第一篇：淺談《九章算術》與《幾何原本》的異同

淺談《九章算術》與《幾何原本》的異同

就數學而言，古代東西方文明都對其發展作出了不可磨滅的貢獻；其中以中國的《九章算術》和西方的歐幾里得的《幾何原本》的貢獻最大。以下，我就這兩部經典的數學著作談談我的讀后感。

一、結構：

《幾何原本》分十三篇。含有467個命題；有5個公理和5條公設；大部分的命題都是由極少數的公理邏輯推理而來

《九章算術》共收有246個數學問題,包括方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章。其中的絕大多數內容是與當時的社會生活密切相關的。其數學成就也是多方面的。

貢獻：

《幾何原本》對世界數學的貢獻主要是：

1.建立了公理體系，明確提出所用的公理、公設和定義。由淺入深地揭示一系列定理，使得用一小批公理證出幾百個定理。

2.把邏輯證明系統地引入數學中，強調邏輯證明是確立數學命題真實性的一個基本方法。

3.示范地規定了幾何證明的方法：分析法、綜合法及歸謬法。

《幾何原本》精辟地總結了人類長時期積累的數學成就，建工了數學的科學體系。為后世繼續學習和研究數學提供了課題和資料，使幾何學的發展充滿了活的生機。二千年來，一直被公認為初等數學的基礎教材。

《九章算術》對世界數學的貢獻主要有：

1.開方術，反應了中國數學的高超計算水平，顯示中國獨有的算法體系。

2.方程理論，多元聯立一次方程組的出現，相當于高斯消去法的總結，獨步于世界。

3.負數的引入，特別是正負數加減法則的確立，是一項了不起的貢獻。

二、兩部著作中的一些內容比較：

《九章算術》在方程理論中的多元聯立一次方程組的出現比高斯后來提出的消去法早了很多年；在解線性方程組時，首次提出了負數的加減法法則，這對數學的貢獻是非常巨大的；在代數方面，開方術也是《九章算術》的一大貢獻；其開方程序是獨創先河；例如，秦九韶算法也的源于此；

在幾何方面，《九章算術》主要是面積（方田）和體積（商功）的計算；以計算為中心；任何問題，都要計算出具體的數字作為答案；幾乎沒有關于任何數的性質、圖形的定性的關系命題。例如三角形全等、三角形相似的條件在《九章算術》中都沒有相關的表述。有的只有算出線段的長、圖形的面積和體積。

《幾何原本》中的命題是通過公理和定義以及公設經邏輯推理而來；它建立了公理化的思想；也賦予了數學邏輯性強、嚴密的特點。

《幾何原本》更多的是在給出相關圖形的概念、性質等的表述；這就是它與《九章算術》最大的不同之處。

在幾何方面，《幾何原本》進一步地概括了一些概念；例如，對于“曲線”的概念，古希臘人只限于用尺規作圖來得到；而由《幾何原本》而來的解析幾何把“曲線”概括成任意的幾何圖形。其次，再一次突破直觀的限制，打開了數學發展的新思路。笛卡兒和費馬首先建立起來的是二維平面上的點和有序實數對之間的對應，按同樣的思想，不難得出通過三個坐標軸得出三維空間的點和實數的有序三數組之間的對應關系。現實的空間僅限于三維，由于解析幾何中采用了代數方法，平面上的點對應于有序實數對，空間的點對應著三元有序實數組，那么代數中的四元有序實數組當然可以與此類比，構成一個四維空間，由此類推，提出了高維空間的理論。這是現代數學極重要的思想，開拓了數學的新領域

《九章算術》涵蓋的開放化的歸納體系中對不同的問題都有一定的歸納總結，算法化的內容對不同的實際問題予以程序化的求解；模型化的思想針對具體問題予以模型化的求解。所以，它像一臺計算機。然而一些一般性的問題，可能就不能求解。

《幾何原本》創立的公理化體系，以及解析幾何的思想，揭示了數學的內在統一性；同時《幾何原本》也提供了解決一般性問題的方法。但它其中的一些定理存在錯誤或者并不嚴密；例如，第五公設在球面幾何上就不成立。

三、傳播：

《九章算術》采用的是中國古代的天干地支語言進行編寫；其語言生澀難懂；因此，不便于傳播；而《幾何原本》用的是相對通俗易懂的數學符號語言書寫，方便書寫也方便記憶。

以上，是我對這兩部數學著作的一些淺見；還望老師予以批評和指導。

第二篇：《幾何原本》讀后感

萬物皆有秩序

——《幾何原本》讀后感

幾何，是空間之秩序，是物質之規律，是造化之解析，是宇宙之始基，是邏輯之詩篇，是理性之美感。

——題記

幾何證明的引入，是初中數學的一個分水嶺，許多同學的成績出現了明顯的下滑，也逐漸產生了對數學的恐懼，這不再只是一門計算的課程，而要開始與那些老師口中“大同小異” 但學生眼中“大相徑庭”的各類幾何圖形作斗爭。學生們把對幾何的困惑歸結為“沒感覺”，甚至開始有了遇到幾何題就放棄的思想；一些家長也開始“妖魔化”幾何，在孩子還沒學幾何時就開始不斷嚇唬他們：“不要以為數學很簡單，等以后學了幾何就困難了”云云。那究竟幾何是否真的如此難學？還有無挽回學生學習幾何的熱情的可能？我想回到幾何學的本源，從兩千多年前偉大的數學家歐幾里得的巨著《幾何原本》中去尋找答案。

歐幾里得，是一個熟悉的名字，常常出現在與數學有關的各個角落，我也曾在課堂上為學生演示“勾股定理”的證明時，使用過“歐幾里得證法”；這也是一個陌生的名字，他的生平已經失傳，僅存的著作便是這部《幾何原本》，但僅憑這部著作便足以讓他被冠以“幾何之父”的頭銜。

