第一篇：整數的尾數函數的性

整數的尾數函數的性質

1.定義：整數a的個位數也稱為整數a的尾數，并記為G?a?，G?a?也稱為尾數函數，2.它有以下性質：

（1）G(G(a))?G(a)

（2）G(a?b???c)?G(G(a)?G(b)???G(c))

（3）G(a?b??c)?G(G(a)?G(b)?G(c))。特別的，G(an)?G(Gn(a))

（4）G(10a)?0,G(10a?b)?G(b)

（5）若a?b?10c,則G(a)?G(b)

（6）G(a4k)?G(a4),a,k?N?

（證明：分別另a=1,2，…,9可知個位數都以a4為一個周期。例如：21?2,22?4,23?8,24?16,25?32。因此G(a4k)?G(a4)）

（7）G(a4k?r)?G(ar),k?0,0?r?4,a,k,r?N?，（證明：由上六可知：a4?a與a的個位數是相同的，所以4k?rr）G(a)?G(a)

第二篇：用尾數造句

【注音】： wei shu

尾數解釋

【意思】：（１）小數點后面的數。（２）結算帳目中大數目之外剩下的小數目。

尾數造句：

1、盡管算法不是很明顯，但還是可以通過位屏蔽來查找尾數。

2、該尾數概率告訴您獲取一個象您觀察到的極限值是可能（如一個大的尾數區域）還是不可能（小的尾數區域）。

3、通過一些步驟，就可以找到尾數、取尾數的對數并將該值添加到指數，但這有些費勁。

4、但當時并沒有那么多的內存，如果你忽略1900，你就可以根據一年的尾數是不是00來判斷那年是不是閏年。

5、或者，變量如何在使用不同尋址方案（大尾數法，小尾數法）的機器間發送？

6、我們的討論顯示，零售商有好幾個理由以99便士作尾數，也有好幾個理由以整數計價。

7、我在一片文章中讀到，超市正放棄以99便士作尾數的定價，轉而選擇“整數價”，因為這會讓商品價格看上去更低一些，也體現出一種更誠實的商業行為。

8、朱彤表示一種觀點是認為應該只允許車牌尾數為當天日期數的轎車上路。

9、這比因特網行業所帶動的還要多一個尾數零。

10、例如，PNG文檔（TIFF的一個競爭者）始終使用大尾數法。

11、該設置用于查找X平方分布的抽樣分布中包含尾數區域等于alpha斷開值（0。05）的位置（或臨界值）。

12、實際上，我不使用這些圖來計算尾數概率，因為我可以實現數學函數來返回給定X平方分布值的尾數概率。

13、另外，Om—Ah—Hum還要求，成交的日期必須是一個尾數為8的日子。

14、請問一個負數的浮點數的尾數還帶不帶符號呀？

15、某一數制中的指定的數值，按其指數冪乘方再乘以尾數即可得到所要表示的實際數。

16、他們把價錢去掉尾數調低為整盧布數。

17、調整某個操作數的指數以使其匹配其他操作數指數的一個問題是，我們只有同樣多的位數可用以表示尾數。

18、介紹了一種針對軟件開發過程中因數據處理不當，導致尾數誤差的調整算法。

19、從狂歡化視角來看，《尾數》中鋪天蓋地的情欲描寫，絕非為了滿足消費社會大眾的窺淫癖。

20、不得以不能匯尾數而要求折扣，您可以匯總數，剩余的錢會跟包裹一起寄退還給您。

21、采用本文研究的API內插模型，小數分頻的尾數調制寄生譜可以抑制到相位內插信號準確地匹配相位誤差的程度。

22、然后選擇對電瓶進行分析研究，根據失效數據和截尾數據建立電瓶的壽命分布模型。

23、本文介紹了一種對二路隨機脈沖尾數求差的原理，并在此基礎上推出用十進制求差的計算法。

24、一定要記清楚尾數，這個數目可千萬不要錯。

25、我總結出一條規律，尾數逢1、2、7的年份，出現重大UFO事件可能性比較大。

第三篇：銀行卡尾數的意義

銀行卡尾數為：9

銀行卡尾數為9的朋友們，這類的卡不招財也不旺財，不過呢卻有很強的保護能量！所謂的保護能量就是指這類卡片本身的安全性很高！仿佛受到一些莫名力量的保護一樣，好比你無意中把這個卡遺失了，當找回時你還會意外發現這卡里的錢一分也沒有少！建議大家可將重要存款放在這類尾數為9的卡片中，非常保險！

銀行卡尾數為：0~3

銀行卡尾數為0~3的數字，暗示你的卡不招財也不漏財，它是穩定型的卡片?，F在，一人擁有多個銀行卡作不同的功用是很平常的事。而一般擁有這類數字銀行卡的朋友們，多數會將這個銀行卡作為主要儲蓄用途的卡，而非處理其他業務使用。

銀行卡尾數為：4~5

銀行卡尾數為4~5的朋友們，坦白說這類數字尾數的卡通常不太招財，且多為出財或漏財卡！這里指的出財即，你通常會將這個數字尾數的卡作為處理一些日常支出的功用，而這類尾數的卡通常也不太招財，要么你會將很少的錢存在上面作為不時之需，要么就很容易會遺失或是意外的有破財跡象！要注意保管好哦

銀行卡尾數為：6~8

銀行卡尾數為6~7的朋友們，這類的卡是很招財的！蠻有意思的是，擁有這類尾數卡的朋友們一般不太會用這種卡去辦一些支出類的業務，至少是概率比較少啦！這類尾數的銀行卡招財功力很旺，雖也會被作一些重要儲蓄，但這類卡上的帳目多半是流動性的收支狀況。

銀行卡尾數為：9

銀行卡尾數為9的朋友們，這類的卡不招財也不旺財，不過呢卻有很強的保護能量！所謂的保護能量就是指這類卡片本身的安全性很高！仿佛受到一些莫名力量的保護一樣，好比你無意中把這個卡遺失了，當找回時你還會意外發現這卡里的錢一分也沒有少！建議大家可將重要存款放在這類尾數為9的卡片中，非常保險！

第四篇：函數的凸性與拐點解讀

九江學院理學院

《數學分析》教案

§ 5 函數的凸性與拐點

一． 凸性的定義及判定：

1． 凸性的定義：由直觀引入.強調曲線彎曲方向與上升方向的區別.定義1 設函數f(x)在區間I上連續.若對?x1,x2?I 和??(0,1)恒有

f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)

則稱曲線 y?f(x)在區間I的凸函數, 反之, 如果總有

f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)

則稱曲線 y?f(x)在區間I的凹函數.若在上式中, 當x1?x2時, 有嚴格不等號成立, 則稱曲線y?f(x)在區間[a,b]上是嚴格凸(或嚴格凹)的.引理 y?f(x)為區間I上的凸函數的充要條件是:對I上任意三點: x1?x2?x3 , 總有

f(x2)?f(x1)f(x3)?f(x2)?x2?x1x3?x2定理6.13 設函數f(x)在區間I上可導, 則下面條件等價:(i)

為I上凸函數

(ii)

為I上的增函數(iii)對I上的任意兩點x1,x2 有

f(x2)?f(x1)?f?(x1)(x2?x1)

2． 利用二階導數判斷曲線的凸向: Th 6.14 設函數f(x)在區間(a,b)內存在二階導數, 則在(a,b)內

⑴ f??(x)?0, ? f(x)在(a,b)內嚴格上凸;⑵ f??(x)?0, ? f(x)在(a,b)內嚴格下凸.證法一(用Taylor公式)對?x1,x2?(a,b), 設x0?

