第一篇：高中數學函數單調性周期性寶典

臨平三中2013屆畢業(yè)典禮主持稿開場白

撰稿人：曹嘉懿

男：三年前，當我們踏入學校的時候，就決定了有今天這樣一個特殊的日子。

女：此時此刻，我們每個人帶著興奮喜悅的心情，帶著絲絲離別的傷感和愁緒，忍著離別的淚水，相聚在這里。

男：如果說我們當初相見是為了尋求知識，積蓄力量。那么我們今天相別則是為了實現理想，大展宏圖。

女：學校雖是寧靜的港灣，我們終究要駛向廣闊的大海，學校雖是安全的機場，我們終究要飛向藍天。

男：親愛的老師，謝謝您，為我們插入騰飛的翅膀。

女：可愛的母校，感謝您，為我們揚起遠航的風帆。

男：我們無悔于自己的青春年華，我們無愧于三中這個大家庭，我們已經為三年的初中生活畫上了圓滿的句號。

女：我們就要畢業(yè)了，滿載多年采擷的累累碩果。我們就要走了，滿載著母校師生的切切深情。男：我們即將在人生的征途上跨出新的一步，我們應該為自己而自豪！為母校驕傲！

合：現在我宣布：臨平三中2013屆初中畢業(yè)典禮現在開始。

第二篇：高中數學函數對稱性和周期性小結

高中數學函數對稱性和周期性小結

一、函數對稱性：

1.2.3.4.5.6.7.8.f(a+x)= f(a-x)==> f(x)關于x=a對稱

f(a+x)= f(b-x)==> f(x)關于 x=(a+b)/2 對稱 f(a+x)=-f(a-x)==> f(x)關于點（a，0）對稱 f(a+x)=-f(a-x)+ 2b ==> f(x)關于點（a，b）對稱

f(a+x)=-f(b-x)+ c ==> f(x)關于點 [（a+b）/2，c/2] 對稱 y = f(x)與 y = f(-x)關于 x=0 對稱 y = f(x)與 y =-f(x)關于 y=0 對稱 y =f(x)與 y=-f(-x)關于點(0,0)對稱

例1：證明函數 y = f(a+x)與 y = f(b-x)關于 x=(b-a)/2 對稱。

【解析】求兩個不同函數的對稱軸，用設點和對稱原理作解。

證明：假設任意一點P（m，n）在函數y = f(a+x)上，令關于 x=t 的對稱點Q（2t – m，n），那么n =f(a+m)= f[ b –(2t – m)] ∴ b – 2t =a，==> t =(b-a)/2，即證得對稱軸為 x=(b-a)/2.例2：證明函數 y = f(ax)上，令關于 x=t 的對稱點Q（2t – m，n），那么n =f(a-m)= f[(2t – m)– b] ∴ 2ta)= 1 – 2/[f(x)+1]，等式右邊通分得f(xa)= [1 + f(x)]/[f(x)– 1]，即

/[f(xf(x)] ∴

/[f(x1/f(x)= f(x2a)==> f(x)= f(x + 4a)∴

函數最小正周期 T=|4a|

第三篇：高考數學函數的周期性

函數的周期性與對稱性、函數的圖象變換、函數應用問題

一.教學內容：

函數的周期性與對稱性、函數的圖象變換、函數應用問題

二.教學要求：

1.理解周期函數的定義，會求簡單周期函數的周期。

2.理解函數圖象關于點對稱或關于直線對稱的定義，會解決一些較簡單的對稱問題。

3.熟悉常見的抽象函數及其性質。

4.會識圖，即通過給定的函數圖象分析函數的有關性質（如：范圍，對稱性，周期性，有界性等）。

5.掌握圖象變換的基本方法，會進行較基本的圖象變換。

6.熟悉解應用問題的步驟，能建立較簡單的數學模型。

三.知識串講：

1.周期函數：

對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得對定義域內的任意一個x，總有f(x+T)=f(x)成立，則稱f(x)是周期函數。T叫做這個函數的一個周期，其中最小正數T叫做最小正周期。

（定義的實質，是存在一個常數T，（T≠0），使f(x+T)=f(x)恒成立，即自變量每增加一個T后，函數值就會重復出現一次）

關于函數的周期性，有如下結論：

（1）若T為函數f(x)的一個周期，則kT(k?Z且k?0)也是f(x)的周期，即

f(x?kT)?f(x)。

（2）若f(x)是一個以T為周期的函數，則f(ax?b)(a?0)是一個以T為周a期的函數。

證明：（證明的方向f[a(x?T)?b]?f(ax?b)）a

T)?b]?f[(ax?b)?T]a

由T是f(x)的周期設u?ax?bf(u?T)f(u)?f(ax?b)

T?是函數f(ax?b)的周期a

f[a(x?

