第一篇：函數的周期性教案1解讀

函數的周期性教案1

教學目標

1．使學生理解函數周期性的概念，并運用它來判斷一些簡單、常見的三角函數的周期性．

2．使學生掌握簡單三角函數的周期的求法．

3．培養學生根據定義進行推理的邏輯思維能力，提高學生的判斷能力和論證能力．

教學重點與難點

函數周期性的概念．

教學過程設計

師：上節課我們學習了利用單位圓中的正弦線作正弦函數的圖象．今天我們將利用正弦函數圖象，研究三角函數的一個重要性質．請同學們觀察y=sinx，x∈R的圖象：

(老師把圖畫在黑板左上方．)

師：通過觀察，同學們有什么發現？

生：正弦函數的定義域是全體實數，值域是[－1，1]．圖象有規律地不斷重復出現．

師：規律是什么？

生：當自變量每隔2π時，函數值都相等．

師：正弦函數的這種性質叫周期性．我們將會發現，不但正弦函數具有這種性質，其它的三角函數和不少的函數也都具有這樣的性質，因此我們就把它作為今天研究的課題：函數的周期性．(老師在黑板左上方寫出課題)

師：我們先看函數周期性的定義．(老師板書)

定義 對于函數 y=f(x)，如果存在一個不為零的常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，f(x＋T)=f(x)都成立，那么就把函數y=f(x)叫做周期函數，不為零的常數T叫做這個函數的周期．

師：請同學們逐字逐句的閱讀定義，找出定義中的要點．

生：首先T是非零常數，第二是自變量x取定義域內的每一個值時都有f(x＋T)=f(x)．

師：找得準！那么為什么要這樣規定呢？

師：如果T=0，那么f(x＋T)=f(x)恒成立，函數值當然不變，沒有研究價值；如果T為變數，就失去了“周期”的意義了．“每一個值”的含義是無一例外．

師：除這兩條外，定義中還有一個隱含的條件是什么？

生：如果x屬于y=f(x)的定義域，則T＋x也應屬于此定義域．

師；對．否則f(x＋T)就沒有意義．

師：函數周期性的定義有什么用途？

生：它為我們提供判定函數是否具有周期性的理論依據．

師：下面我們看例題．

(老師板書)

例1 證明 y=sinx是周期函數．

生：因為由誘導公式有sin(x＋2π)=sinx，所以2π是y=sinx是一個周期．故它就是周期函數．

師：要想判斷T是不是函數y=f(x)的周期有什么方法？我們現有的理論依據只有定義，如何使用定義？

y=sinx的周期．

義域內的每一個x，都有f(x＋T)=f(x)，而不是有(存在著)某一個x，使f(x＋T)=f(x)

乙是正確的．

師：分析得好！同學對概念的學習應該做到真正能弄清每句話的含義，而不能只停留在字面的意思讀懂了．這樣才可能透徹地理解概念，為進一步的學習打下牢固的基礎．

例3 已知 f(x＋T)=f(x)(T≠0)，求證f(x＋2T)=f(x)．

師：此題用文字如何敘述？誰能給予證明？

生：若不等于零的常數T是f(x)的一個周期，證明2T仍是f(x)的周期．

因為T是f(x)的周期，所以f(x＋T)=f(x)，f[(x＋T)＋T]=f(x＋T)，即f(x＋2T)=f(x)．

因此2T是f(x)的周期．

師：這個命題推廣可得到什么結論？

生：如果T是f(x)的周期，那么2T，3T，?，nT(n∈Z)也都是f(x)的周期．

師：這說明如果一個函數是周期函數，所有的周期就構成一個無窮集合．這無數個周期中我們有必要研究在它們中間是否存在著最小正周期．這是為什么？

生甲：如果發現一個函數存在最小正周期，就可以確定這個函數的所有周期．

生乙：更具有實用性．如果找到最小正周期，就可以在其定義域的一個長度為最小正周期的范圍內對函數進行研究．

師：這位同學思考問題有一定的深刻性．他不但弄清最小正周期的實質，還進一步想到我們研究函數周期性的目的，那就是要研究一個周期函數在整個定義域上的性質，只要研究它在一個周期內的性質，然后經過周期延拓即可．如果能夠確定最小正周期，可使研究的范圍縮小在最小正周期的范圍內．這無疑給我們研究周期函數的性質帶來方便．

