九年級(jí)第二十六章反比例函數(shù)

一、單選題

1．關(guān)于反比例函數(shù)y=下列說(shuō)法不正確的是（）

A．圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

B．當(dāng)x

0時(shí)，y隨x的增大而減小

C．圖象與坐標(biāo)軸無(wú)交點(diǎn)

D．圖象位于第二、四象限

【答案】D

【分析】

根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即可．

【詳解】

反比例函數(shù)y=，k=4>0，圖象位于一、三象限，與坐標(biāo)軸無(wú)交點(diǎn)，當(dāng)x>0時(shí)，y隨著x的增大而減小，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故A、B、C正確，不符合題意，D錯(cuò)誤，符合題意，故選D．

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

2．與點(diǎn)在同一反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】

根據(jù)在同一反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之積相等即可解答．

【詳解】

解：∵點(diǎn)

∴k=2×（-3）=-6

∴只有A選項(xiàng)：-1.5×4=-6．

故答案為A．

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，掌握同一反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之積相等是解答本題的關(guān)鍵．

3．已知：點(diǎn)A(1,y1)、B（2，y2）、C(－3，y3)都在反比例函數(shù)圖象上(k>0),則y1、y2、y3的關(guān)系是（）

A．y3

B．y1

C．y2

D．y3

【答案】D

【分析】

先根據(jù)反比例函數(shù)中k＜0判斷出函數(shù)圖象所在的象限及增減性，再根據(jù)各點(diǎn)橫坐標(biāo)的特點(diǎn)即可得出結(jié)論．

【詳解】

∵反比例函數(shù)（k>0），∴函數(shù)圖象的兩個(gè)分式分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∵-3＜0，∴點(diǎn)C（-3，y3）位于第三象限，∴y3<0；

∵2＞1＞0，∴A（1，y2）、B（2，y3）在第一象限，∵2＞1，∴0

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．

4．已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在雙曲線y＝上，如果x1＜x2，而且x1?x2＞0，則以下不等式一定成立的是（）

A．y1+y2＞0

B．y1﹣y2＞0

C．y1?y2＜0

D．＜0

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意可得x1＜x2，且x1、x2同號(hào)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得y1＞y2，即可求解．

【詳解】

反比例函數(shù)y＝的圖象分布在第一、三象限，在每一象限y隨x的增大而減小，而x1＜x2，且x1、x2同號(hào)，所以y1＞y2，即y1﹣y2＞0，故選：B．

【點(diǎn)睛】

本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

5．如圖，過(guò)反比例函數(shù)y＝3/x（x＞0）的圖象上任意兩點(diǎn)A，B分別作x軸的垂線，垂足為A′，B′，連接0A，0B，設(shè)AA′與OB的交點(diǎn)為P，ΔAOP與梯形PA′B′B的面積分別為S1，S2，則（）

A．S1＞S2

B．S1＝S2

C．S1＜S2

D．不確定

【答案】B

【分析】

易得△AOA′和△BOB′的面積相等，都減去公共部分△A′OP的面積可得S1、S2的大小關(guān)系．

【詳解】

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，b），∵A、B在反比例函數(shù)y＝上，∴S△AOA′＝S△BOB′＝，∴S△AOA′－S△A′OP＝S△BOB′－

S△A′OP，即S1＝S2．

故選：B．

【點(diǎn)睛】

考查反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之積等于反比例函數(shù)的比例系數(shù)．

6．已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，若，則與的大小關(guān)系是（）

A．

B．

C．

D．無(wú)法確定

【答案】A

【分析】

先根據(jù)函數(shù)解析式中的比例系數(shù)k確定函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)各象限內(nèi)函數(shù)的增減性即可得答案．

【詳解】

∵反比例函數(shù)中，k=-1＜0，∴此反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，在各象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∵，∴，故選：A．

【點(diǎn)睛】

本題考查反比例函數(shù)性質(zhì)，對(duì)于反比例函數(shù)（k≠0），當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)圖象在一、三象限，在各象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。划?dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)圖象在二、四象限，在各象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線軸，且直線分別與反比例函數(shù)和的圖象交于、兩點(diǎn)，若，則的值為（）．

