（1）以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行的有關性質與判定定理.理解以下判定定理：

·如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.·如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行.理解以下性質定理，并能夠證明：

·如果一條直線與一個平面平行，那么經過該直線的任一個平面與此平面的交線和該直線平行.·如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行.·垂直于同一個平面的兩條直線平行.（2）能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題.一、直線與平面平行的判定與性質

1．直線與平面平行的判定定理

文字語言

平面外的一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡記為：線線平行?線面平行

圖形語言

符號語言

a?α，b?α，且a∥b?a∥α

作用

證明直線與平面平行

2．直線與平面平行的性質定理

文字語言

一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.簡記為：線面平行?線線平行

圖形語言

符號語言

作用

①作為證明線線平行的依據．

②作為畫一條直線與已知直線平行的依據.二、平面與平面平行的判定與性質

1．平面與平面平行的判定定理

文字語言

一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.簡記為：線面平行?面面平行

圖形語言

符號語言

a?β，b?β，a∥α，b∥α?α∥β

作用

證明兩個平面平行

2．平面與平面平行的性質定理

文字語言

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行.簡記為：面面平行?線線平行

圖形語言

符號語言

作用

證明線線平行

3．平行問題的轉化關系

三、常用結論（熟記）

1．如果兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面．

2．如果兩個平行平面中有一個平面垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線．

3．夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等．

4．經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．

5．兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例．

6．如果兩個平面分別和第三個平面平行，那么這兩個平面互相平行．

7．如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，那么這兩個平面平行．

8．如果兩個平面垂直于同一條直線，那么這兩個平面平行．

考向一

線面平行的判定與性質

線面平行問題的常見類型及解題策略：

(1)線面平行的基本問題

①判定定理與性質定理中易忽視的條件．

②結合題意構造圖形作出判斷．

③舉反例否定結論或反證法證明．

(2)線面平行的證明問題

判斷或證明線面平行的常用方法有：

①利用線面平行的定義(無公共點)；

②利用線面平行的判定定理()；

③利用面面平行的性質()；

④利用面面平行的性質().(3)線面平行的探索性問題

①對命題條件的探索常采用以下三種方法：

a.先猜后證，即先觀察與嘗試，給出條件再證明；

b.先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性；

c.把幾何問題轉化為代數問題，探索命題成立的條件．

②對命題結論的探索常采用以下方法：

首先假設結論存在，然后在這個假設下進行推理論證，如果通過推理得到了合乎情理的結論就肯定假設，如果得到了矛盾的結果就否定假設.典例1

已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個不同平面，給出下列命題：

①若m∥α，n∥α，則m∥n；

②若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；

③若m∥α，m∥β，則α∥β；

④若m⊥α，n⊥α，則m∥n.其中正確的有________．（填序號）

【答案】④

1．如圖，在正方體中，分別是的中點，則下列命題正確的是

A．

B．

C．平面

D．平面

典例2

如圖，四棱錐中，，，分別為線段，的中點，與交于點，是線段上一點.（1）求證：平面；

（2）求證：平面.學#

（2）如圖，連接，∵，分別是，的中點，∴，又∵平面，平面，∴平面.又∵是的中點，是的中點，∴，∵平面，平面，∴平面.又∵，∴平面平面，又∵平面，∴平面.2．如圖，在四棱錐中，平面是的中點.（1）求證:平面;

（2）求三棱錐的體積.考向二

面面平行的判定與性質

判定面面平行的常見策略：

(1)利用定義：即證兩個平面沒有公共點(不常用)．

(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)．

(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)．

(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(客觀題可用).典例3

如圖，直角梯形與梯形全等，其中，且平面，點是的中點．

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面的距離．

易知，由，得，即，∵平面平面，∴平面與平面間的距離為．

3．如圖，四棱柱的底面ABCD是正方形，O是底面中心，⊥底面ABCD，.（1）證明：平面∥平面；

（2）求三棱柱的體積．

1．已知直線和平面，滿足，則“”是“”的A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

2．平面α與平面β平行的條件可以是

A．α內的一條直線與β平行

B．α內的兩條直線與β平行

C．α內的無數條直線與β平行

D．α內的兩條相交直線分別與β平行

3．平面與△ABC的兩邊AB，AC分別交于點D，E，且AD︰DB=AE︰EC，如圖，則BC與的位置關系是

A．異面

B．相交

C．平行或相交

D．平行

4．下列命題中，錯誤的是

A．平面內一個三角形各邊所在的直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行

B．平行于同一個平面的兩個平面平行

C．若兩個平面平行，則位于這兩個平面內的直線也互相平行

D．若兩個平面平行，則其中一個平面內的直線平行于另一個平面

5．如圖所示,長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱AA1和BB1的中點,過EF的平面EFGH分別交BC和AD于點G,H,則HG與AB的位置關系是