中國古代的數學體系以算術、代數為主，重視應用，如《九章算術》提出的谷物糧食按比例分配的算法、如何解決合理攤派賦稅等問題。而古希臘的數學體系脫胎于哲學，對計算類問題涉及不深，旨在尋找宇宙的基本構成和數量關系。也許是因為古希臘的數學家們在面對浩瀚的星空時感受到了自身的渺小，所以想藉由建立起物質與精神世界的確定體系來獲得些許自信。于是通過自明的簡單公理進行演繹推理得出結論的方法誕生了，邏輯的三段論由亞里士多德提出，并被歐幾里得應用于實際知識體系構建，這也是我們現在所運用的幾何證明的推理演繹法的起源。

書中提出了五條公設和五條公理，這些都是無需證明的顯在事實，如“凡直角都相等”、“整體大于部分”……這些都不需要什么數學基礎，只要稍有生活常識的人都很明了。就是靠著這些簡單的基礎原理，通過演繹推理的方法，在本書中論證了465個命題。我在此不愿過多贅述這些論證的過程，因為這并不是一本數學教本，我更愿把它作為一本建立秩序的書。萬物都要依托空間而存在，《幾何原本》是一部建立空間秩序最久遠的方案之書，也意味著為萬物的秩序建立樹立了標榜。

幾何中的空間秩序是客觀存在的，歐幾里得不滿足于發現這些秩序，更試圖去證明這些秩序的正確性。我們生活中常有這樣的現象：我們常被告知要遵守某些秩序，但在不明就里時我們會有一種抵觸情緒；一旦我們了解了這些秩序的由來或原因后，往往會更愿意遵守。一個簡單的例子，有些國家習慣靠左行，有些國家習慣靠右行，僅僅以“因為大家都這樣所以你也要這樣”來解釋實在太牽強，一些人尤其是孩子就不容易接受。如果告訴了他們英國人靠右行因為騎士騎馬習慣左腳先上馬鐙，所以要靠路左上馬；而法國本來也是這個習慣，后來拿破侖大革命后，為了徹底打破貴族習俗，開創了靠右行的習慣并沿用至今，那么知道這些后，有理可循，自然更容易接受這些秩序。所以有理有據的秩序才更容易被人接受，這個道理早在兩千多年前就被歐幾里得表述在了《幾何原本》中。再聯系到我們幾何的教學，一些學生記不住定理或者不會用定理，也許也是因為在學習定理的初始階段，沒有向他們闡述清楚定理證明的過程，對定理的證明理解得越透徹，也就會越理解在怎樣的情況下更適合運用哪些定理。先學會證明定理，再學會應用它，這就是學習幾何的秩序。

每個人都有求知欲、都有探索客觀世界的意愿、都有對美的向往，因此不應該有人對幾何失去興趣與熱情，也不存在對幾何“沒感覺”，只是有時對幾何的理解太淺顯，覺得就是認識幾個圖形、解幾道題。通過《幾何原本》中由點、線、面、角為萬物始基所構筑的空間，我們會發現幾何學就是物質世界乃至精神世界的表述方式，她定義了萬物的秩序，所以只要你愿意去了解世界，你就會愿意接觸幾何，就有學習她的動力。同時幾何的美不僅僅是圖形變幻組合所產生的視覺效果，更蘊含邏輯的最美劇本，而重視幾何學的人也不會忽視數學在美學上的意義，因此愛美是愛幾何的充要條件。如果還要糾結幾何是否難學，我只想說，對優雅事物的欣賞，是一件難事嗎？

總有學生會問，有沒有學習幾何的捷徑？被托勒密王問到相同的問題時，歐幾里得回答：“幾何無王者之道。”另一個常被學生問及的問題就是，學了幾何之后有什么用能得到什么？這個問題歐幾里得同樣有他的解答，他對身邊的侍從說：“給他三個錢幣，因為他想在學習中獲取實利。”學習沒有一步登天只有腳踏實地；對真理的追尋與求證不是為了功利的索取，而是在培植素養與情懷，這是幾何學的秩序，更是人生的箴言。

第三篇：幾何原本讀后感

《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作,大約成書于公元前 300 年左右,是一部劃時代的著作,下面為大家分享了幾何原本讀后感，歡迎借鑒！

幾何原本讀后感

1讀《幾何原本》的作者歐幾里得能夠代表整個古希臘人民，那么我可以說，古希臘是古代文化中最燦爛的一支——因為古希臘的數學中，所包含的不僅僅是數學，還有著難得的邏輯，更有著耐人尋味的哲學。

《幾何原本》這本數學著作，以幾個顯而易見、眾所周知的定義、公設和公理，互相搭橋，展開了一系列的命題：由簡單到復雜，相輔而成。其邏輯的嚴密，不能不令我們佩服。

就我目前拜訪的幾個命題來看，歐幾里得證明關于線段“一樣長”的題，最常用、也是最基本的，便是畫圓：因為，一個圓的所有半徑都相等。一般的數學思想，都是很復雜的，這邊剛講一點，就又跑到那邊去了;而《幾何原本》非常容易就被我接受，其原因大概就在于歐幾里得反復運用一種思想、使讀者不斷接受的緣故吧。

不過，我要著重講的，是他的哲學。

書中有這樣幾個命題：如，“等腰三角形的兩底角相等，將腰延長，與底邊形成的兩個補角亦相等”，再如，“如果在一個三角形里，有兩個角相等，那么也有兩條邊相等”，這些命題，我在讀時，內心一直承受著幾何外的震撼。

我們七年級已經學了幾何。想想那時做這類證明題，需要證明一個三角形中的兩個角相等的時候，我們總是會這么寫：“因為它是一個等腰三角形，所以兩底角相等”——我們總是習慣性的認為，等腰三角形的兩個底角就是相等的;而看《幾何原本》，他思考的是“等腰三角形的兩個底角為什么相等”。想想看吧，一個思想習以為常，一個思想在思考為什么，這難道還不夠說明現代人的問題嗎?

