專題13

反比例函數中的直角三角形問題

1、如圖，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象交于A、B兩點，過點A作AC垂直x軸于點C，連結BC．若△ABC的面積為2．

（1）求k的值；

（2）x軸上是否存在一點D，使△ABD為直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

2、如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數y=（m≠0）的圖象交于A、B兩點，與x軸交于C點，點A的坐標為（n，6），點C的坐標為（-2，0），且tan∠ACO=2．

（1）求該反比例函數和一次函數的解析式；

（2）求點B的坐標；

（3）在x軸上求點E，使△ACE為直角三角形．（直接寫出點E的坐標）

【答案】（1）y=，y=2x+4；（2）B（-3，-2）；（3）E1（1，0），E2（13，0）

3、如圖，一次函數y＝kx+b（k≠0）與反比例函數y＝（a≠0）的圖象在第一象限交于A，B兩點，A點的坐標為（m，6），B點的坐標為（2，3），連接OA，過B作BC⊥y軸，垂足為C．

（1）求一次函數和反比例函數的表達式；

（2）在射線CB上是否存在一點D，使得△AOD是直角三角形，求出所有可能的D點坐標．

解：（1）∵點B（2，3）在反比例函數y＝的圖象上，∴a＝3×2＝6，∴反比例函數的表達式為y＝，∵點A的縱坐標為6，∵點A在反比例函數y＝圖象上，∴A（1，6），∴，∴，∴一次函數的表達式為y＝﹣3x+9；

（2）如圖，①當∠OD1A＝90°時，設BC與AO交于E，則E（，3），∴AE＝OE＝D1E＝，∵E（，3），∴D1的坐標為（，3）；

②當∠OAD2＝90°時，可得直線AD2的解析式為：y＝﹣x+，當y＝3時，x＝19，∴D2的坐標為（19，3），綜上所述，當△AOD是直角三角形，D點坐標為（，3）或（19，3）

4、如圖1，在平面直角坐標系xOy中，函數y＝（m為常數，m＞1，x＞0）的圖象經過點P（m，1）和Q（1，m），直線PQ與x軸，y軸分別交于C，D兩點．

（1）求∠OCD的度數；

（2）如圖2，連接OQ、OP，當∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC時，求此時m的值；

（3）如圖3，點A，點B分別在x軸和y軸正半軸上的動點．再以OA、OB為鄰邊作矩形OAMB．若點M恰好在函數y＝（m為常數，m＞1，x＞0）的圖象上，且四邊形BAPQ為平行四邊形，求此時OA、OB的長度．

解：（1）設直線PQ的解析式為y＝kx+b，則有，解得，∴y＝﹣x+m+1，令x＝0，得到y＝m+1，∴D（0，m+1），令y＝0，得到x＝m+1，∴C（m+1，0），∴OC＝OD，∵∠COD＝90°，∴∠OCD＝45°．

（2）如圖2，過Q作QM⊥y軸于M，過P作PN⊥OC于N，過O作OH⊥CD于H，∵P（m，1）和Q（1，m），∴MQ＝PN＝1，OM＝ON＝m，∵∠OMQ＝∠ONP＝90°，∴△OMQ≌△ONP（SAS），∴OQ＝OP，∠DOQ＝∠POC，∵∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC，∠OCD＝45°，∴∠DOQ＝∠POC＝∠QOH＝∠POH＝22.5°，∴MQ＝QH＝PH＝PN＝1，∵∠OCD＝∠ODC＝45°，∴△DMQ和△CNP都是等腰直角三角形，∴DQ＝PC＝，∵OC＝OD＝m+1，∴CD＝OC＝，∵CD＝DQ+PQ+PC，∴＝2+2，∴m＝+1；

（3）如圖3，∵四邊形BAPQ為平行四邊形，∴AB∥PQ，AB＝PQ，∴∠OAB＝45°，∵∠AOB＝90°，∴OA＝OB，∴矩形OAMB是正方形，∵點M恰好在函數y＝（m為常數，m＞1，x＞0）的圖象上，∴M（，），即OA＝OB＝，∵AB＝PQ，∴，解得：m＝或（舍），∴OA＝OB＝＝＝＝．

