專題八

立體幾何

第二十三講

空間中點、直線、平面之間的位置關(guān)系

2019年

1.(2019全國III文8）如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則

A．BM=EN，且直線BM、EN

是相交直線

B．BM≠EN，且直線BM，EN

是相交直線

C．BM=EN，且直線BM、EN

是異面直線

D．BM≠EN，且直線BM，EN

是異面直線

2.（2019全國1文19）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.（1）證明：MN∥平面C1DE；

（2）求點C到平面C1DE的距離．

3.（2019全國II文7）設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是

A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行

B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行

C．α，β平行于同一條直線

D．α，β垂直于同一平面

4.（2019北京文13）已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：

①l⊥m；②m∥；③l⊥．

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________．

5.（2019江蘇16）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．

求證：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BE⊥C1E．

6.（2019全國II文17）如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐的體積．

7.(2019全國III文19）圖1是由矩形ADEB、ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求圖2中的四邊形ACGD的面積.8.（2019北京文18）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點．

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由．

9.（2019天津文17）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，（Ⅰ）設(shè)分別為的中點，求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.10.（2019江蘇16）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．

求證：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BE⊥C1E．

11.（2019浙江19）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是AC，A1B1的中點.（1）證明：；

（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.12.（2019北京文18）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點．

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由．

13.（2019全國1文16）已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，PC=2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為___________．

14.（2019全國1文19）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.（1）證明：MN∥平面C1DE；

（2）求點C到平面C1DE的距離．

15.（2019天津文17）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，（Ⅰ）設(shè)分別為的中點，求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.16.（2019浙江8）設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱VA上的點（不含端點），記直線PB與直線AC所成角為α，直線PB與平面ABC所成角為β，二面角P-AC-B的平面角為γ，則

A．β<γ，α<γ

B．β<α，β<γ

C．β<α，γ<α

D．α<β，γ<β

17.（2019浙江19）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是AC，A1B1的中點.（1）證明：；

（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.2010-2018年

一、選擇題

1．(2018全國卷Ⅱ)在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為

A．

B．

C．

D．

2．(2018浙江)已知平面，直線，滿足，則“∥”是“∥”的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

3．（2017新課標(biāo)Ⅰ）如圖，在下列四個正方體中，為正方體的兩個頂點，，為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直接與平面不平行的是

4．（2017新課標(biāo)Ⅲ）在正方體中，為棱的中點，則

A．

B．

C．

D．

5．（2016年全國I卷）平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，∥平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1

A1=n，則m，n所成角的正弦值為

A．

B．

C．

D．

6．（2016年浙江）已知互相垂直的平面

交于直線l．若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則

A．m∥l

B．m∥n

C．n⊥l

D．m⊥n

7．（2015新課標(biāo)1）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問”積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有

A．斛

B．斛

C．斛

D．斛

8．（2015新課標(biāo)2）已知、是球的球面上兩點，為該球面上的動點．若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為

A．

B．

C．

D．

9．（2015廣東）若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，是平面與平面的交線，則下列命題正確的是

A．與，都不相交

B．與，都相交

C．至多與，中的一條相交

D．至少與，中的一條相交

10．（2015浙江）如圖，已知，是的中點，沿直線將翻折成，所成二面角的平面角為，則

11．（2014廣東）若空間中四條兩兩不同的直線，滿足，則下面結(jié)論一定正確的是

A．

B．

C．既不垂直也不平行

D．的位置關(guān)系不確定

12．（2014浙江）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面

A．若，則

B．若，則

C．若則

D．若，，則

13．（2014遼寧）已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是

A．若則

B．若，則

C．若，則

D．若，則

14．（2014浙江）如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點處進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知點到墻面的距離為，某目標(biāo)點沿墻面的射擊線移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點，需計算由點觀察點的仰角的大小（仰角為直線與平面所成角）。若，則的最大值

A．

B．

C．

D．

15．（2014四川）如圖，在正方體中，點為線段的中點。設(shè)點在線段上，直線

與平面所成的角為，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

16．（2013新課標(biāo)2）已知為異面直線，⊥平面，⊥平面．直線滿足，則

A．且

B．⊥且⊥

C．與相交，且交線垂直于

D．與相交，且交線平行于

17．（2013廣東）設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面，下列命題中正確的是

A．若，,則

B．若，,則

C．若，,則

D．若，,則

18．（2012浙江）設(shè)是直線，是兩個不同的平面

A．若∥，∥，則∥

B．若∥，⊥，則⊥

C．若⊥，⊥，則⊥

D．若⊥,∥，則⊥

19．（2012浙江）已知矩形，．將沿矩形的對角線所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中，A．存在某個位置，使得直線與直線垂直

