Q?r1,F2Q?r2,?F1QF2??,?r1?r2?2a,F1F2?2c，r1?r2?4c2r1r2222cos???(r1?r2)?2r1r2?4c2r1r222?a2r1r2?1?(a22r1?r2?1?0)2當且僅當r1?r2時，cosθ=0，∴θ?[0,?2]。
由于共線向量與解析幾何中平行線、三點共線等具有異曲同工的作用，因此，解析幾何中與平行線、三點共線等相關的問題均可在向量共線的新情景下設計問題。求解此類問題的關鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點共線等的關系，把有關向量的問題轉化為解析幾何問題.6.利用向量的數量積解決圓錐曲線中的參數范圍問題
例6.橢圓x29?y24?1的焦點為F1,F2，點P為其上的動點，當∠F1P F2為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是___。
解：由橢圓x29?y24?1的知焦點為F1（－5,0）F2（5,0）.設橢圓上的點可設為P（3cos?,2sin?）.??F1PF2為鈍角 ?????????（?∴ PF1?PF2?
5?3cos?,?2sin?)?(5?3cos?,?2sin?)
=9cos2?－5＋4sin2?=5 cos2?－1<0 解得：?55?cos??55 ∴點P橫坐標的取值范圍是（?3535）.,55解決與角有關的一類問題，總可以從數量積入手。本題中把條件中的角為鈍角轉化為向量的數量積為負值，通過坐標運算列出不等式，簡潔明了.
第二篇：高考圓錐曲線題型歸類總結50
高考圓錐曲線題型歸類總結50 高考圓錐曲線的七種題型；題型一：定義的應用；
1、圓錐曲線的定義：；（1）橢圓；（2）橢圓；（3）橢圓；
2、定義的應用；（1）尋找符合條件的等量關系；（2）等價轉換，數形結合；
3、定義的適用條件：；典型例題；例
1、動圓M與圓C1:(x+1)+y=36內切,；例
2、方程；題型二：圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程；
1、橢圓：由
2、雙曲線：由，分母的大小決高考圓錐曲線的七種題型
題型一：定義的應用
1、圓錐曲線的定義：（1）橢圓（2）橢圓（3）橢圓
2、定義的應用
（1）尋找符合條件的等量關系（2）等價轉換，數形結合
3、定義的適用條件： 典型例題
例
1、動圓M與圓C1:(x+1)+y=36內切,與圓C2:(x-1)+y=4外切,求圓心M的軌跡方程。
例
2、方程
題型二：圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）：
1、橢圓：由
2、雙曲線：由，分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。項系數的正負決定，焦點在系數為正的坐標軸上； 表示的曲線是 2222
3、拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。典型例題 x2y2 例
1、已知方程??1表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是 m?12?m x2y2 ??1的曲線： 例
2、k為何值時,方程9?k5?k(1)是橢圓;(2)是雙曲線.題型三：圓錐曲線焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）問題
1、橢圓焦點三角形面積S?btan2? 2 ；雙曲線焦點三角形面積S?bcot2? 2
2、常利用第一定義和正弦、余弦定理求解
3、m?n,m?n,mn,m2?n2四者的關系在圓錐曲線中的應用； 典型例題
22xy例
1、橢圓22?，求1(a?b?0)上一點P與兩個焦點FFPF?1，2的張角∠F12?ab 證：△F1PF2的面積為btan2?。2 例
2、已知雙曲線的離心率為2，F1、F2是左右焦點，P為雙曲線上一點，且
．求該雙曲線的標準方程
題型四：圓錐曲線中離心率，漸近線的求法
1、a,b,c三者知道任意兩個或三個的相等關系式，可求離心率，漸進線的值；，2、a,b,c三者知道任意兩個或三個的不等關系式，可求離心率，漸進線的最值或范圍；
3、注重數形結合思想不等式解法 典型例題 x2y2 例
1、已知F1、F2是雙曲線2?2?1（a?0,b?0）的兩焦點，以線段F1F2為邊作正ab 三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）A.4?2 B.?1 C.?1 D.?1 2 x2y2 例
2、雙曲線2?2?1（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|,ab 則雙曲線離心率的取值范圍為 A.(1,3)B.?1,3? C.(3,+?)D.?3,??? x2y2 例
3、橢圓G：2?2?1(a?b?0)的兩焦點為F1(?c,0),F2(c,0)，橢圓上存在 ab 點M使F1M?F2M?0.求橢圓離心率e的取值范圍； ?? x2y2 例
4、已知雙曲線2?2?1(a?0,b?0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60?的直線 ab 與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是（A）(1,2]（B）(1,2)（C）[2,??)（D）(2,??)題型五：點、直線與圓錐的位置關系判斷
1、點與橢圓的位置關系 x2y2 點在橢圓內?2?2?1 ab x2y2 點在橢圓上?2?2?1 ab x2y2 點在橢圓外?2?2?1 ab
2、直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題： ?>0?相交
?=0?相切（需要注意二次項系數為0的情況）?<0?相離
3、弦長公式： AB??k2x1?x2??k2(x1?x2)??k2? a AB??111? y?y??(y?y)??1212222kkka
4、圓錐曲線的中點弦問題：