5、如圖，反比例函數y＝的圖象經過點，射線AB與反比例函數的圖象的另一個交點為B（﹣1，a），射線AC與x軸交于點E，與y軸交于點C，∠BAC＝75°，AD⊥y軸，垂足為D．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）求DC的長；

（3）在x軸上是否存在點P，使得△APE與△ACD相似，若存在，請求出滿足條件點P的坐標，若不存在，請說明理由．

解：（1）∵反比例函數y＝的圖象經過點，∴k＝﹣2，∴反比例函數的解析式為：；

（2）過點B作BM⊥AD于M，把B（﹣1，a）代入得，∴B（﹣1，2），∴AM＝BM＝2﹣1，∴∠BAM＝45°，∵∠BAC＝75°，∴∠DAC＝75°﹣45°＝30°，∴CD＝AD?tan∠DAC＝2×＝2；

（3）存在，如圖，∵OC＝CD﹣OD＝1，∴OE＝OC＝，①當AP⊥x軸時，△APE～△CDA，則：OP1＝AD＝2，∴P1（﹣2，0），②當AP⊥AE時，△APE～△DCA，∵AP1＝1，∠AP2P1＝90°﹣30°＝60°∴

則，綜上所述，滿足條件點P的坐標為（﹣2，0），（﹣，0）．

6、如圖①，直線y＝﹣x+b與反比例函數y＝（x＞0）的圖象交于A（2，6），B（a，3）兩點，BC∥x軸（點C在點B的右側），且BC＝m，連接OC，過點C作CD⊥x軸于點D，交反比例函數圖象于點E．

（1）求b的值和反比例函數的解析式；

（2）填空：不等式﹣x+b＞的解為；

（3）當OC平分∠BOD時，求的值；

（4）如圖②，取BC中點F，連接DF，AF，BD，當四邊形ABDF為平行四邊形時，求點F的坐標．

（1）將A（2，6）代入y＝﹣x+b得，﹣3+b＝6，解得：b＝9，將A（2，6）代入y＝得，k＝12，∴反比例函數的解析式為：y＝；

（2）當y＝3時，3＝，解得：x＝4，∴B（4，3），由圖象可知不等式﹣x+b＞的解為：2＜x＜4，故答案為：2＜x＜4；

（3）將B（a，3）代入y＝得，＝3，解得：a＝4，∵OC平分∠BOD，∴∠BOC＝∠COD，∵BC∥x軸，∴∠BCO＝∠COD，∴∠BOC＝∠BCO，∴OB＝BC，∵B（4，3），∴OB＝BC＝5，∴C（9，3），∴E（9，），D（9，0），∴DE＝，CE＝3﹣＝，∴＝＝；

（4）作AH⊥BC于H，則H（2，3），∴AH＝3，BH＝2，∵四邊形ABDF為平行四邊形，∴AB∥DF，AB＝DF，∴∠CFD＝∠CBQ，∵∠AHB＝∠DCF＝90°，∠ABH＝∠CBQ，∴∠CFD＝∠ABH，∴△ABH≌△DFC（AAS），∴CF＝BH＝2，∵F是BC中點，∴BF＝CF＝BC＝2，∵B（4，3），∴F（6，3）．

7、定義：在平面直角坐標系中，把點先向右平移1個單位，再向上平移2個單位的平移稱為一次斜平移．已知點A（1，0），點A經過n次斜平移得到點B，點M是線段AB的中點．

（1）當n＝3時，點B的坐標是，點M的坐標是；

（2）如圖1，當點M落在y＝的圖象上，求n的值；

（3）如圖2，當點M落在直線l上，點C是點B關于直線l的對稱點，BC與直線l相交于點N．

①求證：△ABC是直角三角形；

②當點C的坐標為（5，3）時，求MN的長．

解：（1）根據平移的性質，點A（1，0）經過n次斜平移得到點B的坐標為（1+n，2n），∴當n＝3時，點B的坐標是（4，6），∵點M是線段AB中點，∴點M的坐標是（2.5，3），故答案為：（4，6），（2.5，3）

