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九年級數學下冊

第二十六章

反比例函數

綜合訓練

一、選擇題

1.姜老師給出一個函數表達式，甲、乙、丙三位同學分別正確指出了這個函數的一個性質．甲：函數圖象經過第一象限；乙：函數圖象經過第三象限；丙：在每一個象限內，y值隨x值的增大而減小．根據他們的敘述，姜老師給出的這個函數表達式可能是()

A.y＝3x

B.y＝

C.y＝－

D.y＝x2

2.設函數y＝(k≠0，x>0)的圖象如圖所示，若z＝，則z關于x的函數圖象可能為()

3.（2019?廣西）若點（1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函數y=（k<0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是

A．y1＞y2＞y3

B．y3＞y2＞y1

C．y1＞y3＞y2

D．y2＞y3＞y1

4.（2020·內江）如圖，點A是反比例函數圖象上的一點，過點A作軸，垂足為點C，D為AC的中點，若的面積為1，則k的值為（）

A.B.C.3

D.4

5.如圖，一次函數y1＝ax＋b與反比例函數y2＝的圖象如圖所示，當y1＜y2時，則x的取值范圍是()

A.x＜2

B.x＞5

C.2＜x＜5

D.0＜x＜2或x＞5

6.（2020·長沙）2019年10月，《長沙晚報》對外發布長沙高鐵兩站設計方案，該方案以三湘四水，杜鵑花開，塑造出杜鵑花開的美麗姿態，該高鐵站建設初期需要運送大量的土石方，某運輸公司承擔了運送總量為106

m3土石方的任務，該運輸公司平均運送土石方的速度v（單位：m3/天）與完成運送任務所需的時間t（單位：天）之間的函數關系式是

（）

A．

B．

C．

D．

7.(2019·江西)已知正比例函數y1的圖象與反比例函數y2的圖象相交于點A(2，4)，下列說法正確的是

A．反比例函數y2的解析式是y2=–

B．兩個函數圖象的另一交點坐標為(2，–4)

C．當x<–2或0

D．正比例函數y1與反比例函數y2都隨x的增大而增大

8.在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH垂直平分AC，點H為垂足．設AB＝x，AD＝y，則y關于x的函數關系用圖象大致可以表示為()

二、填空題

9.已知反比例函數y＝的圖象在每一個象限內y隨x的增大而增大，請寫一個符合條件的反比例函數解析式____________．

10.已知函數y＝－，當自變量的取值為－1＜x＜0或x≥2，函數值y的取值____________．

11.已知點(m－1，y1)，(m－3，y2)是反比例函數y＝(m<0)圖象上的兩點，則y1________y2(填“>”或“＝”或“<”)．

12.如圖，直線y1＝kx(k≠0)與雙曲線y2＝(x>0)交于點A(1，a)，則y1>y2的解集為________．

13.（2019?山西）如圖，在平面直角坐標中，點O為坐標原點，菱形ABCD的頂點B在x軸的正半軸上，點A坐標為（–4，0），點D的坐標為（–1，4），反比例函數y=（x＞0）的圖象恰好經過點C，則k的值為__________．

14.(2019·貴州安順)如圖，直線l⊥x軸于點P，且與反比例函數y1=(x>0)及y2=(x>0)的圖象分別交于A、B兩點，連接OA、OB，已知△OAB的面積為4，則k1﹣k2=__________．

15.如圖，點A在函數y＝(x>0)的圖象上，且OA＝4，過點A作AB⊥x軸于點B，則△ABO的周長為________．

16.如圖，已知點A，C在反比例函數y＝的圖象上，點B，D在反比例函數y＝的圖象上，a>b>0，AB∥CD∥x軸，AB，CD在x軸的兩側，AB＝，CD＝，AB與CD間的距離為6，則a－b的值是________．

三、解答題

17.如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，菱形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，頂點C的坐標為(1，)．