B．存在某個位置，使得直線與直線垂直

C．存在某個位置，使得直線與直線垂直

D．對任意位置，三對直線“與”，“與”，“與”均不垂直

20．（2011浙江）下列命題中錯誤的是

A．如果平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面

B．如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面

C．如果平面，平面，那么

D．如果平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面

21．（2010山東）在空間，下列命題正確的是

A．平行直線的平行投影重合B．平行于同一直線的兩個平面平行

C．垂直于同一平面的兩個平面平行

D．垂直于同一平面的兩條直線平行

二、填空題

22．(2018全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為_____．

三、解答題

23．（2018全國卷Ⅱ）如圖，在三棱錐中，，為的中點．

(1)證明：平面；

(2)若點在棱上，且，求點到平面的距離．

24．（2018全國卷Ⅲ）如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．

(1)證明：平面平面；

(2)在線段上是否存在點，使得平面？說明理由．

25．（2018北京）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面⊥平面，⊥，=，分別為，的中點．

(1)求證：⊥；

(2)求證：平面⊥平面；

(3)求證：∥平面．

26．（2018天津）如圖，在四面體中，是等邊三角形，平面⊥平面，點為棱的中點，，．

(1)求證：⊥；

(2)求異面直線與所成角的余弦值；

(3)求直線與平面所成角的正弦值．

27．(2018江蘇)在平行六面體中，．

求證：(1)平面；

(2)平面平面．

28．(2018浙江)如圖，已知多面體，，均垂直于平面，，．

(1)證明：⊥平面；

(2)求直線與平面所成的角的正弦值．

29．（2017新課標(biāo)Ⅱ）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，．

(1)證明：直線∥平面；

(2)若的面積為，求四棱錐的體積。

30．（2017新課標(biāo)Ⅲ）如圖，四面體中，是正三角形，．

(1)證明：；

(2)已知是直角三角形，．若為棱上與不重合的點，且，求四面體與四面體的體積比．

31．（2017天津）如圖，在四棱錐中，平面，，，．

（Ⅰ）求異面直線與所成角的余弦值；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

32．（2017山東）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為正方形，為與的交點，為的中點，平面，（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）設(shè)是的中點，證明：平面平面．

33．（2017北京）如圖，在三棱錐中，，，為線段的中點，為線段上一點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）當(dāng)∥平面時，求三棱錐的體積．

34．（2017浙江）如圖，已知四棱錐，是以為斜邊的等腰直角三角形，，為的中點．

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

35．（2017江蘇）如圖，在三棱錐中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD．

求證：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC．

36．（2017江蘇）如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線的長為10cm，容器Ⅱ的兩底面對角線，的長分別為14cm和62cm．

分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．

現(xiàn)有一根玻璃棒，其長度為40cm．（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計）

（1）將放在容器Ⅰ中，的一端置于點處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度；

（2）將放在容器Ⅱ中，的一端置于點處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度．

37．（2016年山東）在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB.（I）已知AB=BC，AE=EC.求證：AC⊥FB；

（II）已知G，H分別是EC和FB的中點.求證：GH∥平面ABC.38．（2016年天津）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60o，G為BC的中點.(Ⅰ)求證：FG平面BED；

(Ⅱ)求證：平面BED平面AED；

(Ⅲ)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.39．（2016年全國I卷）如圖，已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，頂點在平面內(nèi)的正投影為點，在平面內(nèi)的正投影為點，連結(jié)并延長交于點．

（I）證明：是的中點；

（II）在圖中作出點在平面內(nèi)的正投影（說明作法及理由），并求四面體的體積．

40．（2016年全國II卷）如圖，菱形的對角線與交于點，點、分別在，上，交于點，將沿折到的位置.(Ⅰ)證明：；

(Ⅱ)若,求五棱錐體積．

41．（2016年全國III卷）如圖，四棱錐中，⊥底面，，為線段上一點，為的中點．

（Ⅰ）證明平面；

（Ⅱ）求四面體的體積．

42．（2015新課標(biāo)1）如圖四邊形為菱形，為與交點，平面．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若，三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積．

43．（2015新課標(biāo)2）如圖，長方體中，，點，分別在，上，．過點，的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．

（Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；

（Ⅱ）求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值．

44．（2014山東）如圖，四棱錐中，，分別為線段的中點.（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：．

45．(2014江蘇)如圖，在三棱錐中，E，F(xiàn)分別為棱的中點．已知，求證：（Ⅰ）直線平面；

（Ⅱ）平面平面．

46．（2014新課標(biāo)2）如圖，四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，為的中點．

（Ⅰ）證明：∥平面；

（Ⅱ）設(shè)二面角為60°，=1，=，求三棱錐的體積．

47．（2014天津）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，,分別是棱,的中點．

（Ⅰ）證明:

平面；

（Ⅱ）若二面角為，（ⅰ）證明：平面⊥平面；

（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

48．（2013浙江）如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G為線段PC上的點．

（Ⅰ）證明：BD⊥面APC；

（Ⅱ）若G是PC的中點，求DG與APC所成的角的正切值；

（Ⅲ）若G滿足PC⊥面BGD，求的值．

49．（2013遼寧）如圖，是圓的直徑，垂直圓所在的平面，是圓上的點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）設(shè)為的中點，為的重心，求證：平面．

50．（2012江蘇）如圖，在直三棱柱中，分別是棱上的點（點D不同于點C），且為的中點．

求證：（Ⅰ）平面平面；

（Ⅱ）直線平面．

51．(2012廣東)如圖所示，在四棱錐中，平面，是中點，是上的點，且，為中邊上的高．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）若，求三棱錐的體積；

（Ⅲ）證明：平面．

52．（2011江蘇）如圖，在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點．

求證：（Ⅰ）直線EF∥平面PCD；

（Ⅱ）平面BEF⊥平面PAD．

53．（2011廣東）如圖，在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的棱形，且∠DAB=60，,PB=2，E，F(xiàn)分別是BC,PC的中點．

（Ⅰ）證明：AD平面DEF；

（Ⅱ）求二面角P-AD-B的余弦值．

54．（2010天津）如圖，在五面體中，四邊形是正方形，⊥平面，∥，=1，=，∠＝∠＝45°．

（Ⅰ）求異面直線與所成角的余弦值；

（Ⅱ）證明⊥平面；

（Ⅲ）求二面角的正切值．

55．（2010浙江）如圖，在平行四邊形中，=2，∠=120°．為線段的中點，將△沿直線翻折成△，使平面⊥平面，為線段的中點．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）設(shè)為線段的中點，求直線與平面所成角的余弦值．

專題八

立體幾何

第二十三講

空間中點、直線、平面之間的位置關(guān)系

答案部分

2019年

2019年

1.解析

如圖所示，聯(lián)結(jié)，.因為點為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點，所以平面，平面，因為是中邊上的中線，是中邊上的中線，直線，是相交直線，設(shè)，則，所以，所以．故選B．

2.解析

（1）連結(jié).因為M，E分別為的中點，所以，且.又因為N為的中點，所以.由題設(shè)知，可得，故，因此四邊形MNDE為平行四邊形，.又平面，所以MN∥平面.（2）過C作C1E的垂線，垂足為H.由已知可得，所以DE⊥平面，故DE⊥CH.從而CH⊥平面，故CH的長即為C到平面的距離，由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.從而點C到平面的距離為.3.解析：對于A，內(nèi)有無數(shù)條直線與平行，則與相交或，排除；

對于B，內(nèi)有兩條相交直線與平行，則；

對于C，平行于同一條直線，則與相交或，排除；

對于D，垂直于同一平面，則與相交或，排除．

故選B．

4.解析

若②，過作平面，則，又③，則，又，同在內(nèi)，所以①，即.5.證明：（1）因為D，E分別為BC，AC的中點，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因為ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因為AB=BC，E為AC的中點，所以BE⊥AC.因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因為BE?平面ABC，所以CC1⊥BE.因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因為C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.6.解：（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故.又，所以BE⊥平面.（2）由（1）知∠BEB1=90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以，故AE=AB=3，.作，垂足為F，則EF⊥平面，且.所以，四棱錐的體積.7.解析（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個平面，從而A，C，G，D四點共面．

由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．

又因為AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．

（2）取的中點，聯(lián)結(jié)，.因為，平面，所以平面，故.由已知，四邊形是菱形，且得，故平面.因此.在中，，故.所以四邊形的面積為4.8.解析（Ⅰ）因為平面ABCD，且平面，所以．

又因為底面ABCD為菱形，所以．

又平面，平面，所以平面PAC．

（Ⅱ）因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AE．

因為底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，且E為CD的中點，所以AE⊥CD．

又，所以AB⊥AE．

又平面，平面，所以AE⊥平面PAB．

又平面，所以平面PAB⊥平面．

（Ⅲ）棱PB上存在點F，且為的中點，使得CF∥平面PAE．

取F為PB的中點，取G為PA的中點，連結(jié)CF，F(xiàn)G，EG．

因為，分別為，的中點，則FG∥AB，且FG=AB．

因為底面ABCD為菱形，且E為CD的中點，所以CE∥AB，且CE=AB．

所以FG∥CE，且FG=CE．

所以四邊形CEGF為平行四邊形，所以CF∥EG．

因為CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF∥平面PAE．

9.解析

（Ⅰ）連接，易知，.又由，故，又因為平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取棱的中點，連接.依題意，得，又因為平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故.又已知，所以平面.（Ⅲ）連接，由（Ⅱ）中平面，可知為直線與平面所成的角，因為為等邊三角形，且為的中點，所以.又，故在中，.所以，直線與平面所成角的正弦值為.10..證明：（1）因為D，E分別為BC，AC的中點，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因為ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因為AB=BC，E為AC的中點，所以BE⊥AC.因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因為BE?平面ABC，所以CC1⊥BE.因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因為C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.11.（I）連接A1E，因為A1A=A1C，E是AC的中點，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，則A1E⊥BC.又因為A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.（Ⅱ）取BC中點G，連接EG，GF，則EGFA1是平行四邊形．

