讓我們一起領略反比例函數的神奇
一、個人對反比例函數的幾點困惑與感悟
1.為何正比例函數的比例系數是比,而反比例函數的比例系數卻不是比?
2.為何我市中考的反比例函數問題總不像其它函數那么深入?只探究一些皮毛問題!至
多探究一下的幾何意義(面積),例如2016年臺州市中考考查的也是“函數的研究
通法”,并非專門深入研究反比例函數.3.過去我們遇到稍難一點的反比例函數問題,就只有“暴力設元”這一途徑,總無法避開
多元方程、分式方程、高次方程.4.個人認為作為老師,不應該只應付中考,而應該研究更純粹的數學,站在更高的位置來
了解數學本質!做到居高臨下、解有依據!
5.實際上,反比例函數中也存在很多的“比”,斜比、直比(縱比、橫比、縱橫比)、面積
比,可以說“比比皆是”!現在就讓我們一起來比出精彩、比出神奇.二、一道曾經困惑我多時的中考題
某年寧波市中考的填空壓軸題:
如圖,的頂點(,),雙曲線經過
點、,當以、、為頂點的三角形與的相似時,則
.1.常規性解法:
通過設元,例如設(,),則(,),再根據條件列方程:
(1)利用、、或列方程;
(2)利用列方程;
(3)利用“一線三等角”模型、和列方程.實際上,在上述常規處理方法中,已經透著一點智慧、一點靈性了,具體操作方法中也具
備了一定的技巧性.但我本人對此,卻一直難言滿意,耿耿于懷!
2.挖掘隱含性質,巧解此題
(1)實際上,此圖中含有一些很重要的性質:
過點作軸于,連接,直線分別交
坐標軸于點、.則有①∥;
②,;
③,.基于以上這些性質,有如下解法.(2)我的第一種解法(整體思想):
由,可得,即,于是,……
(3)我一個同事的解法(斜邊轉直比):
由,可得,轉為橫比,因此,……
(4)我一個學生的解法(斜等轉直等):
由得,則,……
(5)我的第二種解法(平行導角度):
由∥得,于是,……
(6)下面我們要著重解決兩件事:
①上述性質是否永遠成立?如何證明?
②解題技巧除上述方法:整體思想、斜邊轉直比、斜等轉直等、平行導角度外,還有斜長轉直長、面積比與邊比互轉、純面積轉化等等,后面將一、一介紹.三、探究性質
1.如圖,雙曲線與矩形邊交于點、,直線交坐標軸于點、.①如圖1,若,則;
②如圖2,若,則;
③如圖3,若,則,直線與的位置關系是,與的大小關系
.圖1
圖2
圖3
2.①如圖1,雙曲線與直線交于點、,軸于點,軸于
點,請探究直線與的位置關系,線段與的大小關系.②如圖2,雙曲線與直線交于點、,軸于,軸于,軸于,軸于,請探究直線與、的位置關系,以及
線段與的大小關系.圖1
圖2
四、最常見思想方法(斜轉直):斜邊轉直比、斜等轉直等、斜長轉直長
1.如圖,直線反比例函數()圖象交直線
于點、,且,則的值為
.(1)常規方法(斜長轉直長):,則,可設(,),則(,),列方程解決;
(2)口算巧解(斜邊轉直比):
由,得,轉為橫比得,則,……
2.同類變式題:
如圖,直線交坐標軸于點、,雙曲線交直線于點、.若,則的值為;
3.難題展示(中國數學教育名師講堂481230254,每日一題第8題,2017/3/29)
如圖,點(,),在雙曲線上,分別交,軸于,分別交,軸于,.(1)求的面積;
(2)求證:.4.原創清新小題和近年的中考題:
(1)如圖1,的面積為,則的值為
.(2)如圖2,點,在雙曲線上運動,軸,.①在運動過程中,的面積是不是定值?答:;
②若,且是正三角形,則點的坐標為
.(3)如圖3,□中,,雙曲線經過點和中點,則該雙
曲線的解析式為
.(4)如圖4,直線與分別與雙曲線交于點、,則的值為
.圖1
圖2
圖3
圖4
(5)(十堰)如圖5,正的邊長為,雙曲線經過點、,且,則的值為
.(6)如圖6,雙曲線與直線交于點、.①(原創、鋪墊②)若、,且,則;
②(常州模擬·改編)若,且,則;
③(杭州模擬·改編)若,且,則
.(7)(據上題改編)如圖7,為雙曲線上的動點,過點作矩形,直線的解析式為,交矩形邊于,則
.圖5
圖6
圖7
五、面積比、邊比互轉
1.①(原創、鋪墊)如圖1①,直線與雙曲線交于點,為雙曲線上一點,射線交軸于點,若的面積為,則點坐標為;
