四年級下冊數學

奧數精講1

學員編號：

年

級：四年級

課

時

數：

學員姓名：

輔導科目：數學

學科教師：

授課目標

C數的整除

C找規律

C

數字迷

授課難點

整除

教學重點：找規律

——數的整除

計算是數學的基礎，小學生要學好數學，必須具有過硬的計算本領。準確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能提高計算效率、節省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發展。

數的整除具有如下性質：

性質1

如果甲數能被乙數整除，乙數能被丙數整除，那么甲數一定能被丙數整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性質2

如果兩個數都能被一個自然數整除，那么這兩個數的和與差也一定能被這個自然數整除。例如，21與15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性質3

如果一個數能分別被兩個互質的自然數整除，那么這個數一定能被這兩個互質的自然數的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質，那么126能被9×7＝63整除。

利用上面關于整除的性質，我們可以解決許多與整除有關的問題。為了進一步學習數的整除性，我們把學過的和將要學習的一些整除的數字特征列出來：

（1）一個數的個位數字如果是0，2，4，6，8中的一個，那么這個數就能被2整除。

（2）一個數的個位數字如果是0或5，那么這個數就能被5整除。

（3）一個數各個數位上的數字之和如果能被3整除，那么這個數就能被3整除。

（4）一個數的末兩位數如果能被4（或25）整除，那么這個數就能被4（或25）整除。

（5）一個數的末三位數如果能被8（或125）整除，那么這個數就能被8（或125）整除。

（6）一個數各個數位上的數字之和如果能被9整除，那么這個數就能被9整除。

例題1

在下面的數中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？

234，789，7756，8865，3728.8064。

解：能被4整除的數有7756，3728，8064；

能被8整除的數有3728，8064；

能被9整除的數有234，8865，8064。

例題2

在四位數56□2中，被蓋住的十位數分別等于幾時，這個四位數分別能被9，8，4整除？

解：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□應能被9整除，所以當十位數是5，即四位數是5652時能被9整除；

如果56□2能被8整除，那么6□2應能被8整除，所以當十位數是3或7，即四位數是5632或5672時能被8整除；

如果56□2能被4整除，那么□2應能被4整除，所以當十位數是1，3，5，7，9，即四位數是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。

例題3

從0，2，5，7四個數字中任選三個，組成能同時被2，5，3整除的數，并將這些數從小到大進行排列。

解：因為組成的三位數能同時被2，5整除，所以個位數字為0。根據三位數能被3整除的特征，數字和2＋7＋0與5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數為270，570，720，750。

1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪幾個數整除？

2．個位數是5，且能被9整除的三位數共有多少個？

3．一些四位數，百位上的數字都是3，十位上的數字都是6，并且它們既能被2整除又能被3整除。在這樣的四位數中，最大的和最小的各是多少？

——找規律

計算是數學的基礎，小學生要學好數學，必須具有過硬的計算本領。準確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能提高計算效率、節省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發展。

我們在三年級已經見過“找規律”這個題目，學習了如何發現圖形、數表和數列的變化規律。這一講重點學習具有“周期性”變化規律的問題。什么是周期性變化規律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛開的春季過后就是夏天，赤日炎炎的夏季過后就是秋天，果實累累的秋季過后就是冬天，白雪皚皚的冬季過后又到了春天。年復一年，總是按照春、夏、秋、冬四季變化，這就是周期性變化規律。再比如，數列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，…是按照0，1，2三個數重復出現的，這也是周期性變化問題。

例題1

節日的夜景真漂亮，街上的彩燈按照5盞紅燈、再接4盞藍燈、再接3盞黃燈，然后又是5盞紅燈、4盞藍燈、3盞黃燈、……這樣排下去。問：

（1）第100盞燈是什么顏色？

（2）前150盞彩燈中有多少盞藍燈？

分析與解：這是一個周期變化問題。彩燈按照5紅、4藍、3黃，每12盞燈一個周期循環出現。

（1）100÷12＝8……4，所以第100盞燈是第9個周期的第4盞燈，是紅燈。

（2）150÷12=12……6，前150盞燈共有12個周期零6盞燈，12個周期中有藍燈4×12＝48（盞），最后的6盞燈中有1盞藍燈，所以共有藍燈48＋1=49（盞）

例題2

有一串數，任何相鄰的四個數之和都等于25。已知第1個數是3，第6個數是6，第11個數是7。問：這串數中第24個數是幾？前77個數的和是多少？

分析與解：因為第1，2，3，4個數的和等于第2，3，4，5個數的和，所以第1個數與第5個數相同。進一步可推知，第1，5，9，13，…個數都相同。

同理，第2，6，10，14，…個數都相同，第3，7，11，15，…個數都相同，第4，8，12，16…個數都相同。

也就是說，這串數是按照每四個數為一個周期循環出現的。所以，第2個數等于第6個數，是6；第3個數等于第11個數，是7。前三個數依次是3，6，7，第四個數是

25-（3+6+7）=9。

這串數按照3，6，7，9的順序循環出現。第24個數與第4個數相同，是9。由77÷4＝9……1知，前77個數是19個周期零1個數，其和為25×19+3=478。

例題3

下面這串數的規律是：從第3個數起，每個數都是它前面兩個數之和的個位數。問：這串數中第88個數是幾？

628088640448…

分析與解：這串數看起來沒有什么規律，但是如果其中有兩個相鄰數字與前面的某兩個相鄰數字相同，那么根據這串數的構成規律，這兩個相鄰數字后面的數字必然與前面那兩個相鄰數字后面的數字相同，也就是說將出現周期性變化。我們試著將這串數再多寫出幾位：