大多數現代人，好奇心似乎已經泯滅了。這里所說的好奇心不單單是指那種對新奇的事物感興趣，同樣指對平常的事物感興趣。比如說，許多人會問“宇航員在空中為什么會飄起來”，但也許不會問“我們為什么能夠站在地上而不會飄起來”;許多人會問“吃什么東西能減肥”，但也許不會問“羊為什么吃草而不吃肉”。

我們對身邊的事物太習以為常了，以致不會對許多“平常”的事物感興趣，進而去琢磨透它。牛頓為什么會發現萬有引力?很大一部分原因，就在于他有好奇心。

如果僅把《幾何原本》當做數學書看，那可就大錯特錯了：因為古希臘的數學滲透著哲學，學數學，就是學哲學。

哲學第一課：人要建立好奇心，不僅探索新奇的事物，更要探索身邊的平常事，這就是我讀《幾何原本》意外的收獲吧!

幾何原本讀后感

2《幾何原本》作為數學的圣經，第一部系統的數學著作，牛頓，愛因斯坦，就是以這種形式寫的《自然哲學的數學原理》和《相對論》，斯賓諾莎寫出哲學著作《倫理學》，倫理學可以作為哲學與社會科學以及心理學的接口，都是推理性很強。

幾何原本總共13卷，研究前六卷就可以了，因為后邊的都是應用前邊的理論，應用到具體的領域，無理數，立體幾何等領域，幾何原本我認為最精髓的就是合理的假設，對點線面的抽象，這樣才得以使得后面的定理成立，其中第五個公設后來還被推翻了，以點線面作為基礎，以歐幾里得工具作為工具，進行了各種幾何現象的嚴密推理，我認為這些定理成立的條件必須是在，對幾條哲學原則默許了之后，才能成立。主要是最簡單的幾何形狀，從怎么畫出來，畫出來也是有根據的，再就是各種形狀的性質，以及各種形狀之間關系的定理，都是一步一步推理出來的。

在幾何原本后續的有阿波羅尼奧斯的《圓錐截線論》，牛頓的《自然哲學的數學原理》，算是比較系統的數學著作，也都是用歐幾里得工具進行證明的，后來的微積分工具的出現，我認為是圓周率的求解過程，無限接近的思想，才使得微積分工具產生，現代數學看似陣容豪華，可是并沒有新的工具的出現，只是對微積分工具在各個形狀上進行應用，數學主要是在空間上做文章，現在數學能干的活看似挺多，但是也要得益于物理學的發展，數學一方面往一般性方面發展，都忘了，細想數學思想是比較沒什么，只是腦力勞作比較大，特別是只是純數學研究，不做思想的人，很累也做不出有意義的工作。

看完二十世紀數學史，發現里面的人的著作，我一本也不想看，太虛。

幾何原本讀后感

3《幾何原本》內容簡介：《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，集整個古希臘數學的成果與精神于一身。既是數學巨著，也是哲學巨著，并且第一次完成了人類對空間的認識。該書自問世之日起，在長達兩千多年的時間里，歷經多次翻譯和修訂，自1482年第一個印刷本出版，至今已有一千多種不同版本。除《圣經》之外，沒有任何其他著作，其研究、使用和傳播之廣泛能夠與《幾何原本》相比。漢語的最早譯本是由意大利傳教士利瑪竇和明代科學家徐光啟于1607年合作完成的，但他們只譯出了前六卷。證實這個殘本斷定了中國現代數學的基本術語，諸如三角形、角、直角等。日本、印度等東方國家皆使用中國譯法，沿用至今。近百年來，雖然大陸的中學課本必提及這一偉大著作，但對中國讀者來說，卻無緣一睹它的全貌，納入家庭藏書更是妄想。徐光啟在譯此作時，對該書有極高的評價，他說：“能精此書者，無一事不可精；好學此書者，無一事不科學。”現代科學的奠基者愛因斯坦更是認為：如果歐幾里得未能激發起你少年時代的科學熱情，那你肯定不會是一個天才的科學家。由此可見，《幾何原本》對人們理性推演能力的影響，即對人的科學思想的影響是何等巨大。

幾何原本的讀后感，來自淘寶網的網友：幾何原本真的是一部很經典的著作啊，手上的這本已經翻得很舊了。準備入手一本新的，正好遇到這個修訂版。希望翻譯質量能夠更好，之前的版本總覺得有些地方譯得有些含糊。這本的包裝看上去也還不錯。

幾何原本的讀后感，來自卓越網的網友：不愧是古希臘的數學家，推導能力太強了。里面對幾何問題的解析，對思維的培養幫助很大；尤其推薦給要學習習近平面幾何的學生作為補充讀物來讀，啟發會很大的。本來這種科學類的書，翻譯得不好的話，就會非常難懂，江蘇人民出版社最近出的幾本自然科學的書，翻譯倒是都還可以，像我這種非專業的，也能看明白。

第四篇：肖臨駿：從數學教育的角度比較分析《九章算術》與《幾何原本》

《九章算術》是“算經十書”中最重要的一種，該書內容非常豐富，且系統化總結并概括了戰國、秦朝，以及漢時期的數學成就。此外，該書在數學領域也取得了杰出的成就，首次提出分數、負數及加減運算法則等。概括來說，《九章算術》是一本綜合性的數學歷史著作，該書的出現標志著中國古代數學體系的基本形成。《幾何原本》在數學界又被稱為《原本》，該書為歐洲數學的發展奠定了良好的基礎，且被廣泛認為是歷史上最成功的教科書，書中主要總結并歸納了平面幾何的五大公設。除此之外，《幾何原本》在西方也占據著相當重要的位置，僅次于《圣經》。這兩本著名的數學著作對數學的發展都發揮著非常重要的作用，但是二者還存在諸多差異。本文對這兩本書從成書背景、體例、內容等方面進行研究后，得出二者的差異所在。在此基礎上，對其數學教育觀、數學教育目的、數學教材及數學文化也進行了詳細論述，基于現代數學視野，對現代數學教育改革提供啟示，以供參考。

一、成書背景的對比

《九章算術》是中國古代的數學專著，也是“算經十書”中最重要的一種。眾所周知，我國春秋戰國時期，諸子百家爭鳴，眾多學派相繼出現，在形式邏輯研究方面，相比其他學派而言，墨家比較突出，但之后形式邏輯在我國并沒有太大的進展，而《九章算術》恰巧問世。該書成書最遲是在東漢前期，但內容的定型卻在西漢后期，這時候出現，就注定其呈現出非邏輯結構的特點。中國古代數學專著都是在不斷總結生活現象的過程中逐漸衍生而來的，《九章算術》也不例外，該書主要強調的是數學知識的應用，在不斷地總結、歸納、推理、論證的過程中，最終發展成演繹推理。