由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四邊形EGFA1為矩形．

由（I）得BC⊥平面EGFA1，則平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上.連接A1G交EF于O，則∠EOG是直線EF與平面A1BC所成的角（或其補(bǔ)角）.不妨設(shè)AC=4，則在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=.由于O為A1G的中點，故，所以．

因此，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是．

12.解析（Ⅰ）因為平面ABCD，且平面，所以．

又因為底面ABCD為菱形，所以．

又平面，平面，所以平面PAC．

（Ⅱ）因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AE．

因為底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，且E為CD的中點，所以AE⊥CD．

又，所以AB⊥AE．

又平面，平面，所以AE⊥平面PAB．

又平面，所以平面PAB⊥平面．

（Ⅲ）棱PB上存在點F，且為的中點，使得CF∥平面PAE．

取F為PB的中點，取G為PA的中點，連結(jié)CF，F(xiàn)G，EG．

因為，分別為，的中點，則FG∥AB，且FG=AB．

因為底面ABCD為菱形，且E為CD的中點，所以CE∥AB，且CE=AB．

所以FG∥CE，且FG=CE．

所以四邊形CEGF為平行四邊形，所以CF∥EG．

因為CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF∥平面PAE．

13.過點P作PO⊥平面ABC交平面ABC于點O，過點P作PD⊥AC交AC于點D，作PE⊥BC交BC于點E，聯(lián)結(jié)OD，OC，OE，則

所以又,故四邊形為矩形.有所做輔助線可知，所以，所以矩形為邊長是1的正方形，則.在中，所以.即為點P到平面ABC的距離，即所求距離為.14.解析

（1）連結(jié).因為M，E分別為的中點，所以，且.又因為N為的中點，所以.由題設(shè)知，可得，故，因此四邊形MNDE為平行四邊形，.又平面，所以MN∥平面.（2）過C作C1E的垂線，垂足為H.由已知可得，所以DE⊥平面，故DE⊥CH.從而CH⊥平面，故CH的長即為C到平面的距離，由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.從而點C到平面的距離為.15.解析

（Ⅰ）連接，易知，.又由，故，又因為平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取棱的中點，連接.依題意，得，又因為平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故.又已知，所以平面.（Ⅲ）連接，由（Ⅱ）中平面，可知為直線與平面所成的角，因為為等邊三角形，且為的中點，所以.又，故在中，.所以，直線與平面所成角的正弦值為.16.解析：解法一：如圖G為AC的中點，V在底面的射影為O，則P在底面上的射影D在線段AO上，作于E，易得，過P作于F，過D作，交BG于H，則，，則，可得；，可得.解法二：由最小值定理可得，記的平面角為(顯然)，由最大角定理可得；

解法三特殊圖形法：設(shè)三棱錐為棱長為2的正四面體，P為VA的中點，易得，可得，，故選B．

17.（I）連接A1E，因為A1A=A1C，E是AC的中點，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，則A1E⊥BC.又因為A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.（Ⅱ）取BC中點G，連接EG，GF，則EGFA1是平行四邊形．

由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四邊形EGFA1為矩形．

由（I）得BC⊥平面EGFA1，則平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上.連接A1G交EF于O，則∠EOG是直線EF與平面A1BC所成的角（或其補(bǔ)角）.不妨設(shè)AC=4，則在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=.由于O為A1G的中點，故，所以．

因此，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是．

2010-2018年

1．C【解析】如圖，連接，因為，所以異面直線與所成角等于相交直線與所成的角，即．不妨設(shè)正方體的棱長為2，則，由勾股定理得，又由平面，可得，所以，故選C．

2．A【解析】若，∥，由線面平行的判定定理知∥．若∥，，不一定推出∥，直線與可能異面，故“∥”是“∥”的充分不必要條件．故選A．

3．A【解析】由正方體的線線關(guān)系，易知B、C、D中，所以平面，只有A不滿足．選A．

4．C【解析】如圖，連結(jié)，易知平面，所以，又，所以平面，故，選C．

5．A【解析】因為過點的平面與平面平行，平面∥平面，所以∥∥，又∥平面，所以∥，則與所成的角為所求角，所以，所成角的正弦值為，選A．

6．C【解析】選項A，只有當(dāng)或時，；選項B，只有當(dāng)時；選項C，由于，所以；選項D，只有當(dāng)或時，故選C．

7．B【解析】由得圓錐底面的半徑，所以米堆的體積，所以堆放的米有斛．

8．C【解析】三棱錐，其中為點到平面的距離，而底面三角形時直角三角形，頂點到平面的最大距離是球的半徑，故=，其中為球的半徑，所以，所以球的表面積．

9．D【解析】若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，是平面與平面的交線，則至少與，中的一條相交，故選A．