如：y?sinx的周期為T?2?，則y?sin(?x??)(??0)的周期為2??

（3）若f(x)滿足f(x?a)?f(x?b)恒成立，a,b為常數且a?b，則T?a?b

是f(x)的一個周期。

這是因為f(x?a?b)?f[(x?b)?a]?f[(x?b)?b]?f(x)

?T?a?b

（4）若f(x)滿足f(x?a)??f(x?b)，則f(x)以T?2(a?b)為一個周期。

證明：f[x?2(a?b)]?f[(x?2b?a)?a]

??f[(x?2b?a)?b]??f[(x?b)?a]

??[?f(x?b?b)]?f(x)

?T?2(a?b)

推論：f(x?a)??f(x)

則f(x)以T?2a為一個周期

（只要令上式中的b=0即可）

2.對稱問題：

（1）若函數f(x)滿足f(a?x)?f(b?x)恒成立，（a,b為常數）則f(x)的圖a?b對稱。2

a?x?b?xa?b這是因為：?，又f(a?x)?f(b?x)，即函數圖象上縱坐2

2象關于直線x?標相等的兩個點（a?x，f(a?x)），（b?x，f(b?x)）連線的中點都在直線x?a?ba?b上，所以f(x)的圖象關于直線x?對稱。22 y P P’ 0 a-x b+x x a?b 2

x?a對稱

當a?b時，即f(a?x)?f(a?x)，則f(x)圖象關于直線

若f(2a?x)?f(x)，則f(x)圖象關于直線x?a對稱

（2）若函數f(x)滿足f(a?x)??f(a?x)恒成立，則f(x)的圖象關于點（a,0）對稱。

y a-x 0（a,0）x

3.函數圖象變換：

（1）平移變換：

右平移a（a>0）f（x－a）圖象 f（x）圖象 左平移a（a>0）f（x＋a）圖象 上平移b（fx）＋b圖象 f（x）圖象 下平移b（fx）－b圖象

（2）對稱變換：

?f(?x)圖象關于y軸對稱???f(x)圖象關于x軸對稱?f(x)圖象與??f(?x)圖象關于原點對稱?f(2a?x)圖象關于x?a對稱??1??f(x)圖象關于y?x對稱

（3）伸縮變換：設A?0，??0

橫坐標縮短(??1)f(x)圖象???????????????f(?x)圖象1或伸長(0???1)到原來的倍?

縱坐標伸長(A?1)f(x)圖象???????????????Af(x)圖象或縮短（0?A?1）到原來的A倍

（4）翻折變換：

將x軸下方部分f(x)圖象??????????|f(x)|圖象作關于x軸對稱

保留圖象的x?0部分，去掉f(x)圖象???????????????f(|x|)圖象x?0部分，再作關于y軸對稱

4.函數的應用問題：

解答數學應用問題的關鍵有兩點：一是認真讀題，縝密審題，明確問題的實際背景，然后進行概括，歸納為相應的數學問題；二是合理選取參變數，設定變元后，尋找等量（或不等量）關系，建立相應的數學模型，求解數學模型，使問題獲解。即

讀題建模求解反饋???（數學語言）（數學計算）（檢驗作答）

（文字語言）

【典型例題】

2（1）函數f(x)?x?bx?c對任意實數x，均有f(1?x)?f(1?x)，比較

例1.f(0)，f(1)，f(3)的大小；

2（2）若函數y?f(x)的圖象關于x?1對稱，且x?1時f(x)?x?1，則當x?