x1?x2, 把f(x)在點 2九江學院理學院

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x0展開成具Lagrange型余項的Taylor公式, 有

f(x1)?f(x0)?f?(x0)(x1?x0)?f??(?1)(x1?x0)2, 2f??(?2)(x2?x0)2.2 f(x2)?f(x0)?f?(x0)(x2?x0)?其中 ?1 和 ?2在 x1 與 x2 之間.注意到 x1?x0??(x2?x0), 就有

f(x1)?f(x2)?2f(x0)?1f??(?1)(x1?x0)2?f??(?2)(x2?x0)2, 2??于是, 若有f??(x)?0, ? 上式中????0, ? f(x1)?f(x2)?2f(x0), 即 f(x)嚴格上凸.若有f??(x)?0, ? 上式中????0, ? f(x1)?f(x2)?2f(x0), 即f(x)嚴格下凸.證法二(利用Lagrange中值定理.)若f??(x)?0, 則有f?(x)↗↗.不妨設 x1?x2, 并設 x0?x1?x2, 分別在區間[x1,x0]和[x0,x2]上應用2Lagrange中值定理, 有

??1?(x1,x0), ? f(x0)?f(x1)?f?(?1)(x0?x1), ??2?(x0,x2), ? f(x2)?f(x0)?f?(?2)(x2?x0).有x1??1?x0??2?x2, ? f?(?1)?f?(?2), 又由 x0?x1?x2?x0?0，?

f?(?1)(x0?x1)

?x1?x2??，f(x)嚴格下凸.?2?九江學院理學院

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3． 凸區間的分離: f??(x)的正、負值區間分別對應函數f(x)的下凸和上凸區間.二.曲線的拐點: 拐點的定義.例1 確定函數f(x)?xe?x的上凸、下凸區間和拐點.解 f的定義域為(?? , ??)，f?(x)?e?x(1?2x2), f??(x)?2x(2x2?3)e?x.令f??(x)?0, 解得

x1??2223 , x2?0 , x3?23.2在區間(?? , ?3333),(? , 0),(0 ,),(, ??)內f?? 的符號依次為 222233??333?2?32????? , ? , ? , ?，? ?.拐點為: ???2 , ?2e? ,(0 , 0), ? 2 , 2e?.????倘若注意到本題中的f(x)是奇函數, 可使解答更為簡捷.Jensen不等式及其應用: Jensen不等式: 設函數f(x)為區間[a,b]上的凸函數, 則對任意 xi?[a,b], ?i?0,i?1,?,??i?1, 有Jensen不等式: i?1nf(??ixi)???if(xi)，i?1i?1nn且等號當且僅當x1?x2???xn時成立.1n證 令x0??xk, 把f(xk)表為點x0處具二階Lagrange型余項的Taylor公式，仿nk?1前述定理的證明，注意?(xk?1nk?x0)?0, 即得所證.九江學院理學院

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例2 證明: 對?x,y?R, 有不等式 ex?y2?1x(e?ey).2例3 證明均值不等式: 對?a1,a2,?,an?R?, 有均值不等式

a?a2???an? na1a2?an ? 1.111n????a1a2ann證 先證不等式 na1a2?an ? a1?a2???an.n 取f(x)?lnx.f(x)在(0 , ??)內嚴格上凸, 由Jensen不等式, 有

1n1n?1n??1n?lnn?xk??lnxk??f(xk)?f??xk??ln??xk?.nk?1nk?1k?1?nk?1??nk?1?由f(x)↗↗ ? na1a2?an ? na1?a2???an.n對111，?,?R?用上述已證結果, 即得均值不等式的左半端.a1a2an例4 證明: 對?x1,x2,?,xn?R, 有不等式

22x1?x2???xnx12?x2???xn ?.(平方根平均值)

nn222例5 設x?y?z?6，證明 x?y?z?12.2解 取f(x)?x, 應用Jensen不等式.例6 在⊿ABC中, 求證 sinA?sinB?sinC?33.2解 考慮函數f(x)?sinx, 0?x??.f????sinx? 0 , 0?x ?.? sinx在 區間(0 , ?)內凹, 由Jensen不等式, 有

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sinA?sinB?sinCf(A)?f(B)?f(C)?3?A?B?C?.? ??f???sin?33332??? sinA?sinB?sinC?33.2例7 已知a,b,c?R?, a?b?c?1.求證 33a?7?33b?7?33c?7?6.解 考慮函數f(x)?3x, f(x)在(0 , ??)內嚴格上凸.由Jensen不等式, 有

3a?7?33b?7?33c?7f(3a?7)?f(3b?7)?f(3c?7)??

?f?3?3a?7?3b?7?3c?7???f(a?b?c?7)?f(8)?38?2.?

3?? 33a?7?33b?7?33c?7?6.例8 已知 ??0 , ??0 , ?3??3?2.求證 ????2.? 解 函數f(x)?x在(0 , ??)內嚴格下凸.由Jensen不等式, 有

33332(???)3??????????f(?)?f(?)?????1, ? ???f?????2282?2??2?(???)3?8 , ? ????2.?

第五篇：函數凹凸性的性質判定及應用（模版）

函數凹凸性的判定性質及應用 曹陽

數學計算機科學學院

摘要：函數的凹凸性在數學研究中具有重要的意義。本文從凸函數的多種定義入手，引出凹凸函數的性質，介紹了凹凸函數的性質及判定定理。在此基礎上，將一元函數的凹凸性進行推廣，推廣到二元函數上，討論了二元函數凹凸性的性質，判定方法及其應用。一元到二元，即增加了一個變量，那么對于ｎ元的情況是否有相似的函數存在呢？本文層層深入，將二元函數進行再次推廣，至ｎ元的情形，給出ｎ元凹凸函數的定義，判定方法及性質。本文主要討論了一元，二元，多元凹凸函數的定義，性質，及判定方法，并介紹了它們應用。

關鍵詞：凹凸性；一元函數；二元函數；多元函數；判別法；應用；

Convex function of Judge Properties and Applications

Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance.In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem.On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application.One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function to re-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties.This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application.Keywords: Convexity;One Function;Binary function;Multiple functions;Criterion;Applications;

1.引言

凸函數是數學中一類極其重要的函數，它在最優化，運籌與控制理論，模具設計等方面具有重要的理論和實踐意義。凸函數在大學數學中很少具有直接的運用，而導數在函數圖像的凹凸性研究是大學數學中一個重要的知識點，這說明凸性在大學數學，特別是數學分析中的應用沒有得到應有的正視，長期以來，凸函數被熱為只在一些具體學科，如機器人學，模具設計或一些數學分支（如全局優化，運籌學等）中具有重要的運用，而在大學數學中沒有應用。本文將重點探討凸函數在分析學中的一些簡單應用。在本文中，我們首先給出凸函數的多種定義，性質，然后探討二元與多元的情況下凸函數的定義，判定及性質。

2.一元函數凹凸性的判定

2.1 凸函數的多種定義及等價證明 下面先先給出凸函數的13種常見定義。假設I?R，f:I?R.定義2.1.11： f在I內連續ｆ（ｘ＋ｘ１２２）?ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２,則稱f為凸函數。