10．B【解析】解法一

設(shè)，則由題意知．

在空間圖形中，連結(jié)，設(shè)=．

在中，．

過作，過作，垂足分別為．

過作，使四邊形為平行四邊形，則，連結(jié)，則就是二面角的平面角，所以．

在中，．

同理，，故．

顯然平面，故．

在中，．

在中，=，所以，所以（當(dāng)時取等號），因為，而在上為遞減函數(shù)，所以，故選B．

解法二

若，則當(dāng)時，排除D；當(dāng)時，，排除A、C，故選B．

11．D【解析】利用正方體模型可以看出，與的位置關(guān)系不確定．選D．

12．C【解析】選項中均可能與平面平行、垂直、斜交或在平面內(nèi)，故選．

13．B【解析】對于選項A，若，則與可能相交、平行或異面，A錯誤；顯然選項B正確；對于選項C，若，則或，C錯誤；對于選項D，若，則或或與相交，D錯誤．故選B．

14．D【解析】作，垂足為，設(shè)，則，由余弦定理，故當(dāng)時，取得最大值，最大值為．

15．B【解析】直線與平面所成的角為的取值范圍是，由于，所以的取值范圍是

16．D【解析】作正方形模型，為后平面，為左側(cè)面

可知D正確．

17．D【解析】A中可能平行、垂直、也可能為異面；B中還可能為異面；C中

應(yīng)與中兩條相交直線垂直時結(jié)論才成立，選D．

18．B【解析】利用排除法可得選項B是正確的，∵∥，⊥，則．如選項A：∥，∥時，⊥或∥；選項C：若⊥，⊥，∥或；選項D：若⊥,⊥，∥或⊥．

19．B【解析】過點作，若存在某個位置，使得，則面，從而有，計算可得與不垂直，則A不正確；當(dāng)翻折到時，因為，所以面，從而可得；若，因為，所以面，從而可得，而，所以這樣的位置不存在，故C不正確；同理，D也不正確，故選B．

20．D【解析】對于D，若平面平面，則平面內(nèi)的某些直線可能不垂直于平面，即與平面的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面內(nèi)，其余選項易知均是正確的．

21．D【解析】兩平行直線的平行投影不一定重合，故A錯；由空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理可知、均錯誤，故選D．

22．【解析】由題意畫出圖形，如圖，設(shè)是底面圓的直徑，連接，則是圓錐的高，設(shè)圓錐的母線長為，則由，的面積為8，得，得，在中，由題意知，所以，．

故該圓錐的體積．

23．【解析】(1)因為，為的中點，所以⊥，且．

連結(jié)．因為，所以為等腰直角三角形，且⊥，．

由知，⊥．

由⊥，⊥知⊥平面．

(2)作⊥，垂足為．又由(1)可得⊥，所以⊥平面．

故的長為點到平面的距離．

由題設(shè)可知，．

所以，．

所以點到平面的距離為．

24．【解析】(1)由題設(shè)知，平面⊥平面，交線為．

因為⊥，平面，所以⊥平面，故⊥．

因為為上異于，的點，且為直徑，所以

⊥．

又=，所以⊥平面．

而平面，故平面⊥平面．

(2)當(dāng)為的中點時，∥平面．

證明如下：連結(jié)交于．因為為矩形，所以為中點．

連結(jié)，因為為

中點，所以∥．

平面，平面，所以∥平面．

25．【解析】(1)∵，且為的中點，∴．

∵底面為矩形，∴，∴．

(2)∵底面為矩形，∴．

∵平面平面，∴平面．

∴．又，∵平面，∴平面平面．

(3)如圖，取中點，連接．

∵分別為和的中點，∴，且．

∵四邊形為矩形，且為的中點，∴，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴．

又平面，平面，∴平面．

26．【解析】(1)由平面⊥平面，平面∩平面=，⊥，可得⊥平面，故⊥．

(2)取棱的中點，連接，．又因為為棱的中點，故∥．所以（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角．