(老師在函數的周期性定義下板書)

如果在所有的周期中存在著一個最小正周期，就把它叫做最小正周期．

例4 證明f(x)=sinx(x∈R)的最小正周期是2π．

師：例1證明了y=sinx是周期函數，并且找到了一個周期T=2π．例2我們證明

命題，只要證明什么？

生：只要證明任何比2π小的正數都不是它的周期．

師：如何證？能否逐一證明比2π小的正數都不行呢？當然不行．因為比2π小的正數是無限的．那這樣的命題應如何證？

生：反證法．假設存在 T∈(0，2π)使得 y=sinx對于任意的x∈R都成立．推出矛盾即可．

師：你能具體的給予證明嗎？

生：假設T是y=sinx，x∈R的最小正周期，且0＜T＜2π，那么根據周期函數的定義，當x為任意值時都有

sin(x＋T)=sinx．

即

cosT=1．

這與 T∈(0，2π)時，cosT＜1矛盾．這個矛盾證明了 y=sinx，x∈R的最小正周期是2π．

師：請同學們在課堂練習本上證明y=cosx的最小正周期是2π．

師：通過上面的例題和練習我們得出這樣的結論，正弦函數y=sinx(x∈R)和余弦函數y=cosx(x∈R)都是周期函數，2πk(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．

例5 求y=3cosx的周期．

師：以后求周期如果沒有特殊要求，都求的是最小正周期

生：因為y=cosx的周期是2π，所以 y=3cosx的周期也是2π．

師：好．好在他能利用我們總結出的結論，也就是新知識歸結到舊知識上去．你能再具體的證明嗎？

生：可以從數和形兩個角度來證明．

解(一)因為對一切 x∈R，3cos(x＋2π)=3cosx，所以 y=3cosx的周期是2π．

解(二)因為y=3cosx圖象是把y=cosx圖象上的每點的橫坐標不變，縱坐標擴大3倍得到的，當自變量x(x∈R)增加到x＋2π且必須增加到x＋2π時，函數cosx的值才重復出現，因而函數3cosx的值也才重復出現，因此y=3cosx的周期是2π．

師：數和形是我們研究數學問題的兩個方面，他都想到了，并且能完整的敘述清楚，若把此題推廣，能得到什么結論？

生：y=Asinx，x=Acosx(A≠0，是常數)的周期都是2π，也就是說函數周期的變化與系數A無關．

例6 求y=sin2x的周期．

(請不同解法的三位同學在黑板上板演)

生甲：

解 因為y=sin(2x＋2π)=sin2x，對于任意x∈R都成立．所以y=sin2x的周期是2π．

生乙：

解 因為 y=sin(2x＋2π)=sin2(x＋π)=sin2x，所以 y=sin2x的周期是π．

生丁：

解 設2x=u，因為y=sinu的周期是2π，所以

y=sin(u＋2π)=sinu，即

sin(2x＋2π)=sin2(x＋π)=sin2x，所以 y=sin2x的周期是π．

師：我們一起來分析三個同學的解法．解法一是錯誤的，錯誤在對于周期函數定義中任意x都有f(x＋T)=f(x)的本質沒弄清楚，要證明y=sin2x是周期函數，應證明對于任意x∈R，都有y=sin2x=sin2(x＋T)，而不是y=sin2x=sin(2x＋T)．解法(二)，(三)是正確的．區別在于解法(三)經過換元，把要研究的新問題y=sin2x的周期轉化為已有的舊知識y=sinu的周期．這種轉換的意識、換元的思想是很重要的．

師：其實這個問題也可以從圖象的變換來考慮．我們先看如何由y=sinx的圖象得到y=sin2x的圖象．使y=sinx的圖象上的每點的縱坐標不變，橫坐標是該點橫坐標的出現，所以 y=sin2x的周期是π．

師：通過這個例題我們看到，誰對函數的周期有影響？是x的系數．有怎樣的影響？帶著這個問題同學們做下面的題目．

y=2sin(u＋2π)=2sinu，又因為

所以

師：通過這個例題，進一步驗證了我們的猜想，函數的周期的變化僅與自變量x的系數有關．我們把例7寫成一般式．

＞0，x∈R)

sin(u＋2π)=sinu，即

即

師：這樣就證明了我們的猜想，不但函數的周期僅與自變量的系數有關系，而且

(老師板書)