?x1，x2，x3?Ｉ，定義2.1.21：若 f(x2)?f(x1)x2?x1?f(x3)?f(x2)x3?x2則稱f為凸函數

定義2.1.31：

１ｆ（ｘ）?ｘ１１????x1，x2，x3?Ｉ，x1＜x2＜x3，ｘ１ｆ（ｘ）２２??的行列式?0，則稱f為凸函數

?ｘ１ｆ（ｘ）?３??３定義2.1.41：

?x1，x2?Ｉ，?ｔ?（0，1），則稱f為凸函數 ｆ（tｘ＋（1-t）ｘ）?tｆ（x１）＋（1-t）ｆ（ｘ）１２２，ｔ＝１，有ｆ（?ｔｘ）?定義2.1.5:?ｔｋ?ｋｋｋｋ?1ｋ?11nnn?ｔｆ（ｘ），則稱f(x)為凸函數

ｋｋｋ?1定義2.1.61：（1.）?ｘ?Ｉ，?ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）且ｆ（ｘ）?ｆ（ｘ）－＋－＋＇＇(2）?x1，x2，ｆ（ｘ）?ｆ（ｘ）＋１－２＇＇＇＇

則稱f(x)為凸函數

?I, 定義2.1.71：若ｆ在Ｉ內存在單增函數?,?ｘ０?x?I,有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０?ｘｘ０?（ｔ）dｔ，則稱f為凸函數。

定義2.1.81：

設f在I上連續，?x1，x2?Ｉ，且x1＜x2有ｆ（x1+x22）?1ｘ－ｘ２１?ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）dｔ?f(x1)?f(x2)2，則稱f為凸函數。定義2.1.91：若ｘ，．．．，xｎ?Ｉ，ｆ（１?ｘ＋ｘ＋．．．＋ｘｎ１２ｎ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋．．．．＋ｆ（ｘ）１２ｎｎ（ｎ?Ｎ），則稱f為凸函數。

定義2.1.101：若ｆ在Ｉ內可導，?ｘ，ｙ?Ｉ，有ｆ（ｘ）?ｆ＇（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ），則稱f為凸函數。定義2.1.111：若ｆ在Ｉ可導，且ｆ＇（ｘ）單調遞增，則稱f為凸函數。定義2.1.121：ｆ在Ｉ內二次可導，ｆ＇＇（ｘ）?０，則稱f為凸函數。定義2.1.131：ｆ在區間Ｉ上凸函數的充要條件是：函數

為[0,1]上的凸函數，?（?）＝ｆ（?ｘ＋（１－?）ｘ）１２下面給出幾種定義間的相互證明。

定理2.1.11 若ｆ在區間Ｉ上可導，則定義７?定義１０

?Ｉ，?ｘ?Ｉ，有：證明：因為ｆ在Ｉ內存在單增函數?，?ｘ ０（ｔ）dt

（１）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝??０ｘ０ｘ故對于?ｙ?Ｉ，不妨設ｙ＜ｘ，有： ｆ（ｙ）－ｆ（ｘ）＝??（ｔ）dt

（２）０ｘ０ｙ（ｘ）將式（１）兩邊關于ｘ求導，得ｆ＇（ｘ）＝?．

（１）－（２），得：

ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）＝??（ｔ）dｔ－??（ｔ）dｔ＝??（ｔ）dｔ＋??（ｔ）dｔ＝

ｘ０ｘ０ｘ０ｘｙｘｘ０ｙ?ｘｙ（?）；ｙ＜?＜ｘ

（３）?（ｔ）dｔ＝（ｘ－ｙ）?（ｔ）（ｙ）??（?），式（２）可化為： 因為?單調遞增，且ｙ＜?，所以?（?）?（ｘ－ｙ）?（ｙ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）＝（ｘ－ｙ）?＝（ｘ－ｙ）ｆ＇（ｙ）

即ｆ（ｘ）?ｆ＇（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ）

定理2.1.21： 若ｆ在Ｉ上連續，則定義１３?定義８。

（?）證明：因為?＝ｆ（?ｘ＋為?０，１?上的凸函數，故：（１－?）ｘ）１２（?）＝?＝?ｆ（?ｘ＋（１－?）ｘ）１２（??１＋（１－?）?０）（１）＋（１－?）?（０）＝? ｆ（ｘ）＋（１－?）ｆ（ｘ）???１２特別地，當?＝12時，有ｆ（ｘ＋ｘ１２２）?ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２

先證不等式的左邊．

?I，ｘ，由實數的性質知在Ｉ上可確定一個閉區間?ｘ，若ｔ??x1，ｘ＜ｘｘ２１２１２?，１［ｘ１ｘ＋ｘ２２］，則ｔ關于

ｘ＋ｘ１２２的對稱點是ｘ＋ｘ－ｔ，而ｆ在Ｉ上連續，所以１２積分存在，所以：?ｘ２ｘ＋ｘ１２２ｘ１ｘ＋ｘ１２ｘ１ｆ（ｔ）dｔ＝?ｄ?ｆ（ｔ）＋ｆ（ｘ１＋ｘ２＋ｔ）?ｔ?２?ｘ）２ｆ（ｘ＋ｘ１２２）ｄｔ＝２（ｘ－ｘ）ｆ（２１ｘ＋ｘ１２２ｘ＋ｘ１２２１

即ｆ（）?ｘ－ｘ２１?ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）ｄｔ 下證不等式的右邊． 作變換ｕ＝x２－t（0?ｕ?１），則t＝x２－u（x２－x１）＝ux１＋（1－u）x２，dt＝（x１－x２）du，x２－x１當t＝x１時，u＝1；t＝x２時，ｕ＝0ｘ２?ｘ１ｆ（ｔ）dｔ＝１１（ｘ－ｘ）ｆ?ｕｘ＋（１－ｕ）ｘｄｕ?（ｘ－ｘ）ｕｆ（ｘ）＋（１－ｕ）ｆ（ｘ）ｄｕ＝２１?１２?２１??１２?００ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２（ｘ－ｘ）２１２ｘｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２１２?ｆ（ｔ）ｄｔ即，故?ｘ１２ｘ－ｘ２１ｆ（ｘ＋ｘ１２２）?１ｘ－ｘ２１?ｘ２ｆ（ｔ）ｄｔ?ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２ｘ１

定理2.1.31 若ｆ在Ｉ上二次可導，則定義８?定義１２。證明 因?x1，x2?Ｉｘ，＜ｘ１２ｆ（ｘ＋ｘ１２２）?１ｘ－ｘ２１?ｘ２ｆ（ｔ）ｄｔ?ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２ｘ１

令ｘ＝x１＋ｘ２２，則ｘ＜ｘ＜ｘ，故ｆ（ｘ）?１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２，即ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）?ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ）１１ｘ－ｘ＝ｘ－ｘ＞０，所以１２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（x２）－ｆ（ｘ）１?；又因為ｆ在Ｉ

ｘ－ｘｘ－ｘ１２上可導，則ｆ在Ｉ上連續，故由極限的性質可知ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＇＇１２?lim，即ｆ＋（ｘ）?ｆ－（ｘ）１２x?ｘ１ｘ－ｘｘ－ｘ１２limx?ｘ２．

x＇＇＇（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ－（ｘ）＝ｆ（ｘ）有二階導數，所以ｆ＇，即?x1，2?Ｉ，都有＋１１２２ｆ（ｘ）?ｆ（ｘ），設ｘ為Ｉ上任意固定點，則１２＇＇ｆ（ｘ＋?x）－ｆ（ｘ）＇ lim０，所以ｆ（ｘ）?０。?x?0?x＇＇定理2.1.41 定義１１?定義2