1、偉達定理：
2、點差法：
（1）帶點進圓錐曲線方程，做差化簡
（2）得到中點坐標比值與直線斜率的等式關系 典型例題
例
1、雙曲線x2-4y2=4的弦AB被點M(3,-1)平分,求直線AB的方程.例
2、已知中心在原點，對稱軸在坐標軸上的橢圓與直線L:x+y=1交于A,B兩點，C是AB的中點，若|AB|=22，O為坐標原點，OC的斜率為2/2，求橢圓的方程。
題型六：動點軌跡方程：
1、求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍；
2、求軌跡方程的常用方法：（1）直接法：直接利用條件建立之間的關系； 例
1、如已知動點P到定點F(1,0)和直線 的距離之和等于4，求P的軌跡方程．
（2）待定系數法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數。
例
2、如線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0），端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線，則此拋物線方程為(3)定義法：先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；
例
3、由動點P向圓作兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，∠APB=60，則動點0P的軌跡方程為
例
4、點M與點F(4,0)的距離比它到直線 例
5、一動圓與兩圓⊙M： 的軌跡為
(4)代入轉移法：動點
在某已知曲線上，則可先用跡方程: 例
6、如動點P是拋物線則M的軌跡方程為__________(5)參數法：當動點 慮將
例
7、過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，則弦AB的中點M的軌跡方坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考上任一點，定點為,點M分所成的比為2，依賴于另一動點 的代數式表示的變化而變化，并且，再將又和⊙N：都外切，則動圓圓心的距離小于1，則點M的軌跡方程是_______ 代入已知曲線得要求的軌均用一中間變量（參數）表示，得參數方程，再消去參數得普通方程）。程是
題型七：（直線與圓錐曲線常規解題方法）
一、設直線與方程；（提醒：①設直線時分斜率存在與；
二、設交點坐標；（提醒:之所以要設是因為不去求出；
三、聯立方程組；；
四、消元韋達定理；（提醒：拋物線時經常是把拋物線；
五、根據條件重轉化；常有以下類型：；①“以弦AB為直徑的圓過點0”（提醒：需討論K是；?OA?OB?K1?K2??1?；②“點在圓內、圓上、圓外問題”；?“直角、銳角、鈍角問題
一、設直線與方程；（提醒：①設直線時分斜率存在與不存在；②設為y=kx+b與x=my+n的區別）
二、設交點坐標；（提醒:之所以要設是因為不去求出它,即“設而不求”）
三、聯立方程組；
四、消元韋達定理；（提醒：拋物線時經常是把拋物線方程代入直線方程反而簡單）
五、根據條件重轉化；常有以下類型：
①“以弦AB為直徑的圓過點0”（提醒：需討論K是否存在）?OA?OB ?K1?K2??1 ?OA?OB?0 ? x1x2?y1y2?0 ②“點在圓內、圓上、圓外問題”
?“直角、銳角、鈍角問題” ?“向量的數量積大于、等于、小于0問題” ?x1x2?y1y2>0；
③“等角、角平分、角互補問題” ?斜率關系（K1?K2?0或K1?K2）； ④“共線問題”
（如：AQ??QB ?數的角度：坐標表示法；形的角度：距離轉化法）；（如：A、O、B三點共線?直線OA與OB斜率相等）； ⑤“點、線對稱問題” ?坐標與斜率關系； ⑥“弦長、面積問題”
?轉化為坐標與弦長公式問題（提醒：注意兩個面積公式的合理選擇）；
六、化簡與計算；
七、細節問題不忽略；
①判別式是否已經考慮；②拋物線問題中二次項系數是否會出現0.基本解題思想：
1、“常規求值”問題：需要找等式，“求范圍”問題需要找不等式；
2、“是否存在”問題：當作存在去求，若不存在則計算時自然會無解；
3、證明定值問題的方法：⑴常把變動的元素用參數表示出來，然后證明計算結果與參數無
關；⑵也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。
4、處理定點問題的方法：⑴常把方程中參數的同次項集在一起，并令各項的系數為零，求出定點；⑵也可先取參數的特殊值探求定點，然后給出證明
5、求最值問題時：將對象表示為變量的函數，幾何法、配方法（轉化為二次函數的最值）、三角代換法（轉化為三角函數的最值）、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等再解決；
6、轉化思想：有些題思路易成，但難以實施。這就要優化方法，才能使計算具有可行性，關鍵是積累“轉化”的經驗；
7、思路問題：大多數問題只要忠實、準確地將題目每個條件和要求表達出來，即可自然而然產生思路。
典型例題：
例
1、已知點F?0,1?，直線l：y??1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且QP?QF?FP?FQ．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）已知圓M過定點D?0,2?，圓心M在軌跡C上運動，且圓M與x軸交于A、B兩點，設DA?l1，DB?l2，求
例
2、如圖半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為 線段OD的中點，已知|AB|=4，曲線C過Q點，動點P在曲線C上 運動且保持|PA|+|PB|的值不變.(1)建立適當的平面直角坐標系，求曲線C的方程； l1l2?的最大值． l2l1(2)過D點的直線l與曲線C相交于不同的兩點M、N，且M在D、N之間，設 求λ的取值范圍.DM=λ，DN x2y2 例