1時，求f(x)的表達式。

解：（1）由f(1?x)?f(1?x)，可知函數f(x)的圖象關于x?1對稱，又函數圖

象是開口向上的拋物線，所以f(3)?f(0)?f(1)。

（2）當x?1時，有2?x?1

所以f(2?x)?(2?x)?1?x?4x?5 22

又由于y?f(x)圖象關于x?1對稱

?f(2?x)?f(x)

所以當x?1時，f(x)?x?4x?5

注：（2）題也可以根據圖象的對稱性，確定頂點坐標，直接寫出解析式。

例2.偶函數f(x)的定義域為R，若f(x?1)?f(x?1)對任意實數都成立，又當0

2?x?1時，f(x)?2x?1。

（1）求證f(x)是周期函數，并確定周期。

（2）求當1?x?2時，求f(x)的解析式。

解：（1）令t?x?1，則x?1?t?2

由x?R時f(x?1)?f(x?1)恒成立

得t?R時f(t)?f(t?2)恒成立

因此f(x)是周期函數，且2k(k?Z且k?0)為其周期

（2）任取1?x?2

則?1?x?2?0x0??x?2?1

?0?x?1時，f(x)?2?1

?x?2?f(?x?2)?2?1

又f(x)的周期為2，且為偶函數

?f(?x?2)?f(?x)?f(x)

?x?2?1?x?2時，f(x)?2?1

點評：本題的解抓住兩個關鍵條件，一個是f(x)為偶函數，另一個是f(x)為周期函數。一般求f(x)在哪個區(qū)間上的解析式，就令x屬于該區(qū)間，再通過平移（周期性），對稱（奇偶性）變換到已知區(qū)間內，進而代入，求出解析式，再利用周期性，奇偶性化簡為f(x)。

例3.已知函數y=f(x)的圖象關于直線x=a，x=b（a≠b）都對稱，且定義域為實數集R，證明y=f(x)是周期函數，且T=2(b—a)為一個周期。

證明：由題意有f(a?x)?f(a?x)x-2 x-1 0 1 2 x-x+2 f(b?x)?f(b?x)

則f[x?2(b?a)]?f[(x?b?2a)?b]?f[b?(x?b?2a)]?f[?x?2a]?f[(?x?a)?a]

?f[a?(?x?a)]?f(x)

?f(x)為周期函數，且T?2(b?a)為一個周期

點評：（1）若題目中沒有指出T=2(b—a)是f(x)的一個周期，可以作草圖分析，猜測出T是該函數周期，再去證明。如圖。

y 0 x a b b?a 2

（2）由本題可知f(x)，x∈R，若f(x)的圖象有兩條對稱軸，則f(x)為周期函數，周期為兩條對稱軸距離的2倍。

思考：若f(x)是偶函數且有一條對稱軸x=a，那么f(x)是周期函數嗎？若是，周期為何？

例4.（1）定義在R上的函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，則f(x)是________（奇、偶）函數；f(0)=____________。

（2）定義在R上的函數f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y)，則f(x)是___________（奇、偶）函數；f(1)=__________。

解析：（1）令x?y?0

?f(0?0)?f(0)?f(0)

令y??x

?f(?x)??f(x)

（2）令x?y??f(1?1)?f(1)?f(1)?f(0)?0

?f(0)?f(x)?f(?x)?0

?f(x)為奇函數

?f(1)?0

f(x?x)?f[(?x)(?x)]?f(?x)?f(?x)?2f(?x)

又f(x?x)?f(x)?f(x)?2f(x)

?f(?x)?f(x)?f(x)為偶函數

2x?1的圖象，并根據圖象回答函數的單調區(qū)間，值域。x?1

例5.作出函數y?

解：?x??1

?函數定義域為(??，?1)?(?1，??)

由y?2x?12(x?1)?11??2?x?1x?1x?1

?圖象為中心O'(?1，2)的雙曲線

直線x??1，y?2是雙曲線的兩條漸近線

區(qū)間(??，?1)，(?1，??)分別為函數的增區(qū)間；值域為{y|y?R，且y?2} y O’ 2-1 0 x

例6.（1）函數y?log4(1?2x?x)的圖象經過怎樣的變換可得到y(tǒng)?log2|x|的

2圖象？

（2）將函數y?log1x的圖象沿x軸向右平移1個單位，得圖象C。圖象C'與2C關于原點對稱，圖象C''與C'關于直線y?x對稱，求C''對應的解析式。

左平移1個單位22（1）?y?log(1?2x?x)?log(x?1)?log|x?1|????????? 4

42解：|?log|2x?1)?12x|

y?log|(2?將函數y?log(1?2x?x)的圖象向左平移1個單位，得到函數y?log2|x| 4的圖象

沿x軸向右平移1個單位（2）y?log1x圖象????????????