＇（ｘ）證明

因為ｆ（ｘ）在Ｉ內可導，且ｆ單調遞增，?ｘ，ｘ，ｘ?I, 且１２３?Ｉ，曲線ｙ＝ｆ（ｘ）在（?？纱_定兩個區間?ｘ，?ｘｘ＜ｘ＜ｘｘ，ｘ１２３１２?２３?x2，＇（ｘ）ｆ（x2））的切線方程為ｙ－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ－ｘ）故橫坐標為ｘ的曲線的２２２＇（ｘ）縱坐標與切線縱坐標之差為：ｆ（ｘ）－ｙ＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ－ｘ）２２２?Ｉ，而ｆ（ｘ）在Ｉ內可導，而?ｘ故ｆ（ｘ）在?ｘ內連續，在（ｘ），ｘ，ｘ，ｘ２３?２３?２３上可導，所以ｆ（ｘ）在?ｘ上滿足拉格朗日中值定理，即??１?（ｘ），ｘ，ｘ２３?２３＇ｆ（?１）（ｘ－ｘ）。由式（３）ｓ．ｔ．ｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ＝，當ｘ＝ｘ３時，有：）３２２＇＇（ｘ）ｆ（?１）ｆ（ｘ３）－ｙ＝ｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ２）－ｆ＝－（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）２３２３２ｆ（ｘ）（?１）（ｘ）＝（ｆ－ｆ）（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）?０ ２２３２３２＇＇＇同理ｆ（ｘ）在?ｘ，上滿足拉格朗日中值定理，即??２?（ｘ），ｓ．ｔ． ｘ，ｘ１２?１２＇（?２）（ｘ－ｘ）ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ）＝ｆ。由式（３），當ｘ＝ｘ１時，有：ｆ（ｘ１）２１１＇＇＇（ｘ）（?２）（ｘ）－ｙ＝ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）－ｆ＝ｆ－ｆ（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）２２１２１２１２＇＇（?２）（ｘ）＝（ｆ－ｆ）（ｘ－ｘ）?０。由式（４）得２１２ｆ（x３）－ｆ（ｘ）２ｘ－ｘ３２（ｘ），?ｆ２＇由式（５）得ｆ（x１）－ｆ（ｘ）２ｘ－ｘ１２（ｘ），所以?ｆ２＇ｆ（x１）－ｆ（ｘ）ｆ（x３）－ｆ（ｘ）２２ ?ｘ－ｘｘ－ｘ１２３２2.2 凹函數的多種定義及等價證明 凹函數的13種常見定義。定義2.2.11： f在I內連續ｆ（ｘ＋ｘ１２２）?ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２,則稱f為凹函數。

定義2.2.21：若?x1，x2，x3?Ｉ，定義2.2.31：

f(x2)?f(x1)x2?x1?f(x3)?f(x2)x3?x2則稱f為凹函數

１ｆ（ｘ）?ｘ１１????x1，x2，x3?Ｉ，x1＜x2＜x3，ｘ１ｆ（ｘ）２２??的行列式?0，則稱f為凹函數

?ｘ１ｆ（ｘ）?３??３定義2.2.41?x1，x2?Ｉ，?ｔ?（０，１），ｆ（ｔｘ＋（１－ｔ）ｘ）?ｔｆ（ｘ）＋（１－ｔ）ｆ（ｘ）１２１２則稱f為凹函數

定義2.2.5 :?ｔ，ｔ＝１，有ｆ（?ｔｘ）?ｋ?ｋｋｋｋ?1ｋ?11nnn?ｔｆ（ｘ），則稱f為凹函數

ｋｋｋ?1定義2.2.61：

（１。）?ｘ?Ｉ，?ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）且ｆ（ｘ）?ｆ（ｘ）（２。）?x1，x2，ｆ（ｘ）?ｆ（ｘ）－＋－＋＋１－２＇＇＇＇＇＇則稱f為凹函數

?I, 定義2.2.71：若ｆ在Ｉ內存在單減函數?,?ｘ０?x?I,有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０?ｘｘ０?（ｔ）dｔ，則稱f為凹函數。

定義2.2.81： 設f在I上連續，?x1，x2?Ｉ，且x1＜x2有，ｆ（x1+x22）?1ｘ－ｘ２１?ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）dｔ?f(x1)?f(x2)2則f為凹函數

定義2.2.91：若ｘ，．．．，xｎ?Ｉ，ｆ（１?ｘ＋ｘ＋．．．＋ｘｎ１２ｎ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋．．．．＋ｆ（ｘ）１２ｎｎ（ｎ?Ｎ），則稱f為凹函數。

定義2.2.101：若ｆ在Ｉ內可導，?ｘ，ｙ?Ｉ，有ｆ（ｘ）?ｆ＇（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ），則稱f為凹函數。

定義2.2.111：若ｆ在Ｉ可導，且ｆ＇（ｘ）單調遞減，則稱f為凹函數。定義2.2.121：ｆ在Ｉ內二次可導，ｆ＇＇（ｘ）?０，則稱f為凹函數。定義2.2.131：ｆ在區間Ｉ上凹函數的充要條件是：函數。

為[0,1]上的凹函數。?（?）＝ｆ（?ｘ＋（１－?）ｘ）１２幾種定義間的推到證明即可類比與凸函數的情況 2.3 關于凸凹函數性質的總結

上一段為凸（或凹）函數的十三種定義及部分定義間的相互證明，這一段在此基礎上就凸（或凹）函數的性質方面作進一步思考。根據上文所提到的定義，可知

性質2.3.12：當ｆ在Ｉ上一階可導時，由ｆ在Ｉ單增（或減），ｆ（ｘ）（?或?）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）０００＇證明：必要性：計算ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（?）（ｘ－ｘ）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＝００００００＇＇＇

（ｆ（?）－ｆ（ｘ））（ｘ－ｘ）００＇＇（?介于ｘ和ｘ之間）０由于ｆ在Ｉ單增（或減），可知上面兩個因子同號，故有

（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）（?或?）ｆ０００＇＇（x０）（x－x０）＋f（x０）充分性：設?x，x０?Ｉ，有f（x）（。當x１，x２?Ｉ，?或?）f而x１＜x２時就有f（x１）（?或x１－x２）＋f（x２）及f（x２）?（或（x１）（x２－x１）＋f（x１）?）f（x２）（或?）f ＇＇＇＇（ｘ）－ｆ（ｘ）］（ｘ－ｘ）．兩式相加即有ｆ（ｘ）由＋ｆ（ｘ）（或?）［ｆ２１１２１２?（x１）（?或?）f（x２），可見f即f在I上I上單減（或單增）ｘ＜ｘ?。保玻В再|2.3.22 設ｆ在Ｉ上可導，ｆ在Ｉ下凸（或上凹）??ｘｘ?Ｉ，ｆ（ｘ）（?或１，２?）f（x１）＋f（x１）（x－x１），由于f（x）＝f（x１）＋f（x１）（x－x１），是過＇＇的曲線的切線，由于上面不等式的幾何意義是：下凸（上凹）曲線（ｘ，ｆ（ｘ））１１總在曲線上的任一點的切線之上（下）。

性質2.3.32：當ｆ在Ｉ上二階可導時，則可得 當ｆ在Ｉ上二階可導時，ｆ在Ｉ下凸

＇（x）（?或?）0（或上凹）??x?I，f＇＇（ｘ）證明：必要性：ｆ在Ｉ上二階可導，且下凸（或上凹）ｆ在I上單增（或單減））?ｆ（ｘ）（?或?）0，?x?I ＇充分性：

?ｘｘ?Ｉ１，２＇ｆ（ｘ）ｆ（?）２１，有ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋（ｘ－ｘ）＋（ｘ－ｘ）（或２１２１２１１?。玻。?）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ），據上面的證明中徳充分性，可知已做；額下面１２１１證明鏈的證明：ｆ（ｘ）（?或f在I上單增或單減）２（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）??）ｆ１２１１＇性質2.3.42：若ｆ在Ｉ上可導，則下述兩個斷語等價：

