1982年普通高等學校招生全國統一考試

數學（理科）

一．（本題滿分6分）

填表：

函

數

使函數有意義的x的實數范圍

{0}

R

R

[-1,1]

(0,+∞）

R

解：見上表

二．（本題滿分9分）

1．求（-1+i)20展開式中第15項的數值;

2．求的導數

解：1.第15項T15=

2.三．（本題滿分9分）

Y

X

O

Y

O

X

在平面直角坐標系內，下列方程表示什么曲線？畫出它們的圖形

1．2．

解：1.得2x-3y-6=0圖形是直線

2.化為圖形是橢圓

四．（本題滿分12分）

已知圓錐體的底面半徑為R，高為H

求內接于這個圓錐體并且體積最大的圓柱體的高h（如圖）

A

D

c

H

h

B

E

O

2R

解：設圓柱體半徑為r高為h

由△ACD∽△AOB得

由此得

圓柱體體積

由題意，H＞h＞0，利用均值不等式，有

（注：原“解一”對h求導由駐點解得）

五．（本題滿分15分）

（要寫出比較過程）

解一：當>1時，解二：

六．（本題滿分16分）

A

M

P（ρ，θ）

X

O

N

B

如圖：已知銳角∠AOB=2α內有動點P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四邊形PMON的面積等于常數c2今以O為極點，∠AOB的角平分線OX為極軸，求動點P的軌跡的極坐標方程，并說明它表示什么曲線

解：設P的極點坐標為（ρ，θ）∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，OM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ),ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ),四邊形PMON的面積

這個方程表示雙曲線由題意，動點P的軌跡是雙曲線右面一支在∠AOB內的一部分

七．（本題滿分16分）

已知空間四邊形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA的中點（如圖）求證MNPQ是一個矩形

B

M

R

A

N

Q

D

K

S

P

C

證：連結AC，在△ABC中，∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC

在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，∴QP∥AC∴MN∥QP

同理，連結BD可證MQ∥NP

∴MNPQ是平行四邊形

取AC的中點K，連BK，DK

∵AB=BC，∴BK⊥AC，∵AD=DC，∴DK⊥AC因此平面BKD與AC垂直

∵BD在平面BKD內，∴BD⊥AC∵MQ∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP為直角故MNPQ是矩形

八．（本題滿分18分）

Y

x2=2qy

y2=2px

A1

O

A2

A3

X

拋物線y2=2px的內接三角形有兩邊與拋物線x2=2qy相切，證明這個三角形的第三邊也與x2=2qy相切

解：不失一般性，設p>0,q>0.又設y2=2px的內接三角形頂點為

A1（x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)

因此y12=2px1，y22=2px2，y32=2px3

其中y1≠y2,y2≠y3,y3≠y1

.依題意，設A1A2，A2A3與拋物線x2=2qy相切，要證A3A1也與拋物線x2=2qy相切

因為x2=2qy在原點O處的切線是y2=2px的對稱軸，所以原點O不能是所設內接三角形的頂點即（x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，都不能是（0，0）;又因A1A2與x2=2qy相切，所以A1A2不能與Y軸平行，即x1≠x2,y1≠-y2,直線A1A2的方程是

同理由于A2A3與拋物線x2=2qy相切，A2A3也不能與Y軸平行，即

x2≠x3,y2≠-y3,同樣得到

由（1）（2）兩方程及y2≠0,y1≠y3,得y1+y2+y3=0.由上式及y2≠0,得y3≠-y1，也就是A3A1也不能與Y軸平行今將y2=-y1-y3代入（1）式得：

(3)式說明A3A1與拋物線x2=2qy的兩個交點重合，即A3A1與拋物線x2=2qy相切所以只要A1A2，A2A3與拋物線x2=2qy相切，則A3A1也與拋物線x2=2qy相切

九．（附加題，本題滿分20分，計入總分）

已知數列和數列其中

1．用p,q,r,n表示bn，并用數學歸納法加以證明;

2．求

解：1.∵1=p,n=pn-1,∴n=pn.又b1=q,b2=q1+rb1=q(p+r),b3=q2+rb2=q(p2+pq+r2),…

設想

用數學歸納法證明：

當n=2時，等式成立;

設當n=k時，等式成立，即

則bk+1=qk+rbk=

即n=k+1時等式也成立

所以對于一切自然數n≥2，都成立