第16課時　反比例函數

(70分)

一、選擇題(每題4分，共24分)

1．對于函數y＝，下列說法錯誤的是

(C)

A．它的圖象分布在第一、三象限

B．它的圖象是中心對稱圖形

C．當x＞0時，y的值隨x的增大而增大

D．當x＜0時，y的值隨x的增大而減小

2．[2017·自貢]一次函數y1＝k1x＋b和反比例函數y2＝(k1k2≠0)的圖象如圖16－1所示，若y1＞y2，則x的取值范圍是

(D)

圖16－1

A．－2＜x＜0或x＞1

B．－2＜x＜1

C．x＜－2或x＞1

D．x＜－2或0＜x＜1

【解析】

觀察函數圖象可知，當x＜－2或0＜x＜1時，直線y1＝k1x＋b在反比例函數y2＝的圖象上方，即若y1＞y2，則x的取值范圍是x＜－2或0＜x＜1.圖16－2

3．[2016·杭州]設函數y＝(k≠0，x＞0)的圖象如圖16－2所示，若z＝，則z關于x的函數圖象可能為

(D)

【解析】

∵y＝(k≠0，x＞0)，∴z＝＝(k≠0，x＞0)．

∵反比例函數y＝(k≠0，x＞0)的圖象在第一象限內，∴k＞0，∴＞0.∴z關于x的函數圖象為第一象限內，且不包括原點的正比例的函數圖象．

4．[2016·孝感]“科學用眼，保護視力”是青少年珍愛健康的具體表現．科學證實：近視眼鏡的度數y(度)與鏡片焦距x(m)成反比例．如果500度近視眼鏡鏡片的焦距為0.2

m，則表示y與x函數關系的圖象大致是

(B)

5．[2017·蘭州]如圖16－3，反比例函數y＝(x＜0)與一次函數y＝x＋4的圖象交

圖16－3

點A，B的橫坐標分別為－3，－1，則關于x的不等式＜x＋4(x＜0)的解集為

(B)

A．x<－3

B．－3＜x＜－1

C．－1

D．x<－3或－1＜x＜0

6．[2017·濰坊]一次函數y＝ax＋b與反比例函數y＝，其中ab＜0，a，b為常數，它們在同一坐標系中的圖象可以是

(C)

【解析】

∵ab＜0，∴a，b異號．選項A中由一次函數的圖象可知a＞0，b＜0，則a＞b，由反比例函數的圖象可知a－b＜0，即a＜b，產生矛盾，故A錯誤；選項B中由一次函數的圖象可知a＜0，b＞0，則a＜b，由反比例函數的圖象可知a－b＞0，即a＞b，產生矛盾，故B錯誤；選項C中由一次函數的圖象可知a＞0，b＜0，則a＞b，由反比例函數的圖象可知a－b＞0，即a＞b，與一次函數一致，故C正確；選項D中由一次函數的圖象可知a＜0，b＜0，則ab＞0，這與題設矛盾，故D錯誤．

二、填空題(每題4分，共24分)

7．[2017·淮安]若反比例函數y＝－的圖象經過點A(m，3)，則m的值是__－2__．

【解析】

把A(m，3)代入y＝－，得3＝－，解得m＝－2.8．[2016·山西]已知(m－1，y1)，(m－3，y2)是反比例函數y＝(m<0)圖象上的兩點，則y1__＞__y2(選填“>”“<”或“＝”)．

9．[2017·眉山]已知反比例函數y＝，當x＜－1時，y的取值范圍為__－2＜y＜0__．

【解析】

當x＝－1時，y＝－2，∵x＜0時，y隨x的增大而減小，圖象位于第三象限，∴y的取值范圍為－2＜y＜0.10．[2017·菏澤]直線y＝kx(k>0)與反比例函數y＝的圖象交于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點，則3x1y2－9x2y1的值為__36__．

【解析】

由圖象可知點A(x1，y1)，B(x2，y2)關于原點對稱，∴x1＝－x2,y1＝－y2，把A(x1，y1)代入雙曲線y＝，得x1y1＝6，∴3x1y2－9x2y1＝－3x1y1＋9x1y1

＝－18＋54＝36.11．[2017·漳州]如圖16－4，A，B是反比例函數y＝上的點，分別過點A，B作x軸和y軸的垂線段，若圖中陰影部分的面積為2，則兩個空白矩形面積的和為__8__．

圖16－4

第11題答圖

【解析】

由A，B為反比例函數圖象上的兩點，利用比例系數k的幾何意義，求出矩形ACOG與矩形BEOF的面積，再由陰影DGOF的面積求出空白矩形面積之和．如答圖，∵A，B是反比例函數y＝圖象上的點，∴S矩形ACOG

＝S矩形BEOF＝6，∵S陰影DGOF＝2，∴S矩形ADFC＋S矩形BDGE＝6＋6－2－2＝8.12．[2017·揚州]已知點A是反比例函數y＝－的圖象上的一個動點，連結OA，若將線段OA繞點O順時針旋轉90°得到線段OB，則點B所在圖象的函數表達式為__y＝__．

圖16－5

第12題答圖

【解析】

如答圖，分別過點A、點B作x軸的垂線，垂足分別為G和H，很容易發現這是一個“K”字型全等三角形，根據反比例函數比例系數k的幾何意義可以知道△AOG的面積是1，于是△BOH的面積也始終為1，再結合點B在第一象限的位置，可以知道動點B在反比例函數的圖象上，且k＝2，所以點B所在圖象的函數表達式為y＝.三、解答題(共22分)

