2004年普通高等學(xué)校招生湖南卷文史類數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本大題

共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求的1．函數(shù)的定義域為

（）

A．

B．

C．

D．

2．設(shè)直線

ax+by+c=0的傾斜角為，且sin+cos=0，則a,b滿足

（）

A．

B．

C．

D．

3．設(shè)是函數(shù)f(x)=的反函數(shù)，則下列不等式中恒成立的是

（）

A．

B．

C．

D．

4．如果雙曲線上一點P到右焦點的距離為,那么點P到右準(zhǔn)線的距離是（）

A．

B．13

C．5

D．

5．把正方形ABCD沿對角線AC折起，當(dāng)A、B

C、D四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線BD與平面ABC所成的角的大小為

（）

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

6．某公司甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150

個、120個、180個、150個銷售點.公司為了調(diào)查產(chǎn)品的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況，記這項調(diào)查為②.則完成這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次為

（）

A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法

B．分層抽樣法，簡單隨機(jī)抽樣法

C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法

D．簡單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法

7．若f(x)=-x2+2ax與在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù)，則a的值范圍是

（）

A．

B．

C．（0，1）

D．

8．已知向量,向量則的最大值，最小值分別是（）

A．

B．

C．16，0

D．4，0

x

y

o

A

x

y

o

D

x

y

o

C

x

y

o

B

9．若函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象的頂點在第四象限，則函數(shù)f

/(x)的圖象是

（）

10．從正方體的八個頂點中任取三個點作為三角形，直角三角形的個數(shù)為

（）

A．56

B．52

C．48

D．40

11．農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構(gòu)成.2003年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元(其中工資性收入為1800元，其它收入為1350元),預(yù)計該地區(qū)自2004年起的5

年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長率增長，其它收入每年增加160元根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于

（）

A．4200元~4400元

B．4400元~4600元

C．4600元~4800元

D．4800元~5000元

12．設(shè)集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么點P（2，3）的充要條件是

（）

A．

B．

C．

D．

二、填空題：本大題

共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.13．過點P（－1，2）且與曲線y=3x2-4x+2在點M（1，1）處的切線平行的直線方程是__________.14．的展開式中的常數(shù)項為___________(用數(shù)字作答)

15．F1，F(xiàn)2是橢圓C：的焦點，在C上滿足PF1⊥PF2的點P的個數(shù)為__________.16．若直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是_______.三、解答題：本大題

共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或運算步驟.17．（本小題滿分12分）

18．（本小題滿分12分）

如圖，在底面

是菱形的四棱錐P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a,PB=PD=,點E是PD的中點.（I）證明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；

（II）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的正切值.19．（本小題滿分12分）

甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為.（Ⅰ）分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工零件是一等品的概率；

（Ⅱ）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率.20．（本小題滿分12分）

已知數(shù)列{an}是首項為a且公比q不等于1的等比數(shù)列，Sn是其前n項的和，a1,2a7,3a4

成等差數(shù)列.（I）證明

12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列；

（II）求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2.21．（本小題滿分12分）

如圖，已知曲線C1：y=x3(x≥0)與曲線C2:y=－2x3+3x(x≥0)交于O，A,直線x=t(0

（Ⅱ）討論f(t)的單調(diào)性，并求f(t)的最大值.O

t

x

y

D

B

A

C1

C2

B

22．（本小題滿分14分）

如圖，過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P（0,m）(m>0)作直線與拋物線交于A,B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點

（I）設(shè)點P分有向線段所成的比為，證明:

（II）設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A,B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程.2004年普通高等學(xué)校招生湖南卷文史類類數(shù)學(xué)試題

參考答案

1.D

2.D

3.C

4.A

5.C

6.B

7.D

8.D

9.A

10.C

11.B

12.A

13．2x－y+4=0

14．84

15．2

16．17．（本小題滿分12分）

解：由

于是

18．（Ⅰ）證法一

因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2

知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.因為

所以、、共面.又PB平面EAC，所以PB//平面EAC.證法二

同證法一得PA⊥平面ABCD.連結(jié)BD，設(shè)BDAC=O，則O為BD的中點.連結(jié)OE，因為E是PD的中點，所以PB//OE.又PB平面EAC，OE平面EAC，故PB//平面EAC.（Ⅱ）解

作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角.又E是PD的中點，從而G是AD的中點，所以

19．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件.①

②

③

由題設(shè)條件有

由①、③得

代入②得

27[P(C)]2－51P(C)+22=0.解得

（舍去）.將

分別代入

③、②

可得

即甲、乙、丙三臺機(jī)床各加工的零件是一等品的概率分別是

（Ⅱ）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的事件，則

故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的概率為

20．（Ⅰ）證明

由成等差數(shù)列，得，即

變形得

所以（舍去）.由

得

所以12S3，S6，S12－S6成等比數(shù)列.（Ⅱ）解：

即

①

①×得：

所以

21．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）由得交點O、A的坐標(biāo)分別是（0，0），（1，1）.即

（Ⅱ）

令

解得

當(dāng)從而在區(qū)間上是增函數(shù)；

當(dāng)從而在區(qū)間上是減函數(shù).所以當(dāng)

時，有最大值為

22．解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)直線AB的方程為

代入拋物線方程得

①

設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別是、、x2是方程①的兩根.所以

由點P（0，m）分有向線段所成的比為，得

又點Q是點P關(guān)于原點的對稱點，故點Q的坐標(biāo)是（0，－m），從而.所以

（Ⅱ）由

得點A、B的坐標(biāo)分別是（6，9）、（－4，4）.由

得

所以拋物線

在點A處切線的斜率為

設(shè)圓C的方程是

則

解之得

所以圓C的方程是

即