2004年普通高等學校招生浙江卷理工類數學試題

第Ⅰ卷

(選擇題

共60分)

一.選擇題:

本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.(1)

若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},則=

(A)

{1,2,3}

(B)

{2}

(C)

{1,3,4}

(D)

{4}

(2)

點P從(1,0)出發,沿單位圓逆時針方向運動弧長到達Q點,則Q的坐標為

(A)

(B)

（(C)

（(D)

（(3)

已知等差數列的公差為2,若成等比數列,則=

(A)

–4

(B)

–6

(C)

–8

(D)

–10

(4)曲線關于直線x=2對稱的曲線方程是

(A)

(B)

(C)

(D)

(5)

設z=x—y,式中變量x和y滿足條件則z的最小值為

(A)

(B)

–1

(C)

(D)

–3

(6)

已知復數,且是實數,則實數t=

(A)

(B)

(C)

--

(D)

--

(7)

若展開式中存在常數項,則n的值可以是

(A)

(B)

(C)

(D)

(8)在ΔABC中,“A>30o”是“sinA>”的(A)

充分而不必要條件

(B)

必要而不充分條件

(C)

充分必要條件

(D)

既不充分也必要條件

(9)若橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點分成5：3兩段，則此橢圓的離心率為

（A）

（B）

（C）

（D）

（10）如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為α，則α=

（A）（B）（C）（D）

（11）設是函數f(x)的導函數，y=的圖象

如圖所示，則y=

f(x)的圖象最有可能的是

（12）若和g(x)都是定義在實數集R上的函數，且方程有實數解，則不可能是

（A）

（B）

（C）

（D）

第Ⅱ卷

（非選擇題

共90分）

二.填空題：三大題共4小題，每小題4分，滿分16分把答案填在題中橫線上

（13）已知則不等式≤5的解集是

（14）已知平面上三點A、B、C滿足則的值等于

（15）設坐標平面內有一個質點從原點出發，沿x軸跳動，每次向正方向或負方向跳1個單位，經過5次跳動質點落在點（3，0）（允許重復過此點）處，則質點不同的運動方法共有

種（用數字作答）

（16）已知平面α和平面交于直線，P是空間一點，PA⊥α，垂足為A，PB⊥β，垂足為B，且PA=1，PB=2，若點A在β內的射影與點B在α內的射影重合，則點P到的距離為

三.解答題：本大題共6小題，滿分74分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟

（17）（本題滿分12分）

在ΔABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求bc的最大值

（18）

（本題滿分12分）

盒子中有大小相同的球10個，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為5的球3個，第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球（假設取到每個球的可能性都相同）記第一次與第二次取到球的標號之和為ε

（Ⅰ）求隨機變量ε的分布列；

（Ⅱ）求隨機變量ε的期望Eε

（19）（本題滿分12分）

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點

（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；

（20）（本題滿分12分）

設曲線≥0）在點M（t,c--1）處的切線與x軸y軸所圍成的三角表面積為S（t）

（Ⅰ）求切線的方程；

（Ⅱ）求S（t）的最大值

（21）（本題滿分12分）

已知雙曲線的中心在原點，右頂點為A（1，0）點P、Q在雙

曲線的右支上，支M（m,0）到直線AP的距離為1

（Ⅰ）若直線AP的斜率為k，且，求實數m的取值范圍；

（Ⅱ）當時，ΔAPQ的內心恰好是點M，求此雙曲

線的方程

（22）（本題滿分14分）

如圖，ΔOBC的在個頂點坐標分別為（0,0）、（1,0）、（0,2）,設P為線段BC的中點,P為線段CO的中點,P3為線段OP1的中點,對于每一個正整數n,Pn+3為線段PnPn+1的中點,令Pn的坐標為(xn,yn),（Ⅰ）求及;

（Ⅱ）證明

(Ⅲ)若記證明是等比數列.2004年普通高等學校招生浙江卷理工類數學試題

參考答案

一.選擇題:

本大題共12小題,每小題5分,共60分.1.D

2.A

3.B

4.C

5.A

6.A

7.C

8.B

9.D

10.D

11.C

12.B

二.填空題:本大題共4小題,每小題4分,滿分16分.13.14.--25

15.5

16.三.解答題:本大題共6小題,滿分74分.17.(本題滿分12分)

解:

(Ⅰ)

=

=

=

=

(Ⅱ)

∵

∴,又∵

∴

當且僅當

b=c=時,bc=,故bc的最大值是.(18)

(滿分12分)

解:

(Ⅰ)由題意可得,隨機變量ε的取值是2、3、4、6、7、10

隨機變量ε的概率分布列如下

ε

P

0.09

0.24

0.16

0.18

0.24

0.09

隨機變量ε的數學期望

Eε=2×0.09+3×0.24+4×0.13+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.(19)

(滿分12分)

方法一

解:

(Ⅰ)記AC與BD的交點為O,連接OE,∵O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，∴四邊形AOEM是平行四邊形，∴AM∥OE

∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE

(Ⅱ)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂線定理得BS⊥DF

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角

在RtΔASB中，∴

∴二面角A—DF—B的大小為60o

（Ⅲ）設CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF

在RtΔPQF中，∠FPQ=60o，PF=2PQ

∵ΔPAQ為等腰直角三角形，∴

又∵ΔPAF為直角三角形，∴，∴

所以t=1或t=3(舍去)

即點P是AC的中點

方法二

（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系

設，連接NE，則點N、E的坐標分別是（、（0,0,1）,∴

=(,又點A、M的坐標分別是

（）、（∴

=（∴=且NE與AM不共線，∴NE∥AM

又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF

（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF

∴AB⊥平面ADF

∴為平面DAF的法向量

∵=（·=0，∴=（·=0得,∴NE為平面BDF的法向量

∴cos<>=

∴的夾角是60o

即所求二面角A—DF—B的大小是60o

（Ⅲ）設P(t,t,0)(0≤t≤)得

∴=（，0，0）

又∵PF和CD所成的角是60o

∴

解得或（舍去），即點P是AC的中點

（20）（滿分12分）

解：（Ⅰ）因為

所以切線的斜率為

故切線的方程為即

（Ⅱ）令y=0得x=t+1,又令x=0得

所以S（t）=

=

從而

∵當（0，1）時，>0,當（1,+∞）時,<0,所以S(t)的最大值為S(1)=

(21)

(滿分12分)

解:

(Ⅰ)由條件得直線AP的方程

即

因為點M到直線AP的距離為1,∵

即.∵

∴

解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--.∴m的取值范圍是

(Ⅱ)可設雙曲線方程為

由

得.又因為M是ΔAPQ的內心,M到AP的距離為1,所以∠MAP=45o,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1因此，（不妨設P在第一象限）

直線PQ方程為

直線AP的方程y=x-1,∴解得P的坐標是（2+，1+），將P點坐標代入得，所以所求雙曲線方程為

即

（22）（滿分14分）

解：(Ⅰ)因為，所以，又由題意可知

∴

=

=

∴為常數列

∴

(Ⅱ)將等式兩邊除以2，得

又∵

∴

（Ⅲ）∵

=

=

又∵

∴是公比為的等比數列