13．(10分)[2017·常德]如圖16－6，已知反比例函數y＝的圖象經過點A(4，m)，AB⊥x軸，且△AOB的面積為2.(1)求k和m的值；

(2)若點C(x，y)也在反比例函數y＝的圖象上，當－3≤x≤－1時，求函數值y的取值范圍．

圖16－6

解：(1)∵反比例函數y＝的圖象經過點A(4，m)，AB⊥x軸于點B，△AOB的面積為2，∴OB×AB＝2，×4×m＝2，∴AB＝m＝1，∴A(4，1)，∴k＝xy＝4，∴反比例函數的表達式為y＝，即k＝4，m＝1；

(2)由(1)知反比例函數為y＝.∵k＝4＞0，∴當－3≤x≤－1時，y隨x的增大而減小，∵點C(x，y)也在反比例函數的圖象上，∴當

x＝－3時，y取最大值，ymax＝－；當x＝－1時，y取最小值，ymin＝－4，∴y的取值范圍為－4≤y≤－.14．(12分)[2017·內江]如圖16－7，已知A(－4，2)，B(n，－4)兩點是一次函數y＝kx＋b和反比例函數y＝圖象的兩個交點．

圖16－7

(1)求一次函數和反比例函數的表達式；

(2)求△AOB的面積；

(3)觀察圖象，直接寫出不等式kx＋b－＞0的解集．

解：(1)把

A(－4，2)代入y＝，得m＝2×(－4)＝－8，∴反比例函數的表達式為y＝－.把B(n，－4)代入y＝－，得－4n＝－8，解得n＝2.把A(－4，2)和B(2，－4)代入y＝kx＋b，得解得

∴一次函數的表達式為y＝－x－2；

(2)在y＝－x－2中，令y＝0，則x＝－2，即直線y＝－x－2與x軸交于點

C(－2，0)，∴OC＝2.∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×2＋×2×4＝6；

(3)由圖可得，不等式kx＋b－＞0的解集為x＜－4或0＜x＜2.(20分)

15．(6分))[2017·威海]如圖16－8，正方形ABCD的邊長為5，點A的坐標為

(－4，0)，點B在y軸上，若反比例函數y＝(k≠0)的圖象經過點C，則該反比例函數的表達式為

(A)

A．y＝

B．y＝

C．y＝

D．y＝

圖16－8

第15題答圖

【解析】

∵如答圖，過點C作CE⊥y軸于E，則△BCE≌△ABO，∴CE＝OB＝3，BE＝AO＝4，OE＝1，則點C坐標為(3，1)，∴k＝3，反比例函數表達式為y＝.圖16－9

16．(6分)[2017·溫州]如圖16－9，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸，y軸上，點B在第一象限，點D在邊BC上，且∠AOD＝30°，四邊形OA′B′D與四邊形OABD關于直線OD對稱(點A′和A，B和B′分別對應)，若AB＝1，反比例函數y＝(k≠0)的圖象恰好經過點A′，B，則k的值為____.【解析】

由點B在反比例函數上且AB＝1，可得OA＝k，由對稱性質可知OA′＝OA＝k，∠AOA′＝2∠AOD＝60°，∴點A′的坐標為，∵點A′在反比例函數上，∴k×k＝k，∴k＝.17．(8分)[2016·寧波]如圖16－10，A為函數y＝(x＞0)圖象上一點，連結OA，交函數y＝(x＞0)的圖象于點B，C是x軸上一點，且AO＝AC，則△ABC的面積為__6__．

圖16－10

【解析】

設點A的坐標為，點B的坐標為，∵C是x軸上一點，且AO＝AC，∴點C的坐標是(2a，0)，設過點O(0，0)，A的直線的表達式為y＝kx，∴＝k·a，解得k＝，又∵點B在y＝x上，∴＝·b，解得＝3或＝－3(舍去)，∴S△ABC＝S△AOC－S△OBC＝－＝9－3＝6.(10分)

18．(10分)[2016·湖州]已知點P在一次函數y＝kx＋b(k，b為常數，且k＜0，b＞0)的圖象上，將點P向左平移1個單位，再向上平移2個單位得到點Q，點Q也在該函數y＝kx＋b的圖象上．

(1)k的值是__－2__；

(2)如圖16－11，該一次函數的圖象分別與x軸，y軸交于A，B兩點，且與反比例函數y＝－的圖象交

于C，D兩點(點C在第二象限內)，過點C作CE⊥x軸于點E，記S1為四邊形CEOB的面積，S2為△OAB的面積，若＝，則b的值是__3__．

圖16－11

【解析】

(1)設點P的坐標為(m，n)，則點Q的坐標為(m－1，n＋2)，代入y＝kx＋b，得

解得k＝－2；

(2)∵BO⊥x軸，CE⊥x軸，∴BO∥CE，∴△AOB∽△AEC.又∵＝，∴＝＝.令一次函數y＝－2x＋b中，x＝0，則y＝b，∴BO＝b，令一次函數y＝－2x＋b中，y＝0，則0＝－2x＋b，解得x＝，即AO＝.∵△AOB∽△AEC，且＝，∴＝＝.∴AE＝AO＝b，CE＝BO＝b，OE＝AE－AO＝b.∵OE·CE＝|－4|＝4，即b2＝4，解得b＝3或－3(舍去)．