（１）

＇f（x２）（?或?）f（x１）（x２－x１）＋f（x１）（２）

f（x１）＋f（x２））（?或?）22證明：（１）? f（x１＋x２（２）?ｘ令ｘ３＝，ｘ?Ｉ，１２

于是ｆ（ｘ）（?或１?）ｆ（＇ｘ＋ｘ１２2，－ｘ＝則ｘ１３ｘ－ｘ１２2，ｘ－ｘ＝２３ｘ－ｘ２１2

ｘ＋ｘ１２2ｘ＋ｘ１２）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝１３３ｘ－ｘｘ＋ｘｘ＋ｘ１２＇１２２ｆ（）＋ｆ（１）222兩式相加，即得ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（?或１２ｘ－ｘｘ＋ｘｘ＋ｘ２１＇１２２ｆ（）＋ｆ（１）過點2222ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）２１＝與的弦為亦即（ｘ，ｆ（ｘ））（ｘ，ｆ（ｘ））２２１１ｘ－ｘ２１?）ｆ（＇）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝２３３ｆ（ｘ＋１ｘ－ｘ２１）－ｆ（ｘ）１2?ｘ－ｘ２１（或2ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）１２１１２１?）＝）當令上式中的ｘ－ｘｘ－ｘ２１２１ｘ－ｘ２１（ｘ－ｘ是兩點橫坐標的差）（ｘ，ｆ（ｘ）），（ｘ，ｆ（ｘ））２１１１２２2ｘ－ｘ２１＝令ｘ２－ｘ當此時兩點的橫坐標縮小一半時），上式仍然成立１2ｘ－ｘ２１ｆ（ｘ＋）－ｆ（ｘ）１１２2?（或ｘ－ｘ２１ｘ－ｘ＝２１2２ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）１２１１２１，用數學歸納法易證?）＝ｘ－ｘｘ－ｘ２１２１有?ｎ?Ｎ，ｆ（ｘ＋１ｘ－ｘ２１）－ｆ（ｘ）１ｎ2?（ｘ－ｘ２１ｎ或

2ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）１２１１２１?）＝，此即ｆ（ｘ）（?或２ｘ－ｘｘ－ｘ２１２１?）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）１１２１＇

2.4 一元函數凹凸性判定定理及其應用 定理2.4.11： 設a?x1?x2?b，（1）若f(x)的圖形在[a,b]上是凸的，則'f(x1)?[f(x2)?f(x1)]/(x2?x1)?f'(x2);（2）若f(x)的圖形在[a,b]上是凹的，則'f(x1)?[f(x2)?f(x1)]/(x2?x1)?f'(x2);

證 先證（1）：由于f(x)的圖形在[a,b]上是凸的，可知f(x)在[a,b] 連續，在(a,b)內可導。因為a?x1?x2?b，在[x1,x2]上使用拉格朗日中值定理，至少存在一點??(x1,x2)?(a,b)，使得f'(?)?[f(x2)?f(x1)]/(x2?x1)。有由于f(x)的圖形在[a,b]上是凸的，有f''(x)?0,f'(x)在(a,b)上單調遞減，得到''''f(x1)?f(?)?f(x2)，從而有f(x1)?[f(x2)?f(x1)]/(x2?x1)?f'(x2);

同理可證（2）

幾何意義 如圖所示，在弧AB上任取兩點M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),，其中a?x1?x2?b，若f(x)的圖形在[a,b]上是凸的（或凹的），則弦MN的斜率

'（大于）過點N的切線斜率f(x2)，大于（小kMN?[f(x2)?f(x1)/(x2?x1)小于于）過點M的切線斜率f'(x1)，即弦MN斜率的大小總是在過兩端點的切線的斜率之間。

: 定理2.4.22 :設a?x1?x2?x3?b

（1）若f(x)的圖形在[a,b]上是凸的，則（2）若f(x)的圖形在[a,b]上是凹的，則

f(x2)?f(x1)x2?x1f(x2)?f(x1)x2?x1??f(x3)?f(x1)x3?x1f(x3)?f(x1)x3?x1;;

證明 因為f(x)在[a,b]連續，在(a,b)內可導，故在[x1,x2]上使用拉格朗日中值定理，至少存在一點??(x1,x2)?(a,b)，使得f(x2)?f(x1)?f'(?)(x2?x1)令g(x)?[f(x2)?f(x1)]/(x2?x1)則g(x)?'f(x)(x?x1)?[f(x)?f(x1)](x?x1)2'?[f(x)?f(?)](x?x1)(x?x1)2''=

f(x)?f'(?)x?x1',其中x1???x.（1）若f(x)的圖形在[a,b]上是凸的，則f''(x)?0，f'(x)在[a,b]上單調遞減，于是f'(x)?f'(?)，從而g'(x)?0，即g(x)在[x1,x]上單調遞減。取x1?x2?x3?x?b則有g(x2)?g(x3)即

f(x2)?f(x1)x2?x1?f(x3)?f(x1)x3?x1;

同理可證凹函數。

幾何意義 如圖所示，在弧AB上任取3點M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),P(x3,f(x3))，其中a?x1?x2?x3?b。當f(x)的圖形在[a,b]上是凸的(凹的)時，弦MN的斜率率f(x3)?f(x1)x3?x1f(x2)?f(x1)x2?x1大于(小于)弦MP的斜

（1）函數凹凸性的直觀解題法

以函數y?f(x)在某區間I 上單調增加為例說明我們不難理解,隨著自變量x的穩定增加,當函數y的增量越來越大時,函數圖形是凹的,當函數y 的增 量越來越小時,函數圖形是凸的,當函數y的增量保持不變時,函數圖像是直線.對于減函數我們可以作類似的分析.例題

例１

如圖，液體從一圓錐形漏斗流入正方體容器中，開始時漏斗盛滿液體，經過50 秒漏完!已知正方體容器液面上升的速度是一個常量，H 是圓錐中液面下落的距離,則H 與下落時間t(秒)的函數關系用圖像表示只可能是以下哪一選項?

分析: 不難看出圓錐中液面下落的距離H 隨著時間t 是單調增加的函數, 由于正方體中液面上升的速度是一個常量,所以自變量t 是穩定增加的,因此 液體從漏斗漏出的速度為一常量.又由于圓錐的截面越向下越小,所以隨著時間t的穩定增加,圓錐中液面下降的距離H 的變化將越來越快,H關于t 的函數圖形應是凹的，故正確答案選(B)

??例2： 用凸函數方法證明younger不等式：ｘｙ??ｘ＋?ｙ（ｘ，ｙ，?，?均

＇（ｘ）＝－為正數?＋?＝１）證明：令 ｆ（ｘ）＝lnx,則ｆ＇1ｘ２＜０，ｆ（ｘ）為凹函數。從而ｆ（?ｘ＋?ｙ）??ｆ（ｘ）＋?ｆ（ｙ）＝?ｌｎｘ＋?ｌｎｙ＝ｌｎｘｙ??或

由ｅｌｎ（?ｘ＋?ｙ）?ｌｎ（ｘ＋ｙ）??ｘ的單調增加性：

??ｅ?ｅ即ｘｙ??ｘ＋?ｙ 我們可以推廣至三元甚至n元的情況１２ｎｘｘ．．．．ｘ??１ｘ＋?２ｘ＋．．．．＋?ｎｘ（ｘ，．．．，ｘ，?１，．．．，?ｎ１２ｎ１２ｎ１ｎｌｎ（?ｘ＋?ｙ）ｌｎ（ｘ＋ｙ）?????均為正數?１＋．．．＋?ｎ＝１）