3、設F1、F2分別是橢圓C：2?2?1(a?b?0)的左右焦點。ab（1）設橢圓C 上點到兩點F1、F2距離和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；（2）設K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段KF1的中點B的軌跡方程；（3）設點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M，N兩點，當直線
PM，PN 的斜率都存在，并記為kPM，kPN，試探究kPM?KPN的值是否與點P及直線L有關，并證明你的結論。
例
4、已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l:y?kx?m與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．
例
5、已知橢圓兩焦點F1、F2在y 軸上，短軸長為，P是橢圓在第一 2 ?象限弧上一點，且PF1?PF2?1，過P作關于直線F1P對稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓
于A、B兩點。（1）求P點坐標；
（2）求證直線AB的斜率為定值； 典型例題： 例
1、由①、②解得，x?a?2． 不妨設A?a?2,0?，B?a?2,0?，∴ l1? l2?．
l1l2l12?l222∴???l2l1l1l2 ? ? ③ l1l2?? ? l2l1 當a? 0時，由③得，當且僅當a?? 當a?0時，由③得，l1l2?? 2． l2l1 故當a??l1l2?的最大值為 l 2l1 例
2、解：(1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點，建立平面直角坐標系，∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=222；設其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=；x22；∴曲線C的方程為+y=1.；(2)設直線l的方程為y=kx+2,；x2222；代入+y=1,得(1+5k)x+20kx+15=；Δ=(20k)－4×15(1+5k)＞0,得k＞；DMx13；?.由圖可知=λDNx25；20k?；x?x??122??1? ∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=222?12?2＞|AB|=4.∴曲線C為以原點為中心，A、B為焦點的橢圓.設其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,∴a=5,c=2,b=1.x22 ∴曲線C的方程為+y=1.5(2)設直線l的方程為y=kx+2, x2222 代入+y=1,得(1+5k)x+20kx+15=0.5 Δ=(20k)－4×15(1+5k)＞0,得k＞ 2 2 2 DMx13 ?.由圖可知=λ DNx25 20k? x?x??122??1?5k由韋達定理得? 15?x?x? 12?1?5k2? 將x1=λx2代入得 ?400k222 ?(1??)x2??(1?5k2)2 ? ??x2?15 2?1?5k2?(1??)2400k280兩式相除得 ??2?15(1?5k)3(5?)k2 3151208016 ?k2?,?0?2?,?5?2?,即4?? 1533kk?533(2?5)k(1??)216DM1?4??,0,?解得???3 ?3DN3 ① ② ??? x1DM?,M在D、N中間，∴λ＜1 x2DN 又∵當k不存在時，顯然λ=綜合得：1/3 ≤λ＜1.DM1 ?(此時直線l與y軸重合)DN3 例
3、解：（1）由于點? 2 2 ?1b2 得2a=4, ?2分 x2y2 ??1橢圓C的方程為 43x2y2??1把K的坐標代入橢圓43，焦點坐標分別為(?1,0),(1,0)??4分
（2）設KF1的中點為B（x, y）則點K(2x?1,2y)?5分(2x?1)2(2y)2 ??1中得 43 ?7分 12y2 ?1線段KF1的中點B的軌跡方程為(x?)?2 4 設M(x0,y0)N(?x0,?y0), ?8分
（3）過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N關于坐標原點對稱 p(x,y), x02y02x2y2 M,N,P在橢圓上，應滿足橢圓方程，得2?2?12?2?1 ??10分 ababb2y?y0y?y0y2?y02 =?2 ???13分 kPM?KPN=??2 2 ax?x0x?x0x?x0 故：kPM?KPN的值與點P的位置無關，同時與直線L無關，??14分 x2y2 ??1．（5分）例
4、解：（Ⅰ）橢圓的標準方程為43（Ⅱ）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，?y?kx?m，?222 聯立?x2y2得(3?4k)x?8mkx?4(m?3)?0，?1.?? 43? ? ???64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，即3?4k2?m2?0，則? 8mk? x?x??，?122 3?4k? ?4(m2?3).?x1?x2? 3?4k2? 3(m2?4k2)又y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?，2 3?4k 2 2 0)，因為以AB為直徑的圓過橢圓的右焦點D(2，?kADkBD??1，即 y1y 2??1，x1?2x2?2 3(m2?4k2)4(m2?3)16mk ???4?0，?y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0，? 3?4k23?4k23?4k2 ?9m2?16mk?4k2?0． 解得：m1??2k，m2?? 2k22，且均滿足3?4k?m?0，7
1、當m1??2k時，l的方程為y?k(x?2)，直線過定點(2，0)，與已知矛盾；當m2??