A．-20

B．6

C．20

D．-12

【答案】A

【分析】

設(shè)，則有，根據(jù)題意易得，然后根據(jù)可求解．

【詳解】

解：設(shè)，根據(jù)題意得：

過(guò)點(diǎn)的直線軸，，，解得；

故選A．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查反比例函數(shù)的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．

8．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)，，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】

如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得，從而可得，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得，設(shè)，從而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，然后利用反比例函數(shù)的解析式可求出a的值，最后利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得．

【詳解】

如圖，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，設(shè)，則，將代入得：，解得或（不符題意，舍去），由兩點(diǎn)之間的距離公式得：，故選：B．

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

9．如圖，已知雙曲線經(jīng)過(guò)矩形的邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，且四邊形的面積為2．則（）

A．2

B．

C．1

D．4

【答案】A

【分析】

通過(guò)設(shè)Ｆ的坐標(biāo)，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用四邊形面積OFBE等于矩形面積OABC減去三角形COE和△AOF的面積作等量，解得k值即可．

【詳解】

解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)（m，），∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)（m，），則

S四邊形OEBF=S矩形OABC-S△COE-S△AOF，∴2=m（k>0)

∴2=2k-k，∴k=2，故選：A．

【點(diǎn)睛】

本題考查反比例函數(shù)的k的幾何意義以及反比例函數(shù)上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、矩形的性質(zhì)，難點(diǎn)是根據(jù)一點(diǎn)的坐標(biāo)表示其他點(diǎn)的坐標(biāo)．

10．如圖，點(diǎn)，都在雙曲線上，點(diǎn)分別是軸，軸上的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形周長(zhǎng)的最小值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】

先把A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出a，b的值，確定A，B的坐標(biāo)，再作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D，B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C，根據(jù)對(duì)稱性得到C點(diǎn)坐標(biāo)為，D點(diǎn)坐標(biāo)為，即可求解；

【詳解】

∵，點(diǎn)，都在雙曲線上，∴，∴，∴，作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D，B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C，連接CD，此時(shí)交x軸，y軸于P，Q，此時(shí)四邊形ABQP的周長(zhǎng)最小，∵QB=QC，PA=PD，∴四邊形ABQP的周長(zhǎng)，∴，∴四邊形ABQP的周長(zhǎng)的最小值為；

故答案選D．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，結(jié)合軸對(duì)稱最短路徑的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

二、填空題

11．直線y＝k1x＋b與雙曲線y＝交于A、B兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為1和5，則不等式k1x＋b＜的解集是_______．

【答案】0＜x＜1或x＞5．

【分析】

根據(jù)函數(shù)圖象，可得一次函數(shù)圖象在上方的部分，可得答案

【詳解】

解：∵直線y=k1x+b與雙曲線y=交于A、B兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為1和5，∴不等式k1x+b＜的解集是0＜x＜1或x＞5．

故答案為：0＜x＜1或x＞5．

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，一次函數(shù)圖象在下方的部分是不等式的解集．

12．已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，，將沿軸平移個(gè)單位后，某一邊的中點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為_(kāi)____．

【答案】或1或

【分析】

根據(jù)平移后落在反比例函數(shù)上的各邊中點(diǎn)分類討論，分別求出平移前的中點(diǎn)的坐標(biāo)和平移后中點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出平移距離，即為m的值．

【詳解】

解：①如圖1，的中點(diǎn)，平移后在的圖象上，∴，此時(shí)m=；

②如圖2，的中點(diǎn)，平移后在的圖象上，∴，此時(shí)m=3－2=1；

③如圖3，的中點(diǎn)，平移后在的圖象上，∴，此時(shí)m=2－=．

綜上：m=或1或

故答案為：或1或．

【點(diǎn)睛】

此題考查的是反比例函數(shù)與圖形題，掌握中點(diǎn)坐標(biāo)公式、利用反比例函數(shù)求點(diǎn)的坐標(biāo)和平移距離是解決此題的關(guān)鍵．

