2016年普通高等學校招生全國統一考試(浙江卷)

數學試題（理工類）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．

1.已知集合則（）

A．[2,3]

B．（-2,3

]

C．[1,2)

D．

【答案】B

考點：1、一元二次不等式；2、集合的并集、補集．

【易錯點睛】解一元二次不等式時，的系數一定要保證為正數，若的系數是負數，一定要化為正數，否則很容易出錯．

2.已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足

則（）

A．m∥l

B．m∥n

C．n⊥l

D．m⊥n

【答案】C

【解析】

試題分析：由題意知，．故選C．

考點：空間點、線、面的位置關系．

【思路點睛】解決這類空間點、線、面的位置關系問題，一般是借助長方體（或正方體），能形象直觀地看出空間點、線、面的位置關系．

3.在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影．由區域

中的點在直線x+y2=0上的投影構成的線段記為AB，則│AB│=（）

A．2

B．4

C．3

D．

【答案】C

【解析】

考點：線性規劃．

【思路點睛】先根據不等式組畫出可行域，再根據題目中的定義確定的值．畫不等式組所表示的平面區域時要注意通過特殊點驗證，防止出現錯誤．

4.命題“，使得”的否定形式是（）

A．，使得

B．，使得

C．，使得

D．，使得

【答案】D

【解析】

試題分析：的否定是，的否定是，的否定是．故選D．

考點：全稱命題與特稱命題的否定．

【方法點睛】全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．對含有存在（全稱）量詞的命題進行否定需要兩步操作：①將存在（全稱）量詞改成全稱（存在）量詞；②將結論加以否定．

5.設函數，則的最小正周期（）

A．與b有關，且與c有關

B．與b有關，但與c無關

C．與b無關，且與c無關

D．與b無關，但與c有關

【答案】B

考點：1、降冪公式；2、三角函數的最小正周期．

【思路點睛】先利用三角恒等變換（降冪公式）化簡函數，再判斷和的取值是否影響函數的最小正周期．

6.如圖，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，（）.若（）

A．是等差數列

B．是等差數列

C．是等差數列

D．是等差數列

【答案】A

【解析】

試題分析：表示點到對面直線的距離（設為）乘以長度一半，即，由題目中條件可知的長度為定值，那么我們需要知道的關系式，過作垂直得到初始距離，那么和兩個垂足構成了等腰梯形，那么，其中為兩條線的夾角，即為定值，那么，作差后：，都為定值，所以為定值．故選A．

考點：等差數列的定義．

【思路點睛】先求出的高，再求出和的面積和，進而根據等差數列的定義可得為定值，即可得是等差數列．

7.已知橢圓C1：+y2=1(m>1)與雙曲線C2：–y2=1(n>0)的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則（）

A．m>n且e1e2>1

B．m>n且e1e2<1

C．m1

D．m

【答案】A

考點：1、橢圓的簡單幾何性質；2、雙曲線的簡單幾何性質．

【易錯點睛】計算橢圓的焦點時，要注意；計算雙曲線的焦點時，要注意．否則很容易出現錯誤．

8.已知實數a，b，c（）

A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2<100

B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，則a2+b2+c2<100

C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，則a2+b2+c2<100

D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，則a2+b2+c2<100

【答案】D

【解析】

試題分析：舉反例排除法：

A.令，排除此選項，B.令，排除此選項，C.令，排除此選項，故選D．

考點：不等式的性質．

【方法點睛】對于判斷不等式恒成立問題，一般采用舉反例排除法．解答本題時能夠對四個選項逐個利用賦值的方式進行排除，確認成立的不等式．

二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．

9.若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y軸的距離是_______．

【答案】

【解析】

試題分析：

考點：拋物線的定義．

【思路點睛】當題目中出現拋物線上的點到焦點的距離時，一般會想到轉化為拋物線上的點到準線的距離．解答本題時轉化為拋物線上的點到準線的距離，進而可得點到軸的距離．

10.已知2cos2x+sin

2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，則A=______，b=________．

【答案】

考點：1、降冪公式；2、輔助角公式．

【思路點睛】解答本題時先用降冪公式化簡，再用輔助角公式化簡，進而對照可得和．

11.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是

cm2，體積是

cm3.【答案】

【解析】

試題分析：幾何體為兩個相同長方體組合，長方體的長寬高分別為4,2,2，所以體積為，由于兩個長方體重疊部分為一個邊長為2的正方形，所以表面積為

考點：1、三視圖；2、空間幾何體的表面積與體積．

【方法點睛】解決由三視圖求空間幾何體的表面積與體積問題，一般是先根據三視圖確定該幾何體的結構特征，再準確利用幾何體的表面積與體積公式計算該幾何體的表面積與體積．

12.已知a>b>1.若logab+logba=，ab=ba，則a=，b=

.【答案】

考點：1、指數運算；2、對數運算．

【易錯點睛】在解方程時，要注意，若沒注意到，方程的根有兩個，由于增根導致錯誤．

13.設數列{an}的前n項和為Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，則a1=，S5=

.【答案】

【解析】

試題分析：，再由，又，所以

考點：1、等比數列的定義；2、等比數列的前項和．

【易錯點睛】由轉化為的過程中，一定要檢驗當時是否滿足，否則很容易出現錯誤．

14.如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是

.【答案】

由余弦定理可得，所以.過作直線的垂線，垂足為.設

則，即，解得.而的面積.（2）當時，有，故.此時，.由（1）可知，函數在單調遞減，故.綜上，四面體的體積的最大值為.考點：1、空間幾何體的體積；2、用導數研究函數的最值．