在中，故．

因為⊥平面，故⊥．

在中，故．

在等腰三角形中，可得．

所以，異面直線與所成角的余弦值為．

(3)連接．因為為等邊三角形，為邊的中點，故⊥，．又因為平面平面，而平面，故平面．所以，為直線與平面所成的角．

在中，．

在中，．

所以，直線與平面所成角的正弦值為．

27．【證明】(1)在平行六面體中，．

因為平面，平面，所以∥平面．

(2)在平行六面體中，四邊形為平行四邊形．

又因為，所以四邊形為菱形，因此⊥．

又因為⊥，∥，所以⊥．

又因為=，平面，平面，所以⊥平面．

因為平面，所以平面⊥平面．

28．【解析】(1)由，，得，所以．

故．

由，，得，由，得，由，得，所以，故．

因此平面．

(2)如圖，過點作，交直線于點，連結(jié)．

由平面得平面平面，由得平面，所以是與平面所成的角．

由，得，所以，故．

因此，直線與平面所成的角的正弦值是．

29．【解析】（1）在平面內(nèi)，因為，所以∥，又平面，平面，故∥平面．

（2）取的中點，連結(jié)，．由及∥，得四邊形正方形，則．

因為側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，平面平面=，所以，底面．因為底面，所以．

設(shè)，則，，．取的中點，連結(jié)，則，所以．

因為的面積為，所以，解得（舍去），．于是，．

所以四棱錐的體積．

30．【解析】（1）取的中點連結(jié)，.因為，所以⊥．

又由于是正三角形，所以⊥.從而⊥平面，故⊥BD.（2）連結(jié)．

由（1）及題設(shè)知，所以．

在中，．

又，所以，故.由題設(shè)知為直角三角形，所以．

又是正三角形，且，所以．

故為BD的中點，從而到平面的距離為到平面的距離的，四面體的體積為四面體的體積的，即四面體與四面體的體積之比為1:1．

31．【解析】（Ⅰ）如圖，由已知AD//BC，故或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角．因為AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得，故．

所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為．

（Ⅱ）證明：因為AD⊥平面PDC，直線PD平面PDC，所以AD⊥PD．又因為BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．

（Ⅲ）過點D作AB的平行線交BC于點F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角．

因為PD⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以為直線DF和平面PBC所成的角．

由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得．

所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為．

32．【解析】（Ⅰ）取中點,連接，由于為四棱柱,所以，因此四邊形為平行四邊形,所以,又面,平面,所以∥平面,（Ⅱ）∵．，分別為和的中點，∴，又平面，平面，所以，∵，所以，又，平面，所以平面

又平面,所以平面平面．

33．【解析】（Ⅰ）因為，所以平面，又因為平面，所以．

（Ⅱ）因為，為中點，所以，由（Ⅰ）知，所以平面．

所以平面平面．

（Ⅲ）因為平面，平面平面，所以．

因為為的中點，所以，．

由（Ⅰ）知，平面，所以平面．

所以三棱錐的體積．

34．【解析】（Ⅰ）如圖，設(shè)PA中點為F，連結(jié)EF，F(xiàn)B．

因為E，F(xiàn)分別為PD，PA中點，所以EF∥AD且，又因為BC∥AD，所以

EF∥BC且EF=BC，即四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE∥BF，因此CE∥平面PAB．

（Ⅱ）分別取BC，AD的中點為M，N．連結(jié)PN交EF于點Q，連結(jié)MQ．

因為E，F(xiàn)，N分別是PD，PA，AD的中點，所以Q為EF中點，在平行四邊形BCEF中，MQ∥CE．

由為等腰直角三角形得

PN⊥AD．

由DC⊥AD，N是AD的中點得

BN⊥AD．

所以

AD⊥平面PBN，由BC∥AD得

BC⊥平面PBN，那么，平面PBC⊥平面PBN．

過點Q作PB的垂線，垂足為H，連結(jié)MH．

MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角．

設(shè)CD=1．

在中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得，在中，MQ=，所以，所以，直線CE與平面PBC所成角的正弦值是．

35．【解析】證明：（1）在平面內(nèi)，因為，所以.又因為平面，平面，所以∥平面.（2）因為平面⊥平面，平面平面=，平面，所以平面.因為平面，所以.又，平面，平面，所以⊥平面，又因為平面，所以．

36．【解析】（1）由正棱柱的定義，平面，所以平面平面，．

記玻璃棒的另一端落在上點處．

因為，．

所以，從而．

記與水平的交點為，過作，為垂足，則平面，故，從而．

答：玻璃棒沒入水中部分的長度為16cm.（如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為24cm)

（2）如圖，是正棱臺的兩底面中心.由正棱臺的定義，⊥平面，所以平面⊥平面，⊥.同理，平面⊥平面，⊥.記玻璃棒的另一端落在上點處.過作⊥，為垂足，則==32.因為=

14，=

62，所以=，從而.設(shè)則.因為，所以.在中，由正弦定理可得，解得.因為，所以.于是

.記與水面的交點為，過作，為垂足，則

⊥平面，故=12，從而

=.答:玻璃棒沒入水中部分的長度為20cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20cm)

