2006年普通高等學校招生全國統一考試

上海卷

數學（文史類）

一、填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，只要求直接填寫結果，每個空填對得4分，否則一律得零分。

1、已知，集合，若,則實數。

2、已知兩條直線若，則____.3、若函數的反函數的圖像過點，則。

4、計算：。

5、若復數滿足（為虛數單位），其中則。

6、函數的最小正周期是_________。

7、已知雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,且焦距與虛軸長之比為，則雙曲線的標準方程是____________________.8、方程的解是_______.9、已知實數滿足，則的最大值是_________.10、在一個小組中有8名女同學和4名男同學，從中任意地挑選2名同學擔任交通安全宣傳志愿者，那么選到的兩名都是女同學的概率是______（結果用分數表示）。

11、若曲線與直線沒有公共點，則的取值范圍是_________.12、如圖，平面中兩條直線和相交于點，對于平面上任意一點,若分別是到直線和的距離，則稱有序非負實數對是點的“距離坐標”，根據上述定義，“距離坐標”是（1，2）的點的個數是____________.二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內，選對得4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個（不論是否都寫在圓括號內），一律得零分。

13、如圖，在平行四邊形中，下列結論中錯誤的是

（）

（A）

（B）

（C）

（D）

14、如果，那么，下列不等式中正確的是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

15、若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的（）

（A）充分非必要條件

（B）必要非充分條件

（C）充分必要條件

（D）既非充分又非必要條件

16、如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構成一個“正交線面對”。在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是

（A）48

（B）

（C）

（D）36

三、解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。

17、（本題滿分12分）

已知是第一象限的角，且，求的值。

18、（本題滿分12分）如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方方向相距20海里的處有一艘漁船遇險等待營救。甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里處的乙船，試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往處救援（角度精確到）？

19、（本題滿分14）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。

在直三棱柱中，.（1）求異面直線與所成的角的大小；

（2）若與平面S所成角為，求三棱錐的體積。

20、（本題滿分14）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。設數列的前項和為，且對任意正整數。

（1）求數列的通項公式

（2）設數列的前項和為,對數列，從第幾項起？

21、本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。

已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,設點.（1）求該橢圓的標準方程；

（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；

（3）過原點的直線交橢圓于點，求面積的最大值。

22（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第3小題滿分6分。

已知函數有如下性質：如果常數，那么該函數在上是減函數，在上是增函數。

（1）如果函數在上是減函數，在上是增函數，求的值。

（2）設常數，求函數的最大值和最小值；

（3）當是正整數時，研究函數的單調性，并說明理由。

上海數學(文史類)參考答案

一、(第1題至笫12題)

1.4

2.2

3.4.5.3

6.π

7.8.5

9.0

10.11.－1

12.4

二、(第13題至笫16題)

13.C

14.A

15.A

16.D1、已知，集合，若,則實數。

2、已知兩條直線若，則2.3、若函數＝（＞0，且≠1）的反函數的圖象過點（2，－1），則原函數的圖象過點(－1，2)，∴，＝．

4、計算：。

5、若復數滿足（為虛數單位）為純虛數，其中，則m=2，z=3i。

6、函數=sin2x，它的最小正周期是π。

7、已知雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,則焦點在x軸上，且a=3，焦距與虛軸長之比為，即，解得，則雙曲線的標準方程是.8、方程的解滿足，解得x=5.9、已知實數滿足，在坐標系中畫出可行域，得三個交點為A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，則的最大值是0.10、在一個小組中有8名女同學和4名男同學，從中任意地挑選2名同學擔任交通安全宣傳志愿者，那么選到的兩名都是女同學的概率是.11、曲線得|y|>1，∴

y>1或y<－1，曲線與直線沒有公共點，則的取值范圍是[－1，1].12、如圖，平面中兩條直線和相交于點，對于平面上任意一點,若分別是到直線和的距離，則稱有序非負實數對是點的“距離坐標”，根據上述定義，“距離坐標”是（1，2）的點可以在兩條直線相交所成的四個區域內各找到一個，所以滿足條件的點的個數是4個.二、選擇題：

13.C

14.A

15.A

16.D

A

B

C

D

13．如圖，在平行四邊形ABCD中，根據向量的減法法則知，所以下列結論中錯誤的是C．

14、如果，那么，∴，選A.15、若空間中有兩條直線，若“這兩條直線為異面直線”，則“這兩條直線沒有公共點”；若

“這兩條直線沒有公共點”，則

“這兩條直線可能平行，可能為異面直線”；∴

“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的充分非必要條件，選A.16、如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”，分情況討論：①

對于每一條棱，都可以與兩個側面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12=24個；②

對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個；所以正方體中“正交線面對”共有36個．選D.三、(第17題至笫22題)

17.解：=

由已知可得sin,∴原式=.18.解：連接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.于是,BC=10.∵,∴sin∠ACB=,∵∠ACB<90°

∴∠ACB=41°

∴乙船應朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援.19.解：(1)

∵BC∥B1C1,∴∠ACB為異面直線B1C1與AC所成角(或它的補角)

∵∠ABC=90°,AB=BC=1,∴∠ACB=45°,∴異面直線B1C1與AC所成角為45°.(2)

∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C與平面ABC所成的角,∠ACA

=45°.∵∠ABC=90°,AB=BC=1,AC=,∴AA1=.∴三棱錐A1-ABC的體積V=S△ABC×AA1=.20.解(1)

∵an+

Sn=4096,∴a1+

S1=4096,a1

=2048.當n≥2時,an=

Sn－Sn－1=(4096－an)－(4096－an－1)=

an－1－an

∴=

an=2048()n－1.(2)

∵log2an=log2[2048()n－1]=12－n,∴Tn=(－n2+23n).由Tn<－509,解待n>,而n是正整數,于是,n≥46.∴從第46項起Tn<－509.21.解(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.又橢圓的焦點在x軸上,∴橢圓的標準方程為

(2)設線段PA的中點為M(x,y),點P的坐標是(x0,y0),由

x=

得

x0=2x－1

y=

y0=2y－

由,點P在橢圓上,得,∴線段PA中點M的軌跡方程是.(3)當直線BC垂直于x軸時,BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1.當直線BC不垂直于x軸時,說該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(－,－),則,又點A到直線BC的距離d=,∴△ABC的面積S△ABC=

于是S△ABC=

由≥－1,得S△ABC≤,其中,當k=－時,等號成立.∴S△ABC的最大值是.22.解(1)

由已知得=4,∴b=4.(2)

∵c∈[1,4],∴∈[1,2],于是,當x=時,函數f(x)=x+取得最小值2.f(1)－f(2)=,當1≤c≤2時,函數f(x)的最大值是f(2)=2+；

當2≤c≤4時,函數f(x)的最大值是f(1)=1+c.(3)設0g(x1),函數g(x)在[,+∞)上是增函數；

當0g(x1),函數g(x)在(0,]上是減函數.當n是奇數時,g(x)是奇函數,函數g(x)

在(－∞,－]上是增函數,在[－,0)上是減函數.當n是偶數時,g(x)是偶函數,函數g(x)在(－∞,－)上是減函數,在[－,0]上是增函數.