1983年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案
（這份試題共九道大題，滿分120分）
一．（本題滿分10分）本題共有5小題，每小題都給出代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的把正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的圓括號(hào)內(nèi)每一個(gè)小題：選對(duì)的得2分;不選，選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過一個(gè)的（不論是否都寫在圓括號(hào)內(nèi)），一律得0分
1．兩條異面直線，指的是
（D）
（A）在空間內(nèi)不相交的兩條直線
（B）分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線
（C）某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線
（D）不在同一平面內(nèi)的兩條直線
2．方程x2-y2=0表示的圖形是
（A）
（A）兩條相交直線
（B）兩條平行直線
（C）兩條重合直線
（D）一個(gè)點(diǎn)
3．三個(gè)數(shù)a,b,c不全為零的充要條件是
（D）
（A）a,b,c都不是零
（B）a,b,c中最多有一個(gè)是零
（C）a,b,c中只有一個(gè)是零（D）a,b,c中至少有一個(gè)不是零
4．設(shè)則的值是
（C）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．這三個(gè)數(shù)之間的大小順序是
（C）
（A）
（B）
（C）
（D）
二．（本題滿分12分）
1．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別畫出兩個(gè)方程的圖形，并寫出它們交點(diǎn)的坐標(biāo)
2．在極坐標(biāo)系內(nèi)，方程表示什么曲線？畫出它的圖形
解：
Y
O
X
P
1.圖形如左圖所示
交點(diǎn)坐標(biāo)是：O（0，0），P（1，-1）
O
X
(,0)
2．曲線名稱是：圓
圖形如右所示
三．（本題滿分12分）
1．已知，求微分
2．一個(gè)小組共有10名同學(xué)，其中4名是女同學(xué)，6名是男同學(xué)要從小組內(nèi)選出3名代表，其中至少有1名女同學(xué)，求一共有多少種選法
解：1.2．
或：
四．（本題滿分12分）
計(jì)算行列式（要求結(jié)果最簡(jiǎn)）：
解：把第一列乘以加到第2列上，再把第三列乘以加到第2列上，得
五．（本題滿分15分）
1．證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，復(fù)數(shù)的模
適合2．當(dāng)實(shí)數(shù)t取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)的幅角主值適合？
1．證：復(fù)數(shù)（其中t
是實(shí)數(shù)）的模為
要證對(duì)任意實(shí)數(shù)t，有，只要證對(duì)任意實(shí)數(shù)t，成立
對(duì)任意實(shí)數(shù)t，因?yàn)椋钥闪?/p>
且，于是
2．因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部都是非負(fù)數(shù)，所以z的幅角主值一定適合從而
顯然因?yàn)?/p>
由于
這就是所求的實(shí)數(shù)t的取值范圍
六．（本題滿分15分）
如圖，在三棱錐S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是側(cè)棱SC上的一點(diǎn)，使截面MAB與底面所成的角等
S
M
P
C
A
N
D
B
于∠NSC，求證SC垂直于截面MAB
證：因?yàn)镾N是底面的垂線，NC是斜線SC在底面上的射影，AB⊥NC，所以AB⊥SC（三垂線定理）
連結(jié)DM因?yàn)锳B⊥DC，AB⊥SC，所以AB垂直于DC和SC所決定的平面又因DM在這個(gè)平面內(nèi)，所以AB⊥DM
∴∠MDC是截面與底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC
在△MDC和△NSC中，因?yàn)椤螹DC=∠NSC，∠DCS是公共角，所以∠DMC=∠SNC=900從而DM⊥SC從AB⊥SC，DM⊥SC，可知SC⊥截面MAB
七．（本題滿分16分）
如圖，已知橢圓長(zhǎng)軸|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，過橢圓焦點(diǎn)F1作一直線，交橢圓于兩點(diǎn)M，N設(shè)∠F2F1M=α（0≤α＜π）當(dāng)α取什么值時(shí)，|MN|等于橢圓短軸的長(zhǎng)？
Y
M
α
A1
F1
O
F2
A
X
N
解一：以橢圓焦點(diǎn)F1為極點(diǎn)，以F1為起點(diǎn)并過F2的射線為極軸建立極坐標(biāo)系
由已知條件可知橢圓長(zhǎng)半軸a=3，半焦距c=，短半軸b=1，離心率e=，中心到準(zhǔn)線距離=,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離p=.橢圓的極坐標(biāo)方程為
解得
以上解方程過程中的每一步都是可逆的，所以當(dāng)或時(shí)，|MN|等于短軸的長(zhǎng)
解二：以橢圓的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)1F2所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）由已知條件知，橢圓的方程為
MN所在直線方程為
解方程組
消去y得.下同解法一
解三：建立坐標(biāo)系得橢圓如解二，MN所在直線的參數(shù)方程為
代入橢圓方程得
設(shè)t1,t2是方程兩根，則由韋達(dá)定理，下同解一
解四：設(shè)|F1M|=x,則|F2M|=6-x|F1F2|=，∠F2F1M=α
在△MF1F2中由余弦定理得
同理，設(shè)|F1N|=y，則|F2N|=6-y在△F1F2N中，由余弦定理得
下同解一
八．（本題滿分16分）
已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=b(b≠0），它的前n項(xiàng)的和Sn=a1+a2+…+an
(n≥1),并且S1，S2，Sn，…是一個(gè)等比數(shù)列，其公比為p（p≠0且|p|＜1）
1．證明：a2,a3,a3,…an,…(即{an}從第二項(xiàng)起）是一個(gè)等比數(shù)列
2．設(shè)Wn=a1S1+a2S2+a3S3+…+anSn(n≥1),求（用b,p表示）
1．證：由已知條件得S1=a1=b.Sn=S1pn-1=bpn-1(n≥1）
因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，Sn=a1+a2+…+an-1+an=Sn-1+an,所以
an=Sn-Sn-1=bpn-2(p-1)(n≥2)從而
因此a2,a3,a3,…an,…是一個(gè)公比為p的等比數(shù)列
2．解：當(dāng)n≥2時(shí)，且由已知條件可知p2<1，因此數(shù)列a1S1，a2S2，a3S3，…anSn…是公比為p2<1的無窮等比數(shù)列于是
從而
九．（本題滿分12分）
1．已知a,b為實(shí)數(shù)，并且e
1．證：當(dāng)e
考慮函數(shù)因?yàn)榈珪r(shí)，所以函數(shù)內(nèi)是減函數(shù)
因?yàn)閑
2．證一：由ab=ba，得blna=alnb，從而
考慮函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)是
因?yàn)樵冢?，1）內(nèi)，所以f(x)在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)
由于0 所以a=b 證二：因?yàn)? 假如a 矛盾 所以a不能小于b 假如a>b，則，而，這也與矛盾 所以a不能大于b因此a=b 證三：假如a 即ab 假如b 因此a=b
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