《幾何原本》是一部集前人思想和歐幾里得個人創造于一體的不朽之作，整本書的內容是把人們公認的一些事實歸納成定義和公理，將形式邏輯的方法運用于教學研究。通過這些定義和公理對幾何圖形的性質進行探討，最終建立起一套數學理論體系，簡稱幾何學。該書的成書與《九章算術》有著不同的背景，當時古希臘正處于形式邏輯的發展時期，形式邏輯的思想方法被運用到了數學及其應用領域中，逐漸形成了強大的數學思潮，之后歐幾里得不斷研究和探索，將其用演繹法進行歸類和整理，編寫成《幾何原本》一書。這本書也是歐式幾何的奠基之作。此書主要囊括了幾何學從公元前7世紀的古埃及，一直到公元前4世紀――歐幾里得生活時期――前后四百多年的數學發展歷史。從內容上分析，該書保存了古希臘早期的幾何學理論，之后歐幾里得對其進行了系統化的整理，使其成為現代數學發展的思想源泉。總體來說，《幾何原本》開創了古典數論的研究，創立了歐幾里得幾何學體系，成為用公理化方法建立起來的數學演繹體系的最早典范。

二、《九章算術》與《幾何原本》在體例方面的對比

研究這兩本書發現，其在體例方面存在一定的差異性，表現在：《九章算術》是按照問題的性質和解法具體分類的，總共九類，且每一類為一章節，每一章節又分多個小類，每一小類都有解題步驟，包括數學公式、推理等。這種結構體系，是以算法為中心，根據算法組建理論體系，表現出了中國特有的數學思想。《幾何原本》在結構方面與《九章算術》存在較大的差異性，該書共十三篇，主要包含兩大部分。第一部分中，有4條作圖公法，36條定義，19條公設和公理，為全書的推理基礎。第二部分主要是題，其中每一道題都相當于一條定理，后面附注證明過程和推論過程，還有少部分題后面有圖解。總之，《幾何原本》主要是將邏輯推理進行系統化歸納，形成數學體系中的邏輯演繹系統。

三、《九章算術》和《幾何原本》的內容對比

從內容方面對比發現，《九章算術》和《幾何原本》也存在較大的差異性。其中《九章算術》的內容呈現出豐富性和多樣性特征。它主要是對從春秋至秦漢時代社會生產過程中各方面累積的教學知識的匯總。整本書包含246題，涉及生活的各個領域，故被稱為“數學百科全書”。此外，該書中的代數水平和算術水平相當高，但在幾何圖形方面，卻與《幾何原本》存在較大的差距。《幾何原本》是代數幾何化，且數論問題都是通過嚴格的邏輯證明來具體解決的，它為幾何學的發展奠定了理論基礎。《幾何原本》的誕生，標志著幾何學已經成為一個有著比較嚴密的理論體系和科學方法的數學學科。除此之外，《幾何原本》還對勾股定理做了詳細證明。由此可見，這兩本數學名著各有優勢。

四、《九章算術》和《幾何原本》對當代數學教育改革的啟示

關于《九章算術》和《幾何原本》對當代數學教學改革和發展的啟示，需從數學教育觀、數學教育目的、數學教材、數學文化幾大方面來了解。

1.數學教育觀

數學教育觀主要包含兩大類，一類是動態數學教育觀，認為數學是一項人類活動，也是一個動態學科，活動之間存在著一定的關聯性，內部要素之間也呈現出動態發展趨勢；另一類是靜態數學教育觀，認為數學是一個永恒不變的學科，其內容主要包含數學定理、公式。《九章算術》表現出動態教育觀，主要是由于其豐富的內容都是在不斷總結和積累后得到的。《幾何原本》表現出靜態教育觀，認為教學活動是一種程序化過程，即數學概念-定理-公式-例題-練習，整個過程中，學生占被動地位，一味地接受教師的灌輸。相對來說，這種教育觀比較死板。由此可見，為了促進現代數學教育的發展，要主張學生理論與實踐相結合，從理論中解釋實踐，從實踐中總結理論，打破傳統的教學模式，實施并創新情境化教學模式。

2.數學教育目的

《九章算術》強調數學與實際生活之間的聯系，體現出數學學習的實用性特征，通過學習能夠促使學生將理論與實踐相結合。而《幾何原本》強調學生要關注內部的邏輯結構，體現出數學學習的抽象性和嚴密性特征，該書在一定程度上忽視了數學的應用意識和對學生數學綜合能力的培養。其實這兩本書都有自己的優越性和局限性，我們在研究現代數學學科時，應將二者相結合，取長補短，從而達到提升數學教育的目的。

3.數學教材

從上文中了解到，《九章算術》是一部數學百科全書，自隋唐時數學教育制度建立以來，該書已經成為國家統一審定的數學課程之一，且逐步形成了以該書為中心的古代數學課程體系。而《幾何原本》則過度強調形式化的數學教學，忽視了與實際相結合。這兩本書在教材上都有一定的優越性和局限性，我們要認真分析，相互借鑒，為推動現代化數學學科的改革和發展不斷努力。

4.數學文化

《九章算術》和《幾何原本》存在諸多方面的差異，其根本原因在于中西方文化之間存在一定的差異性，從而形成了不同的數學思想方法體系。所以，在進行現代化數學學科改革時，要對這兩本書的數學文化多加重視，教師在教學過程中應該多引導學生去了解和領悟數學本身所蘊含的文化內容。在此基礎上，結合數學內容，逐步滲透思想方法、意識精神等，讓學生真正體會到數學學科中蘊含的各種魅力。

五、結語

綜上，數學是一門研究數量、結構、空間、變化及信息等概念的綜合學科，也屬于一種形式科學。為了促進數學學科的改革和發展，通過上文對《九章算術》和《幾何原本》的比較得到的啟示是：要引導學生理論聯系實際，通過實踐進行總結、歸納，了解數學的本質，從而達到提高數學素養的目的。筆者希望更多有關人士參與到《九章算術》和《幾何原本》的比較研究中來，為推動現代化數學學科的改革做出更大的貢獻。