(1)求圖象過點B的反比例函數的解析式；

(2)求圖象過點A、B的一次函數的解析式；

(3)在第一象限內，當以上所求一次函數的圖象在所求反比例函數的圖象下方時，請直接寫出自變量x的取值范圍．

18.某藥品研究所開發一種抗菌新藥．經多年動物實驗，首次用于臨床人體試驗，測得成人服藥后血液中藥物濃度y(微克/毫升)與服藥時間x小時之間函數關系如圖所示(當4≤x≤10時，y與x成反比例)．

(1)根據圖象分別求出血液中藥物濃度上升和下降階段y與x之間的函數關系式；

(2)問血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續時間為多少小時？

19.如圖，直線y1＝－x＋4，y2＝x＋b都與雙曲線y＝交于點A(1，m)．這兩條直線分別與x軸交于B，C兩點．

(1)求y與x之間的函數關系式；

(2)直接寫出當x>0時，不等式x＋b>的解集；

(3)若點P在x軸上，連接AP，且AP把△ABC的面積分成1∶3兩部分，求此時點P的坐標．

20.（2019?廣東）如圖，一次函數y=k1x+b的圖象與反比例函數y=的圖象相交于A、B兩點，其中點A的坐標為（–1，4），點B的坐標為（4，n）．

（1）根據圖象，直接寫出滿足k1x+b＞的x的取值范圍；

（2）求這兩個函數的表達式；

（3）點P在線段AB上，且S△AOP：S△BOP=1：2，求點P的坐標．

21.環保局對某企業排污情況進行檢測，結果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標，即硫化物的濃度超過最高允許的1.0

mg/L.環保局要求該企業立即整改，在15天以內(含15天)排污達標．整改過程中，所排污水中硫化物的濃度y(mg/L)與時間x(天)的變化規律如圖所示．其中線段AB表示前3天的變化規律，從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時間x成反比例關系．

(1)求整改過程中硫化物的濃度y與時間x的函數表達式；

(2)該企業所排污水中硫化物的濃度，能否在15天以內不超過最高允許的1.0mg/L？為什么？

22.(2019·甘肅慶陽)如圖，已知反比例函數y=(k≠0)的圖象與一次函數y=﹣x+b的圖象在第一象限交于A(1，3)，B(3，1)兩點．

(1)求反比例函數和一次函數的表達式；

(2)已知點P(a，0)(a>0)，過點P作平行于y軸的直線，在第一象限內交一次函數y=﹣x+b的圖象于點M，交反比例函數y=上的圖象于點N．若PM>PN，結合函數圖象直接寫出a的取值范圍．

23.（2019?河南）模具廠計劃生產面積為4，周長為m的矩形模具．對于m的取值范圍，小亮已經能用“代數”的方法解決，現在他又嘗試從“圖形”的角度進行探究，過程如下：

（1）建立函數模型

設矩形相鄰兩邊的長分別為x，y，由矩形的面積為4，得xy=4，即y=；由周長為m，得2（x+y）=m，即y=–x+．滿足要求的（x，y）應是兩個函數圖象在第__________象限內交點的坐標．

（2）畫出函數圖象

函數y=（x＞0）的圖象如圖所示，而函數y=–x+的圖象可由直線y=–x平移得到．請在同一直角坐標系中直接畫出直線y=–x．

（3）平移直線y=–x，觀察函數圖象

①當直線平移到與函數y=（x＞0）的圖象有唯一交點（2，2）時，周長m的值為__________；

②在直線平移過程中，交點個數還有哪些情況？請寫出交點個數及對應的周長m的取值范圍．

（4）得出結論

若能生產出面積為4的矩形模具，則周長m的取值范圍為__________．

24.(2019·浙江金華)如圖，在平面直角坐標系中，正六邊形ABCDEF的對稱中心P在反比例函數y(k>0，x>0)的圖象上，邊CD在x軸上，點B在y軸上，已知CD=2．