＇（ｘ）＝－證明:令ｆ（ｘ）＝lnx,則ｆ＇1ｘ２＜０，ｆ（ｘ）為凹函數。從而

???１ｆ（?１ｘ＋?２ｘ２＋．．．．＋?ｎｘｎ）??１ｆ（ｘ）＋?２ｆ（ｘ２）＋．．．．＋?ｎｆ（ｘｎ）＝?１ｌｎｘ＋．．．＋?ｎｌｎｘｎ＝ｌｎｘｘ２２．．．．ｘｎｎ１１１１???ｘ＋?２ｘ＋．．．．＋?ｎｘ）?ｌｎ（ｘ＋ｘ＋．．．．＋ｘ）或lｎ（?１從１２ｎ１２ｎ１２ｎ而１２ｎｘｘ．．．．ｘ??１ｘ＋?２ｘ＋．．．．＋?ｎｘ（ｘ，．．．，ｘ，?１，．．．，?ｎ１２ｎ１２ｎ１ｎ????－１1ｘｙ＋例3：證明：對任何正數ｘ，ｙ，當??1時，有ｘ??－１??ｙ?

證明：注意不等式系數之和用凸，凹函數證明。

?－１1＋＝１，且ｘ，ｙ及系數均為正數，可考慮??＇設ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，則ｆ＇（ｘ）＝－１ｘ２＜０為凹函數，故

??－１1ｘ?－１1ｘｆ（ｙ＋）?ｆ（ｙ）＋ｆ（）?－１?－１??ｙ??ｙ?＝?－１1ｌｎｙ＋［?ｌｎｘ－（?－１）ｌｎｙ］ ??ｌｎ（?－１1ｘｙ＋）??ｙ?－１?＝ｌｎｘ由ｅ的單調增加性知：ｅｘ?ｅｌｎｘ?－１1ｘｙ＋?ｘ 即?－１??ｙ?例4：ｆ（ｘ）為內的凹函數，證明對任意的（ａ，ｂ）有，ｘ?［?，?］，［?，?］?（ａ，ｂ），?Ｌ＞０，ｓ．ｔ．?ｘ１２ ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）?Ｌｘ－ｘ１２１２證明：由知，存在ｈ＞０，使得[??h，??h]?記［?，?］?（ａ，ｂ）（ａ，ｂ）Ｍ＝ｍａｘ{ｆ（ｘ），}ｍ＝ｍｉｎ{ｆ（ｘ），}于是對?ｘ，ｘ?［?，?］,若１２取ｘ由于f(x)為凸函數，故ｘ＜ｘ，＝ｘ＋ｈ，１２３２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）Ｍ－ｍ２１３２??，從而ｘ＋ｘｘ＋ｘｈ２１３２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）?２１Ｍ－ｍｈｘ－ｘ２１

若ｘ可取ｘ由于f(x)為凸函數，有?ｘ，＝ｘ－ｈ，２１３２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｍ－ｍＭ－ｍ２３１２??ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）?ｘ－ｘ２１１２ｘ－ｘｘ－ｘｈｈ２３１２，ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）?成立，若ｘ２＝ｘ１２１Ｍ－ｍｈｘ－ｘ１２亦成立，綜上所述

?ｘ，ｘ?［?，?］，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）?Ｌｘ－ｘ１２１２１２

(2）應用凹凸性的常規定義證題

對函數凹凸性定義, 不同教材有不同的定義形式,下面給出其中一種定義形式: 設f(x)在區間I 上連續,如果對I 上任意兩點x1,x2都有f(x1?x22)?f(x1)?f(x2)2那么稱f(x)在I 上的圖形是(向上)凹的(或凹弧);如

x1?x22)?f(x1)?f(x2)2n果對I上任意兩點x1,x2都有f(的圖形是(向上)凸的(或凸弧).,那么稱f(x)在I上

1n一般地,看f(x).是區間I上的凹函數,則有.f(?i?1xin)??nf(xi)其中xi是I 內

i?1的任意點(ｉ=1,2,…,n)若.f(x)是區間I 上的凸函數時,則不等號反向).定理設f(x).在,[a.b]上連續,在(a,b)內具有一階和二階導數,如果在(a,b)內.f''(x)?0(或f''(x)?0).那么f(x).在[a.b]上的圖形是凹的（或凸的）（證明全略）

（3）數形結合解題

函數的凹凸性揭示了函數因變量隨自變量變化而變化的快慢程度，如果結合函數其它性質，可使我們對函數圖形的描繪更加精確。

例1：如圖所示 半徑為r=4的圓c 切直線AB于0 點,線OT從OB出發繞O 點逆時針方向旋轉

到OA!OT 交圓C 于P,記.?PCO 弓形PMO 的面積s=f(x),試判定f(x)在[0,2]上的凹凸性。

解：由題意可得S?S扇形PMOC?S?POC, S扇形PMOC?12rx?2又因為

12rsinx2

?rcosx2?12rsinx?212?4?x?8x,S?POC?2?2

12?4?sinx?8sinx,x?[0,2?] 2所以，得f''(x)?8x?8sinx.當x?(0,?)時，f''(x)?0;當x?(?,2?)時，f''(x)?0;由函數凹凸性定理可知，f(x)在[0,?]上函數圖形為凹，在[0,2?]上函數圖形為凸。

函數的凹凸性是函數圖形的一個重要特征，了解函數的凹凸性能使函數圖形的描繪更加精確化。在解決函數變化率的過程中或求某些特殊不等式時，用函數凹凸性求解!會顯得更為簡捷。

3.二元函數凹凸性的判定及其應用

3.1 二元函數凹凸的定義

定義3.1.13:設f(x,y)是定義在區域C上的二元函數，且滿足對任意(x1,y1)?C,(x2,y2)?C;?1,?2?0，且?1??2?1，有?1f(x1,y1)??2f(x2,y2)?（或?）f(?1x1??2x2,?1y1??2y2)我們稱f(x,y)在C上為凹（或凸）函數。為了研究方便，設定f(x,y)非常數函數和一次函數。

從定義中看出，為上面定義中等號成立的充分條件而非必要條件。3.2 二元函數凹凸性的判定定理

定理3.2.1

3設f?x,y?在區域D上具有二階連續偏導數，記A?fxx(x,y),B?fxy(x,y),C?fxy(x,y), ''''''則

（1）在D上恒有A<0，且AC?B2?0時，f(x,y)在區域D上是凸函數；（2）在D上恒有A>0, 且AC?B2?0時，f(x,y)在區域D上是凹函數。如果A僅在個別處為零，并不影響函數在該區域的凹凸性.但如果在區域D上恒有A=0時，依據定理1無法判斷f(x,y)在區域D上的凹凸性，定理2可解決這個問題。

定理3.3.23

設f(x,y)在區域D上具有二階連續偏導數，記A?fxx(x,y),B?fxy(x,y),C?fxy(x,y),在''''''D恒有A=0,AC?B2?0時，則當

當C?0時，f(x,y)在區域D上是凹函數。C?0時，f(x,y)在區域D上凸函數；證明

任取(x1,y1)，(x2,y2)?D,設tx1?(1?t)x2?x0,ty1?(1?t)y2?y0,t?(0,1).記x1?x0??x,y1?y2??y,則x2?x0?泰勒