師：以后再求正弦函數或余弦函數的周期，可由上面的結論直接寫出它的周期．

師：(總結)通過今天的課，同學們應明確以下幾個問題．

(一)研究函數周期的意義是什么？

周期函數是反映現實世界中具有周期現象的數學模型．如果能找到函數的最小正周期T，那么只要在以T為長度的區間內，就可以研究函數的圖象與性質，然后推斷出函數在整個定義域的圖象和性質．這給我們研究函數帶來了方便．

(二)對于函數周期的定義應注意：

1．f(x＋T)=f(x)是反映周期函數本質屬性的條件．對于任意常數T(T≠0)，如果在函數定義域中至少能找到一個x，使f(x＋T)=f(x)不成立，我們就斷言y=f(x)不是周期函數．對于某個確定的常數T≠0，如果在函數定義域中至少能找到一個x，使f(x＋T)=f(x)不成立．我們能斷言T不是函數y=f(x)的周期，但不能說明y=f(x)不是周期函數．

2．定義中的“每一個值”是關鍵詞．

此函數對于任意確定的常數T≠0，盡管f(x＋T)=f(x)對函數定義域(－∞，＋∞)中幾乎所有x都成立．但僅僅由于x的個別值x=0，x=－T時，等式不成立．因此函數f(x)不是周期函數．

(三)周期函數的周期與最小正周期的區別與聯系．

1．周期函數的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，最小正周期如果存在必定唯一．周期函數的周期有無數個．

如：f(x)=c(常數)，任意非零實數都是它的周期，但由于不存在不等于零的最小正實數，所以f(x)=c沒有最小正周期．這個例子也同時說明不是只有三角函數才具有周期性．

2．周期函數的最小正周期一定是這個函數的周期，反之不然．

例如，2π是 y=sinx的最小正周期，也是函數的周期；4π是函數的周期，但不是最小正周期．

作業：課本P178第6題，P132第4題．

課堂教學設計說明

此教學方案是按照“教師為主導，學生為主體，課本為主線” 的原則而設計的．教師的主導作用在于激發學生的求知欲，為學生創設探索的情境，指引探索的途徑，引導學生不斷地提出新問題，解決新問題．

函數周期性概念的教學是本節課的重點．概念教學是中學數學教學的一項重要內容，不能因其易而輕視，也不能因其難而回避．概念教學應面向全體學生，但由于函數的周期的概念比較抽象，所以學生對它的認識不可能一下子就十分深刻．因此，進行概念教學時，除了逐字逐句分析，還要通過不同的例題，讓學生暴露出問題，通過老師的引導，使學生對概念的理解逐步深入．

第二篇：函數的周期性教案（最終版）

函數的周期性

定義：對于函數y?f?x?，若存在一個不為零的常數T，使x取定義域中任意一個值時，有f?x?T??f?x?，則稱y?f?x?為周期函數，常數T為函數的周期.在所有T的取值中，若存在一個最小的正數t，則稱t為函數的最小正周期.（在題目中若沒有特殊強調，則周期均值最小正周期.）性質：

1.圖像重復出現，且在對應的周期區間中，增減性，最值相同；

2.若f?x??f?x?a?，則T?a；

若f?x?a??f?x?a?，則T?2a；

若f?x?a??f?x?b?，則T?a?b；

若f?x?a??f?x?b?，則T?a?b； 例題：

已知f?x?2??f?x?2?且f??1??2，則f?11??________； 函數f?x?為R上的奇函數，且f?x?2??f?x?，則f?6??_______；

函數f?x?為R上的奇函數且T?4，且x??4,6?時，f?x??2?x2，則f??1??______；

已知函數f?x?周期為3，且在x???2,0?為增函數，則在區間?4,6?上為_____（填增，減）； 函數f?x?為R上的偶函數且T?2，在區間??1,0?遞減，則在區間?2,3?上為_____；

函數f?x?為R上的奇函數，且f?x?2???f?x?，x??0,1?時，f?x??x，則f?7.5??__； 函數f?x?為R上的奇函數，且f?x?2???

