（1）了解隨機數的意義，能運用模擬方法估計概率.（2）了解幾何概型的意義.一、幾何概型

1．幾何概型的概念

如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.2．幾何概型的特點

（1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個.（2）每個基本事件發生的可能性相等.3．幾何概型的概率計算公式

.4．必記結論

（1）與長度有關的幾何概型，其基本事件只與一個連續的變量有關；

（2）與面積有關的幾何概型，其基本事件與兩個連續的變量有關，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構成了平面上的一個區域，即可借助平面區域解決問題；

（3）與體積有關的幾何概型.二、隨機模擬

用計算器或計算機模擬試驗的方法為隨機模擬方法或蒙特卡羅方法.這個方法的基本步驟是：

（1）用計算器或計算機產生某個范圍內的隨機數，并賦予每個隨機數一定的意義；

（2）統計代表某意義的隨機數的個數M和總的隨機數個數N；

（3）計算頻率作為所求概率的近似值.注意，用隨機模擬方法得到的結果只能是概率的近似值或估計值，每次試驗得到的結果可能不同，而所求事件的概率是一個確定的數值.考向一

與長度有關的幾何概型

求解與長度有關的幾何概型的問題的關鍵是將所有基本事件及事件包含的基本事件轉化為相應長度，進而求解．此處的“長度”可以是線段的長短，也可以是時間的長短等.注意：在尋找事件發生對應的區域時，確定邊界點是問題的關鍵，但邊界點能否取到不會影響事件的概率.典例1

某學校星期一至星期五每天上午都安排五節課,每節課的時間為40分鐘．第一節課上課的時間為7:50~8:30,課間休息10分鐘．某同學請假后返校,若他在8:50~9:30之間到達教室,則他聽第二節課的時間不少于10分鐘的概率是

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由題意得第二節課上課的時間為8:40~9:20,該同學到達教室的時間總長度為40,其中在8:50~9:10進入教室時,聽第二節課的時間不少于10分鐘,其時間長度為20,故所求概率為,選A．

典例2

在區間上隨機抽取一個數,則事件“”發生的概率為

A．

B．

C．

D．

【答案】A

1．在上隨機取一個實數m，能使函數在上有零點的概率為

A．

B．

C．

D．

2．中央電視臺第一套節目午間新聞的播出時間是每天中午到，在某星期天中午的午間新聞中將隨機安排播出時長分鐘的有關電信詐騙的新聞報道.若小張于當天打開電視，則他能收看到這條新聞的完整報道的概率是

A．

B．

C．

D．

考向二

與面積有關的幾何概型

求解與面積有關的幾何概型的問題的關鍵是構造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何特征找出兩個“面積”，套用幾何概型的概率計算公式，從而求得隨機事件的概率.必要時可根據題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結果構成的平面圖形，以便求解．“面積比”是求幾何概型的一種重要的方法.典例3

在如圖所示的扇形AOB中,∠AOB=,半圓C切AO于點D,與圓弧AB切于點B,若隨機向扇形AOB內投一點,則該點落在半圓C外的概率為

A．

B．

C．

D．

【答案】A

典例4

如圖,已知A(a,0)(a>0),B是函數f(x)=2x2圖象上的一點,C(0,2),若在矩形OABC內任取一點P,則點P落在陰影部分的概率為________.學￥%

【答案】

3．一只螞蟻在邊長為4的正三角形區域內隨機爬行，則它在離三個頂點距離都大于2的區域內的概率為

A．

B．

C．

D．

4．在區間上隨機取兩個實數，記向量，則的概率為

A．

B．

C．

D．

考向三

與體積有關的幾何概型的求法

用體積計算概率時，要注意所求概率與所求事件構成的區域的體積的關系，準確計算出所求事件構成的區域的體積，確定出基本事件構成的區域的體積，求體積比即可.一般當所給隨機事件是用三個連續變量進行描述或當概率問題涉及體積時，可以考慮用此方法求解.典例5

一只小蜜蜂在一個棱長為30的正方體玻璃容器內隨機飛行,若蜜蜂在飛行過程中與正方體玻璃容器六個表面中至少有一個的距離不大于10,則就有可能撞到玻璃上而不安全,即始終保持與正方體玻璃容器六個表面的距離均大于10,飛行才是安全的.假設蜜蜂在正方體玻璃容器內飛行到任意位置的可能性相等,那么蜜蜂飛行安全的概率是

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A．

B．

C．

D．

【答案】C

5．有一底面半徑為1，高為2的圓柱，點O為圓柱下底面圓的圓心，在這個圓柱內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于l的概率為

A．

B．

C．

D．

考向四

隨機模擬的應用

利用隨機模擬試驗可以近似計算不規則圖形A的面積，解題的依據是根據隨機模擬估計概率，然后根據列等式求解.典例6

《周髀算經》中給出了勾股定理的絕妙證明,如圖是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形,分別涂成朱(紅)色及黃色,其面積分別稱朱實、黃實,利用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱實+黃實=弦實,化簡得勾2+股2=弦2.設勾股形中勾股比為1∶,若向弦圖內隨機拋擲3000顆圖釘,則落在黃色圖形內的圖釘數約為(≈1.732)

