1978年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

（理科考生五，六兩題選做一題文科考生五，六兩題選做一題，不要求做第七題）

一．（下列各題每題4分，五個(gè)題共20分）

1．分解因式：x2-4xy+4y2-4z2.解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)

2.已知正方形的邊長(zhǎng)為，求側(cè)面積等于這個(gè)正方形的面積，高等于這個(gè)正方形邊長(zhǎng)的直圓柱體的體積

解：設(shè)底面半徑為r，則底面周長(zhǎng)2πr=

則

3．求函數(shù)的定義域

解：

∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.故x≥-1為其定義域

4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值

解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=

5.化簡(jiǎn)：

二

.（本題滿分14分）

已知方程kx2+y2=4，其中k為實(shí)數(shù)對(duì)于不同范圍的k值，分別指出方程所代表圖形的內(nèi)形，并畫出顯示其數(shù)量特征的草圖

解：1）k>0時(shí)，方程的圖形是橢圓，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)又可分為：①k>1時(shí),長(zhǎng)軸在y軸上，半長(zhǎng)軸=2，半短軸=;

②k=1時(shí),為半徑r=2的圓;

③k<1時(shí),長(zhǎng)軸在x軸上，半長(zhǎng)軸=，半短軸=2

Y

Y

Y

k=2

A

k=1

(0,2)

k=1/4

O

A

X

O

B

X

O

X

如圖：

2)k=0時(shí)，方程為y2=4圖形是兩條平行于x軸的直線

如圖

3）k<0時(shí)，方程為

Y

Y

y=2

k=-4

A

O

O

X

B

X

y=-2

這時(shí)圖形是雙曲線，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，實(shí)軸在y軸上如圖：

三．（本題滿分14分）

（如圖）AB是半圓的直徑，C是半圓上一點(diǎn)，直線MN切半圓于C點(diǎn)，AM⊥MN于M點(diǎn)，BN⊥MN于N點(diǎn)，CD⊥AB于D點(diǎn)，求證：1)CD=CM=CN.2)CD2=AM·BN

M

C

N

A

B

D

1)證：連CA，CB，則∠ACB=900∠ACM=∠ABC

∠ACD=∠ABC

∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC

∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN

2）∵CD⊥AB，∠ACD=900

∴

CD2=AD·DB

由1）知AM=AD，BN=BD

∴CD2=AM·BN

四．（本題滿分12分）

五．（本題滿分20分）

已知△ABC的三內(nèi)角的大小成等差數(shù)列，tgAtgC=求角A，B，C的大小又已知頂點(diǎn)C的對(duì)邊c上的高等于求三角形各邊,b,c的長(zhǎng)（提示：必要時(shí)可驗(yàn)證）

六．（本題滿分20分）

七．（本題滿分20分，文科考生不要求作此題）

已知函數(shù)y=x2+(2m+1)x+m2-1(m為實(shí)數(shù)）

1）m是什么數(shù)值時(shí)，y的極值是0？

2）求證：不論m是什么數(shù)值，函數(shù)圖象（即拋物線）的頂點(diǎn)都在同一條直線L1上畫出m=-1、0、1時(shí)拋物線的草圖，來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)論

3）平行于L1的直線中，哪些與拋物線相交，哪些不相交？求證：任一條平行于L1而與拋物線相交的直線，被各拋物線截出的線段都相等

解：用配方法得：

3.設(shè)L：x-y=為任一條平行于L1的直線

與拋物線y=x2+(2m+1)x+m2-1方程聯(lián)立求解，消去y，得

x2+2mx+m2-1+=0∴（x+m)2=1-

因而當(dāng)1-≥0即≤1時(shí)，直線L與拋物線相交，而＞1時(shí)，直線L與拋物線不相交

而這與m無(wú)關(guān)

因此直線L被各拋物線截出的線段都相等

一九七八年副題

1．（1）分解因式：x2-2xy+y2+2x-2y-3

解：原式=(x-y-1)(x-y+3)

(2)求

解：原式=3/4

（4）已知直圓錐體的底面半徑等于1cm，母線的長(zhǎng)等于2cm，求它的體積

解：

解：原式=30

2．已知兩數(shù)x1,x2滿足下列條件：

1）它們的和是等差數(shù)列1，3，…的第20項(xiàng);

2）它們的積是等比數(shù)列2，-6，…的前4項(xiàng)和

求根為的方程

略解：x1

+x2=39，x1x2=-40故：1/x1+1/x2=-39/40

1/x1·1/x2=-1/40

所求方程為：40x2+39x-1=0.3.已知：△ABC的外接圓的切線AD交BC的延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，求證：

A

B

E

C

D

證：因?yàn)锳D是△ABC的外接圓的切線，所以

∠B=∠1∴△ABD∽△CAD

作AE⊥BD于點(diǎn)E，則

A

M

N

α

B

E

F

D

4．（如圖）CD是BC的延長(zhǎng)線，AB=BC=CA=CD=，DM與AB，AC分別交于M點(diǎn)和N點(diǎn)，且∠BDM=α

求證：

證：作ME⊥DC于E，由△ABC是等邊三角形，在直角△MBE中，類似地，過(guò)N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中，可證：

5．設(shè)有f(x)=4x4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p≠0）求證：

1）如果f(x)的系數(shù)滿足p2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一個(gè)二次三項(xiàng)式的平方

2）如果f(x)與F(x)=(2x2+x+b)2表示同一個(gè)多項(xiàng)式，那么

p2-4q-4(m+1)=0

6．已知：sinx+bcosx

=0.………………………………①

Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②

其中,b不同時(shí)為0

求證：2bA+(b2-2)B+(2+b2)C=0

則①可寫成cosysinx-sinycosx=0,∴sin(x-y)=0∴x-y=kπ(k為整數(shù))，∴x=y+kπ

又sin2x=sin2(y+kπ)=sin2y=2sinycosy=

cos2x=cos2y=cos2y-sin2y=

代入②，得

7．已知L為過(guò)點(diǎn)P而傾斜角為300的直線，圓C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)而半徑等于1的圓，Q表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)而焦點(diǎn)在的拋物線設(shè)A為L(zhǎng)和C在第三象限的交點(diǎn)，B為C和Q在第四象限的交點(diǎn)

1）寫出直線L、圓C和拋物線Q的方程，并作草圖

2）寫出線段PA、圓弧AB和拋物線上OB一段的函數(shù)表達(dá)式

3）設(shè)P＇、B＇依次為從P、B到x軸的垂足求由圓弧AB和直線段BB＇、B＇P＇、P＇P、PA所包含的面積

Y

O

X

B

Q

L

P

A

C

解：1）直線L、圓C和拋物線Q的方程為

2)由

Y

P＇

B＇

O

X

B

A

C

Q

L

P