A．平行

B．相交

C．異面

D．平行和異面

6．設是空間中不同的直線，是不同的平面，則下列說法正確的是

A．，則

B．，則

C．,則

D．，則

7．在長方體中，若經過的平面分別交和于點，則四邊形的形狀是

A．矩形

B．菱形

C．平行四邊形

D．正方形

8．如圖,正方體中,分別為棱的中點,則在平面內且與平面平行的直線

A．有無數條

B．有2條

C．有1條

D．不存在9．正方體的棱長為3，點E在上，且，平面α∥平面（平面α是圖中的陰影平面），若平面平面，則AF的長為

A．1

B．1.5

C．2

D．3

10．在正方體中,分別是棱的中點,是與的交點,平面與平面相交于,平面與平面相交于,則直線的夾角為

A．

B．

C．

D．

11．如圖，直三棱柱中，為邊長為2的等邊三角形，點、、、、分別是邊、、、、的中點，動點在四邊形的內部運動，并且始終有平面，則動點的軌跡長度為

A．

B．

C．

D．

12．已知點S是正三角形ABC所在平面外一點，點D，E，F分別是SA，SB，SC的中點，則平面DEF與平面ABC的位置關系是________．

13．如圖,在長方體中，E,F,G,H分別為CC＇,C＇D＇,D＇D,CD的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH內運動,則M滿足　　　　　　　　　　時,有MN//平面B＇BDD＇．

14．下列四個正方體圖形中,為正方體的兩個頂點,分別為其所在的棱的中點,能得出平面的圖形的序號是

．

15．如圖,已知空間四邊形ABCD,E,F,G,H分別是其四邊上的點且共面,AC∥平面EFGH,AC=m,BD=n,當EFGH是菱形時,=.16．如圖，棱長為2的正方體中，M是棱AA1的中點，過C，M，D1作正方體的截面，則截面的面積是________.17．如圖，三棱柱的側棱⊥底面，E是棱的中點，F是AB的中點，.（1）求證：CF∥平面；

（2）求三棱錐的高．

18．如圖,四邊形與均為平行四邊形，分別是的中點.(1)求證:

平面;

(2)求證:平面平面.19．如圖所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點D,D1分別為AC,A1C1上的點.(1)當等于何值時,BC1∥平面AB1D1?

(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.20．如圖,四邊形中,===分別在上，現將四邊形沿折起,使.(1)若,在折疊后的線段上是否存在一點,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,說明理由;

(2)求三棱錐的體積的最大值,并求出此時點到平面的距離.1．（2016浙江理科）已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足

則

A．m∥l

B．m∥n

C．n⊥l

D．m⊥n

2．（2016新課標全國Ⅱ理科）α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，mα，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.其中正確的命題有

.(填寫所有正確命題的編號）

3．（2018江蘇節(jié)選）在平行六面體中，．

求證：．

4．(2017新課標全國Ⅱ理科節(jié)選)如圖，四棱錐P?ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中點．

（1）證明：直線平面PAB.5．（2017北京理科節(jié)選）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點M在線段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．

（1）求證：M為PB的中點.6．（2016山東理科節(jié)選）在如圖所示的圓臺中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，FB是圓臺的一條母線.（1）已知G,H分別為EC，FB的中點，求證：GH∥平面ABC.7．（2016新課標全國Ⅲ理科節(jié)選）如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.（1）證明MN∥平面PAB.8．（2016四川理科節(jié)選）如圖，在四棱錐中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°．

（1）在平面PAB內找一點M，使得直線平面，并說明理由.變式拓展

1．【答案】C

2．【解析】（1）取PB中點M,連接AM,MN.∵MN是△BCP的中位線,∴MN∥BC,且MN=BC.∴三棱錐N?ACD的體積是.#網

3．【解析】（1）由題設知，BB1DD1，∴四邊形是平行四邊形，∴.又BD?平面，?平面，∴BD∥平面.∵BC，∴四邊形是平行四邊形，∴.又?平面，?平面，【名師點睛】求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面問題求解，注意求體積的一些特殊方法——割補法、等體積法．

①割補法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補法轉化成已知體積公式的幾何體進行解決．

②等體積法：應用等體積法的前提是幾何體的體積通過已知條件可以得到，利用等體積法可以用來求解幾何體的高，特別是在求三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三棱錐的高，而通過直接計算得到高的數值．

考點沖關

1．【答案】A

【解析】若，由線面平行的判定定理可得，若，則與可以是異面直線，所以“”是“”的充分而不必要條件，故選A.2．【答案】D

【解析】若兩個平面α,β相交,設交線是l,則有α內的直線m與l平行,得到m與平面β平行,從而可得A是不正確的;而B中兩條直線可能是平行于交線l的直線,所以也不能判定α與β平行;C中的無數條直線也可能是一組平行于交線l的直線,因此也不能判定α與β平行.由平面與平面平行的判定定理可得D項是正確的.3．【答案】D