公

tt?1?x,y2?y0?tt?1?y,由二元函數的得

式可tf(x1,y1)?(1?t)f(x2,y2)?f(tx1?(1?t)x2,ty1?(1?t)y2)?tf(x1,y1)?(1?t)f(x2,y2)?f(x0,y0)''2=t(f(x2,y2)?f(x0,y0))=t{fx'(x0,y0)?x?fy'(x0,y0)?y2?0.5[fxx(?1,?1)(?x)?

t(f(x1,y1)?f(x0,y0))?(1?2fxy(?1,?1)?x?y?fyy(?1,?1)(?y)]}?(1?t){fx(x0,y0)?fy(x0,y0)0.5(tt?1'''''2'tt?1?xtt?1''?y?2''''2)[fxx(?2,?2)(?x)?2fxy(?2,?2)?x?y?fyy(?2,?2)(?y)]}

=0.5t{f(?1,?1)(?x)?2f(?1,?1)?x?y?f(?1,?1)(?y)?''xx2''xy''yy2t22(1?t)[fxx(?2,?2)(?x)??1)(?y)]''22

?2fxy(?2,?2)?x?y?fyy(?2,?2)(?y)},其中：''''2?1?x0??1(x1?x0),?1?y0??1(y1?y0),?2?x0??2(x2?x0),?2?y0??2(y2?y0)(o??1,?2?1),顯然

（?1，?1）?D,(?2,?2)?D.2

由A=0及AC?B?0得 B=0，于是tf(x1,y1)?(1?t)f(x2,y2)?f(tx1?(1?t)x2,ty1?(1?t)y2)? 0.5tf(?1,?1)(?y)?''yy2t22(1?t)fyy(?2,?2)(?y)(t?(0,1)).''2

當c?0時，即f(tx1?(1?t)x2,ty1?(1?t)y2)?tf(x1,y1)?(1?t)f(x2,y2),f(x,y)在區域D上是即f(tx1?(1?t)x2,ty1?(1?t)y2)?tf(x1,y1)?(1?t)f(x2,y2),f(x,y)在區域D上是

tf(x1,y1)?(1?t)f(x2,y2)?f(tx1?(1?t)x2,ty1?(1?t)y2)?0，tf(x1,y1)?(1?t)f(x2,y2)?f(tx1?(1?t)x2,ty1?(1?t)y2)?0，凸函數。當c?0時，凹函數。

２例1 討論ｆ（ｘ，ｙ）＝３ｘ＋ｙ的凹凸性

函數的定義域為{(x,y):x?R,y?R},fx'(x,y)?3,fy'(x,y)?2y，于是A?fxx(x,y)?0,B?fxy(x,y)?0,C?fyy(x,y)?2,，于是A?O,AC?B?0且''''''2c?0，由定理3.3.2可知f(x,y)在其定義域上是凹函數

定理3.3.33設f(x,y)在開區域內2個偏導數，fx(x,y),fy(x,y)，都存在且連續 f(x,y)在D內是凸（凹）函數的充要條件是：對于任意(x1,y1),(x2,y2)?D，有f(x1,y1)?f(x2,y2)?fx(x2,y2)(x1?x2)?fy(x2,y2)(y1?y2)（orf(x1,y1)?f(x2,y2)?fx(x2,y2)(x1?x2)?fy(x2,y2)(y1?y2)證明

只證明凸

''''函數的情形 充分性

任取

t??0,1?,令x0?tx1?(1?t)x2,y?ty1?(1?t)y2由已知可得

''''，'f(x1,y1)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)(x1?x0)?fy(x0,y0)(y1?y0)f(x2,y2)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)(x2?x0)?fy(x0,y0)(y2?y0)'tf(x1,y1)?(1?t)f(x2,y2)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)[tx1?(1?t)x2?x0]?fy(x0,y0)[ty1?(1?t)y2?y0]，所以f(x,y)在區域D內是凸函數

必要性 由于f(x,y)在區域D內是凸函數，則對任何t??0,1?,(x1,y1),(x2,y2)?D，都有

tf(x1,y1)?(1?t)f(x2,y2)?f(tx1?(1?t)x2,ty1?(1?t)y2),整理得

f(x1,y1)?f(x2,y2)?1t

(f(x2?t(x1?x2),y2?t(y1?y2))?f(x2,y2))

1''22＝{fx(x2,y2)t(x1?x2)?fy(x2,y2)t(y1?y2)?o([t(x1?x2)]?[t(y1?y2)])}t＝fx(x2,y2)(x1?x2)?fy(x2,y2)(y1?y2)?''o(t(x1?x2)?(y1?y2))t'22

令t?0?，兩邊取極限得

f(x1,y1)?f(x2,y2)?fx(x2,y2)(x1?x2)?fy(x2,y2)(y1?y2),f(x1,y1)?fx(x2,y2)(x1?x2)?fy(x2,y2)(y1?y2)?f(x2,y2)'''即

同理可證凹函數的情形。

3.4 二元凹凸函數的應用（求最大值，最小值）定理3.4.1

5設是在開區域D內具有連續偏導數的凸（或凹）函數，(x0,y0)?D且

則f(x0,y0)必為f(x,y)在D內的最大值與最小值

證明：

只證明凸函數的情形。因為ｆ（ｘ，ｙ）是在開區域D內具有連續偏導數的凸函數，由定理3可知，對于任給（ｘ，ｙ）?Ｄ,有f(x,y)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)又f(x0,y0)?0,f(x0,y0)?0, 'x'y''fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0,''

例1：求二元函數f(x,y)?3x2?3y2?2x?2y?2的最大值或最小值。解：函數的定義域為{(x,y):x?R,y?R},fx'(x,y)?6x?2,fy'(x,y)?6y?2，于是得x?fx(x,y)?0,fy(x,y)?0，''13,y?13，所以f(x,y)在其定義域內最小值為114f(,)?333

同理可證凹函數的情形。

例2 求二元函數f(x,y)?3x2?3y2?2x?2y?2在定義域內的最大值或最小值

解函數。的定義域為{(x,y):x?R,y?R},fx'(x,y)?6x?2,fy'(x,y)?6y?2，于是

A?fxx(x,y)?6,B?fxy(x,y)?0,C?fyy(x,y)?6則A?0,AC?B?0所以''''''2f(x,y)在其定義域內是凹函數，令fx(x,y)?0,fy(x,y)?0，得x?''13,y?13，所以f(x,y)在其定義域內最小值為f(,)?331143

4．多元函數凹凸性的判定

4.1多元函數凹凸性的幾個定義

定義4.1.16 設D是n維空間的一個區域，若＇'''p(x1,x2,...,xn)?D,p?(x1,x2,...,xn)?D 則

''（1）設fxy 總能分解成fxy??''g(x,y).h(x,y),fxx?g(x,y),fyy?h(x,y)(fxx??g,fyy??h),''''''''則D上是凹（凸）的；

''''（2）設（1）的條件成立并且關于fxx,fyy的兩個不等式中，Q(x1??(x1?x1),x2??(x2?x1),...,xn??(xn?xn))?D,'''f(x,y)在則稱D是凸函數，否則稱D為凹函數。

定義4.1.26 設f(p)是定義在凸函數D上的函數，p1(x11,x12,...,x1n),p2(x12,x22,...xn2)是D上的任意兩點，記p0?(12x11?x222,x21?x22212,...,xn1?xn22).（1）若恒有[f(p1)?f(p2)]?f(p0)([f(p1)?f(p2)]?f(p0)),且等號不恒成立，則稱f在D上是凹（或凸）的)]?f0(p)([1f(p)?2f(p)]0?f(p)),則稱f在D上是嚴（2）若[f(p1)?f(p22211格上的凹（或凸）的。