第五篇：《幾何原本》讀后感（通用）

《幾何原本》讀后感（通用8篇）

讀完一本經典名著后，想必你有不少可以分享的東西，現在就讓我們寫一篇走心的讀后感吧。想必許多人都在為如何寫好讀后感而煩惱吧，下面是小編幫大家整理的《幾何原本》讀后感（通用8篇），歡迎閱讀與收藏。

“古希臘”這個詞，我們耳熟能詳，很多人卻不了解它。

如果《幾何原本》的作者歐幾里得能夠代表整個古希臘人民，那么我可以說，古希臘是古代文化中最燦爛的一支——因為古希臘的數學中，所包含的不僅僅是數學，還有著難得的邏輯，更有著耐人尋味的哲學。

《幾何原本》這本數學著作，以幾個顯而易見、眾所周知的定義、公設和公理，互相搭橋，展開了一系列的命題：由簡單到復雜，相輔而成。其邏輯的嚴密，不能不令我們佩服。

就我目前拜訪的幾個命題來看，歐幾里得證明關于線段“一樣長”的題，最常用、也是最基本的，便是畫圓：因為，一個圓的所有半徑都相等。一般的數學思想，都是很復雜的，這邊剛講一點，就又跑到那邊去了；而《幾何原本》非常容易就被我接受，其原因大概就在于歐幾里得反復運用一種思想、使讀者不斷接受的緣故吧。

不過，我要著重講的，是他的哲學。

書中有這樣幾個命題：如，“等腰三角形的兩底角相等，將腰延長，與底邊形成的兩個補角亦相等”，再如，“如果在一個三角形里，有兩個角相等，那么也有兩條邊相等”。這些命題，我在讀時，內心一直承受著幾何外的震撼。

我們七年級已經學了幾何。想想那時做這類證明題，需要證明一個三角形中的兩個角相等的時候，我們總是會這么寫：“因為它是一個等腰三角形，所以兩底角相等”——我們總是習慣性的認為，等腰三角形的兩個底角就是相等的；而看《幾何原本》，他思考的是“等腰三角形的兩個底角為什么相等”。想想看吧，一個思想習以為常，一個思想在思考為什么，這難道還不夠說明現代人的問題嗎？

大多數現代人，好奇心似乎已經泯滅了。這里所說的好奇心不單單是指那種對新奇的事物感興趣，同樣指對平常的事物感興趣。比如說，許多人會問“宇航員在空中為什么會飄起來”，但也許不會問“我們為什么能夠站在地上而不會飄起來”；許多人會問“吃什么東西能減肥”，但也許不會問“羊為什么吃草而不吃肉”。

我們對身邊的事物太習以為常了，以致不會對許多“平常”的事物感興趣，進而去琢磨透它。牛頓為什么會發現萬有引力？很大一部分原因，就在于他有好奇心。

如果僅把《幾何原本》當做數學書看，那可就大錯特錯了：因為古希臘的數學滲透著哲學，學數學，就是學哲學。

哲學第一課：人要建立好奇心，不僅探索新奇的事物，更要探索身邊的平常事，這就是我讀《幾何原本》意外的收獲吧！

數學中最古老的一門分科。據說是起源于古埃及尼羅河泛濫后為整修土地而產生的測量法，它的外國語名稱geometry就是由geo(土地)與metry(測量)組成的。泰勒斯曾經利用兩三角形的等同性質，做了間接的測量工作;

畢達哥拉斯學派則以勾股定理等著名。

在中國古代早有勾股測量，漢朝人撰寫的《周髀算經》的第一章敘述了西周開國時期(約公元前1000)周公姬旦同商高的問答，討論用矩測量的方法，得出了著名的勾股定律，并舉出了“勾三、股四、弦五”的例子。在埃及產生的幾何學傳到希臘，然后逐步發展起來而變為理論的數學。

哲學家柏拉圖(公元前429～前348)對幾何學作了深奧的探討，確立起今天幾何學中的定義、公設、公理、定理等概念，而且樹立了哲學與數學中的分析法與綜合法的概念。此外，梅內克繆斯(約公元前340)已經有了圓錐曲線的概念。

希臘文化以柏拉圖學派的時代為頂峰，以后逐漸衰落，而埃及的亞歷山大學派則漸漸繁榮起來，它長時間成了文化的中心。歐幾里得把至希臘時代為止所得到的數學知識集其大成，編成十三卷的《幾何原本》，這就是直到今天仍廣泛地作為幾何學的教科書使用下來的歐幾里得幾何學(簡稱歐氏幾何)。

徐光啟于1606年翻譯了《幾何原本》前六卷，至1847年李善蘭才把其余七卷譯完。“幾何”與其說是geo的音譯，毋寧解釋為“大小”較為妥當。

誠然，現代幾何學是有關圖形的一門數學分科，但是在希臘時代則代表了數學的全部。歐幾里得在《幾何原本》中首先敘述了一些定義，然后提出五個公設和五個公理。其中第五公設尤為著名：如果兩直線和第三直線相交而且在同一側所構成的兩個同側內角之和小于二直角，那么這兩直線向這一側適當延長后一定相交。《幾何原本》中的公理系統雖然不能說是那么完備，但它恰恰成了現代幾何學基礎論的先驅。

直到19世紀末，D.希爾伯特才建立了嚴密的歐氏幾何公理體系。

第五公設和其余公設相比較，內容顯得復雜，于是引起后來人們的注意，但用其余公設來推導它的企圖，都失敗了。這個公設等價于下述的公設：在平面上，過一直線外的一點可引一條而且只有一條和這直線不相交的直線。

Η.И.羅巴切夫斯基和J.波爾約獨立地創建了一種新幾何學，其中揚棄了第五公設而代之以另一公設：在平面上，過一直線外的一點可引無限條和這直線不相交的直線。這樣創建起來的無矛盾的幾何學稱為雙曲的非歐幾里得幾何。