關于原點對稱C：y?log1(x?1)圖象????????

關于直線y?x對稱C'：y??log(?x?1)圖象??????????1

1?xxC''：x??log(?y?1)，即y??()?1??2?1122

32設f(x)?ax?bx?cx?d的圖象如圖，則b屬于（例7.）

A.(??，0)B.(0，1)C.(1，2)D.[2，??)

y 0 1 2 x

?f(0)?0?d?0??由圖象得?f(1)?0??a?b?c?0?f(2)?0?8a?4b?2c?0??

解析一：

b2解得a??，c??b，d?03b2b?f(x)??x3?bx2?bx??x(x?1)(x?2)333

圖象可知x?0時，f(x)?0

又x?1?0，x?2?0

故選A

解析二：由圖象知x=0，1，2是方程f(x)=0的三個實根，設f(x)=ax(x—1)(x—2)

當x?2時，f(x)?0

?a?0??b?03?b?0?f(x)?ax3?3ax2?2ax

32又?f(x)?ax?bx?cx?d

?b??3a?0 ?選A

21關于函數f(x)?sin2x?()|x|?，有下面四個結論：32

例8.（1）f(x)是奇函數；

（2）當x>2003時，f(x)>1/2恒成立；

（3）f(x)的最大值是3/2；

（4）f(x)的最小值是－1/2。

其中正確結論的是___________。

212（1）?f(x)?sinx?()|x|?32

解析：

顯然f(?x)??f(x)?（1）錯（是偶函數）

2（2）當x?2003時，?()|x|?0?3

而sinx?[?1，1]

2當sin2x?0時，f(x)?（3）如果f(x)?12?（2）錯

32，則sin2x?()|x|?123

22?sinx?1?()|x|，顯然“?”不成立3

?（3）錯

2（4）當x?0時，sin2x?0最小，且?()|x|??13

11?f(x)?0?1???22

1?最小值為??（4）對2

綜上，只有（4）正確

例9.某工廠有一段舊墻長14m，現利用這段舊墻為一面建造平面圖形為矩形，面積為126m2

a的廠房，工程條件是（1）建1m新墻的費用為a元；（2）修1m舊墻費用是4元；（3）拆去1ma舊墻，用所得的材料建1m新墻的費用為2元。經討論有兩種方案：（1）利用舊墻的一段xm（x<14）為矩形廠房一面的邊長；（2）矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14，問如何利用舊墻，即x為多少米時，建墻費用最省？（1）（2）兩種方案哪個更好？

分析：利用舊墻為一面矩形邊長為xm，則矩形的另一面邊長為126m。x

解：（1）利用舊墻的一段xm（x?14）為矩形一面邊長，則修舊墻的費用為 aa元，將剩余的舊墻拆得的材料建新墻的費用為(14?x)?元，其余新墻的費用422?126為(2x??14)?a元，故總費用為x x14?x2?126x36y??a??a?(2x??14)a?7a(??1)（0?x?14）42x4x

x?

?y?7a[2當且僅當x36??1]?35a4x

x36?，即x?12m時，ymin?35a4x

x 126126 xx

a7（2）若利用舊墻的一面矩形邊長x?14，則修舊墻的費用為?14?a元，42

2?126建新墻的費用為(2x??14)a元，故總費用為x

72?1267126y?a?(2x??14)a?a?2a(x??7)（x?14）2x2x

x 14

設14?x1?x2，則(x1?xx?126126126)?(x2?)?(x1?x2)12x1x2x1x2

?14?x1?x2

?x1?x2?0，x1x2?126

126在[14，??)上為增函數x

7126?x?14時，ymin?a?2a(14??7)?355.a214

?y?x?

綜上，采用方案（1）利用12m舊墻為矩形的一面邊長時，建墻總費用最省，為35a元。

【模擬試題】

一.選擇題：

1.二次函數f(x)滿足f(2?x)?f(2?x)，又f(x)在[0，2]上是增函數，且f(a)?f(0)，則實數a的取值范圍是（）

A.a?0

B.a?0 D.a?0或a?4

C.0?a?4

2.設f(x)是R上的奇函數，當x?(0，??)時為增函數，且f(1)=0，則不等式f(x?1)?0的解集為（）

A.(??，?1)?(1，??)