（3）若[f(p1)?f(p2)]?f(p0)，則稱在D上是線性的，21則稱f在D上是線性的。這兩種定義是等價的

在二元函數中，設D是２維空間的一個區域，若p(x1,x2)?D,p＇?(x1',x2')?D

''則由定義一知（1）設fxy總能分解成

fxy??''g(x,y).h(x,y),fxx?g(x,y),fyy?h(x,y)(fxx??g,fyy??h),''''''''則在ｆ（ｘ，ｙ）'D上是凹（凸）的；

''''（２）設（1）的條件成立并且關于fxx,fyy的兩個不等式中，Q(x1??(x1?x1),x2??(x2?x２))?D,則稱

'D是凸函數，否則稱D為凹函數。

由定義二知

設f(p)是定義在凸函數D上的函數p1(x11,x12),p2(x12,x22)是D上的任意兩點，記p0?(x11?x22212,x21?x222).1（1）若恒有[f(p1)?f(p2)]?f(p0)([f(p1)?f(p2)]?f(p0)),且等號不恒成2立，則稱f在D上是凹（或凸）的)]?f0(p)([1f(p)?2f(p)]0?f(p)),則稱f在D上是嚴（2）若[f(p1)?f(p22211格上的凹（或凸）的。

（3若[f(p1)?f(p2)]?f(p0)，則稱f在D上是線性的。

21例如三元函數f(x,y,z)?xyz就是一個凹函數 4.2多元函數凹凸性的幾個判定定理 定理4.2.18 設f(x,y)是凸區域D上具有二階連續偏導數的二元函數，記''''''2那么，A?fxx(x,y),B?fxy(x,y),C?fyy(x,y),??B?AC,若C?0且不恒為0，當A?0或C?0，函數f在D上上凹，當A>0或C<0，函數f在D上上凸，若??0當A?0或C?0，函數f在D上是凹的，當A?0或C<0，函數f在D上上凸。證明:任取p1(x1,y1),p2(x2,y2)?D,記p0(x0,y0)?(f(p1)?f(p0)?(x1?x0)fx(p0)?(y1?y0)fy(p0)?f(p2)?f(p0)?(x2?x0)fx(p0)?(y2?y0)fy(p0)?''''x1?x222M22,y1?y22),由泰勒公式

M1

則當A?0,C?0時

Mi?(xi?x0)fxx(?i,?i)?2(xi?x0)(yi?y0)fxy(?i,?i)?(yi?y0)fyy(xi,?i)＝＝{[(xi?x0)A?(yi?y0)B]?(yi?y0)(B?AC)}A{[(xi?x0)B?(yi?y0)C]?(xi?x0)(B?AC)}C''2''''2''222222(i?1,2)f(p1)?f(p0)?(x1?x0)fx(p0)?(y1?y0)fy(p0)?M12M2f(p2)?f(p0)?(x2?x0)fx(p0)?(y2?y0)fy(p0)?''2則

f(p1)?f(p2)?2f(p0)?M1?M22

當??0,A?0，C>0,Mi?0,f(p1)?f(p2)?2f(p0),??0,A?0,C?0時，定理得證

利用泰勒公式，我們不難證明

定理4.2.29設f(x,y)是凸函數D上的具連續偏導數的二元函數不同時取，則有f(x,y)在D上是嚴格凹（凸）的。

''''''若fxx?fxy?fyy?0,，則f(x,y)在D上線性的。

定理一和定理顯然不難推廣到一般徳多元函數中去，這里不再敘述。定理4.2.39 設ｆ是凸區域D上的n元函數，nD1?{(x1,x2,...,xn)}(x1,x2,...,xn)?D, an?1??axii?1i?0,a是任意常數}是D中的任意平面區域；（1）ｆ在D上上凹（凸）的等價于ｆ在Ｄ１上上凹（凸）或線性，但非恒線性的；

（2）ｆ在D上嚴格凹（凸）的等價于ｆ在Ｄ１上是嚴格上凹（凸）的；（3）ｆ在D上是線性的等價于ｆ在D上是線性的。證明：（只證嚴格上凹的情形）設ｆ在D內任何平面區域Ｄ１上均嚴格上凹，故有f(p1)+f(ｐ)?2f(p0)２因而ｆ在D上嚴格上凹。反之，若ｆ在D上嚴格上凹，顯然在任何Ｄ１上也是嚴格上凹。

在上面的基礎上給出

定義

設n元函數f在n元凸區域D 上不是平的, 不是凹的, 也不是凸的, 則稱f在D上是凹凸不平的

定理4.2.110

設ｆ（ｘ，ｙ）是凸區域D上的具有二階連續偏導數的二元函

''''''2數，對?(x,y)?D記A?fxx(x,y),B?fxy(x,y),C?fyy(x,y),??B?AC,則、（1）f在D上是平的?A?B?C;(2)f在D上是凹的???0,A?0,C?0(A,B,C不全恒為0)；（3）f在D上是平的???0,A?0,C?0(A,B,C不全恒為0)；

（4）f在D上是凹凸不平的?P?D,使?(p)?0,或A（或C）在D上值是可正負的。

（注：若?,A,C在D內沒有零點或只有孤立點，則（2）、（3）就成了嚴格上凹凸的情況）

證明：只證（2）與（4）。先證（2）

在D內任取一條線段，不妨記其方程是x?x0或y?kx?b(k是任意實數）易得f在D上上凹?f在線段x?x0上上凹或線性，且在線段y?kx?b上上凹或''''2''''''2''線性但非恒線性?fyy(x0,y)?0，且g(x)?fxx(x,kx?b)?kfxx(x,y)?2kfxy(x,y)?fyy(x,y)?Ak?2BK?C?0（等

''號不恒取)，x?x(x,y)?D,且y?kx?b其中fyy(x0,y)?0（對?(x0,y)?D)?C?0）

對于Ak2?2Bk?C?0(k任意，等號不恒取)，分別有

（1）A?0時，2BK?C?0有，對任意k恒成立，則B?0,C?0。此時''??0,C?g(x)?0

（2）A?0時，4B2?4AC?4??0,即??0,C?0

由（1）與（2）知，g''(x)?0（等號不恒取）???0,A?0且C?0（A,B,C不全恒為0）綜上可得，f在D上上凹???0,A?0且C?0（A,B,C不全恒為0）

再證（4）由定理中的（1）、（2）、（3）f在D上凹凸不平?f在D上不是平的，不是凹的也不是凸的?A，B,C不全恒為0，且?p1?D,使?(p1)?0或?p2?D,使A(p2)?0，或?p3?D,使C(p3)?0，同時，?Q1?D,使?(Q1)?0，或?Q2?D使A(Q2)?0或?Q3?D,使 C(Q3)?0 ??p?D,使?(p)?0,或A（或C）在D上可正負。

小 結

函數的凹凸性是解決函數問題經常遇到的，一元，二元，至多元函數的凹凸函數的性質及判定在數學中具有重要的作用。利用函數凹凸性的判定定理對解決函數問題具有很大的幫助。在熟悉函數凹凸性的定義時更要掌握函數凹凸性的幾個重要的判定定理。

參考文獻

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謝

本文在選題，修改及其完稿的整個過程中，都是在宋賢梅老師的細心指導下完成的，在寫作的過程中，宋老師嚴格要求，同時又給予鼓勵，引導我正確的寫作思路，傳授我適當的寫作方法,在此對她表示忠心的感謝！