2008年普通高等學校招生全國統一考試

數

學（理工農醫類）（福建卷）

第Ⅰ卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

(1)若復數(a2-3a+2)+(a-1)i是純虛數，則實數a的值為

A.1

B.2

C.1或2

D.-1

(2)設集合A={x|},B={x|0＜x＜3,那么“mA”是“mB”的A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

(3)設｛an｝是公比為正數的等比數列，若n1=7,a5=16,則數列｛an｝前7項的和為

A.63

B.64

C.127

D.128

(4)函數f(x)=x3+sinx+1(xR)，若f(a)=2,則f(-a)的值為

A.3

B.0

C.-1

D.-2

(5)某一批花生種子，如果每1粒發牙的概率為,那么播下4粒種子恰有2粒發芽的概率是

A.B.C.D.(6)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為

A.B.C.D.(7)某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數為

A.14

B.24

C.28

D.48

(8)若實數x、y滿足，則的取值范圍是

A.(0,1)

B.C.(1,+)

D.(9)函數f(x)=cosx(x)(xR)的圖象按向量(m,0)

平移后，得到函數y=-f′(x)的圖象，則m的值可以為

A.B.C.－

D.－

(10)在△ABC中，角ABC的對邊分別為a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,則角B的值為

A.B.C.或

D.或

(11)又曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為

A.(1,3)

B.C.(3,+)

D.(12)已知函數y=f(x),y=g(x)的導函數的圖象如下圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是

第Ⅱ卷（非選擇題共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在答題卡的相應位置.（13）若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用數字作答)

x=1+cos

(14)若直線3x+4y+m=0與圓

y=-2+sin

（為參數）沒有公共點，則實數m的取值范圍是

.（15）若三棱錐的三個側圓兩兩垂直，且側棱長均為，則其外接球的表面積是.（16）設P是一個數集，且至少含有兩個數，若對任意a、b∈R，都有a+b、a-b，ab、∈P（除數b≠0），則稱P是一個數域.例如有理數集Q是數域；數集也是數域。

有下列命題：

①整數集是數域；

②若有理數集，則數集M必為數域；

③數域必為無限集；

④存在無窮多個數域.其中正確的命題的序號是.（把你認為正確的命題的序號填填上）

三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（17）（本小題滿分12分）

已知向量m=(sinA,cosA),n=，m·n＝1，且A為銳角.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函數的值域.（18）（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點.（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求異面直線PD與CD所成角的大小；

（Ⅲ）線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出　的值；若不存在，請說明理由.（19）（本小題滿分12分）已知函數.（Ⅰ）設{an}是正數組成的數列，前n項和為Sn，其中a1=3.若點(n∈N*)在函數y=f′(x)的圖象上，求證：點（n,Sn）也在y=f′(x)的圖象上；

（Ⅱ）求函數f(x)在區間（a-1,a）內的極值.（20）（本小題滿分12分）

某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當科目A成績合格時，才可繼續參加科

目B的考試.已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證

書.現某人參加這項考試，科目A每次考試成績合格的概率均為，科目B每次考試

成績合格的概率均為.假設各次考試成績合格與否均互不影響.（Ⅰ）求他不需要補考就可獲得證書的概率；

（Ⅱ）在這項考試過程中，假設他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數為，求的數學期望E.（21）（本小題滿分12分）

如圖、橢圓的一個焦點是F（1，0），O為坐標原點.（Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；

（Ⅱ）設過點F的直線l交橢圓于A、B兩點.若直線l繞點F任意轉動，值有,求a的取值范圍.（22）（本小題滿分14分）

已知函數f(x)=ln(1+x)-x1

（Ⅰ）求f(x)的單調區間；

（Ⅱ）記f(x)在區間（n∈N*）上的最小值為bx令an=ln(1+n)-bx.（Ⅲ）如果對一切n，不等式恒成立，求實數c的取值范圍；

（Ⅳ）求證：

數學試題（理工農醫類）參考答案

一、選擇題：本大題考查基本概念和基本運算.每小題5分，滿分60分.（1）B

（2）A

（3）C

（4）B

（5）B

（6）D

（7）A

（8）C

（9）A

（10）D

（11）B

（12）D

二、填空題：本大題考查基礎知識和基本運算.每小題4分，滿分16分.（13）31

（14）

（15）9

（16）③④

三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（17）本小題主要考查平面向量的數量積計算、三角函數的基本公式、三角恒等變換、一元二次函數的最值等基本知識，考查運算能力.滿分12分.解：（Ⅰ）由題意得

由A為銳角得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

所以

因為x∈R，所以，因此，當時，f(x)有最大值.當sinx=-1時，f(x)有最小值-3，所以所求函數f(x)的值域是.（18）本小題主要考查直線與平面的位置關系、異面直線所成角、點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.滿分12分.解法一：

（Ⅰ）證明：在△PAD中PA=PD,O為AD中點，所以PO⊥AD,又側面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD,平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.（Ⅱ）連結BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,有OD∥BC且OD=BC,所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以OB∥DC.由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO為銳角，所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角.因為AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,所以OB＝，在Rt△POA中，因為AP＝，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，tan∠PBO＝

所以異面直線PB與CD所成的角是.（Ⅲ）假設存在點Q，使得它到平面PCD的距離為.設QD＝x，則，由（Ⅱ）得CD=OB=，在Rt△POC中，所以PC=CD=DP,由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在點Q滿足題意，此時.解法二：