2、2k2??2?? 時，l的方程為y?k?x??，直線過定點?，0?． 77??7?? 所以，直線l過定點，定點坐標為?，0?．（14分）?2 ?7?? y2x2 ??1例
5、解（1）F1F2(0,，設P(x0,y0)(x0?0,y0?0)42。
??22則PF1?PF2?x0?(2?y0)?1 1?(?x0y0),PF2?(?x0,y0), ?PF 222 x0y04?y02 ?1.?x0? ?點P(x0,y0)在曲線上，則? 2422 4?y02 ?(2?y0)? 1，得y0?P 的坐標為 從而2（2）由（1）知PF1//x軸，直線PA、PB斜率互為相反數，設PB斜率為k(k?0)，?y?k(x?1)? 則PB 的直線方程為：y?k(x?1)由?x2y2得 ?1?? ?24(2?k2)x2?2kk)x?k)2?4?0 2k(k?k2??2 ?1?設B(xB,y B),則xB? 22 2?k2?kx?x? 同理可得xA?，則AB(xA?1)?k(x1 yA?yB??kB? 所以：AB 的斜率kAB? 8k 2 2?k yA?yB ? xA?xB sin? 4例
6、解：（1）由23?1|OF|?|FP|?sin?,得|OF|?|FP|?43,由cos??tsin?，2 分
得tan??4.3分 t ?4?t?43?1?tan?[0,?] ∴夾角?的取值范圍是（?? ,）??643（2）設P(x0,y0),則(x0?c,y0),?(c,0).?OF?FP?(x0?c,y0)?(c,0)?(x0?c)c?t?1)c2 ?1???S?OFP?|OF|?|y0|?y0?2?x08分
?|OP|?10分 ∴當且僅當3c? 4,即c?2時,|OP|取最小值26,此時,OP?(23,?23)c ?? 3(2,23)?(0,1)?(2,3)33 或?(2,?23)?(0,1)?(2,?1)12分 橢圓長軸 2a?(2?2)2?(3?0)2?(2?2)2?(3?0)2?8 ?a?4,b2?12 或2a?(2?2)2?(?1?0)2?(2?2)2?(?1?0)2?1??a? 1?21? ,b? 22 x2y2 ??1.或x2?y2?1 14分 故所求橢圓方程為 16129?1?2 2
第三篇：完美版圓錐曲線知識點總結
圓錐曲線的方程與性質
1．橢圓
（1）橢圓概念
平面內與兩個定點、的距離的和等于常數2（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點，則有。
橢圓的標準方程為：（）（焦點在x軸上）或（）（焦點在y軸上）。
注：①以上方程中的大小，其中；
②在和兩個方程中都有的條件，要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，）當時表示焦點在軸上的橢圓；當時表示焦點在軸上的橢圓。
（2）橢圓的性質
①范圍：由標準方程知，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；
②對稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點在曲線上時，點也在曲線上，所以曲線關于軸對稱，同理，以代替方程不變，則曲線關于軸對稱。若同時以代替，代替方程也不變，則曲線關于原點對稱。
所以，橢圓關于軸、軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；
③頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點坐標。在橢圓的標準方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個交點。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個交點。
所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。
同時，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。
由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為；在中，，且，即；
④離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率。∵，∴，且越接近，就越接近，從而就越小，對應的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時橢圓越接近于圓。當且僅當時，兩焦點重合，圖形變為圓，方程為。
2．雙曲線
（1）雙曲線的概念
平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數的動點軌跡是雙曲線（）。
注意：①式中是差的絕對值，在條件下；時為雙曲線的一支；時為雙曲線的另一支（含的一支）；②當時，表示兩條射線；③當時，不表示任何圖形；④兩定點叫做雙曲線的焦點，叫做焦距。
（2）雙曲線的性質
①范圍：從標準方程，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側。即，即雙曲線在兩條直線的外側。
②對稱性：雙曲線關于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。
③頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，他們是雙曲線的頂點。
令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。
1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。
2）實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。
④漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。
⑤等軸雙曲線：
1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；
2）等軸雙曲線的性質：（1）漸近線方程為：
；（2）漸近線互相垂直。
注意以上幾個性質與定義式彼此等價。亦即若題目中出現上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。
3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設為：，當時交點在軸，當時焦點在軸上。
⑥注意與的區別：三個量中不同（互換）相同，還有焦點所在的坐標軸也變了。
3．拋物線
（1）拋物線的概念
平面內與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線。
方程叫做拋物線的標準方程。
注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（,0），它的準線方程是；
（2）拋物線的性質
一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：，.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下表：
標準方程
圖形
焦點坐標
準線方程
范圍
對稱性
軸
軸
軸
軸
頂點
離心率
說明：（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強調的幾何意義：是焦點到準線的距離。
4.高考數學圓錐曲線部分知識點梳理
一、方程的曲線：
在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下的關系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。
點與曲線的關系：若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點P0(x0,y0)在曲線C上f(x0,y
0)=0；點P0(x0,y0)不在曲線C上f(x0,y0)≠0。