（2）由題意，A（1，0），B（1+n，2n），∴線段AB中點M（，n），∵點M落在y＝的圖象上，∴×n＝4，解得n＝2或n＝﹣4（舍去），∴n＝2；

（3）①連接CM，如圖1，∵M是AB的中點，∴AM＝BM，由軸對稱可知：BM＝CM，∴AM＝CM＝BM，∴∠MAC＝∠ACM，∠MBC＝∠MCB，∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB＝180°，∴∠ACM+∠MCB＝90°，即∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形；

②∵點C的坐標為（5，3），點A（1，0），∴AC＝＝5，∵點C是點B關于直線l的對稱點，∴BN＝CN，∵點M是線段AB的中點．

∴AM＝BM，∴MN＝AC＝．

8、如圖（1），正方形ABCD頂點A、B在函數y＝（k＞0）的圖象上，點C、D分別在x軸、y軸的正半軸上，當k的值改變時，正方形ABCD的大小也隨之改變．

（1）若點A的橫坐標為5，求點D的縱坐標；

（2）如圖（2），當k＝8時，分別求出正方形A′B′C′D′的頂點A′、B′兩點的坐標；

（3）當變化的正方形ABCD與（2）中的正方形A′B′C′D′有重疊部分時，求k的取值范圍．

解：（1）如圖，過點A作AE⊥y軸于點E，則∠AED＝90°．

∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ODC+∠EDA＝90°．

∵∠ODC+∠OCD＝90°，∴∠EDA＝∠OCD，在△AED和△DOC中，∴△AED≌△DOC（AAS），∴OD＝EA＝5，∴點D的縱坐標為5；

（2）作A′M⊥y軸于M，B′N⊥x軸于點N，設OD′＝a，OC′＝b，同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E，∴C′N＝OD′＝A′M＝a，B′N＝C′O＝D′M＝b，∴A′（a，a+b），B′（a+b，b），∵點A′、B′在反比例函數y＝的圖象上，∴a（a+b）＝8，b（a+b）＝8，∴解得a＝b＝2或a＝b＝﹣2（舍去），∴A′、B′兩點的坐標分別為（2，4），（4，2）；

（3）設直線A′B′的解析式為y＝mx+n，把A′（2，4），B′（4，2）代入得，解得，∴直線A′B′解析式為y＝﹣x+6，同樣可求得直線C′D′解析式為y＝﹣x+2，由（2）可知△OCD是等腰直角三角形，設點A的坐標為（m，2m），點D坐標為（0，m），當A點在直線C′D′上時，則2m＝﹣m+2，解得m＝，此時點A的坐標為（，），∴k＝×＝；

當點D在直線A′B′上時，有m＝6，此時點A的坐標為（6，12），∴k＝6×12＝72；

綜上可知：當變化的正方形ABCD與（2）中的正方形A′B′C′D′有重疊部分時，k的取值范圍為≤x≤72．

9、如圖，如圖，一次函數y＝﹣x+b與反比例函數的圖象交于點A（m，1）和B

（1，﹣3）．

（1）填空：一次函數的解析式為，反比例函數的解析式為；

（2）點P是x軸正半軸上一點，連接AP，BP．當△ABP是直角三角形時，求出點P的坐標．

解：（1）∵點A（m，1）和B

（1，﹣3）在反比例函數的圖象上，∴k＝1×（﹣3）＝﹣3，k＝m×1，∴m＝﹣3，∴點A（﹣3，1），∴反比例函數解析式為：y＝；

∵一次函數y＝﹣x+b過點B（1，﹣3），∴﹣3＝﹣1+b，∴b＝﹣2，∴一次函數解析式為：y＝﹣x﹣2；

故答案為：y＝﹣x﹣2，；

（2）如圖1，當∠ABP＝90°時，過點P作CD⊥x軸，過點A作AC⊥DC于C，過點B作BD⊥CD于D，設點P的坐標為（x，0），∴AC＝x+3，CP＝1，PD＝3，BD＝x﹣1，∵∠APB＝90°，∴∠APC+∠BPD＝90°，又∵∠APC+∠CAP＝90°，∴∠CAP＝∠BPD，又∵∠C＝∠BDP＝90°，∴△ACP∽△PBD，∴，∴，∴x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），∴點P（﹣1+，0）；

