九年級第二十六章

反比例函數

姓名：___________班級：___________

一、單選題

1．下列各點中，在反比例函數圖象上的是

A．（－1，8）

B．（－2，4）

C．（1，7）

D．（2，4）

【答案】D

【分析】

由于反比例函數y=中，k=xy，即將各選項橫、縱坐標分別相乘，其積為8者即為正確答案．

【詳解】

解：A、∵-1×8=-8≠8，∴該點不在函數圖象上，故本選項錯誤；

B、∵-2×4=-8≠8，∴該點不在函數圖象上，故本選項錯誤；

C、∵1×7=7≠8，∴該點不在函數圖象上，故本選項錯誤；

D、2×4=8，∴該點在函數圖象上，故本選項正確．

故選D．

【點睛】

考核知識點：反比例函數定義.2．在反比例函數中，自變量的取值范圍為（）

A．

B．

C．

D．全體實數

【答案】A

【解析】分析：根據分母不等于0列式求解即可．

解答：解：根據題意x≠0．

故選A．

點評：本題考查了自變量的取值范圍，函數自變量的范圍一般從三個方面考慮：

（1）當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；

（2）當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

（3）當函數表達式是二次根式時，被開方數非負．

3．下列函數中，屬于反比例函數的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】一般地，如果兩個變量x、y之間的關系可以表示成y=（k為常數，k≠0）的形式，那么稱y是x的反比例函數．

解：A、y=是正比例函數，故本選項錯誤；

B、符號反比例函數的定義，故本選項正確；

C、y=2+3x是一次函數，故本選項錯誤；

D、y=2+3x2是二次函數，故本選項錯誤．

故選B．

4．對于反比例函數，下列說法中正確的是（）

A．點(?2,1)在它的圖象上

B．它的圖象在第二、四象限

C．它的圖象經過原點

D．當x>0時，y隨x的增大而減小

【答案】D

【解析】

【分析】

根據反比例函數的性質，k=2＞0，函數位于一、三象限，在每一象限y隨x的增大而減小．

【詳解】

A.把點(?2,1)代入反比例函數得2=?2不成立，故選項錯誤；

B.∵k=2>0，∴它的圖象在第一、三象限，故選項錯誤；

C.∵x≠0，它的圖象不經過原點，故選項錯誤；

D.當x>0時，y隨x的增大而減小，故選項正確.故選D.【點睛】

此題考查反比例函數的性質，解題關鍵在于掌握其性質.5．如圖，反比例函數（）的圖象與一次函數的圖象交于點和點，當時，的取值范圍是（）．

A．

B．或

C．

D．或

【答案】D

【解析】

當時，即橫坐標相等時對應的縱坐標反比例函數大于一次函數，根據圖像可得：或.故選D.6．已知直線y=ax（a≠0）與雙曲線的一個交點坐標為（2，6），則它們的另一個交點坐標是（）

A．（﹣2，6）

B．（﹣6，﹣2）

C．（﹣2，﹣6）

D．（6，2）

【答案】C

【解析】

∵直線y=ax（a≠0）與雙曲線的圖象均關于原點對稱，∴它們的另一個交點坐標與（2，6）關于原點對稱．

∵關于原點對稱的點的坐標是橫、縱坐標都互為相反數，∴它們的另一個交點坐標為：（﹣2，﹣6）．故選C．

7．如圖，P是反比例函數y＝的圖象上一點，過點P分別向x軸，y軸作垂線，所得到的圖中陰影部分的面積為6，則這個反比例函數的表達式為()

A．y＝－

B．y＝

C．y＝－

D．y＝

【答案】A

【解析】由函數圖象可得：|k|=6，又函數圖象位于二、四象限，k＜0，則k=-6，因此，該反比例函數的表達式為y＝－．

故選A．

8．如圖所示，在的圖象上有兩點，．過這兩點分別向軸引垂線，交軸于，兩點．連接，記，的面積分別為，則有（）

A．

B．

C．

D．不能確定

【答案】B

【解析】

【分析】

易得△AOC和△OBD的面積相等,都減去公共部分的面積可得,的大小關系.【詳解】

解:

設點A的坐標為

(x,y),點B的坐標為(a,b),A、B在反比例函數y=(x>0)的圖象上,xy=2,ab=2,=1;=1.=,-

=-,即=.故選B.【點睛】

本題主要考查反比例函數的比例系數的意義;突破點是得到△AOC和△OBD的面積相等.用到的知識點為:

在反比例函數圖象上的點的橫縱坐標的積等于反比例函數的比例系數.9．一次函數y=ax+b與反比例函數y=在同一平面直角坐標系中的圖象如左圖所示，則二次函數y=ax2+bx+c的圖象可能是()

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根據題中給出的函數圖像結合一次函數性質得出a＜0，b＞0，再由反比例函數圖像性質得出c＜0，從而可判斷二次函數圖像開口向下，對稱軸：＞0，即在y軸的右邊，與y軸負半軸相交，從而可得答案.【詳解】

解：∵一次函數y=ax+b圖像過一、二、四，∴a＜0，b＞0，又∵反比例

函數y=圖像經過二、四象限，∴c＜0，∴二次函數對稱軸：＞0，∴二次函數y=ax2+bx+c圖像開口向下，對稱軸在y軸的右邊，與y軸負半軸相交，故答案為B.【點睛】

本題考查了二次函數的圖形，一次函數的圖象，反比例函數的圖象，熟練掌握二次函數的有關性質：開口方向、對稱軸、與y軸的交點坐標等確定出a、b、c的情況是解題的關鍵．

10．如圖，點在反比例函數，的圖像上，點在反比例函數的圖像上，軸于點．且，則的值為（）

A．-3

B．-6

C．2

D．6

【答案】B

【解析】

【分析】

先根據反比例函數的比例系數k的幾何意義，可知S△AOM，S△BOM=||，則S△AOM：S△BOM=3：|k|，再根據同底的兩個三角形面積之比等于高之比，得出S△AOM：S△BOM=AM：MB=1：2，則3：|k|=1：2，然后根據反比例函數的圖象所在的象限，即可確定k的值．

【詳解】

∵點A在反比例函數y（x＞0）的圖象上，點B在反比例函數y（x＞0）的圖象上，AB⊥x軸于點M，∴S△AOM，S△BOM=||，∴S△AOM：S△BOM：||=3：|k|．

∵S△AOM：S△BOM=AM：MB=1：2，∴3：|k|=1：2，∴|k|=6．

∵反比例函數的圖象在第四象限，∴k＜0，∴k=﹣6．

故選B．

【點睛】

本題考查了反比例函數y的比例系數k的幾何意義，反比例函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積，難度中等，得到3：|k|=1：2，是解題的關鍵．