C.(??，?1)?（0，1）

B.(??，0)?(1，2)

D.(?1，0)?(0，1)

x

3.將函數y=f(x)的圖象向左、向下分別平移2個單位，得到y(tǒng)=2的圖象，則（）

A.f(x)?2x?2?2

xB.f(x)?2x?2?2

x?2f(x)?2?

2C.x?2f(x)?2?2 D.4.已知函數f(x)的圖象與g(x)?2?1的圖象關于點（0，1）對稱，則f(x)=（）

A.?2?3 x

1?()x?32B.1()x?1D.2

C.2?1 x

?1x?()（x?0）f(x)??2??x2（x?0）?

5.已知函數，給出代號為a,b,c的三個圖象，再給出序號為1，2，3的三個函數，那么圖象與函數能建立對應關系的是（用序號和代數表示）（）y y y 1 1 1 0 x 0 x-1 0 x a b c 1.y=f(|x|)2.y=|f(x)| 3.y=f(x+1)

A.a?2

B.a?

1C.a?2

D.a?3

b?1b?2c?3 c?3

b?3b?2c?1 c?1

6.已知某林場森林積蓄量每年平均比上一年增長10.4%，經過x年可增長到原來的y倍，則函數y?f(x)圖象大致為（）

y y y y 1 1 0 x 0 1 x 0 1 x 0 x A B C D

二.填空題：

7.設f(x)是定義在R上的奇函數，且滿足f(x?3)?f(x?3)，則f(3)?f(6)=____。

8.設定義在R上的函數y=f(x)，在（0，2）上是減函數，且y?f(x?2)為偶函數，則51f(3)，f()，f()22的大小順序為____________。

9.函數y?f(|x?3|)的圖象關于_____________對稱。

10.建一個容積為8000m，深6m的長方體蓄水池（無蓋），池壁造價為a元/m2，池底造價為2a元/m2，把總造價y元表示為底的一邊長xm的函數，其解析式為___________，定義域為3___________，底邊長為________m時，總造價最低是___________元。

三.解答題：

11.如圖，A、B、C、D為四個村莊，恰好座落在邊長為2km的正方形頂點上，現修公路網，它由一條中心路和4條支路組成，要求四條支路長度相等。

（1）若道路網的總長不超過5.5km，試求中心路長的取值范圍；

（2）問中心路長為何值時，道路網的總長度最短。

A B 中 心 路 C D

【試題答案】

1.C 2.B 3.C

4.A

5.A

6.D

7.0（?f(x)是R上的奇函數

令x?3

令x?0

?f(3)?0）

?f(0)?0

?f(6)?f(0)?0 f(3)?f(?3)??f(3)

15f()?f(3)?f()22

8.9.x?3

10.y?12a(x?80008000208000)?a，x?(0，??)，x?3，16030a?a6x333

11.設中心路長為2x km

22（1）則2x?41?(1?x)?55.?48x?40x?7?0

?17?x?412

222

（2）y?2x?41?(1?x)?(平方)12x?(4y?32)x?32?y?0

?x?(0，??)又y?0

???0?y?3?23317?[，]??3412 ymin?3?23，此時x?1?

第四篇：函數的周期性教案（最終版）

函數的周期性

定義：對于函數y?f?x?，若存在一個不為零的常數T，使x取定義域中任意一個值時，有f?x?T??f?x?，則稱y?f?x?為周期函數，常數T為函數的周期.在所有T的取值中，若存在一個最小的正數t，則稱t為函數的最小正周期.（在題目中若沒有特殊強調，則周期均值最小正周期.）性質：

1.圖像重復出現，且在對應的周期區(qū)間中，增減性，最值相同；

2.若f?x??f?x?a?，則T?a；

若f?x?a??f?x?a?，則T?2a；

若f?x?a??f?x?b?，則T?a?b；

若f?x?a??f?x?b?，則T?a?b； 例題：

已知f?x?2??f?x?2?且f??1??2，則f?11??________； 函數f?x?為R上的奇函數，且f?x?2??f?x?，則f?6??_______；

函數f?x?為R上的奇函數且T?4，且x??4,6?時，f?x??2?x2，則f??1??______；

已知函數f?x?周期為3，且在x???2,0?為增函數，則在區(qū)間?4,6?上為_____（填增，減）； 函數f?x?為R上的偶函數且T?2，在區(qū)間??1,0?遞減，則在區(qū)間?2,3?上為_____；

函數f?x?為R上的奇函數，且f?x?2???f?x?，x??0,1?時，f?x??x，則f?7.5??__； 函數f?x?為R上的奇函數，且f?x?2???