A．134

B．268

C．402

D．536

【答案】C

【解析】設大正方形的邊長為2，由圖中直角三角形的兩直角邊長之比為1∶,可得小正方形的邊長為-1，所以小正方形與大正方形的面積比值為=,所以落在小正方形內的圖釘數為()×3000≈(1-×1.732)×3000=402.故選C.6．關于圓周率，數學發展史上出現過許多有創意的求法，如著名的普豐實驗和查理斯實驗.受其啟發，我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值：先請120名同學每人隨機寫下一個都小于1的正實數對，再統計其中能與1構成鈍角三角形三邊的數對的個數m，最后根據統計個數m估計的值.如果統計結果是，那么可以估計的值為

A．

B．

C．

D．

1．在內任取一個實數，則的概率為

A．

B．

C．

D．

2．在長為的線段上任取一點，并以線段為邊作正方形，則這個正方形的面積介于與之間的概率為

A．

B．

C．

D．

3．在直角坐標系中,任取n個滿足x2+y2≤1的點(x,y),其中滿足|x|+|y|≤1的點有m個,則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為

A．

B．

C．

D．

4．如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,以A為圓心、1為半徑作圓弧DE,點E在線段AB上,在圓弧DE上任取一點P,則直線AP與線段BC有公共點的概率是

A．

B．

C．

D．

5．已知函數為自然對數的底數)的圖象與直線軸圍成的區域為,直線與軸、軸圍成的區域為,在區域內任取一點,則該點落在區域內的概率為

A．

B．

C．

D．

6．《九章算術》中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？

”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為步和步，問其內切圓的直徑為多少步？”現若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓外的概率是

A．

B．

C．

D．

7．已知實數，執行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于的概率為

A．

B．

C．

D．

8．趙爽是我國古代的數學家、天文學家，大約在公元222年，趙爽為《周碑算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的）.類比“趙爽弦圖”，可類似地構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設，若在大等邊三角形中隨機取一點，則此點取自小等邊三角形的概率是

A．

B．

C．

D．

9．已知P是所在平面內一點，現將一粒黃豆隨機撒在內，則黃豆落在內的概率是

A．

B．

C．

D．

10．有一根長為1米的細繩,將細繩隨機剪斷,則兩截的長度都大于?米的概率為__________.11．若在區間[0,4]上隨機選取一個數x,使x≥a的概率為,則a=__________.12．如圖，在平面直角坐標系內，以軸的正半軸為始邊，射線落在角的終邊上，射線落在角的終邊上，任作一條射線，則射線落在陰影部分內的概率為__________.13．一個正方體的外接球的表面積為48π,從這個正方體內任取一點,則該點取自正方體的內切球內的概率為__________.14．下圖是一個邊長為4的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區域內隨機投擲400個點，其中落入黑色部分的有225個點，據此可估計黑色部分的面積為_____________.15．在區間內隨機地取出兩個實數，則這兩個實數之和小于的概率是__________．

16．某班早晨7：30開始上早讀課，該班學生小陳和小李在早上7：10至7：30之間到班，且兩人在此時間段的任何時刻到班是等可能的.(1)在平面直角坐標系中畫出兩人到班的所有可能結果表示的區域；

(2)求小陳比小李至少晚5分鐘到班的概率.17．已知圓,點.(1)若是從三個數中任取的一個數,是從三個數中任取的一個數,求點在圓內的概率;

(2)若是從區間任取的一個數,是從區間任取的一個數,求點在圓外的概率.18．已知函數).(1)若從集合中任取一個元素從集合中任取一個元素,求方程有實根的概率;

(2)若從區間中任取一個數從區間中任取一個數,求方程沒有實根的概率.1．（2018新課標全國Ⅰ理科）下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．的三邊所圍成的區域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則

A．p1=p2

B．p1=p3

C．p2=p3

D．p1=p2+p3

2．（2017新課標全國Ⅰ理科）如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是

A．

B．

C．

D．

3．（2016新課標全國Ⅰ理科）某公司的班車在7:30，8:00，8:30發車，小明在7:50至8:30之間到達發車站乘坐班車，且到達發車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是

