2003年普通高等學校招生全國統一考試（江蘇卷）

數學試題

第Ⅰ卷（選擇題

共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．如果函數的圖象與x軸有兩上交點，則點（a，b）在aOb平面上的區

域（不包含邊界）為

（）

a

阿

a

阿

a

阿

a

阿

a

阿

a

阿

a

阿

a

阿

O

阿

O

阿

O

阿

O

阿

(A)

(B)

(C)

(D)

2．拋物線的準線方程是y=2，則a的值為

（）

A．

B．－

C．8

D．－8

3．已知

（）

A．

B．－

C．

D．－

4．設函數則x0的取值范圍是

（）

A．（－1，1）

B．（－1，+∞）

C．（－∞，－2）∪

（0，+∞）

D．（－∞，－1）∪（1，+∞）

5．O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足

則P的軌跡一定通過△ABC的（）

A．外心

B．內心

C．重心

D．垂心

6．函數的反函數為

（）

A．

B．

C．

D．

7．棱長為a的正方體中，連結相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為

（）

A．

B．

C．

D．

8．設曲線在點處切線的傾斜角的取值范

圍為，則P到曲線對稱軸距離的取值范圍為

（）

A．[]

B．

C．

D．

9．已知方程的四個根組成一個首項為的等差數列，則

|m－n|=

（）

A．1

B．

C．

D．

10．已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F（，0）直線y=x－1與其相交于M、N兩點，MN中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是

（）

A．

B．

C．

D．

11．已知長方形四個頂點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一質點從AB的中點P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4（入射角等于反射角）.設P4的坐標為（x4，0）.若1<

x4<2，則tanθ的取值范圍是

（）

A．

B．

C．

D．

12．一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為

（）

A．3π

B．4π

C．

π

D．6π

第Ⅱ卷（非選擇題

共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，把答案填在題中橫線上.13．展開式中x9的系數是

14．某公司生產三種型號的轎車，產量分別為1200輛，6000輛和2000輛，為檢驗該公司的產品質量，現用分層抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，這三種型號的轎車依次應抽取，輛

15．某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分

（如圖）.現要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種

且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法

有

種.（以數字作答）

16．對于四面體ABCD，給出下列四個命題

①若AB=AC，BD=CD，則BC⊥AD.②若AB=CD，AC=BD，則BC⊥AD.③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD.④若AB⊥CD，BD⊥AC，則BC⊥AD.其中真命題的序號是

.（寫出所有真命題的序號）

三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分12分）

有三種產品，合格率分別是0.90，0.95和0.95，各抽取一件進行檢驗.（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有兩件不合格的概率.（精確到0.001）

18．（本小題滿分12分）

已知函數上R上的偶函數，其圖象關于點對稱，且在區間上是單調函數，求和ω的值.19．（本小題滿分12分）

如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側棱AA1=2，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.D

E

K

B

C1

A1

B1

A

F

C

G

（Ⅰ）求A1B與平面ABD所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；

（Ⅱ）求點A1到平面AED的距離.20．（本小題滿分12分）

已知常數，向量經過原點O以為方向向量的直線與經過定點A（0，a）以為方向向量的直線相交于點P，其中試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由.21．（本小題滿分12分）

已知為正整數.（Ⅰ）設；

（Ⅱ）設

22．（本小題滿分14分）

設如圖，已知直線及曲線C：，C上的點Q1的橫坐標為

（）.從C上的點Qn（n≥1）作直線平行于x軸，交直線l于點，再從點作直線平行于y軸，交曲線C于點Qn+1.Qn（n=1，2，3，…）的橫坐標構成數列

O

c

y

l

x

Q1

Q2

Q3

a1

a2

a3

r2

r1

（Ⅰ）試求的關系，并求的通項公式；

（Ⅱ）當時，證明；

（Ⅲ）當a=1時，證明

2003年普通高等學校招生全國統一考試

數

學

試

題（江蘇卷）答案

一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分60分.1．C

2．B

3．D

4．D

5．B

6．B

7．C

8．B

9．C

10．D

11．C

12．A

二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分16分.13．

14．6,30,10

15．120

16．①④

三、解答題

17．本小題要主考查相互獨立事件概率的計算，運用數學知識解決問題的能力，滿分12分.解：設三種產品各抽取一件，抽到合格產品的事件分別為A、B和C.（Ⅰ），因為事件A，B，C相互獨立，恰有一件不合格的概率為

答：恰有一件不合格的概率為0.176.解法一：至少有兩件不合格的概率為

解法二：三件產品都合格的概率為

由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率為0.176，所以至有兩件不合格的概率為

答：至少有兩件不合的概率為0.012.（18）在小題主要考查三角函數的圖象和單調性、奇偶性等基本知識，以及分析問題和推理計算能力，滿12分分

解：由

19．本小題主要考查線面關系和直棱柱等基礎知識，同時考查空

間想象能力和推理運算能力.滿分12分.解法一：（Ⅰ）解：連結BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B與平面ABD所成的角.設F為AB中點，連結EF、FC，（Ⅱ）連結A1D，有,設A1到平面AED的距離為h，則

解法二：（Ⅰ）連結BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B與平ABD所成的角.如圖所示建立坐標系，坐標原點為O，設CA=2a，則A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)

（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)

（Ⅰ）當時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；

（Ⅱ）當時，方程①表示橢圓，焦點

（Ⅲ）當方程①也表示橢圓，焦點為合乎題意的兩個定點.（21）本小題主要考查導數、不等式證明等知識，考查綜合運用所數學知識解決問題的能力，滿分12分.證明：（Ⅰ）因為，所以

（Ⅱ）對函數求導數:

∴

即對任意

22．本小題主要考查二次函數、數列、不等式等基礎知識，綜合運用數學知識分析問題和解決問題的能力，滿分14分.（Ⅰ）解：∵

∴

∴，∴

（Ⅱ）證明：由a=1知

∵

∴

∵當

∴

（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，當a=1時，因此

=