(G.F.)B.黎曼則把第五公設換作“在平面上，過一直線外的一點所引的任何直線一定和這直線相交”，這樣創建的無矛盾的幾何學稱橢圓的非歐幾里得幾何。

今天我讀了一本書，叫《幾何原本》。它是古希臘數學家、哲學家歐幾里德的一本不朽之作，集合希臘數學家的成果和精神于一書。

《幾何原本》收錄了原著13卷全部內容，包含了5條公理、5條公設、23個定義和467個命題，即先提出公理、公設和定義，再由簡到繁予以證明，并在此基礎上形成歐氏幾何學體系。歐幾里德認為，數學是一個高貴的世界，即使身為世俗的君主，在這里也毫無特權。與時間中速朽的物質相比，數學所揭示的世界才是永恒的。

《幾何原本》既是數學著作，又極富哲學精神，并第一次完成了人類對空間的認識。古希臘數學脫胎于哲學，它使用各種可能的描述，解析了我們的宇宙，使它不在混沌、分離，它完全有別于起源并應用于世俗的中國和古埃及數學。它建立起物質與精神世界的確定體系，致使渺小如人類也能從中獲得些許自信。

本書命題1便提出了如何作等邊三角形，由此產生了三角形全等定理。即角、邊、角或邊、角、邊或邊、邊、邊相等，并進一步提出了等腰三角形——等邊即等角；等角即等邊。就這樣歐幾里德分別從點、線、面、角四個部分，由淺入深，提出了自己的幾何理論。前面的命題為后面的鋪墊；后面的命題由前面的推導，環環相扣，十分嚴謹。

這本書博大精深，我只能看懂十分之一左右，非常震撼，歐幾里德不愧為幾何之父！他就是數學史上最亮的一顆星。我要向他學習，沿著自己的目標堅定的走下去。

《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的'一部不朽之作，集整個古希臘數學的成果和精神于一身。既是數學巨著，也是哲學巨著，并且第一次完成了人類對空間的認識。該書自問世之日起，在長達兩千多年的時間里，歷經多次翻譯和修訂，自1482年第一個印刷本出版，至今已有一千多種不同版本。

除《圣經》以外，沒有任何其他著作，其研究、使用和傳播之廣泛能夠和《幾何原本》相比。漢語的最早譯本是由意大利傳教士利瑪竇和明代科學家徐光啟于1607年合作完成的，但他們只譯出了前六卷。證實這個殘本斷定了中國現代數學的基本術語，諸如三角形、角、直角等。日本、印度等東方國家皆使用中國譯法，沿用至今。近百年來，雖然大陸的中學課本必提及這一偉大著作，但對中國讀者來說，卻無緣一睹它的全貌，納入家庭藏書更是妄想。

徐光啟在譯此作時，對該書有極高的評價，他說：“能精此書者，無一事不可精；好學此書者，無一事不科學。”現代科學的奠基者愛因斯坦更是認為：如果歐幾里得未能激發起你少年時代的科學熱情，那你肯定不會是一個天才的科學家。由此可見，《幾何原本》對人們理性推演能力的影響，即對人的科學思想的影響是何等巨大。

公理化結構是近代數學的主要特征。而《原本》是完成公理化結構的最早典范，它產生于兩千多年前，這是難能可貴的。不過用現代的標準去衡量，也有不少缺點。首先，一個公理系統都有若干原始概念，或稱不定義概念，作為其他概念定義的基礎。點、線、面就屬于這一類。而在《原本》中一一給出定義，這些定義本身就是含混不清的。其次是公理系統不完備，沒有運動、順序、連續性等公理，所以許多證明不得不借助于直觀。此外，有的公理不是獨立的，即可以由別的公理推出。這些缺陷直到1899年希爾伯特（Hilbert）的《幾何基礎》出版才得到了補救。盡管如此，畢竟瑕不掩瑜，《原本》開創了數學公理化的正確道路，對整個數學發展的影響，超過了歷史上任何其他著作。

《原本》的兩個理論支柱——比例論和窮竭法。為了論述相似形的理論，歐幾里得安排了比例論，引用了歐多克索斯的比例論。這個理論是無比的成功，它避開了無理數，而建立了可公度與不可公度的正確的比例論，因而順利地建立了相似形的理論。在幾何發展的歷史上，解決曲邊圍成的面積和曲面圍成的體積等問題，一直是人們關注的重要課題。這也是微積分最初涉及的問題。它的解決依賴于極限理論，這已是17世紀的事了。然而在古希臘于公元前三四世紀對一些重要的面積、體積問題的證明卻沒有明顯的極限過程，他們解決這些問題的理念和方法是如此的超前，并且深刻地影響著數學的發展。

化圓為方問題是古希臘數學家歐多克索斯提出的，后來以“窮竭法”而得名的方法。“窮竭法”的依據是阿基米得公理和反證法。在《幾何原本》中歐幾里得利用“窮竭法”證明了許多命題，如圓與圓的面積之比等于直徑平方比。兩球體積之比等于它們的直徑的立方比。阿基米德應用“窮竭法”更加熟練，而且技巧很高。并且用它解決了一批重要的面積和體積命題。當然，利用“窮竭法”證明命題，首先要知道命題的結論，而結論往往是由推測、判斷等確定的。阿基米德在此做了重要的工作，他在《方法》一文中闡述了發現結論的一般方法，這實際又包含了積分的思想。他在數學上的貢獻，奠定了他在數學史上的突出地位。

作圖問題的研究與終結。歐幾里得在《原本》中談了正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正十五邊形的作圖，未提及其他正多邊形的作法。可見他已嘗試著作過其他正多邊形，碰到了“不能”作出的情形。但當時還無法判斷真正的“不能作”，還是暫時找不到作圖方法。

高斯并未滿足于尋求個別正多邊形的作圖方法，他希望能找到一種判別準則，哪些正多邊形用直尺和圓規可以作出、哪些正多邊形不能作出。也就是說，他已經意識到直尺和圓規的“效能”不是萬能的，可能對某些正多邊形不能作出，而不是人們找不到作圖方法。1801年，他發現了新的研究結果，這個結果可以判斷一個正多邊形“能作”或“不能作”的準則。判斷這個問題是否可作，首先把問題化為代數方程。