當∠ABP＝90°時，∵直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點C，與y軸交于點D，∴點C（﹣2，0），點D（0，﹣2），∴OC＝2，OD＝2，CD＝2，BC＝3，∵tan∠OCD＝，∴，∴CP＝6，∵點C（﹣2，0），∴點P（4，0），綜上所述：點P的坐標為（，0）或（4，0）．

10、如圖，一次函數y＝﹣x+3的圖象與反比例函數y＝（k≠0）在第一象限的圖象交于A（1，a）和B兩點，與x軸交于點C．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）若點P在x軸上，且△APC的面積為5，求點P的坐標；

（3）若點P在y軸上，是否存在點P，使△ABP是以AB為一直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．

解：（1）把點A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2），把A（1，2）代入反比例函數，∴k＝1×2＝2；

∴反比例函數的表達式為；

（2）∵一次函數y＝﹣x+3的圖象與x軸交于點C，∴C（3，0），設P（x，0），∴PC＝|3﹣x|，∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，∴x＝﹣2或x＝8，∴P的坐標為（﹣2，0）或（8，0）；

（3）存在，理由如下：聯立，解得：或，∴B點坐標為（2，1），∵點P在y軸上，∴設P（0，m），∴AB＝＝，AP＝，PB＝，若BP為斜邊，∴BP2＝AB2+AP2，即

＝2+，解得：m＝1，∴P（0，1）；

若AP為斜邊，∴AP2＝PB2+AB2，即

＝+2，解得：m＝﹣1，∴P（0，﹣1）；

綜上所述：P（0，1）或

P（0，﹣1）．

11、如圖，直線y＝﹣x+6與反比例函數y＝（x＞0）分別交于點D、A（AB＜AC），經探索研究發現：結論AB＝CD始終成立．另一直線y＝mx（m＞0）交線段BC于點E，交反比例函數y＝（x＞0））圖象于點F．

（1）當BC＝5時：

①求反比例函數的解析式．

②若BE＝3CE，求點F的坐標．

（2）當BE：CD＝1：2時，請直接寫出k與m的數量關系．

解：（1）①針對于直線y＝﹣x+6，令x＝0，則y＝6，∴A（0，6），∴OA＝6，令y＝0，則0＝﹣x+6，∴x＝8，∴D（8，0），∴OD＝8，∴AD＝10，∵BC＝5，∴AB+CD＝AD﹣BC＝5，∵AB＝CD，∴AB＝，過點B作BG⊥y軸于G，∴∠AGB＝90°＝∠AOB，∵∠BAG＝∠DAO，∴△ABG∽ADO，∴，∴，∴AG＝，BG＝2，∴OG＝OA﹣AG＝，∴B（2，），∵點B在反比例函數y＝（x＞0））圖象上，∴k＝2×＝9，∴反比例函數的解析式為y＝；

②∵BC＝5，∴BE+CE＝5，∵BE＝3CE，∴BE＝，∴AE＝AB+BE＝，過點E作EH⊥y軸于H，∴∠AHE＝90°＝∠AOB，∵∠HAE＝∠OAD，∴△HAE∽△OAD，∴，∴，∴AH＝，BG＝5，∴OH＝OA﹣AH＝，∴E（5，），∴直線OE的解析式為y＝x，聯立，解得，（舍）或，∴F（2，）；

（2）∵BE：CD＝1：2，∴BE＝a，則CD＝2a，∴AB＝CD＝2a，∴AE＝AB+BE＝3a，過點E作EH⊥y軸于H，同（1）的方法得，△HAE∽△OAD，∴，∴，∴AH＝a，EH＝a，∴OH＝OA﹣AH＝6﹣a，∴E（a，6﹣a），將點E坐標代入直線y＝mx（m＞0）中，解得am＝6﹣a，∴a＝，將點E的坐標代入反比例函數y＝（x＞0）中，解得，k＝a（6﹣a）＝a（10﹣3a）＝×（10﹣）＝．

13、如圖，已知直線y＝2x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C，矩形ACBE的頂點B在第一象限的反比例函數y＝圖象上，過點B作BF⊥OC，垂足為F，設OF＝t．