兩條曲線的交點：若曲線C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點P0(x0,y0)是C1，C2的交點{方程組有n個不同的實數解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數解，曲線就沒有交點。
二、圓：
1、定義：點集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定點O為圓心，定長r為半徑.2、方程：(1)標準方程：圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
圓心在坐標原點，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2
(2)一般方程：①當D2+E2-4F＞0時，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為半徑是。配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+)2+(y+)2=
②當D2+E2-4F=0時，方程表示一個點(-,-);
③當D2+E2-4F＜0時，方程不表示任何圖形.（3）
點與圓的位置關系
已知圓心C(a,b),半徑為r,點M的坐標為(x0,y0)，則｜MC｜＜r點M在圓C內，｜MC｜=r點M在圓C上，｜MC｜＞r點M在圓C內，其中｜MC｜=。
（4）
直線和圓的位置關系：①直線和圓有相交、相切、相離三種位置關系：直線與圓相交有兩個公共點；直線與圓相切有一個公共點；直線與圓相離沒有公共點。
②直線和圓的位置關系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離與半徑r的大小關系來判定。
三、圓錐曲線的統一定義：
平面內的動點P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之
比是一個常數e(e＞0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準線，正常數e稱為離心率。當0＜e＜1時，軌跡為橢圓；當e=1時，軌跡為拋物線；當e＞1時，軌跡為雙曲線。
四、橢圓、雙曲線、拋物線：
橢圓
雙曲線
拋物線
定義
1．到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡
2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（0 1．到兩定點F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(0<2a<|F1F2|)的點的軌跡 2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（e>1） 與定點和直線的距離相等的點的軌跡.軌跡條件 點集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a}.點集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.點集{M｜ ｜MF｜=點M到直線l的距離}.圖形 方 程 標準方程 (>0) (a>0,b>0) 參數方程 (t為參數) 范圍 ─a￡x￡a，─b￡y￡b |x| 3 a，y?R x30 中心 原點O（0，0） 原點O（0，0） 頂點 (a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b) (a,0),(─a,0) (0,0) 對稱軸 x軸，y軸； 長軸長2a,短軸長2b x軸，y軸; 實軸長2a,虛軸長2b.x軸 焦點 F1(c,0),F2(─c,0) F1(c,0),F2(─c,0) 準 線 x=± 準線垂直于長軸，且在橢圓外.x=± 準線垂直于實軸，且在兩頂點的內側.x=- 準線與焦點位于頂點兩側，且到頂點的距離相等.焦距 2c （c=） 2c （c=） 離心率 e=1 【備注1】雙曲線： ⑶等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.⑸共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設為 .【備注2】拋物線： （1）拋物線=2px(p>0)的焦點坐標是(,0)，準線方程x=-，開口向右；拋物線=-2px(p>0)的焦點坐標是(-,0)，準線方程x=，開口向左；拋物線=2py(p>0)的焦點坐標是(0,)，準線方程y=-，開口向上； 拋物線=-2py（p>0）的焦點坐標是（0,-），準線方程y=，開口向下.（2）拋物線=2px(p>0)上的點M(x0,y0)與焦點F的距離；拋物線=-2px(p>0)上的點M(x0,y0)與焦點F的距離 （3）設拋物線的標準方程為=2px(p>0)，則拋物線的焦點到其頂點的距離為，頂點到準線的距離，焦點到準線的距離為p.（4）已知過拋物線=2px(p>0)焦點的直線交拋物線于A、B兩點，則線段AB稱為焦點弦，設A(x1,y1),B(x2,y2)，則弦長=+p或(α為直線AB的傾斜角)，(叫做焦半徑).五、坐標的變換： （1）坐標變換：在解析幾何中，把坐標系的變換(如改變坐標系原點的位置或坐標軸的方向)叫做坐標變換.實施坐標變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點的坐標與曲線的方程.（2）坐標軸的平移：坐標軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種坐標系的變換叫做坐標軸的平移，簡稱移軸。 （3）坐標軸的平移公式：設平面內任意一點M，它在原坐標系xOy中的坐標是（x,y)，在新坐標系x ′O′y′中的坐標是.設新坐標系的原點O′在原坐標系xOy中的坐標是(h,k)，則 或 叫做平移(或移軸)公式.（4） 中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程見下表： 方 程 焦 點 焦 線 對稱軸 橢圓 +=1 (±c+h,k) x=±+h x=h y=k + =1 (h,±c+k) y=±+k x=h y=k 雙曲線 -=1 (±c+h,k) x=±+k x=h y=k -=1 (h,±c+h) y=±+k x=h y=k 拋物線 (y-k)2=2p(x-h) (+h,k) x=-+h y=k (y-k)2=-2p(x-h) (-+h,k) x=+h y=k (x-h)2=2p(y-k) (h,+k) y=-+k x=h (x-h)2=-2p(y-k) (h,- +k) y=+k x=h 六、橢圓的常用結論： 1.點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的外角.2.PT平分△PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離.4.以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.5.若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.6.若在橢圓外，則過作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.7.橢圓 (a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F 2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.8.橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式,(,).9.設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP 和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MF⊥NF.10.