二、填空題

11．已知y是x的反比例函數，當x=3時，y=9，則函數解析式是________．

【答案】

【分析】

根據反比例函數的定義設出表達式，再利用待定系數法解出系數則可得答案．

【詳解】

設，∵x=3時，y=9，∴9=，解得：，∴函數解析式是．

故答案為：

【點睛】

本題考查了運用待定系數法求反比例函數的表達式，屬于基礎題型．

12．已知點A(2，-3)和B(-1，m)均在雙曲線(k為常數，且k≠0)上，則m=__．

【答案】6

【分析】

先根據點A的坐標求出雙曲線的解析式，然后將點B代入雙曲線解析式中即可求解．

【詳解】

∵點在雙曲線(k為常數，且k≠0)上，解得，．

∵點在雙曲線(k為常數，且k≠0)上，．

故答案為：6．

【點睛】

本題主要考查根據反比例函數解析式求函數值，掌握待定系數法是解題的關鍵．

13．反比例函數，當時，隨的增大而增大，則__

【答案】-1

【解析】

【分析】

根據反比例函數的一般形式，可以得到的次數是；根據當時，隨的增大而增大，可以得到比例系數是負數，即可求得．

【詳解】

根據題意得：，解得：．

故答案為

【點睛】

考查了反比例函數的一般形式以及反比例函數的性質，正確理解函數的性質是關鍵．

14．反比例函數的圖象的兩個分支分別別位于第二、四象限，則m的取值范圍是____________________.【答案】矩形

【解析】答案為：m＜

根據反比函數圖象的性質，當k＜0時，圖象在第二、四象限，即可求出m的取值范圍．

解：∵y=，其圖象的兩個分支分別位于第二、四象限，∴2m-1＜0，解得：m＜，故答案為：m＜．

考查了反比例函數的圖象和性質，屬于基礎題，主要掌握①、當k＞0時，圖象分別位于第一、三象限；當k＜0時，圖象分別位于第二、四象限．②、當k＞0時，在同一個象限內，y隨x的增大而減小；當k＜0時，在同一個象限，y隨x的增大而增大．

15．在函數的圖象上有三點（﹣3，y1）、（﹣2，y2）、（1，y3），則函數值y1、y2、y3的大小關系為_____．

【答案】y3＜y1＜y2

【分析】

分別計算自變量為-3、-2、1代入的函數值，然后比較函數值的大小即可．

【詳解】

解：當x=-3時，y1=-,當x=-2時，y2

當x=1時，y3=

所以，y3＜y1＜y2．

故答案為：y3＜y1＜y2

【點睛】

本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征：反比例函數y=

（k為常數，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k．

16．如圖，在平面直角坐標系中，函數y=（x＞0，常數k＞0）的圖象經過點A（1，2），B（m，n），（m＞1），過點B作y軸的垂線，垂足為C．若△ABC的面積為2，則點B的坐標為____________．

【答案】

【解析】

考點：反比例函數綜合題．

分析：由于函數（x＞0常數k＞0）的圖象經過點A（1，2），把（1，2）代入解析式即可確定k=2，依題意BC=m，BC邊上的高是2-n=“2-“，根據三角形的面積公式得到關于m的方程，解方程即可求出m，然后把m的值代入y=，即可求得B的縱坐標，最后就求出點B的坐標．

解：∵函數y=（x＞0常數k＞0）的圖象經過點A（1，2），∴把（1，2）代入解析式得2=，∴k=2，∵B（m，n）（m＞1），∴BC=m，當x=m時，n=，∴BC邊上的高是2-n=2-，而S△ABC=m（2-）=2，∴m=3，∴把m=3代入y=，∴n=，∴點B的坐標是（3，）．

故填答案：（3，）．

17．如圖，已知等邊，頂點在雙曲線上，點的坐標為（2，0）．過作，交雙曲線于點，過作交軸于，得到第二個等邊．過作交雙曲線于點，過作交軸于點得到第三個等邊；以此類推，…，則點的坐標為______，的坐標為______．

【答案】（2，0），（2，0）．

【分析】

根據等邊三角形的性質以及反比例函數圖象上點的坐標特征分別求出B2、B3、B4的坐標，得出規律，進而求出點Bn的坐標．

【詳解】

解：如圖，作A2C⊥x軸于點C，設B1C=a，則A2C=a，OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a，a）．

∵點A2在雙曲線上，∴（2+a）?a=，解得a=-1，或a=--1（舍去），∴OB2=OB1+2B1C=2+2-2=2，∴點B2的坐標為（2，0）；

作A3D⊥x軸于點D，設B2D=b，則A3D=b，OD=OB2+B2D=2+b，A2（2+b，b）．

∵點A3在雙曲線y=（x＞0）上，∴（2+b）?b=，解得b=-+，或b=--（舍去），∴OB3=OB2+2B2D=2-2+2=2，∴點B3的坐標為（2，0）；

同理可得點B4的坐標為（2，0）即（4，0）；

以此類推…，∴點Bn的坐標為（2，0），故答案為（2，0），（2，0）．

【點睛】

本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，等邊三角形的性質，正確求出B2、B3、B4的坐標進而得出點Bn的規律是解題的關鍵．

