1984年普通高等學校招生全國統一考試理科數學試題及答案

（這份試題共八道大題，滿分120分第九題是附加題，滿分10分，不計入總分）

一．（本題滿分15分）本題共有5小題，每小題都給出代號為A，B，C，D的四個結論，其中只有一個結論是正確的把正確結論的代號寫在題后的圓括號內每一個小題：選對的得3分;不選，選錯或者選出的代號超過一個的（不論是否都寫在圓括號內），一律得負1分

1．數集X={（2n+1）π，n是整數}與數集Y={（4k1）π，k是整數}之間的關系是

（C）

（A）XY

（B）XY

（C）X=Y

（D）X≠Y

2．如果圓x2+y2+Gx+Ey+F=0與x軸相切于原點，那么（C）

（A）F=0，G≠0，E≠0.（B）E=0，F=0，G≠0.（C）G=0，F=0，E≠0.（D）G=0，E=0，F≠0.3.如果n是正整數，那么的值

（B）

（A）一定是零

（B）一定是偶數

（C）是整數但不一定是偶數

（D）不一定是整數

4.大于的充分條件是

（A）

（A）

（B）

（C）

（D）

5．如果θ是第二象限角，且滿足那么

（A）是第一象限角

（B）是第三象限角

（B）

（C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角

（D）是第二象限角

二．（本題滿分24分）本題共6小題，每一個小題滿分4分只要求直接寫出結果）

1．已知圓柱的側面展開圖是邊長為2與4的矩形，求圓柱的體積

答：

2.函數在什么區間上是增函數？

答：x＜-2.3．求方程的解集

答：

4．求的展開式中的常數項

答：-20

5．求的值

答：0

6．要排一張有6個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單，任何兩個舞蹈節目不得相鄰，問有多少種不同的排法（只要求寫出式子，不必計算）

答：

三．（本題滿分12分）本題只要求畫出圖形

1．設畫出函數y=H(x-1)的圖象

2．畫出極坐標方程的曲線

2．O

X

解：

1．Y

0

O

X

四．（本題滿分12分）

已知三個平面兩兩相交，有三條交線求證這三條交線交于一點或互相平行

證：設三個平面為α，β，γ，且

從而c與b或交于一點或互相平行

1．若c與b交于一點，設

∴所以,b,c交于一點（即P點）

P

b

αβ

γ

c

b

α

β

γ

c

2.若c∥b,則由所以,b,c互相平行

五．（本題滿分14分）

設c,d,x為實數，c≠0，x為未知數討論方程在什么情況下有解有解時求出它的解

解：原方程有解的充要條件是：

由條件（4）知，所以再由c≠0，可得

又由及x＞0，知，即條件（2）包含在條件（1）及（4）中

再由條件（3）及，知因此，原條件可簡化為以下的等價條件組：

由條件（1）（6）知這個不等式僅在以下兩種情形下成立：

①c＞0,1-d＞0,即c＞0,d＜1;

②c＜0,1-d＜0,即c＜0,d＞1.再由條件（1）（5）及（6）可知

從而，當c＞0,d＜1且時，或者當c＜0,d＞1且時，原方程有解，它的解是

六．（本題滿分16分）

1．設，實系數一元二次方程有兩個虛數根z1,z2.再設z1,z2在復平面內的對應點是Z1，Z2求以Z1，Z2為焦點且經過原點的橢圓的長軸的長（7分）

2．求經過定點M（1，2），以y軸為準線，離心率為的橢圓的左頂點的軌跡方程（9分）

解：1.因為p,q為實數，z1,z2為虛數，所以

由z1,z2為共軛復數，知Z1，Z2關于x軸對稱，所以橢圓短軸在x軸上又由橢圓經過原點，可知原點為橢圓短軸的一端點

根據橢圓的性質，復數加、減法幾何意義及一元二次方程根與系數的關系，可得橢圓的短軸長=2b=|z1+z2|=2|p|,焦距離=2c=|z1-z2|=,長軸長=2a=

2.因為橢圓經過點M（1，2），且以y軸為準線，所以橢圓在y軸右側，長軸平行于x軸

設橢圓左頂點為A（x,y），因為橢圓的離心率為，所以左頂點A到左焦點F的距離為A到y軸的距離的，從而左焦點F的坐標為

設d為點M到y軸的距離，則d=1

根據及兩點間距離公式，可得

這就是所求的軌跡方程

七．（本題滿分15分）

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為,b,c，且c=10，P為△ABC的內切圓上的動點求點P到頂點A，B，C的距離的平方和的最大值與最小值

解：由，運用正弦定理，有

因為A≠B，所以2A=π-2B，即A+B=

由此可知△ABC是直角三角形

由c=10，如圖，設△ABC的內切圓圓心為O＇，切點分別為D，E，F，則

Y

B（0，6）

D

E

O＇

P（x,y)

X

O

C（0，0）

A（8，0）

AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，所以內切圓半徑r=EC=2.如圖建立坐標系，則內切圓方程為:

(x-2)2+(y-2)2=4

設圓上動點P的坐標為(x,y),則因為P點在內切圓上，所以，S最大值=88-0=88，S最小值=88-16=72

解二：同解一，設內切圓的參數方程為

從而

因為，所以

S最大值=80+8=88，S最小值=80-8=72

八．（本題滿分12分）

設＞2，給定數列{xn},其中x1=,求證：

1．2．

3．1．證：先證明xn＞2(n=1,2,…）用數學歸納法

由條件＞2及x1=知不等式當n=1時成立

假設不等式當n=k(k≥1)時成立

當n=k+1時，因為由條件及歸納假設知

再由歸納假設知不等式成立，所以不等式也成立從而不等式xn＞2對于所有的正整數n成立

(歸納法的第二步也可這樣證：

所以不等式xn>2(n=1,2,…）成立）

再證明由條件及xn>2(n=1,2,…）知

因此不等式也成立

（也可這樣證：對所有正整數n有

還可這樣證：對所有正整數n有

所以）

2．證一：用數學歸納法由條件x1=≤3知不等式當n=1時成立

假設不等式當n=k(k≥1)時成立

當n=k+1時，由條件及知

再由及歸納假設知，上面最后一個不等式一定成立，所以不等式也成立，從而不等式對所有的正整數n成立

證二：用數學歸納法證不等式當n=k+1時成立用以下證法：

由條件知再由及歸納假設可得

3．證：先證明若這是因為

然后用反證法若當時，有則由第1小題知

因此，由上面證明的結論及x1=可得

即，這與假設矛盾所以本小題的結論成立

九．（附加題，本題滿分10分，不計入總分）

⌒

如圖，已知圓心為O、半徑為1的圓與直線L相切于點A，一動點P自切點A沿直線L向右移動時，取弧AC的長為，直線PC與直線AO交于點M又知當AP=時，點P的速度為V求這時點M的速度

M

O

D

θ

C

A

P

L

⌒

解：作CD⊥AM，并設AP=x，AM=y，∠COD=θ由假設，AC的長為，半徑OC=1，可知θ

考慮

∵△APM∽△DCM，而

（有資料表明八四年試題為歷年來最難的一次）