讓我們一起領略反比例函數的神奇

一、個人對反比例函數的幾點困惑與感悟

1.為何正比例函數的比例系數是比，而反比例函數的比例系數卻不是比？

2.為何我市中考的反比例函數問題總不像其它函數那么深入？只探究一些皮毛問題！至

多探究一下的幾何意義（面積），例如2016年臺州市中考考查的也是“函數的研究

通法”，并非專門深入研究反比例函數.3.過去我們遇到稍難一點的反比例函數問題，就只有“暴力設元”這一途徑，總無法避開

多元方程、分式方程、高次方程.4.個人認為作為老師，不應該只應付中考，而應該研究更純粹的數學，站在更高的位置來

了解數學本質！做到居高臨下、解有依據！

5.實際上，反比例函數中也存在很多的“比”，斜比、直比（縱比、橫比、縱橫比）、面積

比，可以說“比比皆是”！現在就讓我們一起來比出精彩、比出神奇.二、一道曾經困惑我多時的中考題

某年寧波市中考的填空壓軸題:

如圖，的頂點(，)，雙曲線經過

點、，當以、、為頂點的三角形與的相似時，則

.1.常規性解法：

通過設元，例如設(，)，則(，)，再根據條件列方程：

(1)利用、、或列方程；

(2)利用列方程；

(3)利用“一線三等角”模型、和列方程.實際上，在上述常規處理方法中，已經透著一點智慧、一點靈性了，具體操作方法中也具

備了一定的技巧性.但我本人對此，卻一直難言滿意，耿耿于懷！

2.挖掘隱含性質，巧解此題

(1)實際上，此圖中含有一些很重要的性質：

過點作軸于，連接，直線分別交

坐標軸于點、.則有①∥；

②，；

③，.基于以上這些性質，有如下解法.(2)我的第一種解法（整體思想）：

由，可得，即，于是，……

(3)我一個同事的解法（斜邊轉直比）：

由，可得，轉為橫比，因此，……

(4)我一個學生的解法（斜等轉直等）：

由得，則，……

(5)我的第二種解法（平行導角度）：

由∥得，于是，……

(6)下面我們要著重解決兩件事：

①上述性質是否永遠成立？如何證明？

②解題技巧除上述方法：整體思想、斜邊轉直比、斜等轉直等、平行導角度外，還有斜長轉直長、面積比與邊比互轉、純面積轉化等等，后面將一、一介紹.三、探究性質

1.如圖，雙曲線與矩形邊交于點、，直線交坐標軸于點、.①如圖1，若，則；

②如圖2，若，則；

③如圖3，若，則，直線與的位置關系是，與的大小關系

.圖1

圖2

圖3

2.①如圖1，雙曲線與直線交于點、，軸于點，軸于

點，請探究直線與的位置關系，線段與的大小關系.②如圖2，雙曲線與直線交于點、，軸于，軸于，軸于，軸于，請探究直線與、的位置關系，以及

線段與的大小關系.圖1

圖2

四、最常見思想方法（斜轉直）：斜邊轉直比、斜等轉直等、斜長轉直長

1.如圖，直線反比例函數()圖象交直線

于點、，且，則的值為

.(1)常規方法（斜長轉直長）：，則，可設(，)，則(，)，列方程解決；

(2)口算巧解（斜邊轉直比）：

由，得，轉為橫比得，則，……

2.同類變式題：

如圖，直線交坐標軸于點、，雙曲線交直線于點、.若，則的值為；

3.難題展示（中國數學教育名師講堂481230254，每日一題第8題，2017/3/29）

如圖，點(，)，在雙曲線上，分別交，軸于，分別交，軸于，.(1)求的面積；

(2)求證：.4.原創清新小題和近年的中考題：

(1)如圖1，的面積為，則的值為

.(2)如圖2，點，在雙曲線上運動，軸，.①在運動過程中，的面積是不是定值？答：；

②若，且是正三角形，則點的坐標為

.(3)如圖3，□中，，雙曲線經過點和中點，則該雙

曲線的解析式為

.(4)如圖4，直線與分別與雙曲線交于點、，則的值為

.圖1

圖2

圖3

圖4

(5)(十堰)如圖5，正的邊長為，雙曲線經過點、，且，則的值為

.(6)如圖6，雙曲線與直線交于點、.①(原創、鋪墊②)若、，且，則；

②(常州模擬·改編)若，且，則；

③(杭州模擬·改編)若，且，則

.(7)(據上題改編)如圖7，為雙曲線上的動點，過點作矩形，直線的解析式為，交矩形邊于，則

.圖5

圖6

圖7

五、面積比、邊比互轉

1.①(原創、鋪墊)如圖1①，直線與雙曲線交于點，為雙曲線上一點，射線交軸于點，若的面積為，則點坐標為；