然后，用代數方法來判斷。判斷的準則是：“對一個幾何量用直尺和圓規能作出的充分必要條件是：這個幾何量所對應的數能由已知量所對應的數，經有限次的加、減、乘、除及開平方而得到。”（圓周率不可能如此得到，它是超越數，還有e、劉維爾數都是超越數，我們知道，實數是不可數的，實數分為有理數和無理數，其中有理數和一部分無理數，比如根號2，是代數數，而代數數是可數的，因此實數中不可數是因為超越數的存在。雖然超越數比較多，但要判定一個數是否為超越數卻不是那么的簡單。）至此，“三大難題”即“化圓為方、三等分角、二倍立方體”問題是用尺規不能作出的作圖題。正十七邊形可作，但其作法不易給出。高斯（Gauss）在1796年19歲時，給出了正十七邊形的尺規作圖法，并作了詳盡的討論。為了表彰他的這一發現，他去世后，在他的故鄉不倫瑞克建立的紀念碑上面刻了一個正十七邊形。

幾何中連續公理的引入。由歐氏公設、公理不能推出作圖題中“交點”存在。因為，其中沒有連續性（公理）概念。這就需要給歐氏的公理系統中添加新的公理——連續性公理。雖然19世紀之前費馬與笛卡爾已經發現解析幾何，代數有了長驅直入的進展，微積分進入了大學課堂，拓撲學和射影幾何已經出現。但是，數學家對數系理論基礎仍然是模糊的，沒有引起重視。直觀地承認了實數與直線上的點都是連續的，且一一對應。直到19世紀末葉才完滿地解決了這一重大問題。從事這一工作的學者有康托（Cantor）、戴德金（Dedekind）、皮亞諾（Peano）、希爾伯特（Hilbert）等人。

當時，康托希望用基本序列建立實數理論，代德金也深入地研究了無理數理念，他的一篇論文發表在1872年。在此之前的1858年，他給學生開設微積分時，知道實數系還沒有邏輯基礎的保證。因此，當他要證明“單調遞增有界變量序列趨向于一個極限”時，只得借助于幾何的直觀性。

實際上，“直線上全體點是連續統”也是沒有邏輯基礎的。更沒有明確全體實數和直線全體點是一一對應這一重大關系。如，數學家波爾查奴（Bolzano）把兩個數之間至少存在一個數，認為是數的連續性。實際上，這是誤解。因為，任何兩個有理數之間一定能求到一個有理數。但是，有理數并不是數的全體。有了戴德金分割之后，人們認識至波爾查奴的說法只是數的稠密性，而不是連續性。由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀。直到1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。

《原本》還研究了其它許多問題，如求兩數（可推廣至任意有限數）最大公因數，數論中的素數的個數無窮多等。

在高等數學中，有正交的概念，最早的概念起源應該是畢達哥拉斯定理，我們稱之為勾股定理，只是勾3股4弦5是一種特例，而畢氏定理對任意直角三角形都成立。并由畢氏定理，發現了無理數根號2。在數學方法上初步涉及演繹法，又在證明命題時用了歸謬法（即反證法）。可能由于受丟番圖（Diophantus）對一個平方數分成兩個平方數整數解的啟發，350多年前，法國數學家費馬提出了著名的費馬大定理，吸引了歷代數學家為它的證明付出了巨大的努力，有力地推動了數論用至整個數學的進步。1994年，這一曠世難題被英國數學家安德魯威樂斯解決。

多少年來，千千萬萬人（著名的有牛頓（Newton）、阿基米德（Archimedes）等）通過歐幾里得幾何的學習受到了邏輯的訓練，從而邁入科學的殿堂。

只要上過初中的人都學過幾何，可是不一定知道把幾何介紹到中國來的是明朝的大科學家徐光啟和來自意大利的傳教士利瑪竇，更不一定知道是徐光啟把這門“測地學”創造性地意譯為“幾何”的。從1667年《幾何原本》前六卷譯完至今已有四百年，11月9日上海等地舉行了形式多樣的紀念活動。來自意大利、美國、加拿大、法國、日本、比利時、芬蘭、荷蘭、中國等9個國家及兩岸四地的60余位中外學者聚會徐光啟的安息之地——上海徐匯區，紀念徐光啟暨《幾何原本》翻譯出版400周年。

“一物不知，儒者之恥。”

徐光啟家世平凡，父親是一個不成功的商人，破產后在上海務農，家境不佳。徐光啟19歲時中秀才，過了16年才中舉人，此后又7年才中進士。在參加翰林院選拔時列第四名，即被選為翰林院庶吉士，相當于是明帝國皇家學院的博士研究生。他殿試排名三甲五十二名，名次靠后，照理沒有資格申請入翰林院。他的同科進士、也是他年滿花甲的老師黃體仁主動讓賢，把考翰林院的機會讓給了他。

《明史·徐光啟傳》中開篇用33個字講完他的科舉經歷，緊接著就說他“從西洋人利瑪竇學天文、歷算、火器，盡其術。遂遍習兵機、屯田、鹽策、水利諸書”，可見如果沒有跟隨利瑪竇學習西方科學，徐光啟只是有明一代數以千萬計的官僚中不出奇的一員。但是因為在1600年遇上了利瑪竇，且在翰林院學習期間有機會從學于利瑪竇，他得從一干庸眾中脫穎而出。

利瑪竇（MatteoRicci）1552年生于意大利馬切拉塔，1571年在羅馬成為耶穌會的見習修士，在教會里接受了神學、古典文學和自然科學的廣泛訓練，又在印度的果阿學會了繪制地圖和制造各類科學儀器，尤其是天文儀器。

利瑪竇于1577年5月離開羅馬，于1583年2月來到中國。8月在廣東肇慶建立“仙花寺”，開始傳教。可是一開始很不順利。為此，利瑪竇轉變了策略，決定采取曲線傳教的方針，為了接近中國人，利瑪竇不僅說中文，寫漢字，而且生活也力求中國化。正式服裝也改成了寬衣博帶的儒生裝束。