1，x??2,3?時，f?x??x，則f?105.5??__； f?x?

第三篇：函數的對稱性和周期性復習教案

函數的對稱性和周期性

株洲家教：***

函數的對稱性和周期性

一.明確復習目標

1.理解函數周期性的概念，會用定義判定函數的周期；

2.理解函數的周期性與圖象的對稱性之間的關系，會運用函數的周期性處理一些簡單問題。3.掌握常見的函數對稱問題

二、建構知識網絡

一、兩個函數的圖象對稱性

y?f(x)與y??f(x)關于x軸對稱。

換種說法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)??g(x)，即它們關于y?0對稱。

2、y?f(x)與y?f(?x)關于Y軸對稱。

換種說法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(?x)，即它們關于x?0對稱。

1、y?f(x)與y?f(2a?x)關于直線x?a對稱。

換種說法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(2a?x)，即它們關于x?a對稱。

4、y?f(x)與y?2a?f(x)關于直線y?a對稱。

換種說法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(x)?2a，即它們關于y?a對稱。

5、y?f(x)與y?2b?f(2a?x)關于點(a,b)對稱。

換種說法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(2a?x)?2b，即它們關于點(a,b)對稱。

a?b6、y?f(a?x)與y?(x?b)關于直線x?對稱。

23、二、單個函數的對稱性 性質1：函數證明：在函數y?f(x)滿足f(a?x)?f(b?x)時，函數y?f(x)的圖象關于直線x?y?f(x)上任取一點(x1,y1)，則y1?f(x1)，點(x1,y1)關于直線

a?b對稱。2x?a?b的對稱點(a?b?x1,y1)，當x?a?b?x1時 2f(a?b?x1)?f[a?(b?x1)]?f[b?(b?x1)]?f(x1)?y1

y?f(x)圖象上。故點(a?b?x1,y1)也在函數由于點(x1,y1)是圖象上任意一點，因此，函數的圖象關于直線x?（注：特別地，a=b=0時，該函數為偶函數。）

性質2：函數證明：在函數（a?b對稱。2a?bc，）對稱。22y?f(x)滿足f(a?x)?f(b?x)?c時，函數y?f(x)的圖象關于點（y?f(x)上任取一點(x1,y1)，則y1?f(x1)，點(x1,y1)關于點

a?bc，）的對稱點（a?b?x1，c－y1），當x?a?b?x1時，22f(a?b?x1)?c?f[b?(b?x1)]?c?f(x1)?c?y1 即點（a?b?x1，c－y1）在函數y?f(x)的圖象上。

由于點(x1,y1)為函數函數y?f(x)圖象上的任意一點可知

a?bc，）對稱。（注：當a=b=c=0時，函數為奇函數。）22b?a性質3：函數y?f(a?x)的圖象與y?f(b?x)的圖象關于直線x?對稱。

2y?f(x)的圖象關于點（證明：在函數y1）。y?f(a?x)上任取一點(x1,y1)，則y1?f(a?x1)，點(x1,y1)關于直線x?b?a對稱點（b?a?x1，2f[b?(b?a?x1)]?f[b?b?a?x1]?f(a?x1)?y1 故點（b?a?x1，y1）在函數y?f(b?x)上。由于

函數的對稱性和周期性

株洲家教：*** 由點(x1,y1)是函數因此y?f(a?x)圖象上任一點

y?f(a?x)與y?f(b?x)關于直線x?b?a對稱。

2三、周期性

1、一般地，對于函數么函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(x?T)?f(x)，那f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期。說明：周期函數定義域必是無界的。

推廣：若f(x?a)?f(x?b)，則f(x)是周期函數，b?a是它的一個周期

?0,k?Z)也是周期，所有周期中最小的正數叫最小正周期。一般所說的周期是指函數的最小2.若T是周期，則kT(k正周期。

說明：周期函數并非都有最小正周期。如常函數

3、對于非零常數證明：

f(x)?C；

A，若函數y?f(x)滿足f(x?A)??f(x)，則函數y?f(x)必有一個周期為2A。

f(x?2A)?f[x?(x?A)]??f(x?A)??[?f(x)]?f(x)∴函數y?f(x)的一個周期為2A。

14、對于非零常數A，函數y?f(x)滿足f(x?A)?，則函數y?f(x)的一個周期為2A。

f(x)證明：f(x?2A)?f(x?A?A)?1?f(x)。

f(x?A)1，則函數y?f(x)的一個周期為2A。f(x)

