1987年普通高等學校招生全國統一考試理科數學試題及答案

一．（本題滿分24分）本題共有8個小題，每小題都給出代號為A，B，C，D的四個結論，其中只有一個結論是正確的，把你認為正確結論的代號寫在題后的圓括號內選對的得3分，不選、選錯或者選出的代號超過一個的（不論是否都寫在圓括號內），一律得0分

（1）設S，T是兩個非空集合，且S

T，T

S，令X=ST，那么SX等于

（D）

（A）X

（B）T

（C）

（D）S

（2）設橢圓方程為，令，那么它的準線方程為

（C）

（A）

（B）

（C）

（D）

（3）設a,b是滿足ab<0的實數，那么

（B）

（A）|a+b|>|a-b|

（B）|a+b|<|a-b|

（C）|a-b|<||a|-|b||

（D）|a-b|<|a|+|b|

（4）已知E，F，G，H為空間中的四個點，設

命題甲：點E，F，G，H不共面，命題乙：直線EF和GH不相交

那么

（A）

（A）甲是乙的充分條件，但不是必要條件

（B）甲是乙的必要條件，但不是充分條件

（C）甲是乙的充要條件

（D）甲不是乙的充分條件，也不是乙必要條件

（5）在區間上為增函數的是

（B）

（A）

（B）

（C）

（D）

（6）要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（圖略）

（D）

（A）向左平行移動

（B）向右平行移動

（C）向左平行移動

（D）向右平行移動

（7）極坐標方程所表示的曲線是

（B）

（A）直線

（B）圓

（C）雙曲線

（D）拋物線

（8）函數的圖象是

（A）

（A）

（B）

Y

（C）

Y

（D）

Y

Y

O

O

O

O

二．（本題滿分28分）本題共7小題，每一個小題滿分4分只要求寫出結果

（1）求函數的周期

[答]

（2）已知方程表示雙曲線，求λ的范圍

[答]λ＞-1或λ＜-2.（注：寫出一半給2分）

（3）若（1+x)n的展開式中，x3的系數等于x的系數的7倍，求n.[答]8

（注：若給出8同時給出-5得2分）

（4）求極限

[答]2

（5）在拋物線上求一點，使該點到直線的距離為最短

[答]

（6）由數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字且數字1與2不相鄰的五位數求這種五位數的個數

[答]72

（7）一個正三棱臺的下底和上底的周長分別為30cm和12cm，而側面積等于兩底面積之差，求斜高

[答]

三．（本題滿分10分）

求的值

解：原式=

（注：本題有多種解答）

四．（本題滿分12分）

P

E

C

A

D

B

如圖，三棱錐P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=L,PA,BC的公垂線ED=h求證三棱錐P-ABC的體積V=L2h.證：連結AD和PD∵BC⊥PA，BC⊥ED，PA與ED相交，∴BC⊥平面PAD

∵ED⊥PA，∴S△ABC=PA·ED=Lh

VB-PAD=(Lh)·BD=Lh·BD

同理，VC-PAD=Lh·CD

∴三棱錐P-ABC的體積

V=Lh·BD+Lh·CD=Lh（BD+CD）=Lh·BC=L2h.若E，D不是分別在線段AP，BC上，結論仍成立

（此話不說，也不扣分）

五．（本題滿分12分）

設對所有實數x，不等式恒成立，求a的取值范圍

解：由題意得：

令則（3）式變為

化簡為解得

（4）

（2）式變為即

（5）

綜合（4），（5）得

由此，（6）解（1），（6）得a取值范圍：

六．（本題滿分12分，共2個小題）

設復數滿足關系式其中A為不等于0的復數證明：

（1）（2）

證：（1）

（2）

七．（本題滿分12分，共3個小題）

設數列的前n項的和Sn與的關系是

其中b是與n無關的常數，且b≠-1

（1）求的關系式;

（2）寫出用n和b表示的表達式;

（3）當時，求極限.注：(2)也可用數學歸納法證明

所以當

八．（本題滿分10分）

定長為3的線段AB的兩端點在拋物線y2=x上移動，記線段AB的中點為M，求點M到y軸的最短距離，并求此時點M的坐標

解：設A（x1,y1),B(x2,y2),AB長度為3，那么x1=y12,x2=y22,（1）

32=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(y22-y12)2+(y2-y1)2=(y2-y1)2[(y2+y1)2+1]（2）

線段AB的中點M（x,y）到y軸的距離為

下證x能達到最小值，根據題意不妨設y1>y2,由（3）得

九．（附加題，本題滿分10分，共2個小題，每小題5分，不計

入總分）

（1）求極限

（2）設

解：