【解析】在中，因為，所以，又平面，平面，所以平面，選D．

4．【答案】C

【解析】如果兩個平面平行，則位于這兩個平面內的直線可能平行，可能異面．

8．【答案】A

【解析】如圖所示,延長D1F交直線DC于點P,連接PE并延長,交DA的延長線于點R,連接RD1,交AA1于Q,則QD1是平面與平面的交線,在平面內,與直線QD1平行的直線有無數條,由直線與平面平行的判定定理可知,這無數條直線與平面都平行,故答案為A．

9．【答案】A

【解析】因為平面α∥平面，平面平面，平面平面，所以.又，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以.10．【答案】D

【解析】如圖所示，∵E，F分別是棱的中點,∴EF∥AC，則平面即平面EFCA與平面相交于,即直線m；由CF∥OE，可得CF∥平面OD1E，故平面與平面相交于n時，必有n∥CF，即m//n,則直線的夾角為0.11．【答案】A

【解析】因為AC,所以平面.取中點N,因為,所以平面，從而平面平面,即動點的軌跡為線段HF,因此長度為4，選A．

12．【答案】平行

13．【答案】M在線段FH上移動

【解析】當M在線段FH上移動時,有MH//DD＇.而HN//BD,∴平面MNH//平面B＇BDD＇.又MN?平面MNH,∴MN//平面B＇BDD＇.14．【答案】①④

【解析】對于①,該正方體的對角面平面得出平面;

對于②,直線與平面不平行;

對于③,直線與平面不平行;

對于④,直線與平面內的直線平行.15．【答案】

【解析】∵AC∥平面EFGH,AC?平面ABC,平面ABC∩平面EFGH=EF,∴AC∥EF.∴.①

由四邊形EFGH是菱形知EH∥FG,EH?平面BCD,FG?平面BCD,∴EH∥平面BCD．

而EH?平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,∴EH∥BD,∴.②

由①②得.又EF=EH,AC=m,BD=n,所以.學#

16．【答案】

17．【解析】（1）如圖，取的中點G，連接EG，FG．

（2）∵三棱柱的側棱⊥底面ABC，∴⊥平面ABC．

∵AC?平面ABC，∴，∵，∴，∵平面平面，∴AC⊥平面，∵平面，∴，18．【解析】(1)連接,則必過與的交點,連接,則為的中位線,所以,#網

又平面平面，所以平面.(2)因為分別為平行四邊形的邊的中點,所以,又平面平面,所以平面.又為中點,所以為的中位線,所以,又平面平面,所以平面,又與為平面內的兩條相交直線,所以平面平面.【名師點睛】在立體幾何中，常見的平行關系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關系不是孤立的，而是相互聯系，并且可以相互轉化的．在解決問題的過程中，要靈活運用平行關系的判定定理.（1）應用判定定理證明線面平行的步驟：

上面的第一步“找”是證題的關鍵，其常用方法有：利用三角形、中位線的性質；利用平行四邊形的性質；利用平行線分線段成比例定理．

（2）利用判定定理證明兩個平面平行的一般步驟:

第一步：在一個平面內找出兩條相交直線；

第二步：證明這兩條相交直線分別平行于另一個平面；

第三步：利用平面與平面平行的判定定理得出結論．

19．【解析】(1)如圖所示,取D1為線段A1C1的中點,此時=1.(2)由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,得BC1∥D1O,∴.又平面AB1D1∩平面ACC1A1=AD1,平面BDC1∩平面ACC1A1=DC1,∴AD1∥DC1,∴AD=D1C1,DC=A1D1,∴=1.20．【解析】(1)線段上存在一點,使得平面,此時.在中,由余弦定理得===,學@

∴=,==,設點到平面的距離為,由于,即=,∴=,即點到平面的距離為.直通高考

1．【答案】C

【解析】由題意知，．故選C．

【思路點睛】解決這類空間點、線、面的位置關系問題，也可借助長方體（或正方體），能形象直觀地看出空間點、線、面的位置關系．

2．【答案】②③④

【名師點睛】求解本題時應注意在空間中考慮線面位置關系.3．【解析】在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．

因為AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．

4．【解析】（1）取的中點，連接，．

因為是的中點，所以∥，由得∥，又，所以，即四邊形是平行四邊形，所以∥．

又平面，平面，故平面．

5．【解析】（1）如圖，設交點為，連接.因為平面，平面平面，所以.因為四邊形是正方形，所以為的中點，所以為的中點.6．【解析】（1）設的中點為,連接,7．【解析】（1）由已知得.取的中點，連接，由為中點知，．

又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因為平面，平面，所以平面．

8．【解析】（1）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.如圖，延長AB，DC，相交于點M（M∈平面PAB），點M即為所求的一個點.