2017年普通高等學校招生全國統一考試-理科數學

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合A={x|x<1},B={x|},則（）

A.B.C.D.2.如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（）

A.B.C.D.3.設有下面四個命題

若復數滿足，則；

若復數滿足，則；

若復數滿足，則；

若復數，則.其中的真命題為（）

A.B.C.D.4．記為等差數列的前項和．若，則的公差為（）

A．1

B．2

C．4

D．8

5．函數在單調遞減，且為奇函數．若，則滿足的的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

6.展開式中的系數為（）

A.15

B.20

C.30

D.35

7.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為（）

A.10

B.12

C.14

D.16

8.下面程序框圖是為了求出滿足3n-2n>1000的最小偶數n，那么在和

兩個空白框中，可以分別填入（）

A.A>1000和n=n+1

B.A>1000和n=n+2

C.A1000和n=n+1

D.A1000和n=n+2

9.已知曲線C1：y=cos

x，C2：y=sin

(2x+)，則下面結正確的是（）

A.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2

B.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2

C.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2

D.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2

10.已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（）

A．16

B．14

C．12

D．10

11.設xyz為正數，且，則（）

A．2x<3y<5z

B．5z<2x<3y

C．3y<5z<2x

D．3y<2x<5z

12.幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟件.為激發大家學習數學的興趣，他們退出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是26，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數N：N>100且該數列的前N項和為2的整數冪.那么該款軟件的激活碼是（）

A.440

B.330

C.220

D.110

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|

b

|=1，則|

a

+2

b

|=

.14.設x，y滿足約束條件，則的最小值為

.15.已知雙曲線C：（a>0，b>0）的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點.若∠MAN=60°，則C的離心率為________.16.如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5

cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題：60分.17.（12分）

△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長

18.（12分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且

(1)證明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA=PD=AB=DC，求二面角A-PB-C的余弦值.19．（12分）

為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布N(μ,σ2)．

（1）假設生產狀態正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件數，求P(X≥1)及X的數學期望；

（2）一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．

（ⅰ）試說明上述監控生產過程方法的合理性；

（ⅱ）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04

10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

經計算得，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i=1,2,…,16．

用樣本平均數作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除之外的數據，用剩下的數據估計μ和σ（精確到0.01）．

附：若隨機變量Z服從正態分布N(μ,σ2)，則P(μ–3σ

4，0.997

416≈0.959

2，．

20.（12分）

已知橢圓C：（a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上.（1）求C的方程；

（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.21.（12分）

已知函數=ae2x+（a﹣2）ex﹣x.（1）討論的單調性；

（2）若有兩個零點，求a的取值范圍.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.22．[選修4-4，坐標系與參數方程]（10分）

在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（θ為參數），直線l的參數方程為.（1）若a=-1，求C與l的交點坐標；

（2）若C上的點到l的距離的最大值為，求a.23.[選修4—5：不等式選講]（10分）

已知函數f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.（1）當a=1時，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范圍.【參考答案】