過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.11.AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。 12.若在橢圓內，則被Po所平分的中點弦的方程是； 【推論】： 1、若在橢圓內，則過Po的弦中點的軌跡方程是。橢圓（a＞b＞o）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2、過橢圓 (a＞0,b＞0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數）.3、若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1,F 2是焦點，，則.4、設橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在△PF1F2中，記，，則有.5、若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當0＜e≤時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.6、P為橢圓（a＞b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內一定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立.7、橢圓與直線有公共點的充要條件是.8、已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.9、過橢圓（a＞b＞0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.10、已知橢圓（a＞b＞0）,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則.11、設P點是橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2) .12、設A、B是橢圓（a＞b＞0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，，，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .13、已知橢圓（a＞b＞0）的右準線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經過線段EF的中點.14、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.15、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16、橢圓焦三角形中,內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率).（注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.） 17、橢圓焦三角形中,內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e.18、橢圓焦三角形中,半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項.七、雙曲線的常用結論： 1、點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的內角.2、PT平分△PF1F2在點P處的內角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3、以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交.4、以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內切：P在右支；外切：P在左支） 5、若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是.6、若在雙曲線（a＞0,b＞0）外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.7、雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點分別為F1，F 2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.8、雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(,）當在右支上時，,；當在左支上時，,。 9、設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結AP 和AQ分別交相應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MF⊥NF.10、過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q,A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.11、AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。 12、若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則被Po所平分的中點弦的方程是.13、若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則過Po的弦中點的軌跡方程是.【推論】： 1、雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2、過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數）.3、若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1,F 2是焦點，，則（或）.4、設雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記，，則有.5、若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1＜e≤時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.6、P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內一定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側時，等號成立.7、雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點的充要條件是.8、已知雙曲線（b＞a ＞0），O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.9、過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則 .10、已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則或.11、設P點是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2) .12、設A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，，，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .13、已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經過線段EF的中點.14、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.15、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16、雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點).17、雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.18雙曲線焦三角形中,半焦距必為內、外點到雙曲線中心的比例中項.