②(成都)如圖1②，直線與雙曲線交于點、，為雙曲線上一點，射線交軸于點，若的面積為，則點坐標為

.2.(無錫)如圖2，軸，∥軸，雙曲線過點、，且，已知的面積為，則的值為

.圖1①

圖1②

圖3

3.(寧波)如圖3，正的頂點在雙曲線上，雙曲線與邊交于點，連接，則的面積為

.4.(麗水)如圖4，雙曲線與直線交于點、，軸，設點的橫坐標為.①用含的式子表示；

②若與四邊形的面積和為，則

.5.如圖5，雙曲線與直線交于點、.①(常州模擬)若，且，則；

②(改編自①)若、，且，則

.圖3

圖4

圖5

6.如圖6，軸，為中點，延長到，延長到，若雙曲線恰

好經過點，且，則

.7.如圖7，雙曲線過點，過點，若，均與軸平行，，且它們之間的距離長為，則

.8.如圖8，直線交雙曲線于點，若，則

.圖6

圖7

圖8

9.如圖，點在雙曲線上，軸，延長線交軸于，若的面積為，則的值為

.10.如圖，點、在雙曲線上，軸，軸，垂足、分別在軸的正半軸和負半軸上，，是的中點，若面積是的倍，則的值為

.六、反比例函數圖象中的“一線三等角”構造，初探黃金比例

1.如圖1，中，，雙曲線經過點、，且點的縱坐標為，則的值為

.(1)剖析：對于坐標系中的一個直角，若兩條邊均“傾斜”，我們經常構造“”形全

等或相似，即“一線三等角”模型，或叫“矩形大法”，見圖2，得.(2)后感：我們可以發現，矩形恰好是一個“黃金矩形”，這到底是一種偶然的巧

合，還是一種必然的存在呢？這有待于我們進一步探究…

(3)探究(2016臨沭模擬)：如圖3，雙曲線與矩形的邊交于點，若

設點的坐標為(，)，且有，則

.圖1

圖2

圖3

2.類似題：

①(2015臨海模擬·填空壓軸題)

如圖，，雙曲線經過

點，雙曲線經過點，已知點的縱坐標

為，則，點的坐標為

.②(個人原創)如圖2，中，，雙曲線經過點，雙曲線經過點，且

點的縱坐標為，則的值為

.3.難題展示（常州·于新華老師原創題）

(1)如圖1，點(，)，均在雙曲線上，過點作軸垂線，過點作軸

垂線，兩垂線交于點，垂足分別為，將沿翻折，點恰好落在軸上的點處.求點的坐標.(2)如圖2，點(，)，均在雙曲線上，過點作軸垂線，過點作軸

垂線，兩垂線交于點，垂足分別為，將沿翻折，點恰好落在軸上的點處.求點的坐標.圖1

圖2

4.如圖，矩形的邊的解析式為，頂點，在雙曲線上.①若，則點的坐標為；

②連接，若是等邊三角形，則

.后感：若能發現，本題將更簡單！

拓展：如圖，正方形的頂點、在雙曲

線上，、在雙曲線上，則正方形的面積為

.5.(2013湖州模擬)

如圖1，矩形的頂點、在雙曲線上，若點(，)，則點的坐標為

.6.如圖2，矩形中，點(，)，點，在雙曲線上，若為

中點，則的值為

.圖1

圖2

7.①如圖1，點，在雙曲線上運動，以為底邊作等腰直角，則點

也在一條雙曲線上運動，則該雙曲線的解析式為；

②如圖2，點，在雙曲線上運動，以為底邊作等腰，則點也

在一條雙曲線上運動，若，則該雙曲線解析式為；

③如圖3，點，在雙曲線上運動，以為底作等腰，點在另一

雙曲線上運動，若，請用，表示

.圖1

圖2

圖3

七、平行導角度，角度導比例

1.如圖，點，在雙曲線上，經過原點，過點作∥軸，連接

并延長，交雙曲線于點.①求證：；

②求的值.根據本題的發現，改編了一個清新小題：

如圖，點，在雙曲線上，經過原點，過點的直線交該

雙曲線于點，分別交軸，軸于點，若，.求的值.2.如圖，直線交在雙曲線于點、，經過原點，過作

交軸于點，連接并延長，交雙曲線于點.求的值.3.如圖，雙曲線與過原點的直線交于點、，點在雙曲線上，直線、分別交軸于點、.若設，則

.4.如圖，雙曲線經過點、、，求證：.八、純面積推導

1.如圖，點(，)，在雙曲線上，分別交，軸于，分別交，軸于，.求證：.(此方法感謝江蘇·于新華老師的指導！)

2.(2016菏澤)如圖，均是等腰直角三角形，雙曲線經過點，交線

段與點，求與的面積之差.后感：①題中條件“，均是等腰直角三角形”可如何改變？

②寫出，的關系：

.3.(十堰)如圖5，正的邊長為，雙曲線經過點、，且，則的值為

.4.(常州)如圖1，雙曲線經過點、，且，求的值；

5.如圖2，雙曲線經過點、、，求證：.圖1

圖2