三、解答題

18．當m為何值時，函數是反比例函數？

【答案】.【解析】

【分析】

根據反比例函數的定義知2-|m|=-1，m+3≠0，據此可以求得m的值；

【詳解】

解：因為函數是反比例函數，所以且，解得：且，故.【點睛】

本題考查了反比例函數的定義．關鍵是掌握反比例函數的關系式形式．

19．已知反比例函數的圖像經過直線上的點，求m和k的值

【答案】；．

【分析】

先將P點坐標代入直線解析式可求出m值，進而可得P點坐標，再將P點坐標代入反比例函數解析式即可得k的值．

【詳解】

把，代入的左右兩邊解得；

把，代入的左右兩邊解得．

【點睛】

本題主要考查了正比例函數和反比例函數的解析式，根據解析式求出點的坐標是解題的關鍵．

20．已知反比例函數（）的圖像經過點A（2，3）.(1)求函數解析式；

(2)當x＝－4時，求反比例函數的值.【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）利用待定系數法把A點坐標代入反比例函數y＝（k為常數，k≠0）可得k的值，進而得到反比例函數解析式；

（2）將x=-4代入，即可求出y的值．

【詳解】

（1）∵反比例函數y=的圖象經過點A（2，3），∴,∴解析式為

（2）當時，.【點睛】

本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，掌握待定系數法求得一次函數解析式是解題的關鍵．

21．已知函數y＝（m﹣2）是一個反比例函數．

（1）求m的值；

（2）它的圖象位于哪些象限；

（3）當時，求函數值y的取值范圍．

【答案】（1）m＝﹣2；（2）反比例函數的圖象位于二、四象限；（3）﹣8≤y≤﹣2．

【解析】

【分析】

（1）根據反比例函數的定義列出有關m的方程求得m的值即可；

（2）根據求得的反比例函數的解析式確定其圖象的位置；

（3）代入x的值求得函數值，即可確定y的取值范圍．

【詳解】

（1）∵函數y＝（m﹣2）是一個反比例函數，∴m2﹣5＝﹣1，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2；

（2）∵m＝﹣2，∴m﹣2＝﹣4＜0，∴反比例函數的圖象位于二、四象限；

（3）當x＝時，y＝﹣4÷＝﹣8；

當x＝2時，y＝﹣4÷2＝﹣2，故y的取值范圍是﹣8≤y≤﹣2．

【點睛】

本題考查了反比例函數的定義及反比例函數的性質，能夠確定反比例函數的解析式是解答本題的關鍵．

22．已知y＝y1-y2，y1與x+2成正比例，y2與x2成反比例．當x＝-1時，y＝－2；當x＝1時，y＝2．

(1)求y與x的函數關系式.(2)當x＝時，求y的值

【答案】（1）

；（2）-11

【解析】

【分析】

（1）根據正比例和反比例的定義，設y1=a（x+2），y2=，則y=

a（x+2）-，再把兩組對應值代入得到關于a、b的方程組，然后解方程組求出a、b的值即可得到y與x之間的函數關系；

（2）計算自變量為的函數值即可．

【詳解】

（1）設y1=

a（x+2），y2=，則y=

a（x+2）-，把x=﹣1，y=-2；x=1，y=2分別代入得，解得，所以y與x之間的函數關系為；

（2）當x＝時，.【點睛】

本題考查正比例和反比例的定義，以及列方程組和解方程組的能力，屬于較易題目.23．如圖，直線y＝x與雙曲線y＝

(k＞0)交于A、B兩點，且點A的橫坐標為4.(1)求k的值；

(2)若雙曲線y＝

(k＞0)上一點C的縱坐標為8，求△AOC的面積．

【答案】（1）8；（2）15.【詳解】

解：(1)∵點A的橫坐標為4，點A在直線y＝x上，∴點A的縱坐標為y＝×4＝2，即A(4，2)．

又∵點A(4，2)在雙曲線y＝上，∴k＝2×4＝8；

(2)∵點C在雙曲線y＝上，且點C縱坐標為8，∴C(1，8)．

如圖，過點C作CM⊥x軸于M，過點A作AN⊥x軸于N.∵S△COM＝S△AON＝＝4，∴S△AOC＝S四邊形CMNA＝×(|yA|＋|yC|)×(|xA|－|xc|)＝15.【點睛】