13．如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象上，點(diǎn)C，D在反比例函數(shù)y＝(k＞0)的圖象上，AC∥BD∥y軸，已知點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為1，2，△OAC與△ABD的面積之和為，則k的值為_(kāi)____．

【答案】3

【分析】

過(guò)A作x軸垂線，過(guò)B作x軸垂線，求出A（1，1），B（2，），C（1，k），D（2，），將面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換S△OAC＝S△COM﹣S△AOM，S△ABD＝S梯形AMND﹣S梯形AAMNB進(jìn)而求解．

【詳解】

解：過(guò)A作x軸垂線，過(guò)B作x軸垂線，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為1，2，∴A（1，1），B（2，），∵AC∥BD∥y軸，∴C（1，k），D（2，），∵△OAC與△ABD的面積之和為，S△ABD＝S梯形AMND﹣S梯形AAMNB，∴k＝3，故答案為3．

【點(diǎn)睛】

本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，k的幾何意義．能夠?qū)⑷切蚊娣e進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．

14．如圖，反比例函數(shù)在第一象限的圖象上有兩點(diǎn)它們的橫坐標(biāo)分別為，則的面積為_(kāi)__．

【答案】8

【分析】

根據(jù)題意結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)S△AEO=S△ACO＝S△OBD＝3，得出S四邊形AODB的值是解題關(guān)鍵．

【詳解】

解：如圖所示：

過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，∵反比例函數(shù)

在第一象限的圖象上有兩點(diǎn)A，B，它們的橫坐標(biāo)分別是1，3，∴x＝1時(shí)，y＝6；x＝3時(shí)，y＝2，故S△AEO＝S△OBD＝S△ACO=3，S四邊形AEDB＝

×（2+6）×2＝8，故△AOB的面積是：S四邊形AEDB

+

S四邊形AECO-S△ACO-S△OBD＝8．

故答案為：8．

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)，得出四邊形AODB的面積是解題關(guān)鍵．

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以AB為邊在第一象作正方形ABCD，則過(guò)D的反比例函數(shù)解析式為_(kāi)_______．

【答案】y=

【分析】

作DF⊥x軸于點(diǎn)F，先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，故可得出OB=6，OA=2，再根據(jù)AAS定理得出△OAB≌△FDA可得出OF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出D點(diǎn)坐標(biāo)，把D點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式求出k的值即可求得解析式．

【詳解】

解：作DF⊥x軸于點(diǎn)F．

在y=-3x+6中，令x=0，則y=6，即B（0，6），令y=0，則x=2，即A（2，0），則OB=6，OA=2，∵∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAF=90°，∵Rt△ABO中，∠BAO+∠DAF=90°，∴∠DAF=∠OBA，在△OAB與△FDA中，∴△OAB≌△FDA（AAS），∴AF=OB=6，DF=OA=2，∴OF=8，∴D（8，2），∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象上，∴k=8×2=16，∴反比例函數(shù)解析式為y=，故答案為y=

．

【點(diǎn)睛】

本題考查的是待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．

16．兩個(gè)反比例函數(shù)C1：y＝和C2：y＝在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，設(shè)點(diǎn)P在C1上，PC⊥x軸于點(diǎn)C，交C2于點(diǎn)A，PD⊥y軸于點(diǎn)D，交C2于點(diǎn)B，則四邊形PAOB的面積為_(kāi)____．

【答案】1

【解析】

試題解析：∵PC⊥x軸，PD⊥y軸，∴S矩形PCOD=2，S△AOC=S△BOD=，∴四邊形PAOB的面積=S矩形PCOD-S△AOC-S△BOD=2--=1.17．反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象如圖所示，下列關(guān)于該函數(shù)圖象的四個(gè)結(jié)論：①k＞0；②當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大；③該函數(shù)圖象關(guān)于直線y＝﹣x對(duì)稱；④若點(diǎn)（﹣2，3）在該反比例函數(shù)圖象上，則點(diǎn)（﹣1，6）也在該函數(shù)的圖象上．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有_____個(gè)．