1598年6月利瑪竇去北京見皇帝，未能見到，次年返回南京。在南京期間，利瑪竇早已赫赫有名，尤其是他過目不忘、倒背如流的記憶術給人留下了深刻的印象，一傳十，十傳百，已神乎其神。加之利瑪竇高明的社交手段，以及他的那些引人入勝的、代表著西方工藝水平的工藝品和科學儀器，引得高官顯貴和名士文人都樂于和他交往。利瑪竇則借此來達到自己的目的——推動傳教活動。

也正是利瑪竇的學識和魅力吸引了徐光啟。根據利瑪竇的日記記載，約在1597年7月到1600年5月之間。徐光啟和利瑪竇曾見過一面，利瑪竇說這是一次短暫的見面。徐光啟主要向利瑪竇討教一些基督教教義，雙方并沒有深談。和利瑪竇分手之后，徐光啟花了兩三年時間研究基督教義，思考自己的命運。1603年，徐光啟再次去找利瑪竇，但利瑪竇這時已經離開南京到北京去了。徐光啟拜見了留在南京的傳教士羅如望，和之長談數日后，終于受洗成為了基督教徒。

1601年1月，利瑪竇再次晉京面圣，此次獲得成功，利瑪竇帶來的見面禮是自鳴鐘和鋼琴，這兩樣東西是要經常修理的，于是他被要求留在京城，以便可以經常為皇帝修理這兩樣東西。正好1604年4月，徐光啟中進士后要留在北京。兩人的交往也多起來。在此之前，徐光啟對中國傳統數字已有較深入的了解，他跟利瑪竇學習了西方科技后，向利瑪竇請求合作翻譯《幾何原本》，以克服傳統數學只言“法”而不言“義”的缺陷，認為“此書未譯，則他書俱不可得論。”利瑪竇勸他不要沖動，因為翻譯實在太難，徐光啟回答說：“一物不知，儒者之恥。”

《幾何原本》作為數學的圣經，第一部系統的數學著作，牛頓，愛因斯坦，就是以這種形式寫的《自然哲學的數學原理》和《相對論》，斯賓諾莎寫出哲學著作《倫理學》，倫理學可以作為哲學與社會科學以及心理學的接口，都是推理性很強。

幾何原本總共13卷，研究前六卷就可以了，因為后邊的都是應用前邊的理論，應用到具體的領域，無理數，立體幾何等領域，幾何原本我認為最精髓的就是合理的假設，對點線面的抽象，這樣才得以使得后面的定理成立，其中第五個公設后來還被推翻了，以點線面作為基礎，以歐幾里得工具作為工具，進行了各種幾何現象的嚴密推理，我認為這些定理成立的條件必須是在，對幾條哲學原則默許了之后，才能成立。主要是最簡單的幾何形狀，從怎么畫出來，畫出來也是有根據的，再就是各種形狀的性質，以及各種形狀之間關系的定理，都是一步一步推理出來的。

在幾何原本后續的有阿波羅尼奧斯的《圓錐截線論》，牛頓的《自然哲學的數學原理》，算是比較系統的數學著作，也都是用歐幾里得工具進行證明的，后來的微積分工具的出現，我認為是圓周率的求解過程，無限接近的思想，才使得微積分工具產生，現代數學看似陣容豪華，可是并沒有新的工具的出現，只是對微積分工具在各個形狀上進行應用，數學主要是在空間上做文章，現在數學能干的活看似挺多，但是也要得益于物理學的發展，數學一方面往一般性方面發展，都忘了，細想數學思想是比較沒什么，只是腦力勞作比較大，特別是只是純數學研究，不做思想的人，很累也做不出有意義的工作。

看完二十世紀數學史，發現里面的人的著作，我一本也不想看，太虛。

古希臘大數學家歐幾里德是與他的巨著——《幾何原本》一起名垂千古的。這本書是世界上最著名、最完整而且流傳最廣的數學著作，也是歐幾里德最有價值的一部著作，在《原本》里，歐幾里德系統地總結了古代勞動人民和學者們在實踐和思考中獲得的幾何知識，歐幾里德把人們公認的一些事實列成定義和公理，以形式邏輯的方法，用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質，從而建立了一套從公理、定義出發，論證命題得到定理得幾何學論證方法，形成了一個嚴密的邏輯體系——幾何學。而這本書，也就成了歐式幾何的奠基之作。

兩千多年來，《幾何原本》一直是學習幾何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多偉大的學者都曾學習過《幾何原本》，從中吸取了豐富的營養，從而作出了許多偉大的成就。

從歐幾里得發表《幾何原本》到現在，已經過去了兩千多年，盡管科學技術日新月異，由于歐氏幾何具有鮮明的直觀性和有著嚴密的邏輯演繹方法相結合的特點，在長期的實踐中表明，它巳成為培養、提高青少年邏輯思維能力的好教材。歷史上不知有多少科學家從學習幾何中得到益處，從而作出了偉大的貢獻。

少年時代的牛頓在劍橋大學附近的夜店里買了一本《幾何原本》。開始他認為這本書的內容沒有超出常識范圍，因而并沒有認真地去讀它，而對笛卡兒的“坐標幾何”很感興趣而專心攻讀，后來，牛頓于1664年4月在參加特列臺獎學金考試的時候遭到落選，當時的考官巴羅博士對他說：“因為你的幾何基礎知識太貧乏，無論怎樣用功也是不行的。”這席談話對牛頓的震動很大，于是，牛頓又重新把《幾何原本》從頭到尾地反復進行了深入鉆研，為以后的科學工作打下了堅實的數學基礎。

但是，在人類認識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家。都不可能把問題全部解決。由于歷史條件的限制，歐幾里得在《幾何原本》中提出幾何學的“根據”問題并沒有得到徹底的解決，他的理論體系并不是完美無缺的。比如，對直線的定義實際上是用一個未知的定義來解釋另一個未知的定義，這樣的定義不可能在邏輯推理中起什么作用。又如，歐幾里得在邏輯推理中使用了“連續”的概念，但是在《幾何原本》中從未提到過這個概念。