(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)以O為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系O-xyz,依題意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以

所以異面直線PB與CD所成的角是arccos，(Ⅲ)假設存在點Q，使得它到平面PCD的距離為，由(Ⅱ)知

設平面PCD的法向量為n=(x0,y0,z0).則所以即，取x0=1,得平面PCD的一個法向量為n=(1,1,1).設由，得解y=-或y=(舍去)，此時，所以存在點Q滿足題意，此時.(19)本小題主要考查函數極值、等差數列等基本知識，考查分類與整合、轉化與化歸等數學思想方法，考查分析問題和解決問題的能力.滿分12分.(Ⅰ)證明：因為所以′(x)=x2+2x,由點在函數y=f′(x)的圖象上,又所以

所以,又因為′(n)=n2+2n,所以,故點也在函數y=f′(x)的圖象上.(Ⅱ)解:,由得.當x變化時,﹑的變化情況如下表:

x

(-∞,-2)

(-2,0)

0

(0,+∞)

f′(x)

+

0

0

+

f(x)

↗

極大值

↘

極小值

↗

注意到,從而

①當,此時無極小值；

②當的極小值為,此時無極大值；

③當既無極大值又無極小值.(20)本小題主要考查概率的基本知識與分類思想,考查運用數學知識分析問題/解愉問題的能力.滿分12分.解:設“科目A第一次考試合格”為事件A，“科目A補考合格”為事件A2；“科目B第一次考試合格”為事件B，“科目B補考合格”為事件B.(Ⅰ)不需要補考就獲得證書的事件為A1·B1,注意到A1與B1相互獨立，則.答：該考生不需要補考就獲得證書的概率為.(Ⅱ)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之間的獨立性與互斥性，可得

故

答：該考生參加考試次數的數學期望為.(21)本小題主要考查直線與橢圓的位置關系、不等式的解法等基本知識，考查分類與整合思想，考查運算能力和綜合解題能力.滿分12分.解法一：(Ⅰ)設M，N為短軸的兩個三等分點，因為△MNF為正三角形，所以,即1＝

因此，橢圓方程為

(Ⅱ)設

(ⅰ)當直線

AB與x軸重合時，(ⅱ)當直線AB不與x軸重合時，設直線AB的方程為：

整理得

所以

因為恒有，所以AOB恒為鈍角.即恒成立.又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0對mR恒成立，即a2b2m2>

a2

-a2b2+b2對mR恒成立.當mR時，a2b2m2最小值為0，所以a2-

a2b2+b2<0.a2

b2,a2<（a2-1)b2=

b4,因為a>0,b>0,所以a0,解得a>或a<(舍去)，即a>,綜合（i）(ii)，a的取值范圍為（，+）.解法二：

（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）解：（i）當直線l垂直于x軸時，x=1代入=1.因為恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4

yA2,yA2>1，即>1,解得a>或a<(舍去)，即a>.（ii）當直線l不垂直于x軸時，設A（x1,y1）,B（x2,y2）.設直線AB的方程為y=k(x-1)代入

得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+

a2

k2-

a2

b2=0,故x1+x2=

因為恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,所以x21+y21+

x22+

y22<（x2-x1)2+(y2-y1)2,得x1x2+

y1y2<0恒成立.x1x2+

y1y2=

x1x2+k2(x1-1)

(x2-1)=(1+k2)

x1x2-k2(x1+x2)+

k2

=(1+k2).由題意得（a2-

a2

b2+b2）k2-

a2

b2<0對kR恒成立.①當a2-

a2

b2+b2>0時，不合題意；

②當a2-

a2

b2+b2=0時，a=;

③當a2-

a2

b2+b2<0時，a2-

a2(a2-1)+

(a2-1)<0，a4-

3a2

+1>0,解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a.綜合（i）（ii），a的取值范圍為（，+）.（22）本小題主要考查函數的單調性、最值、不等式、數列等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法，考查分析問題和解決問題的能力，滿分14分.解法一：

（I）因為f(x)=ln(1+x)-x，所以函數定義域為（-1,+）,且f〃(x)=-1=.由f〃(x)>0得-1

由f〃(x)<0得x>0，f(x)的單調遞增區間為（0，+）.(II)因為f(x)在[0,n]上是減函數，所以bn=f(n)=ln(1+n)-n,則an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.(i)

又lim,因此c<1，即實數c的取值范圍是（-，1）.（II）由（i）知

因為[]2

=

所以＜(nN*),則＜

N*）

解法二：

（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因為f(x)在上是減函數，所以

則

（i）因為對n∈N*恒成立.所以對n∈N*恒成立.則對n∈N*恒成立.設

n∈N*，則c＜g(n)對n∈N*恒成立.考慮

因為＝0，所以內是減函數；則當n∈N*時，g(n)隨n的增大而減小，又因為＝1.所以對一切因此c≤1,即實數c的取值范圍是(-∞，1].(ⅱ)

由(ⅰ)知

下面用數學歸納法證明不等式

①當n=1時，左邊＝，右邊＝，左邊<右邊.不等式成立.②假設當n=k時,不等式成立.即

當n=k+1時，=

即n＝k＋1時，不等式成立

綜合①、②得，不等式成立.所以

即.