【思路點睛】先根據已知條件求出四面體的體積，再對的取值范圍討論，用導數研究函數的單調性，進而可得四面體的體積的最大值．

15.已知向量a、b,｜a｜

=1，｜b｜

=2，若對任意單位向量e，均有

｜a·e｜+｜b·e｜,則a·b的最大值是

．

【答案】

考點：平面向量的數量積．

【易錯點睛】在兩邊同時平方，轉化為的過程中，很容易忘記右邊的進行平方而導致錯誤．

三、解答題：本大題共5小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

16.（本題滿分14分）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b+c=2a

cos

B.（I）證明：A=2B；

（II）若△ABC的面積，求角A的大小.【答案】（I）證明見解析；（II）或．

試題分析：（I）先由正弦定理可得，進而由兩角和的正弦公式可得，再判斷的取值范圍，進而可證；（II）先由三角形的面積公式可得，進而由二倍角公式可得，再利用三角形的內角和可得角的大小．

試題解析：（I）由正弦定理得，故，于是．

又，故，所以

或，因此（舍去）或，所以，．

考點：1、正弦定理；2、兩角和的正弦公式；3、三角形的面積公式；4、二倍角的正弦公式．

【思路點睛】（I）用正弦定理將邊轉化為角，進而用兩角和的正弦公式轉化為含有，的式子，根據角的范圍可證；（II）先由三角形的面積公式及二倍角公式可得含有，的式子，再利用三角形的內角和可得角的大小．

17.(本題滿分15分)如圖,在三棱臺中,平面平面，BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(I)求證：EF⊥平面ACFD；

(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【答案】（I）證明見解析；（II）．[

【解析】

試題分析：（I）先證，再證，進而可證平面；（II）方法一：先找二面角的平面角，再在中計算，即可得二面角的平面角的余弦值；方法二：

先建立空間直角坐標系，再計算平面和平面的法向量，進而可得二面角的平面角的余弦值．

（II）方法一：

過點作，連結．

因為平面，所以，則平面，所以．

所以，是二面角的平面角．

在中，，得．

在中，，得．

所以，二面角的平面角的余弦值為．

方法二：

如圖，延長，相交于一點，則為等邊三角形．

取的中點，則，又平面平面，所以，平面．

以點為原點，分別以射線，的方向為，的正方向，建立空間直角坐標系．

由題意得，，，．

因此，，．

考點：1、線面垂直；2、二面角．

【方法點睛】解題時一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則很容易出現錯誤．證明線面垂直的關鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對角線．

18.（本小題15分）已知，函數F（x）=min{2|x?1|，x2?2ax+4a?2}，其中min{p，q}=

（I）求使得等式F（x）=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范圍；

（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；

（ii）求F（x）在區間[0,6]上的最大值M（a）.【答案】（I）；（II）（i）；（ii）．

（II）（i）設函數，則，所以，由的定義知，即

．

（ii）當時，當時，．

所以，．

考點：1、函數的單調性與最值；2、分段函數；3、不等式．

【思路點睛】（I）根據的取值范圍化簡，即可得使得等式成立的的取值范圍；（II）（i）先求函數和的最小值，再根據的定義可得；（ii）根據的取值范圍求出的最大值，進而可得．

19.（本題滿分15分）如圖，設橢圓（a＞1）.（I）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a、k表示）；

（II）若任意以點A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.【答案】（I）；（II）．

（II）假設圓與橢圓的公共點有個，由對稱性可設軸左側的橢圓上有兩個不同的點，滿足

．

記直線，的斜率分別為，且，．

由（I）知，，故，所以．

由于，得，因此，①

因為①式關于，的方程有解的充要條件是，所以

．

因此，任意以點為圓心的圓與橢圓至多有個公共點的充要條件為，由得，所求離心率的取值范圍為．

考點：1、弦長；2、圓與橢圓的位置關系；3、橢圓的離心率．

【思路點睛】（I）先聯立和，可得交點的橫坐標，再利用弦長公式可得直線被橢圓截得的線段長；（II）利用對稱性及已知條件可得任意以點為圓心的圓與橢圓至多有個公共點時，的取值范圍，進而可得橢圓離心率的取值范圍．

20.（本題滿分15分）設數列滿足，．

（I）證明：，；

（II）若，證明：，．

【答案】（I）證明見解析；（II）證明見解析．

[

（II）任取，由（I）知，對于任意，故

．

從而對于任意，均有

．

考點：1、數列；2、累加法；3、證明不等式．

【思路點睛】（I）先利用三角形不等式及變形得，再用累加法可得，進而可證；（II）由（I）的結論及已知條件可得，再利用的任意性可證．