（1）求∠ACO的正切值；

（2）求點B的坐標（用含t的式子表示）；

（3）已知直線y＝2x+2與反比例函數y＝圖象都經過第一象限的點D，聯結DE，如果DE⊥x軸，求m的值．

解：（1）∵直線y＝2x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C，∴點A（﹣1，0），點C（0，2）

∴OA＝1，OC＝2，∴tan∠ACO＝＝；

（2）∵四邊形ACBE是矩形，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCF＝90°，且∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACO＝∠CBF，∵OF＝t，∴CF＝2﹣t，∵tan∠CBF＝tan∠ACO＝，∴BF＝4﹣2t，∴點B（4﹣2t，t）；

（3）如圖，連接DE，交x軸于H點，∵DE⊥x軸，∴∠AHE＝90°，∴∠HAE+∠AEH＝90°，且∠CAO+∠HAE＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∠ACO+∠BCF＝90°，∴∠AEH＝∠BCF，且∠CFB＝∠AHE，AE＝BC，∴△BCF≌△AEH（AAS）

∴AH＝BF＝4﹣2t，CF＝HE，∵點A（﹣1，0），∴點H（3﹣2t，0），∴當x＝3﹣2t時，y＝2（3﹣2t）+2＝8﹣4t，∴點D坐標為（3﹣2t，8﹣4t），∵點D，點B都在反比例函數y＝上，∴（3﹣2t）（8﹣4t）＝t（4﹣2t）

∴t1＝2（不合題意舍去），t2＝；

∴點B（，）

∴m＝×＝．

14、如圖，過原點的直線y1＝mx（m≠0）與反比例函數y2＝（k＜0）的圖象交于A、B兩點，點A在第二象限，且點A的橫坐標為﹣1，點D在x軸負半軸上，連接AD交反比例函數圖象于另一點E，AC為∠BAD的平分線，過點B作AC的垂線，垂足為C，連接CE，若AD＝2DE，△AEC的面積為．

（1）根據圖象回答：當x取何值時，y1＜y2；

（2）求△AOD的面積；

（3）若點P的坐標為（m，k），在y軸的軸上是否存在一點M，使得△OMP是直角三角形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

解：（1）∵直線y1＝mx（m≠0）與反比例函數y2＝（k＜0）的圖象交于A、B兩點，且點A的橫坐標為﹣1，∴點A，點B關于原點對稱，∴點B的橫坐標為1，∴當x取﹣1＜x＜0或x＞1時，y1＜y2；

（2）連接OC，OE，由圖象知，點A，點B關于原點對稱，∴OA＝OB，∵AC⊥CB，∴∠ACB＝90°，∴OC＝AB＝AO，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC為∠BAD的平分線，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∴S△AEO＝S△ACE＝，∵AD＝2DE，∴AE＝DE，∴S△AOD＝2S△AOE＝3；

（3）作EF⊥x軸于F，作AH⊥x軸于H，則EF∥AH，∵AD＝2DE，∴DE＝EA，∵EF∥AH，∴＝＝1，∴DF＝FH，∴EF是△DHA的中位線，∴EF＝AH，∵S△OEF＝S△OAH＝﹣，∴OF?EF＝OH?HA，∴OH＝OF，∴OH＝HF，∴DF＝FH＝HO＝DO，∴S△OAH＝S△ADO＝3＝1，∴﹣＝1，∴k＝﹣2，∴y＝﹣，∵點A在y＝﹣的圖象上，∴把x＝﹣1代入得，y＝2，∴A（﹣1，2），∵點A在直線y＝mx上，∴m＝﹣2，∴P（﹣2，﹣2），在y軸上找到一點M，使得△OMP是直角三角形，當∠OMP＝90°時，PM⊥y軸，則OM＝2，∴點M的坐標為（0．﹣2）；

當∠OPM＝90°時，過P作PG⊥y軸于G，則△OPM是等腰直角三角形，∴OM＝2PG＝4，∴點M的坐標為（0．﹣4）；

綜上所述，點M的坐標為（0．﹣2）或（0，﹣4）．