2007年普通高等學校招生全國統一考試（浙江卷）數學（理工類）全解全析

第I卷（共50分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

（1）“”是“”的（）

Ａ．充分而不必要條件

Ｂ．必要而不充分條件

Ｃ．充分必要條件

Ｄ．既不充分也不必要條件

【答案】：A

【分析】：由可得,可得到,但得不到.故選A.（2）若函數，（其中，）的最小正周期是，且，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】：D

【分析】：由由

故選D.（3）直線關于直線對稱的直線方程是（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】：D

【分析】：解法一(利用相關點法)設所求直線上任一點(x,y),則它關于對稱點為(2-x,y)

在直線上,化簡得故選答案D.解法二：根據直線關于直線對稱的直線斜率是互為相反數得答案A或D,再根據兩直線交點在直線選答案D.（4）要在邊長為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，使整個草坪

都能噴灑到水．假設每個噴水龍頭的噴灑范圍都是半徑為6米的圓面，則需安裝這種噴水龍頭的個數最少是（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】B

【分析】：因為龍頭的噴灑面積為36π，正方形面積為256,故至少三個龍頭。

由于，故三個龍頭肯定不能

保證整個草坪能噴灑到水。當用四個

龍頭時，可將正方形均分四個小正方形，同時將四個龍頭分別放在它們的中心，由于，故可以保證整個草坪能噴灑到水。

（5）已知隨機變量服從正態分布，則（）

A．

B．

C．

D，【答案】：A

【分析】：由又

故選A.（6）若兩條異面直線外的任意一點，則（）

Ａ．過點有且僅有一條直線與都平行

Ｂ．過點有且僅有一條直線與都垂直

Ｃ．過點有且僅有一條直線與都相交

Ｄ．過點有且僅有一條直線與都異面

【答案】：B

【分析】：設過點P的直線為，若與l、m都平行，則l、m平行，與已知矛盾，故選項A錯誤。

由于l、m只有惟一的公垂線，而過點P與

公垂線平行的直線只有一條，故B正確。

對于選項C、D可參考右圖的正方體，設AD為直線l，為直線m;

若點P在P1點，則顯然無法作出直線與兩直線都相交，故選項C錯誤。

若P在P2點，則由圖中可知直線均與l、m異面，故選項D錯誤。

（7）若非零向量滿足，則（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】：C

【分析】：

由于是非零向量，則必有故上式中等號不成立。

∴。故選C.（8）設是函數的導函數，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（）

y

x

O

y

x

O

y

x

O

y

x

O

A．

B．

C．

D．

【答案】：D

【分析】：檢驗易知A、B、C均適合，D中不管哪個為均不成立。

（9）已知雙曲線的左、右焦點分別為，是準線上一點，且，則雙曲線的離心率是（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】：B

【分析】：設準線與x軸交于A點.在中，又,化簡得,故選答案B

（10）設是二次函數，若的值域是，則的值域是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】：C

【分析】：要的值域是，則又是二次函數，定義域連續，故不可能同時結合選項只能選C.第II卷（共100分）

二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．

（11）已知復數，則復數

．

【答案】：

【分析】：

（12）已知，且，則的值是

．

【答案】：

【分析】：本題只需將已知式兩邊平方即可。∵

∴兩邊平方得：，即，∴

.（13）不等式的解集是

．

【答案】：

【分析】：

（14）某書店有11種雜志，2元1本的8種，1元1本的3種.小張用10元錢買雜志

（每種至多買一本，10元錢剛好用完），則不同買法的種數是

（用數字作答）．

【答案】：266

【分析】：根據題意，可有以下兩種情況：①用10元錢買2元1本共有

②用10元錢買2元1本的雜志4本和1元1本的雜志2本共有

故210+56=266.（15）隨機變量的分布列如下：

其中成等差數列，若則的值是

．

【答案】：

【分析】：成等差數列，有

聯立三式得

（16）已知點在二面角的棱上，點在內，且．若對于內異于的任意一點，都有，則二面角的大小是

．

【答案】：

【分析】：設直線OP與平面所成的角為,由最小角原理及恒成立知,只

有作于H,則面,故為.（17）設為實數，若，則的取值范圍是

．

【答案】：

【分析】：作圖易知,設若不成立;

故當且斜率大于等于時方成立.三、解答題：本大題共5小題，共72分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

（18）（本題14分）已知的周長為，且．

（I）求邊的長；

（II）若的面積為，求角的度數．

解：（I）由題意及正弦定理，得，兩式相減，得．

（II）由的面積，得，由余弦定理，得，所以．

（第19題）

（19）（本題14分）在如圖所示的幾何體中，平面，平面，且，是的中點．

（I）求證：；

（II）求與平面所成的角．

本題主要考查空間線面關系、空間向量的概念與運算等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力．滿分14分．

方法一：

（I）證明：因為，是的中點，所以．

又平面，所以．

（II）解：過點作平面，垂足是，連結交延長交于點，連結，．是直線和平面所成的角．

因為平面，所以，又因為平面，所以，則平面，因此．

設，在直角梯形中，是的中點，所以，，得是直角三角形，其中，所以．

在中，所以，故與平面所成的角是．

方法二：

如圖，以點為坐標原點，以，分別為軸和軸，過點作與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標系，設，則，．，．

（I）證明：因為，所以，故．

（II）解：設向量與平面垂直，則，即，．

因為，所以，即，直線與平面所成的角是與夾角的余角，所以，因此直線與平面所成的角是．

（第20題）

（20）（本題14分）如圖，直線與橢圓

交于兩點，記的面積為．

（I）求在，的條件下，的最大值；

（II）當，時，求直線的方程．

本題主要考查橢圓的幾何性質、橢圓與直線的位置關系等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．滿分14分．

（Ⅰ）解：設點的坐標為，點的坐標為，由，解得，所以．

當且僅當時，取到最大值．

（Ⅱ）解：由

得，．

②

設到的距離為，則，又因為，所以，代入②式并整理，得，解得，代入①式檢驗，故直線的方程是

或或，或．

（21）（本題15分）已知數列中的相鄰兩項是關于的方程的兩個根，且．

（I）求，，；

（II）求數列的前項和；

（Ⅲ）記，求證：．

本題主要考查等差、等比數列的基本知識，考查運算及推理能力．滿分15分．

（I）解：方程的兩個根為，當時，所以；

當時，，所以；

當時，，所以時；

當時，，所以．

（II）解：

．

（III）證明：，所以，．當時，，同時，．

綜上，當時，．

（22）（本題15分）設，對任意實數，記．

（I）求函數的單調區間；

（II）求證：（ⅰ）當時，對任意正實數成立；

（Ⅲ）有且僅有一個正實數，使得對任意正實數成立．

本題主要考查函數的基本性質，導數的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力．滿分15分．

（I）解：．由，得．

因為當時，當時，當時，故所求函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是．

（II）證明：（i）方法一：

令，則，當時，由，得，當時，所以在內的最小值是．

故當時，對任意正實數成立．

方法二：

對任意固定的，令，則，由，得．

當時，．

當時，所以當時，取得最大值．

因此當時，對任意正實數成立．

（ii）方法一：

．

由（i）得，對任意正實數成立．

即存在正實數，使得對任意正實數成立．

下面證明的唯一性：

當，時，，由（i）得，再取，得，所以，即時，不滿足對任意都成立．

故有且僅有一個正實數，使得對任意正實數成立．

方法二：對任意，因為關于的最大值是，所以要使

對任意正實數成立的充分必要條件是：，即，①

又因為，不等式①成立的充分必要條件是，所以有且僅有一個正實數，使得對任意正實數成立．