2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（福建卷）數(shù)學(xué)（文史類）全解全析
第I卷
（選擇題共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。
在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）已知全集U=|1,2,3,4,5|,且A＝{2,3,4},B={1,2},則（CUB）等于
A.{2}
B.{5}
C.{3,4}
D.{2,3,4,5}
解析：（CUB）={3，4，5}，（CUB）={3，4}，選C
(2)等比數(shù)列{an}中，a4=4,則a2·a6等于
A.4
B.8
C.16
D.32
解析：a2·a6=
a42=16，選C
(3)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于
A.0
B.C.D.1
解析：sin15°cos75°+cos15°sin105°=
sin215°+cos215°=1，選D
（4）“|x|<2”是“x2-x-6<0”的A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
解析：由|x|<2得-2 x2-x-6<0得-2 （5）函數(shù)y=sin(2x+)的圖象 A.關(guān)于點（，0）對稱 B.關(guān)于直線x=對稱 C.關(guān)于點（，0）對稱 D.關(guān)于直線x=對稱 解析：由2x+=kπ得x=，對稱點為（，0）（），當(dāng)k=1時為（，0），選A （6）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為AA1、AB、BB1、BC1的中點，則異面直線EF與GH所成的角等于 A.45° B.60° C.90° D.120° 解析：連A1B、BC1、A1C1，則A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以異面直線EF與GH所成的角等于.60°，選B （7）已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足的實數(shù)x的取值范圍是 A.（-，1） B.（1，+） C.（-，0）（0，1） D.（-，0）（1，+） 解析：由已知得解得或x>1，選D （8）對于向量a、b、c和實數(shù)，下列命題中真命題是 A.若a·b＝0，則a=0或b=0 B.若a=0,則＝0或a=0 C.若a2=b2,則a=b或a=-b D.若a-b=a·c，則b=c 解析： a⊥b時也有a·b＝0，故A不正確；同理C不正確；由a·b=a·c得不到b=c，如a為零向量或a與b、c垂直時，選B (9)已知m,n為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是 A.∥，n∥ ∥ B.∥，m∥n C.m⊥，m⊥nn∥ D.n∥m,n⊥m⊥ 解析：A中m、n少相交條件，不正確；B中分別在兩個平行平面的兩條直線不一定平行，不正確；C中n可以在內(nèi)，不正確，選D (10)以雙曲線x2-y2=2的右焦點為圓心，且與其右準(zhǔn)線相切的圓的方程是 A.x2+y2-4x-3=0 B.x2+y2-4x+3=0 C.x2+y2+4x-5=0 D.x2+y2+4x+5=0 解析：雙曲線x2-y2=2的右焦點為（2，0），即圓心為（2，0），右準(zhǔn)線為x=1，半徑為1，圓方程為，即x2+y2-4x+3=0，選B (11)已知對任意實數(shù)x,有f（-x）=-f (x)，g(-x)=g(x),且x>0時f’’(x)>0,g’ (x) >0,則x<0時 A.f’(x)>0,g’(x)>0 B.f ’(x)>0,g’(x)<0 C.f ’(x)<0,g’(x)<0 D.f ’ (x)<0,g’(x)<0 解析：由已知f(x)為奇函數(shù),圖像關(guān)于原點對稱,在對稱區(qū)間的單調(diào)性相同;g(x)為偶函數(shù),在對稱區(qū)間的單調(diào)性相反,x>0時f’’(x)>0,g’ (x) >0,遞增,當(dāng)x<0時,f(x) 遞增,f ’(x)>0; g(x)遞減,g’(x)<0,選B (12)某通訊公司推出一組手機卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000個號碼.公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“4”或“7”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為 A.2000 B.4096 C.5904 D.8320 解析：10000個號碼中不含4、7的有84=4096，故這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為10000-4096=5904，選C 第Ⅱ卷（非選擇題 共90分） 二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。 （13）（x2+）6的展開式中常數(shù)項是 .（用數(shù)字作答） 解析：法一：由組合數(shù)性質(zhì)，要使出現(xiàn)常數(shù)項必須取2個x2，4個，故常數(shù)項為 法二：展開后可得常數(shù)項為15 （14）已知實數(shù)x、y滿足則z=2x-y的取值范圍是 .解析：畫出可行域知z=2x-y在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范圍是[-5，7] （15）已知長方形ABCD，AB＝4，BC＝3，則以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的離心率為。 解析：由已知C=2，（16）中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”、“平行關(guān)系”等等.如果集合A中元素之間的一個關(guān)系“-”滿足以下三個條件： （1）自反性：對于任意a∈A,都有a-a; (2)對稱性：對于a,b∈A，若a-b,則有b-a; (3)傳遞性：對于a,b,c∈A,若a-b,b-c,則有a-c.則稱“-”是集合A的一個等價關(guān)系.例如：“數(shù)的相等”是等價關(guān)系，而“直線的平行”不是等價關(guān)系（自反性不成立）.請你再列出兩個等價關(guān)系： .解析：答案不唯一，如“圖形的全等”、“圖形的相似”、“非零向量的共線”、“命題的充要條件”等等.三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（17）（本小題滿分12分） 在△ABC中，tanA=,tanB=.(I)求角C的大小; (II)若AB邊的長為，求BC邊的長 本小題主要考查兩角和差公式，用同角三角函數(shù)關(guān)系等解斜三角形的基本知識以及推理知運算能力.滿分12分.解：（I）∵C＝-(A+B),∴tanC=-tan(A+B)= 又∵0 (II)由且A∈（0，），得sinA= ∵∴BC＝AB·.（18）（本小題滿分12分） 甲、乙兩名跳高運動員一次試跳2米高度成功的概率分別為0.7、0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求： （I）甲試跳三次，第三次才能成功的概率; (II)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率; (III)甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率.本小題主要考查概率的基礎(chǔ)知識，運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，以及推理與運算能力.解：記“甲第i次試跳成功”為事件A1，“乙第i次試跳成功”為事件B1.依題意得P（A1）＝0.7，P（B1）＝0.6，且A1B1（i=1,2,3）相互獨立.