(1)點A是否在該反比例函數的圖象上？請說明理由；

(2)若該反比例函數圖象與DE交于點Q，求點Q的橫坐標；

(3)平移正六邊形ABCDEF，使其一邊的兩個端點恰好都落在該反比例函數的圖象上，試描述平移過程．

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第二十六章

反比例函數

綜合訓練-答案

一、選擇題

1.【答案】B　【解析】圖象經過一，三象限，則它可能是正比例函數或反比例函數；在每一個象限內，y隨x的增大而減小，則它是反比例函數，并且反比例函數中的比例系數大于0，故本題選B.2.【答案】D　【解析】函數y＝(k≠0，x＞0)的圖象在第一象限，則k＞0，x＞0.由已知得z＝＝

＝，所以z關于x的函數圖象是一條射線，且在第一象限，故選D.3.【答案】C

【解析】∵k<0，∴在每個象限內，y隨x值的增大而增大，∴當x=–1時，y1＞0，∵2<3，∴y2

4.【答案】

D

【解析】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義、反比例函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用反比例函數的性質解答．先設出點A的坐標，進而表示出點D的坐標，利用△ADO的面積建立方程求出，即可得出結論．

∵點A的坐標為（m，2n），∴，∵D為AC的中點，∴D（m，n），∵AC⊥軸，△ADO的面積為1，∴，∴，∴，因此本題選D．

5.【答案】D　【解析】根據圖象得：當y1＜y2時，x的取值范圍是0＜x＜2或x＞5.6.【答案】A

【解析】本題考查了對實際問題的解析能力，根據題意找到函數中的數量關系，運送速度＝運送總量÷時間，因此本題選A．

7.【答案】C

【解析】∵正比例函數y1的圖象與反比例函數y2的圖象相交于點A(2，4)，∴正比例函數y1=2x，反比例函數y2=，∴兩個函數圖象的另一個交點為(–2，–4)，∴A，B選項錯誤；

∵正比例函數y1=2x中，y隨x的增大而增大，反比例函數y2=中，在每個象限內y隨x的增大而減小，∴D選項錯誤，∵當x<–2或0

8.【答案】D　【解析】∵DH垂直平分AC，AC＝4，∴AH＝CH＝AC＝×4＝2，CD＝AD＝y.在Rt△ADH中，DH＝＝，在Rt△ABC中，BC＝＝，∵S四邊形ABCD＝S△ACD＋S△ABC，∴(y＋x)·＝×4×＋x·，即y·＝4×，兩邊平方得y2(42－x2)＝16(y2－22)，16y2－x2y2＝16y2－64，∴(xy)2＝64，∵x＞0，y＞0，∴xy＝8，∴y與x的函數關系式為：y＝(0＜x＜4)，故選D.二、填空題

9.【答案】y＝－(答案不唯一)

【解析】∵反比例函數的圖象在每一個象限內y隨x的增大而增大，∴k＜0，∴k可取－2(答案不唯一)．

10.【答案】y＞1或－≤y＜0

【解析】∵函數y＝－，∴該反比例函數圖象在二、四象限，且在二、四象限都隨x的增大而增大，畫出草圖如解圖，當－1＜x＜0時，y＞1；當x≥2時，－≤y＜0，∴函數值y的取值為y＞1或－≤y＜0.11.【答案】＞

【解析】∵m＜0，∴反比例函數y＝的圖象位于第二、四象限，且在每一象限內y隨x的增大而增大，又∵m－1＞m－3，∴y1＞y2.12.【答案】x＞1

【解析】當x＞1時，直線的圖象在雙曲線圖象的上方，即y1＞y2.因此，y1＞y2的解集為x＞1.13.【答案】16

【解析】過點C、D作CE⊥x軸，DF⊥x軸，垂足為E、F，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，易證△ADF≌△BCE，∵點A（–4，0），D（–1，4），∴DF=CE=4，OF=1，AF=OA–OF=3，在Rt△ADF中，AD=＝5，∴OE=EF–OF=5–1=4，∴C（4，4），∴k=4×4=16，故答案為：16．

