2004年普通高等學校招生浙江卷文史類數學試題

第Ⅰ卷

(選擇題

共60分)

一.選擇題:

本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.(1)

若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},則=

(A)

{1,2,3}

(B)

{4}

(C)

{1,3,4}

(D)

{2}

（2）直線y=2與直線x+y—2=0的夾角是

（A）

（B）

（C）

（D）

(3)

已知等差數列的公差為2,若成等比數列,則=

(A)

–4

(B)

–6

(C)

–8

(D)

–10

（4）已知向量且∥，則=

（A）

（B）

（C）

（D）

（5）點P從（1，0）出發，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達Q點，則Q的坐標為

（A）（（B）（（C）（（D）（（6）曲線y2=4x關于直線x=2對稱的曲線方程是

（A）y2=8--4x

（B）y2=4x—8

（C）y2=16--4x

（D）y2=4x—16

(7)

若展開式中存在常數項,則n的值可以是

(A)

(B)

(C)

(D)

(8)“”“A=30o”的(A)

充分而不必要條件

(B)

必要而不充分條件

(C)

充分必要條件

(D)

既不充分也必要條件

(9)若函數的定義域和值域都是[0，1]，則a=

（A）

（B）

（C）

（D）2

（10）如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為α，則α=

（A）（B）（C）（D）

（11）橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，線段F1F2被點（，0）分成5：3兩段，則此橢圓的離心率為

（A）

（B）

（C）

（D）

（12）若和g(x)都是定義在實數集R上的函數，且方程有實數解，則不可能是

（A）

（B）

（C）

（D）

第Ⅱ卷

（非選擇題

共90分）

二.填空題：三大題共4小題，每小題4分，滿分16分把答案填在題中橫線上

（13）已知則不等式的解集是

（14）已知平面上三點A、B、C滿足則的值等于

（15）已知平面α⊥β，=，P是空間一點，且P到α、β的距離分別是1、2，則點P到的距離為

（16）設坐標平面內有一個質點從原點出發，沿x軸跳動，每次向正方向或負方向跳1個單位，經過5次跳動質點落在點（3，0）（允許重復過此點）處，則質點不同的運動方法共有

種（用數字作答）

三.解答題：本大題共6小題，滿分74分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟

（17）（本題滿分12分）

已知數列的前n項和為

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求證數列是等比數列

（18）（本題滿分12分）

在ΔABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求bc的最大值

（19）（19）（本題滿分12分）

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點

（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求證AM⊥平面BDF；

（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小；

（20）（本題滿分12分）

某地區有5個工廠，由于用電緊缺，規定每個工廠在一周內必須選擇某一天停電（選哪一天是等可能的）假定工廠之間的選擇互不影響

（Ⅰ）求5個工廠均選擇星期日停電的概率；

（Ⅱ）求至少有兩個工廠選擇同一天停電的概率

（21）（本題滿分12分）

已知a為實數，（Ⅰ）求導數；

（Ⅱ）若，求在[--2，2]

上的最大值和最小值；

（Ⅲ）若在（--∞，--2]和[2，+∞）上都是遞增的，求a的取值范圍

（22）（本題滿分14分）

已知雙曲線的中心在原點，右頂點為A（1，0）點P、Q在雙

曲線的右支上，支M（m,0）到直線AP的距離為1

（Ⅰ）若直線AP的斜率為k，且，求實數m的取值范圍；

（Ⅱ）當時，ΔAPQ的內心恰好是點M，求此雙曲

線的方程

2004年普通高等學校招生浙江卷文史類數學試題

參考答案

一選擇題本大題共12小題,每小題5分,共60分

1.B

2.A

3.B

4.A

5.A

6.C

7.C

8.B

9.D

10.D

11D

12.B

二.填空題

(本大題共4小題,每小題4分,共16分)

13.14.–4

15.16.5

三.解答題

17.解:

(Ⅰ)由,得

∴

又,即,得

.(Ⅱ)當n>1時,得所以是首項,公比為的等比數列.(12分)

(18)

解:

(Ⅰ)

=

=

=

=

(Ⅱ)

∵

∴,又∵

∴

當且僅當

b=c=時,bc=,故bc的最大值是.(19)

(滿分12分)

方法一

解:

(Ⅰ)記AC與BD的交點為O,連接OE,∵O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，∴四邊形AOEM是平行四邊形，∴AM∥OE

∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE

(Ⅱ)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂線定理得BS⊥DF

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角

在RtΔASB中，∴

∴二面角A—DF—B的大小為60o

（Ⅲ）設CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF

在RtΔPQF中，∠FPQ=60o，PF=2PQ

∵ΔPAQ為等腰直角三角形，∴

又∵ΔPAF為直角三角形，∴，∴

所以t=1或t=3(舍去)

即點P是AC的中點

方法二

（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系

設，連接NE，則點N、E的坐標分別是（、（0,0,1）,∴

=(,又點A、M的坐標分別是

（）、（∴

=（∴=且NE與AM不共線，∴NE∥AM

又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF

（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF

∴AB⊥平面ADF

∴為平面DAF的法向量

∵=（·=0，∴=（·=0得,∴NE為平面BDF的法向量

∴cos<>=

∴的夾角是60o

即所求二面角A—DF—B的大小是60o

（Ⅲ）設P(t,t,0)(0≤t≤)得

∴=（，0，0）

又∵PF和CD所成的角是60o

∴

解得或（舍去），即點P是AC的中點

(20)

解:

(Ⅰ)設5個工廠均選擇星期日停電的事件為A,則.(Ⅱ)設5個工廠選擇的停電時間各不相同的事件為B,則

因為至少有兩個工廠選擇同一天停電的事件是,所以

(12分)

(21)

解:

(Ⅰ)由原式得

∴

(Ⅱ)由

得,此時有.由得或x=-1,又

所以f(x)在[--2,2]上的最大值為最小值為

(Ⅲ)解法一:的圖象為開口向上且過點(0,--4)的拋物線,由條件得

即

∴--2≤a≤2.所以a的取值范圍為[--2,2].解法二:令即

由求根公式得:

所以在和上非負.由題意可知,當x≤-2或x≥2時,≥0,從而x1≥-2,x2≤2,即

解不等式組得:

--2≤a≤2.∴a的取值范圍是[--2,2].(22)

(滿分14分)

解:

(Ⅰ)由條件得直線AP的方程(即.又因為點M到直線AP的距離為1,所以

得.∵

∴≤≤2,解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--.∴m的取值范圍是

(Ⅱ)可設雙曲線方程為

由

得.又因為M是ΔAPQ的內心,M到AP的距離為1,所以∠MAP=45o,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1因此，（不妨設P在第一象限）

直線PQ方程為

直線AP的方程y=x-1,∴解得P的坐標是（2+，1+），將P點坐標代入得，所以所求雙曲線方程為

即