主要考查了待定系數法求反比例函數的解析式和反比例函數y＝中k的幾何意義.這里體現了數形結合的思想,做此類題一定要正確理解k的幾何意義.24．如圖，已知，是一次函數

和反比例函數的圖象的兩個交點．

（1）求反比例函數和一次函數的解析式；

（2）求的面積；

（3）直接寫出關于的不等式的解集．

【答案】（1），y＝－2x＋2；（2）S△ABO＝3；（3）x＜?1或0＜x＜2．

【分析】

（1）用待定系數法即可求解；

（2）設直線與y軸的交點為C，則的面積可分△AOC和△BOC兩部分，分別都以OC為底、以A、B兩點的橫坐標的絕對值為高，即可求得；

（3）觀察函數圖象即可求解．

【詳解】

解：（1）∵A（n，?2），B（?1，4）是一次函數y＝kx＋b的圖象與反比例函數y＝的圖象的兩個交點，∴4＝，得m＝?4，∴y＝?，∴?2＝?，解得n＝2．

∴點A（2，?2），∴，解得：，∴一次函數解析式為y＝?2x＋2，即反比例函數解析式為y＝?，一次函數解析式為y＝?2x＋2；

（2）設直線與y軸的交點為C，當x＝0時，y＝?2×0＋2＝2．

∴點C的坐標是（0，2）．

∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×2＋×2×1＝3；

（3）觀察函數圖象得，不等式kx＋b＞時，x的取值范圍為：x＜?1或0＜x＜2，故答案為：x＜?1或0＜x＜2．

【點睛】

本題考查了反比例函數與一次函數的交點，當有兩個函數的時候，著重使用一次函數，體現了方程思想，綜合性較強．

25．為了預防疾病，某單位對辦公室采用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間x(分鐘)成為正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例(如圖)，現測得藥物8分鐘燃畢，此時室內空氣中每立方米的含藥量6毫克，請根據題中所提供的信息，解答下列問題：

（1）藥物燃燒時與藥物燃燒后，y關于x的函數關系式．

（2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時員工方可進辦公室，那么從消毒開始，至少需要經過幾分鐘后，員工才能回到辦公室；

（3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？

【答案】（1）；（2）至少需要30分鐘；（3）消毒有效，理由見解析

【分析】

（1）藥物燃燒時，設出y與x之間的解析式y=k1x，把點（8，6）代入即可，從圖上讀出x的取值范圍；藥物燃燒后，設出y與x之間的解析式y=，把點（8，6）代入即可；

（2）把y=1.6代入反比例函數解析式，求出相應的x；

（3）把y=3代入正比例函數解析式和反比例函數解析式，求出相應的x，兩數之差與10進行比較，大于或等于10就有效．

【詳解】

（1）設藥物燃燒時y關于x的函數關系式為y=k1x（k1＞0）代入（8，6）為6=8k1

∴k1=

設藥物燃燒后y關于x的函數關系式為y=（k2＞0）代入（8，6）為6=，∴k2=48

∴藥物燃燒時y關于x的函數關系式為（0≤x≤8），藥物燃燒后y關于x的函數關系式為（x＞8）

∴

（2）結合實際，令中y≤1.6得x≥30

即從消毒開始，至少需要30分鐘后生才能進入教室．

（3）把y=3代入，得：x=4

把y=3代入，得：x=16

∵16﹣4=12

∴這次消毒是有效的．

故答案為（1）；（2）至少需要30分鐘；（3）消毒有效，理由如上．

【點睛】

本題考查了一次函數和反比例函數的綜合應用，現實生活中存在大量成反比例函數的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用待定系數法求出它們的關系式．