14.【答案】8

【解析】根據反比例函數k的幾何意義可知：△AOP的面積為k1，△BOP的面積為k2，∴△AOB的面積為k1﹣k2，∴k1﹣k2=4，∴k1﹣k2=8，故答案為8．

15.【答案】2＋4　【解析】設點A的坐標為(x，y)，根據反比例函數的性質得，xy＝4，在Rt△ABO中，由勾股定理得，OB2＋AB2＝OA2，∴x2＋y2＝16，∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝16＋8＝24，又∵x＋y>0，∴x＋y＝2，∴△ABC的周長＝2＋4.16.【答案】3　【解析】設點A的縱坐標為y1，點C的縱坐標為y2，∵AB∥CD∥x軸，∴點B的縱坐標為y1，點D的縱坐標為y2，∵點A在函數y＝的圖象上，點B在函數y＝的圖象上，且AB＝，∴－＝，∴y1＝，同理y2＝，又∵AB與CD間的距離為6，∴y1－

y2＝－＝6，解得a－b＝3.三、解答題

17.【答案】

(1)如解圖，過點C作CD⊥OA于點D，則OD＝1，CD＝，在Rt△OCD中，由勾股定理得OC＝＝2，∵四邊形OABC為菱形，∴BC＝AB＝OA＝OC＝2，則點B的坐標為(3，)，設反比例函數的解析式為y＝(k≠0)，∵其圖象經過點B，∴將B(3，)代入，得＝，解得k＝3，∴該反比例函數的解析式為y＝；

(2)∵OA＝2，∴點A的坐標為(2，0)，由(1)得B(3，)，設圖象經過點A、B的一次函數的解析式為y＝k′x＋b(k′≠0)，將A(2，0)，B(3，)分別代入，得，解得，∴該一次函數的解析式為y＝x－2；

(3)由圖象可得，滿足條件的自變量x的取值范圍是2＜x＜3.18.【答案】

解：(1)當0≤x≤4時，設直線解析式為y＝kx，將(4，8)代入得8＝4k，解得k＝2，∴直線解析式為y＝2x，(2分)

當4≤x≤10時，設反比例函數解析式為y＝，將(4，8)代入得8＝，解得a＝32，∴反比例函數解析式為y＝，(4分)

∴血液中藥物濃度上升階段的函數關系式為y＝2x(0≤x≤4)，下降階段的函數關系式為y＝(4≤x≤10)．(5分)

(2)當y＝4，則4＝2x，解得x＝2，當y＝4，則4＝，解得x＝8，∵8－2＝6(小時)，(7分)

∴血液中藥物濃液不低于4微克/毫升的持續時間為6小時．(8分)

19.【答案】

(1)∵直線y1＝－x＋4，y2＝x＋b都與雙曲線y＝交于點A(1，m)，∴將A(1，m)分別代入三個解析式，得，解得，∴y2＝x＋，y＝；

(2)當x>0時，不等式x＋b>的解集為x>1；

(3)將y＝0代入y1＝－x＋4，得x＝4，∴點B的坐標為(4，0)，將y＝0代入y2＝x＋，得x＝－3，∴點C的坐標為(－3，0)，∴BC＝7，又∵點P在x軸上，AP把△ABC的面積分成1∶3兩部分，且△ACP和△ABP等高，∴當PC＝BC時，＝，此時點P的坐標為(－3＋，0)，即P(－，0)；

當BP＝BC時，＝，此時點P的坐標為(4－，0)，即P(，0)，綜上所述，滿足條件的點P的坐標為(－，0)或(，0)．

20.【答案】

（1）由圖象可得：k1x+b＞的x的取值范圍是x<–1或0

（2）直線解析式y=–x+3，反比例函數的解析式為y=–；

（3）P（，）．

【解析】（1）∵點A的坐標為（–1，4），點B的坐標為（4，n）．

由圖象可得：k1x+b＞的x的取值范圍是x<–1或0

（2）∵反比例函數y=的圖象過點A（–1，4），B（4，n），∴k2=–1×4=–4，k2=4n，∴n=–1，∴B（4，–1），∵一次函數y=k1x+b的圖象過點A，點B，∴，解得k=–1，b=3，∴直線解析式y=–x+3，反比例函數的解析式為y=–；