1.A

【解析】，∴，2.B

【解析】設正方形邊長為，則圓半徑為

則正方形的面積為，圓的面積為，圖中黑色部分的概率為

則此點取自黑色部分的概率為.3.B

【解析】設，則，得到，所以.故正確；

若，滿足，而，不滿足，故不正確；

若，則，滿足，而它們實部不相等，不是共軛復數，故不正確；實數沒有虛部，所以它的共軛復數是它本身，也屬于實數，故正確；

4.C

【解析】

聯立求得

得

5.D

【解析】因為為奇函數，所以，于是等價于|

又在單調遞減

故選D

6.C

【解析】

對的項系數為

對的項系數為，∴的系數為故選C

7.B

【解析】由三視圖可畫出立體圖

該立體圖平面內只有兩個相同的梯形的面

8.D

【解析】因為要求大于1000時輸出，且框圖中在“否”時輸出

∴“

”中不能輸入

排除A、B

又要求為偶數，且初始值為0，“

”中依次加2可保證其為偶

故選D

9.D

【解析】，首先曲線、統一為一三角函數名，可將用誘導公式處理．．橫坐標變換需將變成，即．

注意的系數，在右平移需將提到括號外面，這時平移至，根據“左加右減”原則，“”到“”需加上，即再向左平移．

10.A

【解析】設傾斜角為．作垂直準線，垂直軸

易知

同理，又與垂直，即的傾斜角為

而，即．，當取等號

即最小值為，故選A

11.D

【解析】取對數：.則，故選D

12.A

【解析】設首項為第1組，接下來兩項為第2組，再接下來三項為第3組，以此類推設第組的項數為，則組的項數和為

由題，令→且，即出現在第13組之后

第組的和為組總共的和為

若要使前項和為2的整數冪，則項的和應與互為相反數

即

→

則

故選A

13.【解析】

∴

14.【解析】不等式組表示的平面區域如圖所示

由,得，求的最小值，即求直線的縱截距的最大值

當直線過圖中點時，縱截距最大

由解得點坐標為，此時

15.【解析】如圖，∵，∴，∴

又∵，∴，解得

∴

16.【解析】由題，連接，交與點，由題，即的長度與的長度或成正比

設，則，三棱錐的高

則

令，令，即，則

則

體積最大值為

17.解：（1）面積.且

由正弦定理得，由得.（2）由（1）得，又，由余弦定理得

①

由正弦定理得，②

由①②得，即周長為

18.（1）證明：∵

∴，又∵，∴

又∵，、平面

∴平面，又平面

∴平面平面

（2）解：取中點，中點，連接，∵

∴四邊形為平行四邊形

∴

由（1）知，平面

∴平面，又、平面

∴，又∵，∴

∴、、兩兩垂直

∴以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系

設，∴、、、，∴、、設為平面的法向量

由，得

令，則，可得平面的一個法向量

∵，∴

又知平面，平面

∴，又

∴平面

即是平面的一個法向量

∴

由圖知二面角為鈍角，所以它的余弦值為

19.解：（1）由題可知尺寸落在之內的概率為，落

之外的概率為．

由題可知

（2）（i）尺寸落在之外的概率為，由正態分布知尺寸落在之外為小概率事件，因此上述監控生產過程的方法合理．

（ii），需對當天的生產過程檢查．

因此剔除

剔除數據之后：．

20.解：（1）根據橢圓對稱性，必過、又橫坐標為1，橢圓必不過，所以過三點

將代入橢圓方程得，解得，∴橢圓的方程為：．

（2）當斜率不存在時，設

得，此時過橢圓右頂點，不存在兩個交點，故不滿足．

當斜率存在時，設

聯立，整理得,則

又，此時，存在使得成立．

∴直線的方程為

當時，所以過定點．

21.解：（1）由于

故

當時，．從而恒成立．在上單調遞減

當時，令，從而，得．

單調減

極小值

單調增

綜上，當時，在上單調遞減；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增

（2）由（1）知，當時，在上單調減，故在上至多一個零點，不滿足條件．

當時，．

令．

令，則．從而在上單調增，而．故當時，．當時．當時

若，則，故恒成立，從而無零點，不滿足條件．

若，則，故僅有一個實根，不滿足條件．

若，則，注意到．．

故在上有一個實根，而又．

且．

故在上有一個實根．

又在上單調減，在單調增，故在上至多兩個實根．

又在及上均至少有一個實數根，故在上恰有兩個實根．

綜上，．

22.解：（1）時，直線的方程為．

曲線的標準方程是，聯立方程，解得：或，則與交點坐標是和

（2）直線一般式方程是．

設曲線上點．

則到距離，其中．

依題意得：，解得或

23.解：（1）當時，是開口向下，對稱軸的二次函數．，當時，令，解得

在上單調遞增，在上單調遞減

∴此時解集為．

當時，．

當時，單調遞減，單調遞增，且．

綜上所述，解集．

（2）依題意得：在恒成立．

即在恒成立．

則只須，解出：．

故取值范圍是．