1，x??2,3?時，f?x??x，則f?105.5??__； f?x?

第五篇：高中數學函數知識點

一般的，在一個變化過程中，假設有兩個變量x、y，如果對于任意一個x都有唯一確定的一個y和它對應，那么就稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量，x的取值范圍叫做這個函數的定義域，相應y的取值范圍叫做函數的值域。下面小編給大家分享一些高中數學函數知識點，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!

高中數學函數知識一、一次函數定義與定義式：

自變量x和因變量y有如下關系：

y=kx+b

則此時稱y是x的一次函數。

特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。

即：y=kx(k為常數，k≠0)

二、一次函數的性質：

1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b(k為任意不為零的實數b取任何實數)

2.當x=0時，b為函數在y軸上的截距。

三、一次函數的圖像及性質：

1.作法與圖形：通過如下3個步驟

(1)列表;

(2)描點;

(3)連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道2點，并連成直線即可。(通常找函數圖像與x軸和y軸的交點)

2.性質：(1)在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b。(2)一次函數與y軸交點的坐標總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數的圖像總是過原點。

3.k，b與函數圖像所在象限：

當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;

當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

當b>0時，直線必通過一、二象限;

當b=0時，直線通過原點

當b<0時，直線必通過三、四象限。

特別地，當b=O時，直線通過原點O(0，0)表示的是正比例函數的圖像。

這時，當k>0時，直線只通過一、三象限;當k<0時，直線只通過二、四象限。

四、確定一次函數的表達式：

已知點A(x1，y1);B(x2，y2)，請確定過點A、B的一次函數的表達式。

(1)設一次函數的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。

(2)因為在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

(3)解這個二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最后得到一次函數的表達式。

五、一次函數在生活中的應用：

1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。

2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式：

1.求函數圖像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)

2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2

3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2

4.求任意線段的長：√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注：根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)

高中數學函數知識2

二次函數

I.定義與定義表達式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

y=ax’2+bx+c

(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)

則稱y為x的二次函數。

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

II.二次函數的三種表達式

一般式：y=ax’2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)

頂點式：y=a(x-h)’2+k[拋物線的頂點P(h，k)]

交點式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線]

注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:

h=-b/2ak=(4ac-b’2)/4ax?,x?=(-b±√b’2-4ac)/2a

III.二次函數的圖像

在平面直角坐標系中作出二次函數y=x’2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

IV.拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

x=-b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個頂點P，坐標為

P(-b/2a，(4ac-b’2)/4a)

當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b’2-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;

當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于(0，c)

6.拋物線與x軸交點個數

Δ=b’2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ=b’2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

Δ=b’2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x=-b±√b’2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)

V.二次函數與一元二次方程

特別地，二次函數(以下稱函數)y=ax’2+bx+c，當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程(以下稱方程)，即ax’2+bx+c=0

此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。

函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

高中數學函數知識3

反比例函數

形如y=k/x(k為常數且k≠0)的函數，叫做反比例函數。

自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數。

反比例函數圖像性質：

反比例函數的圖像為雙曲線。

由于反比例函數屬于奇函數，有f(-x)=-f(x),圖像關于原點對稱。

另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

如圖，上面給出了k分別為正和負(2和-2)時的函數圖像。

當K>0時，反比例函數圖像經過一，三象限，是減函數

當K<0時，反比例函數圖像經過二，四象限，是增函數

反比例函數圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。

知識點：

1.過反比例函數圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為|k|。

2.對于雙曲線y=k/x，若在分母上加減任意一個實數(即y=k/(x±m(xù))m為常數)，就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。(加一個數時向左平移，減一個數時向右平移)

對數函數

對數函數的一般形式為，它實際上就是指數函數的反函數。因此指數函數里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數函數。

右圖給出對于不同大小a所表示的函數圖形：

可以看到對數函數的圖形只不過的指數函數的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數。

(1)對數函數的定義域為大于0的實數集合。

(2)對數函數的值域為全部實數集合。

(3)函數總是通過(1，0)這點。

(4)a大于1時，為單調遞增函數，并且上凸;a小于1大于0時，函數為單調遞減函數，并且下凹。

(5)顯然對數函數無界。

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