②(成都)如圖1②,直線與雙曲線交于點、,為雙曲線上一點,射線交軸于點,若的面積為,則點坐標為
.2.(無錫)如圖2,軸,∥軸,雙曲線過點、,且,已知的面積為,則的值為
.圖1①
圖1②
圖3
3.(寧波)如圖3,正的頂點在雙曲線上,雙曲線與邊交于點,連接,則的面積為
.4.(麗水)如圖4,雙曲線與直線交于點、,軸,設點的橫坐標為.①用含的式子表示;
②若與四邊形的面積和為,則
.5.如圖5,雙曲線與直線交于點、.①(常州模擬)若,且,則;
②(改編自①)若、,且,則
.圖3
圖4
圖5
6.如圖6,軸,為中點,延長到,延長到,若雙曲線恰
好經過點,且,則
.7.如圖7,雙曲線過點,過點,若,均與軸平行,,且它們之間的距離長為,則
.8.如圖8,直線交雙曲線于點,若,則
.圖6
圖7
圖8
9.如圖,點在雙曲線上,軸,延長線交軸于,若的面積為,則的值為
.10.如圖,點、在雙曲線上,軸,軸,垂足、分別在軸的正半軸和負半軸上,,是的中點,若面積是的倍,則的值為
.六、反比例函數圖象中的“一線三等角”構造,初探黃金比例
1.如圖1,中,,雙曲線經過點、,且點的縱坐標為,則的值為
.(1)剖析:對于坐標系中的一個直角,若兩條邊均“傾斜”,我們經常構造“”形全
等或相似,即“一線三等角”模型,或叫“矩形大法”,見圖2,得.(2)后感:我們可以發現,矩形恰好是一個“黃金矩形”,這到底是一種偶然的巧
合,還是一種必然的存在呢?這有待于我們進一步探究…
(3)探究(2016臨沭模擬):如圖3,雙曲線與矩形的邊交于點,若
設點的坐標為(,),且有,則
.圖1
圖2
圖3
2.類似題:
①(2015臨海模擬·填空壓軸題)
如圖,,雙曲線經過
點,雙曲線經過點,已知點的縱坐標
為,則,點的坐標為
.②(個人原創)如圖2,中,,雙曲線經過點,雙曲線經過點,且
點的縱坐標為,則的值為
.3.難題展示(常州·于新華老師原創題)
(1)如圖1,點(,),均在雙曲線上,過點作軸垂線,過點作軸
垂線,兩垂線交于點,垂足分別為,將沿翻折,點恰好落在軸上的點處.求點的坐標.(2)如圖2,點(,),均在雙曲線上,過點作軸垂線,過點作軸
垂線,兩垂線交于點,垂足分別為,將沿翻折,點恰好落在軸上的點處.求點的坐標.圖1
圖2
4.如圖,矩形的邊的解析式為,頂點,在雙曲線上.①若,則點的坐標為;
②連接,若是等邊三角形,則
.后感:若能發現,本題將更簡單!
拓展:如圖,正方形的頂點、在雙曲
線上,、在雙曲線上,則正方形的面積為
.5.(2013湖州模擬)
如圖1,矩形的頂點、在雙曲線上,若點(,),則點的坐標為
.6.如圖2,矩形中,點(,),點,在雙曲線上,若為
中點,則的值為
.圖1
圖2
7.①如圖1,點,在雙曲線上運動,以為底邊作等腰直角,則點
也在一條雙曲線上運動,則該雙曲線的解析式為;
②如圖2,點,在雙曲線上運動,以為底邊作等腰,則點也
在一條雙曲線上運動,若,則該雙曲線解析式為;
③如圖3,點,在雙曲線上運動,以為底作等腰,點在另一
雙曲線上運動,若,請用,表示
.圖1
圖2
圖3
七、平行導角度,角度導比例
1.如圖,點,在雙曲線上,經過原點,過點作∥軸,連接
并延長,交雙曲線于點.①求證:;
②求的值.根據本題的發現,改編了一個清新小題:
如圖,點,在雙曲線上,經過原點,過點的直線交該
雙曲線于點,分別交軸,軸于點,若,.求的值.2.如圖,直線交在雙曲線于點、,經過原點,過作
交軸于點,連接并延長,交雙曲線于點.求的值.3.如圖,雙曲線與過原點的直線交于點、,點在雙曲線上,直線、分別交軸于點、.若設,則
.4.如圖,雙曲線經過點、、,求證:.八、純面積推導
1.如圖,點(,),在雙曲線上,分別交,軸于,分別交,軸于,.求證:.(此方法感謝江蘇·于新華老師的指導!)
2.(2016菏澤)如圖,均是等腰直角三角形,雙曲線經過點,交線
段與點,求與的面積之差.后感:①題中條件“,均是等腰直角三角形”可如何改變?
②寫出,的關系:
.3.(十堰)如圖5,正的邊長為,雙曲線經過點、,且,則的值為
.4.(常州)如圖1,雙曲線經過點、,且,求的值;
5.如圖2,雙曲線經過點、、,求證:.圖1
圖2