（3）設直線AB與y軸的交點為C，∴C（0，3），∵S△AOC=×3×1=，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×1+×3×4=，∵S△AOP：S△BOP=1：2，∴S△AOP=×=，∴S△COP=–=1，∴×3xP=1，∴xP=，∵點P在線段AB上，∴y=–+3=，∴P（，）．

21.【答案】

解：(1)當0≤x≤3時，設線段AB的解析式為y＝kx＋b，代入點A(0，10)，B(3，4)，得：，解得，(3分)

∴線段AB的解析式為y＝－2x＋10.(5分)

當x>3時，設反比例函數的解析式為y＝，代入點B(3，4)，得m＝12，∴反比例函數的解析式為y＝，∴y與x之間的函數關系式為y＝.(8分)

(2)能．理由如下：

當x＝15時，代入y＝，得y＝0.8<1.0，(9分)

所以企業能在15天內使所排污水的硫化物的濃度不超過1.0

mg/L.(10分)

【一題多解】可令y＝＝1，則x＝12＜15.(9分)

所以企業能在15天內使所排污水的硫化物的濃度不超過1.0

mg/L.(10分)

22.【答案】

(1)∵反比例函數y=(k≠0)的圖象與一次函數y=﹣x+b的圖象在第一象限交于A(1，3)，B(3，1)兩點，∴3=，3=﹣1+b，∴k=3，b=4，∴反比例函數和一次函數的表達式分別為y=，y=﹣x+4；

(2)由圖象可得：當1PN．

23.【答案】

（1）一；（2）見解析；（3）m≥8．

【解析】（1）x，y都是邊長，因此，都是正數，故點（x，y）在第一象限，答案為：一；

（2）圖象如下所示：

（3）①把點（2，2）代入y=–x+得：

2=–2+，解得：m=8；

②在直線平移過程中，交點個數有：0個、1個、2個三種情況，聯立y=和y=–x+并整理得：x2–mx+4=0，△=m2–4×4≥0時，兩個函數有交點，解得m≥8，即：0個交點時，m<8；1個交點時，m=8；2個交點時，m＞8．

（4）由（3）得：m≥8．

24.【答案】

(1)點A在該反比例函數的圖象上，理由見解析；(2)Q點橫坐標為；

【解析】(1)點A在該反比例函數的圖象上，理由如下：

如圖，過點P作x軸垂線PG，連接BP，∵P是正六邊形ABCDEF的對稱中心，CD=2，∴BP=2，G是CD的中點，∴PG，∴P(2，)，∵P在反比例函數y上，∴k=2，∴y，由正六邊形的性質，A(1，2)，∴點A在反比例函數圖象上；

(2)由題易得點D的坐標為(3，0)，點E的坐標為(4，)，設直線DE的解析式為y=ax+b，∴，∴，∴yx﹣3，聯立方程，解得x(負值已舍)，∴Q點橫坐標為；

(3)A(1，2)，B(0，)，C(1，0)，D(3，0)，E(4，)，F(3，2)，設正六邊形向左平移m個單位，向上平移n個單位，則平移后點的坐標分別為

∴A(1﹣m，2n)，B(﹣m，n)，C(1﹣m，n)，D(3﹣m，n)，E(4﹣m，n)，F(3﹣m，2n)，①將正六邊形向左平移兩個單位后，E(2，)，F(1，2)；

則點E與F都在反比例函數圖象上；

②將正六邊形向左平移–1個單位，再向上平移個單位后，C(2，)，B(1，2)，則點B與C都在反比例函數圖象上；

③將正六邊形向左平移2個單位，再向上平移–2個單位后，B(﹣2，)，C(﹣1，﹣2)；

則點B與C都在反比例函數圖象上．