【答案】3

【分析】

觀察反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象可得，圖象過(guò)第二象限，可得k＜0，然后根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可進(jìn)行判斷．

【詳解】

觀察反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象可知：圖象過(guò)第二象限，∴k＜0，所以①錯(cuò)誤；

因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大，所以②正確；

因?yàn)樵摵瘮?shù)圖象關(guān)于直線y＝﹣x對(duì)稱，所以③正確；

因?yàn)辄c(diǎn)（﹣2，3）在該反比例函數(shù)圖象上，所以k＝﹣6，則點(diǎn)（﹣1，6）也在該函數(shù)的圖象上，所以④正確．

所以其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3個(gè)．

故答案為：3．

【分析】

本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)D象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

三、解答題

18．已知y＝y(tǒng)1＋y2，y1與x成正比例，y2與x成反比例，并且當(dāng)x＝2時(shí)，y＝－4；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝5．求出y與x的函數(shù)表達(dá)式．

【答案】y＝－x－

【分析】

根據(jù)題意可分別設(shè)出其表達(dá)式，把(2，－4)，(－1,5)分別代入，求出待定系數(shù)，從而確定y與x的函數(shù)表達(dá)式．

【詳解】

解：∵y1與x成正比例，∴設(shè)y1＝k1x.∵y2與x成反比例，∴設(shè)y2＝.∴y＝y(tǒng)1＋y2＝k1x＋.把x＝2，y＝－4，x＝－1，y＝5分別代入y＝k1x＋，得，解得，∴y＝－x－．.【點(diǎn)睛】

本題是正、反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法步驟是解答的關(guān)鍵．

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)．

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）根據(jù)圖像直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，的取值范圍．

【答案】（1）y＝，y＝x﹣2；（2）當(dāng)﹣1＜x＜0或x＞3時(shí)，kx+b＞．

【分析】

（1）先把A點(diǎn)坐標(biāo)代入中求出m得到反比例函數(shù)解析式，然后利用待定系數(shù)法即可求一次函數(shù)解析式；

（2）結(jié)合函數(shù)圖象，寫(xiě)出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．

【詳解】

解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A（3，1），∴m＝3×1＝3，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝；

∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象過(guò)點(diǎn)A（3，1）和B（﹣1，﹣3），∴，解得，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x﹣2；

（2）當(dāng)﹣1＜x＜0或x＞3時(shí)，kx+b＞．

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)等知識(shí)，屬于常考題型，正確理解題意、掌握解答的方法是關(guān)鍵．

20．如圖，已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象與一次函數(shù)y＝﹣x+n的圖象交于第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)A（a，4）、B（8，b），過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，△AOC的面積為4．

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出的解集．

【答案】（1）反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y＝﹣，一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+3；（2）﹣2＜x＜0或x＞8．

【分析】

（1）由△AOC的面積為4，可求出a的值，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可確定反比例函數(shù)的關(guān)系式和一次函數(shù)的解析式．

（2）根據(jù)圖象觀察當(dāng)自變量x取何值時(shí)，一次函數(shù)圖象位于反比例函數(shù)圖象的下方即可，注意有兩部分．

【詳解】

解：（1）∵點(diǎn)A（a，4），∴AC＝4，∵S△AOC＝4，即OCAC=4，∴OC＝2，∵點(diǎn)A（a，4）在第二象限，∴a＝﹣2，∴A（﹣2，4），將A（﹣2，4）代入y＝得：k＝﹣8，代入y＝﹣x+n得：n＝3，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y＝﹣，一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+3；

（2）由圖象可以看出﹣x+n＜的解集為：﹣2＜x＜0或x＞8．

【點(diǎn)睛】

本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，三角形的面積、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，求得交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

21．如圖，已知A（1，6），B（n，﹣2）是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象和反比例函數(shù)y＝的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，直線AB與y軸交于C點(diǎn)．