八、拋物線的常用結論： ①頂點.②則焦點半徑;則焦點半徑為.③通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.④（或）的參數方程為（或）（為參數）.圖形 焦點 準線 范圍 對稱軸 軸 軸 頂點 （0,0） 離心率 焦點 圓錐曲線的性質對比 圓錐曲線 橢圓 雙曲線 拋物線 標準方程 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0 y^2=2px p>0 范圍 x∈[-a,a] y∈[-b,b] x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) y∈R x∈[0,+∞) y∈R 對稱性 關于x軸,y軸,原點對稱 關于x軸,y軸,原點對稱 關于x軸對稱 頂點 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0) 焦點 (c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2-b^2】 (c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2+b^2】 (p/2,0) 準線 x=±(a^2)/c x=±(a^2)/c x=-p/2 漸近線 —————————— y=±(b/a)x ————— 離心率 e=c/a,e∈(0,1) e=c/a,e∈(1,+∞) e=1 焦半徑 ∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=a-ex ∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣=∣ex-a∣ ∣PF∣=x+p/2 焦準距 p=(b^2)/c p=(b^2)/c p 通徑 (2b^2)/a (2b^2)/a 2p 參數方程 x=a·cosθ y=b·sinθ，θ為參數 x=a·secθ y=b·tanθ,θ為參數 x=2pt^2 y=2pt,t為參數 過圓錐曲線上一點 (x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1 (x0,y0)的切線方程 (x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1 y0·y=p(x+x0) 斜率為k的切線方程 y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2] y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2] y=kx+p/2k 與圓錐曲線有關的幾種典型題 一、教學目標(一)知識教學點 使學生掌握與圓錐曲線有關的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線相交問題等． (二)能力訓練點 通過對圓錐曲線有關的幾種典型題的教學，培養學生綜合運用圓錐曲線知識的能力．(三)學科滲透點 通過與圓錐曲線有關的幾種典型題的教學，使學生掌握一些相關學科中的類似問題的處理方法． 二、教材分析 1．重點：圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題． (解決辦法：先介紹基礎知識，再講解應用．)2．難點：雙圓錐曲線的相交問題． (解決辦法：要提醒學生注意，除了要用一元二次方程的判別式，還要結合圖形分析．)3．疑點：與圓錐曲線有關的證明問題． (解決辦法：因為這類問題涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法，所以比較靈活，只能通過一些例題予以示范．) 三、活動設計 演板、講解、練習、分析、提問． 四、教學過程(一)引入 與圓錐曲線有關的幾種典型題，如圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關的證明問題等，在圓錐曲線的綜合應用中經常見到，為了讓大家對這方面的知識有一個比較系統的了解，今天來講一下“與圓錐曲線有關的幾種典型題”． (二)與圓錐曲線有關的幾種典型題 1．圓錐曲線的弦長求法 設圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，則弦長|AB|為： (2)若弦AB過圓錐曲線的焦點F，則可用焦半徑求弦長，|AB|=|AF|+|BF|． A、B兩點，旦|AB|=8，求傾斜角α． 分析一：由弦長公式易解． 由學生演板完成．解答為： ∵ 拋物線方程為x2=-4y，∴焦點為(0，-1)． 設直線l的方程為y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1． 將此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0． ∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k． ∴ k=±1． ∴|AB|=-(y1+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(x1+x2)+2+p．由上述解法易求得結果，由學生課外完成． 2．與圓錐曲線有關的最值(極值)的問題 在解析幾何中求最值，關鍵是建立所求量關于自變量的函數關系，再利用代數方法求出相應的最值．注意點是要考慮曲線上點坐標(x，y)的取值范圍． 例2 已知x2+4(y-1)2=4，求：(1)x2+y2的最大值與最小值；(2)x+y的最大值與最小值． 解(1)： 將x2+4(y-1)2=4代入得： x2+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y 由點(x，y)滿足x2+4(y-1)2=4知： 4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1． ∴0≤y≤2． 當y=0時，(x2+y2)min=0． 解(2)： 分析：顯然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，則將此代入x2+4(y-1)2=4中得關于y的一元二次方程，借助于判別式可求得最值． 令x+y=u，則有x=u-y． 代入x2+4(y-1)2=4得： 5y2-(2u+8)y+u2=0． 又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×u2≥0． 3．與圓錐曲線有關的證明問題 它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法． 例3 在拋物線x2＝4y上有兩點A(x1，y1)和B(x2，y2)且滿足|AB|=y1+y2+2，求證： (1)A、B和這拋物線的焦點三點共線； 證明： (1)∵拋物線的焦點為F(0，1)，準線方程為y=-1． ∴ A、B到準線的距離分別d1＝y1+1，d2=y2+1(如圖2－46所示)． 由拋物線的定義： |AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1． ∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB|． 即A、B、F三點共線．