37．【解析】（Ⅰ）證明：因，所以與確定一個平面，連接，因為

為的中點，所以；同理可得，又因為，所以平面，因為平面，．

（Ⅱ）設(shè)的中點為，連，在中，是的中點，所以，又，所以；在中，是的中點，所以，又，所以平面平面，因為平面，所以平面．

38．【解析】（Ⅰ）證明：取的中點為，連接，在中，因為是的中點，所以且，又因為，所以且，即四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．

（Ⅱ）證明：在中，由余弦定理可，進(jìn)而可得，即，又因為平面平面平面；平面平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面．

（Ⅲ）解：因為，所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角.過點作于點，連接，又因為平面平面，由（Ⅱ）知平面，所以直線與平面所成角即為.在中，由余弦定理可得，所以，因此，在中，所以直線與平面所成角的正弦值為．

39．【解析】（Ⅰ）因為在平面內(nèi)的正投影為，所以

因為在平面內(nèi)的正投影為，所以

所以平面，故

又由已知可得，從而是的中點.（Ⅱ）在平面內(nèi)，過點作的平行線交于點，即為在平面內(nèi)的正投影.理由如下：由已知可得，又,所以，,因此平面，即點為在平面內(nèi)的正投影.連接，因為在平面內(nèi)的正投影為，所以是正三角形的中心.由（Ⅰ）知，是的中點，所以在上，故

由題設(shè)可得平面，平面，所以，因此

由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且，可得

在等腰直角三角形中，可得

所以四面體的體積

40．【解析】（Ⅰ）由已知得，又由得，故

由此得，所以

（Ⅱ）由得

由得

所以

于是故

由（Ⅰ）知，又，所以平面于是

又由，所以，平面

又由得

五邊形的面積

所以五棱錐體積

41．【解析】（Ⅰ）由已知得，取的中點，連接，由為中點知，.又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是.因為平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因為平面，為的中點，所以到平面的距離為．取的中點，連結(jié).由得，.由得到的距離為，故.所以四面體的體積.42．【解析】（Ⅰ）因為四邊形為菱形，所以，因為平面，所以，故平面．

又平面，所以平面平面．

（Ⅱ）設(shè)=，在菱形中，由=120°，可得=，=．

因為，所以在中，可得．

由平面，知為直角三角形，可得．

由已知得，三棱錐的體積．

故．

從而可得．

所以的面積為3，的面積與的面積均為．

故三棱錐的側(cè)面積為．

43．【解析】（Ⅰ）交線圍成的正方形如圖

（Ⅱ）作，垂足為，則，．因為為正方形，所以．

于是，．

因為長方形被平面分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為（也正確）．

44．【解析】（Ⅰ）設(shè)，連結(jié)OF，EC，由于E為AD的中點，所以,因此四邊形ABCE為菱形，所以O(shè)為AC的中點，又F為PC的中點，因此在中，可得.又平面BEF，平面BEF，所以平面.（Ⅱ）由題意知，所以四邊形為平行四邊形，因此．又平面PCD，所以，因此．

因為四邊形ABCE為菱形，所以.又，AP，AC平面PAC，所以平面．

45．【解析】（Ⅰ）∵為中點，∴DE∥PA，∵平面DEF，DE平面DEF，∴PA∥平面DEF，（Ⅱ）∵為中點，∴，∵為中點，∴，∴，∴，∴DE⊥EF，∵，∴，∵，∴DE⊥平面ABC，∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．

46．【解析】（Ⅰ）連接BD交AC于點O，連結(jié)EO．

因為ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點。

又E為PD的中點，所以EO∥PB。

EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB∥平面AEC.（Ⅱ）因為PA平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直．

如圖，以A為坐標(biāo)原點，的方向為軸的正方向，為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，則。

設(shè)為平面ACE的法向量，則即，可取．

又為平面DAE的法向量，由題設(shè)，即，解得．

因為E為PD的中點，所以三棱錐的高為．

三棱錐的體積．

47．【解析】（Ⅰ）證明：如圖取PB中點M，連接MF，AM.因為F為PC中點，故MF//BC且MF=BC．由已知有BC//AD，BC=AD．又由于E為AD中點，因而MF//AE且MF=AE，故四邊形AMFE為平行四邊形，所以EF//AM，又AM平面PAB，而EF平面PAB，所以EF//平面PAB.（Ⅱ）（i）證明：連接PE，BE．因為PA=PD，BA=BD，而E為AD中點，故PEAD，BEAD，所以PEB為二面角P-AD-B的平面角．在三角形PAD中，由，可解得PE=2．

在三角形ABD中，由，可解得BE=1．

在三角形PEB中，PE=2，BE=1，由余弦定理，可解得PB=，從而，即BEPB，又BC//AD，BEAD，從而BEBC，因此BE平面PBC．又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD．