A．

B．

C．

D．

4．（2017江蘇）記函數的定義域為．在區間上隨機取一個數，則的概率是

▲

．

5．（2016山東理科）在上隨機地取一個數k，則事件“直線y=kx與圓相交”發生的概率為

.變式拓展

1．【答案】B

所以有零點的概率為.2．【答案】D

【解析】午間新聞的播出時間是每天中午，時長30分鐘，小張打開電視，可能看到完整新聞報道的時間為5分鐘，所以所求的概率為.故選D．

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3．【答案】A

【解析】滿足條件的正三角形如圖所示：

其中正三角形的面積，滿足到正三角形的頂點的距離至少有一個小于的平面區域如圖中陰影部分所示，且，則使取到的點到三個頂點的距離都大于的概率為

.故選A.4．【答案】B

5．【答案】B

【解析】設點P到點O的距離小于1的概率為P1，由幾何概型，得P1＝＝，故點P到點O的距離大于1的概率為1－＝.故選B．

6．【答案】B

【解析】由題意，對都小于的正實數滿足，面積為；

兩個數能與構成鈍角三角形的三邊的數對滿足且，則面積為，因為統計兩數能與構成鈍角三角形三邊的數對的個數為，所以，解得.故選B．

考點沖關

1．【答案】C

【解析】若,則在內，所以所求概率為.選C．

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2．【答案】B

3．【答案】D

【解析】畫出可行域,如圖所示,四邊形ABCD的面積為2,其中圓O的面積為π.由幾何概型的概率公式,可得,則π=,故選D．

4．【答案】B

【解析】連接AC,交圓弧DE于點M.在中,AB=,BC=1,所以tan∠BAC=,即∠BAC=.要使直線AP與線段BC有公共點,則點P必須在圓弧EM上,于是所求概率為P=.故選B．

5．【答案】A

【解析】由題意，區域F的面積為e;

區域E的面積S==,所以在區域內任取一點,則該點落在區域內的概率為.6．【答案】D

【解析】由題意，直角三角形內切圓的半徑r=，所以現若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓外的概率P=.7．【答案】B

8．【答案】A

【解析】在中，，由余弦定理，得，所以.故所求概率為.故選A．

9．【答案】B

【解析】如圖，以PB、PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，則，∴，得，由此可得P是的邊BC上的中線AO的中點，則點P到BC的距離等于A到BC的距離的，∴．

將一粒黃豆隨機撒在內，則黃豆落在內的概率為.故選B.10．【答案】

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11．【答案】3

【解析】由題意得[0,4]與[a,+∞)的交集在數軸上的長度為1，即x≥a的概率P=，解得a=3.12．【答案】

【解析】由題可得，根據幾何概型的概率計算公式，可得射線落在陰影部分內的概率為．

13．【答案】

【解析】因為一個正方體的外接球的表面積為48π,所以這個正方體的棱長為4,而棱長為4的正方體的體積為43,該正方體的內切球的半徑為2,體積為×23,所以所求概率P=.14．【答案】9

15．【答案】

【解析】取，所在區域是邊長為的正方形區域，面積為，直線上方正方形區域的面積為，直線下方正方形區域的面積，由幾何概型的概率公式可得，這兩個實數之和小于的概率是，故答案為.16．【解析】（1）用分別表示小陳、小李到班的時間，則，所有可能結果對應坐標平面內一個正方形區域ABCD，如圖所示．

（2）小陳比小李至少晚到5分鐘，即，對應區域為，則所求概率為．

17．【解析】(1)用數對表示基本事件,則其所有可能結果有

所以=.18．【解析】(1)的取值情況是:,其中第一個數表示的取值,第二個數表示的取值,即基本事件總數為16．

直通高考

1．【答案】A

【解析】設，則有，從而可以求得的面積為，黑色部分的面積為，其余部分的面積為，所以有，根據面積型幾何概型的概率公式，可以得到，故選A.2．【答案】B

【解析】設正方形邊長為，則圓的半徑為，正方形的面積為，圓的面積為.由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得，此點取自黑色部分的概率是，選B．

秒殺解析：由題意可知，此點取自黑色部分的概率即為黑色部分面積占整個面積的比例，由圖可知其概率滿足，故選B．

【名師點睛】對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區域（長度、面積、體積或時間），其次計算基本事件區域的幾何度量和事件A區域的幾何度量，最后計算.3．【答案】B

【解析】由題意，這是一個幾何概型問題，班車每30分鐘發出一輛，到達發車站的時間總長度為40，等車不超過10分鐘的時間長度為20，故所求概率為，選B．

【名師點睛】這是全國卷首次考查幾何概型,求解幾何概型問題的關鍵是確定“測度”,常見的測度有長度、面積、體積等.4．【答案】

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【名師點睛】（1）當試驗的結果構成的區域為長度、面積或體積等時，應考慮使用幾何概型求解．

（2）利用幾何概型求概率時，關鍵是試驗的全部結果構成的區域和事件發生的區域的尋找，有時需要設出變量，在坐標系中表示所需要的區域．

（3）幾何概型有兩個特點：①無限性，②等可能性．基本事件可以抽象為點，盡管這些點是無限的，但它們所占據的區域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率．

5．【答案】

【解析】直線y=kx與圓相交,需要滿足圓心到直線的距離小于半徑，即，解得，而，所以所求概率P=.