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸雙曲線與點(diǎn)D，求△ABD的面積．

【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為：y＝，一次函數(shù)的解析式：y＝2x+4；（2）6．

【分析】

（1）將A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求出m的值，然后將B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出n的值．最后將A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式即可求出一次函數(shù)的解析式．

（2）根據(jù)直線解析式求得C的坐標(biāo)，把C的縱坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求得D的坐標(biāo)，然后根據(jù)S△ABD＝S△ACD+S△BCD求得即可．

【詳解】

解：（1）∵A（1，6）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴m＝1×6＝6，∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝，∵B（n，﹣2）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴n＝﹣3，∵A（1，6），B（n，﹣2）是一次函數(shù)y＝kx+b上的點(diǎn)，∴

解得：，∴一次函數(shù)的解析式：y＝2x+4；

（2）由直線y＝2x+4可知C（0，4），把y＝4代入y＝得，x＝，∴D（，4），∴CD＝，∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD＝×（6+2）＝6．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到函數(shù)解析式，然后用割補(bǔ)法求解三角形的面積．

22．學(xué)校的學(xué)生專用智能飲水機(jī)里水的溫度（℃）與時(shí)間（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)水的溫度為20℃時(shí)，飲水機(jī)自動(dòng)開(kāi)始加熱，當(dāng)加熱到100℃時(shí)自動(dòng)停止加熱（線段），隨后水溫開(kāi)始下降，當(dāng)水溫降至20℃時(shí)（為雙曲線的一部分），飲水機(jī)又自動(dòng)開(kāi)始加熱……根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：

（1）分別求出飲水機(jī)里水的溫度上升和下降階段與之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）下課時(shí)，同學(xué)們紛紛用水杯去盛水喝．此時(shí)，飲水機(jī)里水的溫度剛好達(dá)到100℃．據(jù)了解，飲水機(jī)1分鐘可以滿足12位同學(xué)的盛水要求，學(xué)生喝水的最佳溫度在30℃~45℃，請(qǐng)問(wèn)在大課間30分鐘時(shí)間里有多少位同學(xué)可以盛到最佳溫度的水？

【答案】（1）（0≤x≤9）；（9≤x≤45）；（2）可以盛到最佳溫度水的同學(xué)有120人．

【分析】

（1）設(shè)線段的函數(shù)表達(dá)式為：（0≤x≤9）將，代入解析式中即可求出結(jié)論，然后設(shè)雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為：，將代入即可求出結(jié)論；

（2）如圖，依題意得：，在上，代入求出m和n的值即可求出結(jié)論．

【詳解】

解：（1）設(shè)線段的函數(shù)表達(dá)式為：（0≤x≤9）

∵，在上

∴，解得：

∴線段的函數(shù)表達(dá)式為：（0≤x≤9）

設(shè)雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為：，將代入，得

∴

∴雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為

當(dāng)y=20時(shí)，解得x=45

∴雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為（9≤x≤45）

（2）如圖，依題意得：，在上

∴，∴可以盛到最佳溫度水的同學(xué)有：人．

【點(diǎn)睛】

此題考查的是反比例函數(shù)和一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握實(shí)際意義、利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式是解決此題的關(guān)鍵．

23．如圖1，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象交x軸、y軸分別于B、A兩點(diǎn)，反比例函數(shù)y＝的圖象過(guò)線段AB的中點(diǎn)C（﹣2，1.5）．

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖2，在反比例函數(shù)上存在異于C點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于N，在y軸上存在點(diǎn)P，使得S△ACP＝2S△MNO，請(qǐng)你求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為，一次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）或．

【分析】

（1）先根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)的解析式，再根根線段中點(diǎn)的定義可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法可求出一次函數(shù)的解析式；

（2）先根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義可得的面積，從而可得的面積，再根據(jù)三角形的面積公式即可得．