（ii）連接BF，由（i）知BE平面PBC．所以EFB為直線EF與平面PBC所成的角，由PB=，PA=，AB=得ABP為直角，而MB=PB=，可得AM=，故EF=，又BE=1，故在直角三角形EBF中，所以直線EF與平面PBC所成角的正弦值為．

48．【解析】（Ⅰ）設(shè)點O為AC，BD的交點，由AB＝BC，AD＝CD，得BD是線段AC的中垂線．

所以O(shè)為AC的中點，BD⊥AC．

又因為PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA⊥BD．所以BD⊥平面APC．

（Ⅱ）連結(jié)OG.由(1)可知OD⊥平面APC，則DG在平面APC內(nèi)的射影為OG，所以∠OGD是DG與平面APC所成的角．

由題意得OG＝PA＝.在△ABC中，AC＝＝，所以O(shè)C＝AC＝.在直角△OCD中，OD＝＝2.在直角△OGD中，tan∠OGD＝.所以DG與平面APC所成的角的正切值為.（Ⅲ）連結(jié)OG.因為PC⊥平面BGD，OG平面BGD，所以PC⊥OG.在直角△PAC中，得PC＝.所以GC＝.從而PG＝，所以.49．【解析】（Ⅰ）由AB是圓O的直徑，得AC⊥BC．

由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC，又PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC⊥平面PAC．

（Ⅱ）連OG并延長交AC與M，鏈接QM，QO.由G為?AOC的重心，得M為AC中點，由G為PA中點，得QMPC.又O為AB中點，得OMBC.因為QM∩MO=M，QM平面QMO．

所以QG//平面PBC．

50．【解析】（Ⅰ）因為是直三棱柱，所以平面ABC，又平面,所以，又因為平面，所以平面，又AD平面ADE，所以平面ADE平面.（Ⅱ）因為，為的中點，所以．因為平面，且平面，所以又因為，平面，所以平面，所以AD．又AD平面，平面，所以平面．

51．【解析】（Ⅰ）平面，面

又面

（Ⅱ）是中點點到面的距離，三棱錐的體積，（Ⅲ）取的中點為，連接，又平面面面面，點是棱的中點，得：平面．

52．【證明】：（Ⅰ）在△PAD中，因為E、F分別為AP，AD的中點，所以EF//PD．

又因為EF平面PCD，PD平面PCD，所以直線EF//平面PCD．

（Ⅱ）連結(jié)DB，因為AB=AD，∠BAD=60°，所以△ABD為正三角形，因為F是AD的中點，所以BF⊥AD．

因為平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．又因為BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD．

53．【解析】法一：（Ⅰ）證明：取AD中點G，連接PG，BG，BD．因PA=PD，有，在中，有為等邊三角形，因此，所以平面PBG

又PB//EF，得，而DE//GB得AD

DE，又，所以AD

平面DEF。

（Ⅱ），為二面角P—AD—B的平面角，在，在，法二：（Ⅰ）取AD中點為G，因為

又為等邊三角形，因此，從而平面PBG．

延長BG到O且使得PO

OB，又平面PBG，PO

AD，所以PO

平面ABCD．

以O(shè)為坐標(biāo)原點，菱形的邊長為單位長度，直線OB，OP分別為軸，z軸，平行于AD的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)

由于

得

平面DEF．

（Ⅱ）

取平面ABD的法向量

設(shè)平面PAD的法向量

由

取

54．【解析】（Ⅰ）因為四邊形是正方形，所以//.故為異面直線與所成的角.因為平面，所以.故.在△中，=1，=，==3,故==.所以異面直線和所成角的余弦值為.（Ⅱ）證明：過點作//,交于點，則.由,可得,從而,又,=,所以平面.(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得=，即為的中點.取的中點，連接，則,因為//,所以//.過點作，交于，則為二面角--的平面角。

連接，可得平面,故.從而.由已知，可得=.由//，得.在△中，,所以二面角--的正切值為．

55．【解析】

(Ⅰ)取的中點G，連結(jié)GF，CE，由條件易知

FG∥CD，F(xiàn)G=CD．BE∥CD,BE=CD．所以FG∥BE，F(xiàn)G=BE．

故四邊形BEGF為平行四邊形，所以BF∥EG．

因為平面，BF平面，所以

BF//平面．

（Ⅱ）解：在平行四邊形,ABCD中，設(shè)BC=，則AB=CD=2，AD=AE=EB=，連CE，因為．

在△BCE中，可得CE=，在△ADE中，可得DE=，在△CDE中，因為CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE,在正三角形中，M為DE中點，所以⊥DE.由平面⊥平面BCD,可知⊥平面BCD,⊥CE.取的中點N，連線NM、NF，所以NF⊥DE，NF⊥.因為DE交于M，所以NF⊥平面，則∠FMN為直線FM與平面新成角．

在Rt△FMN中，NF=,MN=,FM=，則cos=．

所以直線與平面所成角的余弦值為．