(2)如圖2－46，設∠AFK=θ． ∵|AF|=|AA1|=|AK|+2 =|AF|sinθ+2，又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ． 小結：與圓錐曲線有關的證明問題解決的關鍵是要靈活運用圓錐曲線的定義和幾何性質． 4．圓錐曲線與圓錐曲線的相交問題 直線與圓錐曲線相交問題，一般可用兩個方程聯立后，用△≥0來處理．但用△≥0來判斷雙圓錐曲線相交問題是不可靠的．解決這類問題：方法1，由“△≥0” 與直觀圖形相結合；方法2，由“△≥0”與根與系數關系相結合；方法3，轉換參數法(以后再講)． 實數a的取值范圍． 可得：y2=2(1-a)y+a2-4=0． ∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，如圖2－47，可知： (三)鞏固練習(用一小黑板事先寫出．) 2．已知圓(x-1)2+y2=1與拋物線y2=2px有三個公共點，求P的取值范圍． 頂點． 請三個學生演板，其他同學作課堂練習，教師巡視．解答為： 1．設P的坐標為(x，y)，則 2．由兩曲線方程消去y得：x2-(2-2P)x=0． 解得：x1=0，x2=2-2P． ∵0＜x＜2，∴0＜2-2P＜2，即0＜P＜1． 故P的取值范圍為(0，1)． 四個交點為A(4，1)，B(4，-1)，C(-4，-1)，D(-4，1)． 所以A、B、C、D是矩形的四個頂點． 五、布置作業 1．一條定拋物線C1∶y2=1-x與動圓C2∶(x-a)2+y2=1沒有公共點，求a的范圍． 2．求拋線y=x2上到直線y=2x-4的距離為最小的點P的坐標． 3．證明：從雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于虛半軸長． 作業答案： 1．當x≤1時，由C1、C2的方程中消去y，得x2-(2a+1)x+a2=0，離為d，則 似證明． 六、板書設計 高中數學知識點大全—圓錐曲線 一、考點（限考）概要： 1、橢圓： （1）軌跡定義： ①定義一：在平面內到兩定點的距離之和等于定長的點的軌跡是橢圓，兩定點是焦點，兩定點間距離是焦距，且定長2a大于焦距2c。用集合表示為： ； ②定義二：在平面內到定點的距離和它到一條定直線的距離之比是個常數e，那么這個點的軌跡叫做橢圓。其中定點叫焦點，定直線叫準線，常數e是離心率。 用集合表示為： （2）標準方程和性質： ； 注意：當沒有明確焦點在個坐標軸上時，所求的標準方程應有兩個。 （3）參數方程： 3、雙曲線： （1）軌跡定義： （θ為參數）； ①定義一：在平面內到兩定點的距離之差的絕對值等于定長的點的軌跡是雙曲線，兩定點是焦點，兩定點間距離是焦距。用集合表示為： ②定義二：到定點的距離和它到一條定直線的距離之比是個常數e，那么這個點的軌跡叫做雙曲線。其中定點叫焦點，定直線叫準線，常數e是離心率。 用集合表示為：（2）標準方程和性質： 注意：當沒有明確焦點在個坐標軸上時，所求的標準方程應有兩個。 4、拋物線： （1）軌跡定義：在平面內到定點和定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線，定點是焦點，定直線是準線，定點與定直線間的距離叫焦參數p。用集合表示為 ： （2）標準方程和性質： ①焦點坐標的符號與方程符號一致，與準線方程的符號相反； ②標準方程中一次項的字母與對稱軸和準線方程的字母一致； ③標準方程的頂點在原點，對稱軸是坐標軸，有別于一元二次函數的圖像； 二、復習點睛： 1、平面解析幾何的知識結構： 2、橢圓各參數間的關系請記熟 “六點六線，一個三角形”，即六點：四個頂點，兩個焦點；六線：兩條準線，長軸短軸，焦點線和垂線PQ；三角形：焦點三角形各性質（除切線外）均可在這個圖中找到。 。則橢圓的 3、橢圓形狀與e的關系：當e→0，c→0，橢圓→圓，直至成為極限位置的圓，則認為圓是橢圓在e=0時的特例。當e→1，c→a橢圓變扁，直至成為極限位置的線段也可認為是橢圓在e=1時的特例。 4、利用焦半徑公式計算焦點弦長：若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB，A、B兩點的坐標分別為，則弦長，此時 這里體現了解析幾何“設而不求”的解題思想。 5、若過橢圓左（或右）焦點的焦點弦為AB，則 ； 6、結合下圖熟記雙曲線的：“四點八線，一個三角形”，即：四點：頂點和焦點；八線：實軸、虛軸、準線、漸進線、焦點弦、垂線PQ。三角形：焦點三角形。 7、雙曲線形狀與e的關系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就越大，這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊。由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊。 8、雙曲線的焦點到漸近線的距離為b。 9、共軛雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。區別：三常數a、b、c中a、b不同（互換）c相同,它們共用一對漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上。確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變為－1。 10、過雙曲線點的情況如下： 外一點P（x,y）的直線與雙曲線只有一個公共（1）P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條； （2）P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條； （3）P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線； （4）P為原點時不存在這樣的直線； 11、結合圖形熟記拋物線：“兩點兩線，一個直角梯形”，即：兩點：頂點和焦點；兩線：準線、焦點弦；梯形：直角梯形ABCD。 12、對于拋物線上 13、拋物線則有如下結論： 的點的坐標可設為的焦點弦（過焦點的弦）為AB，且，以簡化計算； ，14、過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線； 15、處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點問題常用代點相減法：即設 為曲線上不同的兩點，是的中點，則可得到弦中點與兩點間關系： 16、當涉及到弦的中點時，通常有兩種處理方法：一是韋達定理，即把直線方程代入曲線方程，消元后，用韋達定理求相關參數（即設而不求）；二是點差法，即設出交點坐標，然后把交點坐標代入曲線方程，兩式相減后，再求相關參數。在利用點差法時，必須檢驗條件△＞0是否成立。 5、圓錐曲線： （1）統一定義，三種圓錐曲線均可看成是這樣的點集：為定點，d為點P到定直線的l 距離，e為常數，如圖。，其中F （2）當0＜e＜1時，點P的軌跡是橢圓；當e＞1時，點P的軌跡是雙曲線；當e=1時，點P的軌跡是拋物線。 （3）圓錐曲線的幾何性質：幾何性質是圓錐曲線內在的、固有的性質，不因為位置的改變而改變。 ①定性：焦點在與準線垂直的對稱軸上 ⅰ橢圓及雙曲線：中心為兩焦點中點，兩準線關于中心對稱； ⅱ橢圓及雙曲線關于長軸、短軸或實軸、虛軸為軸對稱，關于中心為中心對稱； ⅲ拋物線的對稱軸是坐標軸，對稱中心是原點。 ②定量： （4）圓錐曲線的標準方程及解析量（隨坐標改變而變） 以焦點在x軸上的方程為例： 6、曲線與方程： （1）軌跡法求曲線方程的程序： ①建立適當的坐標系； ②設曲線上任一點（動點）M的坐標為(x,y)； ③列出符合條件p(M)的方程f(x,y)=0； ④化簡方程f(x,y)=0為最簡形式； ⑤證明化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上； （2）曲線的交點： 由方程組確定，方程組有幾組不同的實數解，兩條曲線就有幾個公共點；方程組沒有實數解，兩條曲線就沒有公共點。第四篇：圓錐曲線教案
第五篇：高中數學圓錐曲線知識點總結
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