【詳解】

（1）將點(diǎn)代入得：，解得，則反比例函數(shù)的表達(dá)式為；

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，由題意得：，解得，即，將點(diǎn)代入得：，解得，則一次函數(shù)的表達(dá)式為；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，由反比例函數(shù)的幾何意義得：，，的AP邊上的高為2，解得或，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式、反比例函數(shù)的幾何意義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．

24．反比例函數(shù)(為常數(shù)．且)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．．

(1)求反比例函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)在軸上找一點(diǎn)．使的值最小，①求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；②求的面積．

【答案】（1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）；（2）①P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；②

【分析】

（1）先把A點(diǎn)坐標(biāo)代入求出k得到反比例函數(shù)解析式；然后把B（3，m）代入反比例函數(shù)解析式求出m得到B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′交x軸于P點(diǎn)，則A′（1，-3），利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)PA+PB的值最小，再利用待定系數(shù)法求出直線BA′的解析式，然后求出直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)；

②根據(jù)的面積=梯形ABDC的面積-△PAC的面積-△PBD的面積計(jì)算即可．

【詳解】

解：（1）把A（1，3）代入得k=1×3=3，∴反比例函數(shù)解析式為；

把B（3，m）代入得3m=3，解得m=1，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）；

（2）①作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′交x軸于P點(diǎn)，則A′（1，-3），∵PA+PB=PA′+PB=BA′，∴此時(shí)PA+PB的值最小，設(shè)直線BA′的解析式為y=mx+n，把A′（1，-3），B（3，1）代入得，解得，∴直線BA′的解析式為y=2x-5，當(dāng)y=0時(shí)，2x-5=0，解得x=，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；

②如圖，連接AB，作BD⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)A

A′與x軸交于點(diǎn)C，∵A（1，3），B（3，1），P（，0），∴AC=3，BD=1，CD=2，CP=，PD=，∴的面積=梯形ABDC的面積-△PAC的面積-△PBD的面積

=

=

=．

【點(diǎn)睛】

本題考查用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式：先設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式（k為常數(shù)，k≠0）；再把已知條件（自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）代入解析式，得到待定系數(shù)的方程；接著解方程，求出待定系數(shù)；然后寫(xiě)出解析式．也考查了最短路徑問(wèn)題，面積的計(jì)算．

25．如圖，直線與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)．

（1）求的值；

（2）若與的面積比為2∶3，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)恰好落在函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）k=-6；（2）（1，4）；（3）（3，2）或（2，3）

【分析】

（1）將點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式中即可求出k的值；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于N，根據(jù)三角形的面積比可得，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求出DM，然后證出ACN和DCM都是等腰直角三角形，即可求出OM，從而求出結(jié)論；

（3）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于N，過(guò)點(diǎn)作G⊥x軸于G，設(shè)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為a（a＞0），即DM=a，然后用a表示出OM，利用AAS證出△GO≌△MOD，即可用a表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，將的坐標(biāo)反比例函數(shù)解析式中即可求出a的值，從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

【詳解】

解：（1）將點(diǎn)代入中，得

解得k=-6；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于N

∵與的面積比為2∶3

∴

∴

∵

∴AN=6，ON=1

∴DM=4

∵

∴ACN和DCM都是等腰直角三角形

∴CN=AN=6，CM=DM=4

∴OM=CN－CM－ON=1

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；

（3）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于N，過(guò)點(diǎn)作G⊥x軸于G

設(shè)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為a（a＞0），即DM=a

∵ACN和DCM都是等腰直角三角形

∴CN=AN=6，CM=DM=a

∴OM=CN－CM－ON=5－a

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5－a，a）

∵∠GO=∠OMD=∠OD=90°

∴∠GO＋∠OG=90°，∠MOD＋∠OG=90°，∴∠GO=∠MOD

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得O=OD

∴△GO≌△MOD

∴G=OM=5－a，OG=DM=a

∴的坐標(biāo)為（-a，5－a）

由（1）知，反比例函數(shù)解析式為

將的坐標(biāo)代入，得

解得：

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，2）或（2，3）．

【點(diǎn)睛】

此題考查的是反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合大題，掌握利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、等腰直角三角形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．