當寫出第21，22位（豎線右面的兩位）時就會發現，它們與第1，2位數相同，所以這串數按每20個數一個周期循環出現。由88÷20=4……8知，第88個數與第8個數相同，所以第88個數是4。

【練習】

1．有一串很長的珠子，它是按照5顆紅珠、3顆白珠、4顆黃珠、2顆綠珠的順序重復排列的。問：第100顆珠子是什么顏色？前200顆珠子中有多少顆紅珠？

2．將1，2，3，4，…除以3的余數依次排列起來，得到一個數列。求這個數列前100個數的和。

3．有一串數，前兩個數是9和7，從第三個數起，每個數是它前面兩個數乘積的個位數。這串數中第100個數是幾？前100個數之和是多少？

4．有一列數，第一個數是6，以后每一個數都是它前面一個數與7的和的個位數。這列數中第88個數是幾？

——數字迷

計算是數學的基礎，小學生要學好數學，必須具有過硬的計算本領。準確、快速的計算能力既是一種技巧，也是一種思維訓練，既能提高計算效率、節省計算時間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進思維和智力的發展。

例題1

把下面算式中缺少的數字補上：

分析與解：一個四位數減去一個三位數，差是一個兩位數，也就是說被減數與減數相差不到100。四位數與三位數相差不到100，三位數必然大于900，四位數必然小于1100。由此我們找出解決本題的突破口在百位數上。

（1）填百位與千位。由于被減數是四位數，減數是三位數，差是兩位數，所以減數的百位應填9，被減數的千位應填1，百位應填0，且十位相減時必須向百位借1。

（2）填個位。由于被減數個位數字是0，差的個位數字是1，所以減數的個位數字是9。

（3）填十位。由于個位向十位借1，十位又向百位借1，所以被減數十位上的實際數值是18，18分解成兩個一位數的和，只能是9與9，因此，減數與差的十位數字都是9。

所求算式如右式。

由例1看出，考慮減法算式時，借位是一個重要條件。

例題2

在下列各加法算式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字，求出這兩個算式：

分析與解：（1）這是一道四個數連加的算式，其特點是相同數位上的數字相同，且個位與百位上的數字相同，即都是漢字“學”。

從個位相同數相加的情況來看，和的個位數字是8，有兩種可能情況：2＋2＋2＋2＝8與7＋7＋7＋7＝28，即“學”＝2或7。

如果“學”＝2，那么要使三個“數”所代表的數字相加的和的個位數字為8，“數”只能代表數字6。此時，百位上的和為“學”＋“學”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“學”≠2。

如果“學”＝7，那么要使三個“數”所代表的數字相加再加上個位進位的2，和的個位數字為8，“數”只能代表數字2。百位上兩個7相加要向千位進位1，由此可得“我”代表數字3。

滿足條件的解如右式。

（2）由千位看出，“努”=4。由千、百、十、個位上都有“努”，5432-4444=988，可將豎式簡化為左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可將左下式簡化為下中式，從而求出“學”=9，“習”=1。

滿足條件的算式如右下式。

例題3

在□內填入適當的數字，使左下式的乘法豎式成立。

分析與解：為清楚起見，我們用A，B，C，D，…表示□內應填入的數字（見右上式）。

由被乘數大于500知，E=1。由于乘數的百位數與被乘數的乘積的末位數是5，故B，C中必有一個是5。若C＝5，則有

6□□×5=（600+□□）×5=3000+□□×5，不可能等于□5□5，與題意不符，所以B=5。再由B=5推知G=0或5。若G=5，則F=A=9，此時被乘數為695，無論C為何值，它與695的積不可能等于□5□5，與題意不符，所以G=0，F=A=4。此時已求出被乘數是645，經試驗只有645×7滿足□5□5，所以C=7；最后由B=5，G=0知D為偶數，經試驗知D=2。

右式為所求豎式。

此類乘法豎式題應根據已給出的數字、乘法及加法的進位情況，先填比較容易的未知數，再依次填其余未知數。有時某未知數有幾種可能取值，需逐一試驗決定取舍。

1．在下面各豎式的□內填入合適的數字，使豎式成立：

2．右面的加法算式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字。問：“小”代表什么數字？

3．在下列各算式中，不同的漢字代表不同的數字相同的漢字代表相同的數字。求出下列各式：