(I)“甲第三次試跳才成功”為事件A3，且三次試跳相互獨立，∴P（A3）＝P（）P=0.3×0.3×0.7=0.063.答：甲第三次試跳才成功的概率為0.063.(II)甲、乙兩支在第一次試跳中至少有一人成功為事件C，解法一：C＝A1彼此互斥，∴P（C） ＝ ＝0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6 = 0.88.解法二：P（C）＝1-＝1-0.3×0.4=0.88.答：甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為0.88.（III）設(shè)“甲在兩次試跳中成功i次”為事件Mi（i=0,1,2）,“乙在兩次試跳中成功i次”為事件Ni(i=0,1,2),∵事件“甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次”可表示為M1N0+M2N1,且M1N0、M2N1為互斥事件.∴所求的概率為 ＝×0.7×0.3×0.42+0.72××0.6×0.4 =0.0672+0.2352 =0.3024.答：甲、乙每人試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率為0.3024.（19）（本小題滿分12分） 如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點.(I)求證：AB1⊥平面A1BD; (II)求二面角A-A1D-B的大小.本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，三面角的大小等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力 解法一：（I）取BC中點O，連結(jié)AO.∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC.∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1,∴AO⊥平面BCC1B1,連結(jié)B1O，在正方形BB1C1C中,O、D分別為BC、CC1的中點，∴B1O⊥BD,∴AB1⊥BD.在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD.(II)設(shè)AB1與A1B交于點C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，連結(jié)AF，由（I）得AB1⊥平面A1BD，∴∠AFG為二面A-A1B-B的平面角.在△AA1D中，由等面積法可求得AF＝，又∵AG＝=,∴sin∠AFG=,所以二面角A-A1D-B的大小為arcsin.解法二：（I）取BC中點O，連結(jié)AO.∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC.∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.取B1C1中點O1，以a為原點，的方向為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B（1,0,0）,D (-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0),∴ ∵ ∴⊥⊥,∴AB1⊥平面A1BD.(II)設(shè)平面A1AD的法向量為n=(x,y,z).∵n⊥⊥,∴ ∵ ∴ 令z=1得a=(-,0,1)為平面A1AD的一個法向量.由（I）知AB1⊥A1BD.∴為平面A1BD的法向量.cos 設(shè)函數(shù)f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(I)求f (x)的最小值h(t); (II)若h(t)<-2t+m對t∈(0,2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運用數(shù)學(xué)知識分析問題解決問題的能力.解：（I）∵ （），∴當(dāng)x=-t時，f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g’(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合題意，舍去）.當(dāng)t變化時g’(t)、g(t)的變化情況如下表： T (0,1) (1,2) g’(t) + 0 g(t) 遞增 極大值1-m 遞減 ∴g(t)在（0，2）內(nèi)有最大值g(1)=1-m h(t)<-2t+m在（0，2）內(nèi)恒成立等價于g(t)<0在（0，2）內(nèi)恒成立，即等價于1-m<0 所以m的取值范圍為m>1 （21）（本小題滿分12分） 數(shù)列{an}的前N項和為Sn,a1=1,an+1=2Sn (n∈N*).(I)求數(shù)列{an}的通項an; (II)求數(shù)列｛nan｝的前n項和T.本小題考查數(shù)列的基本知識，考查等比數(shù)列的概念、通項公式及數(shù)列的求和，考查分類討論及歸的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理和運算能力.滿分12分.解：（I）∵an+1=2Sn，∴Sn+1-Sn=2Sn,∴=3.又∵S1＝a1=1,∴數(shù)列｛Sn｝是首項為1、公比為3的等比數(shù)列，Sn=3n-1(n∈N*).∴當(dāng)n2時，an-2Sn-1=2·3n-2(n2),∴an= (II)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.當(dāng)n=1時，T1=1; 當(dāng)n2時，Tn=1+4·30+6·31+2n·3 n-2,…………① 3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,…………② ①-②得：-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3 n-1 =2+2· =-1+(1-2n)·3n-1 ∴Tn=+(n-)3n-1 (n2).又∵Tn=a1=1也滿足上式，∴Tn=+(n-)3n-1(n∈N*) (22)（本小題滿分14分） 如圖，已知點F（1，0），直線l:x=-1,P為平面上的動點，過P作l的垂線，垂足為點Q，且· （I）求動點P的軌跡C的方程; （II）過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M.（1）已知的值; (2)求||·||的最小值.本小題考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力.滿分14分.解法一：（I）設(shè)點P（x,y）,則Q（-1，y）,由得： (x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化簡得C：y2=4x.(II)（1）設(shè)直線AB的方程為： x=my+1(m≠0).設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),又M（-1,-）.聯(lián)立方程組,消去x得： y2-4my-4=0,△ =(-4m)2+12>0,由得：，整理得：,∴ = =-2- =0.解法二：（I）由 ∴·，∴=0,∴ 所以點P的軌跡C是拋物線，由題意，軌跡C的方程為：y2=4x.(II)(1)由已知 則：…………① 過點A、B分別作準(zhǔn)l的垂線，垂足分別為A1、B1,則有：…………② 由①②得： （II）（2）解：由解法一： ·＝（）2|y1-yM||y2-yM| =(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)|+yM2| =(1+m2)|-4+ ×4m+| = =4(2+m2+) 4(2+2)=16.當(dāng)且僅當(dāng)，即m=1時等號成立，所以·最小值為16.
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