5、對于非零常數A，函數y?f(x)滿足f(x?A)??證明：f(x?2A)?f(x?A?A)??A，函數y?f(x)滿足

6、對于非零常數

1?f(x)。

f(x?A)A1?f(x)A1?f(x)f(x?)?或f(x?)?21?f(x)21?f(x)則函數

y?f(x)的一個周期為2A。

證明：先看第一個關系式

3A)3AAf(x?2A)?f(x? ?)?3A221?f(x?)2A1?1?f(x?A)1?f(x?A?)1?f(x?A)2????f(x?A)A1?f(x?A)1?f(x?A?)1?21?f(x?A)f(x?2A)??f(x?A)f(x?A)?f(x)?f(x)?f(x?2A)

1?f(x?第二個式子與第一的證明方法相同

f(x)的定義域為N，且對任意正整數x

都有f(x)?f(x?a)?f(x?a)(a?0)則函數的一個周期為6a 證明：f(x)?f(x?a)?f(x?a)

（1）

f(x?a)?f(x)?f(x?2a)

（2）兩式相加得：f(x?a)??f(x?2a)

f(x)??f(x?3a)?f(x?6a)

四、對稱性和周期性之間的聯系

7、已知函數性質1：函數y?f(x)滿足f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)(a?b)，求證：函數y?f(x)是周期函數。

函數的對稱性和周期性

株洲家教：***

f(a?x)?f(a?x)得f(x)?f(2a?x)

f(b?x)?f(b?x)得f(x)?f(2b?x)∴f(2a?x)?f(2b?x)∴f(x)?f(2b?2a?x)

∴函數y?f(x)是周期函數，且2b?2a是一個周期。

性質2：函數y?f(x)滿足f(a?x)?f(a?x)?c和f(b?x)?f(b?x)?c(a?b)時，函數y?f(x)是周期函證明：∵數。（函數y?f(x)圖象有兩個對稱中心（a，cc）、（b，）時，函數y?f(x)是周期函數，且對稱中心距離的兩倍，22是函數的一個周期）

證明：由f(a?x)?f(a?x)?c?f(x)?f(2a?x)?c)?f(b?x)??cf(x)?f(2b?x)? c

f(b?x

得f(2a?x)?f(2b?x)

得f(x)?f(2b?2a?x)

∴函數y?f(x)是以2b?2a為周期的函數。性質3：函數y?f(x)有一個對稱中心（a，c）和一個對稱軸x?b（a≠b）時，該函數也是周期函數，且一個周期是4(b?a)。

f(a?x)?f(a?x)?2c?f(x)?f(2a?x)?2c

f(b?x)?f(b?x)?f(x)?f(2b?x)

f(4(b?a)?x)?f(2b?(4a?2b?x))

f(4a?2b?x)?f(2a?(2b?2a?x))?2c?f(2b?2a?x)

?2c?f(2b?(2a?x))?2c?f(2a?x)

?2c?(2c?f(x))?2c?2c?f(x)?f(x)

推論：若定義在R上的函數f(x)的圖象關于直線x?a和點(b,0)(a?b)對稱，則f(x)是周期函數，4(b?a)是證明：它的一個周期

證明：由已知f(x)?f(2a?x),f(x)??f(2b?x).?f(x)?f(2a?x)??f[2b?(2a?x)]??f[2(b?a)?x] ??f[2a?2(b?a)?x]??f[2(2a?b)?x]?f[2b?2(2a?b)?x]?f[4(b?a)?x],周期為4(b?a).舉例:y?sinx等.性質4：若函數f(x)對定義域內的任意x滿足：f(x?a)?f(x?a),則2a為函數f(x)的周期。（若f(x)滿足f(x?a)?f(x?a)則f(x)的圖象以x?a為圖象的對稱軸，應注意二者的區別)證明：?f(x?a)?f(x?a)?f(x)?f(x?2a)

性質5：已知函數y?f?x?對任意實數x,都有f?a?x??f?x??b，則y?f?x?是以

2a為周期的函數 證明：f(a?x)?b?f(x)

f(x?2a)?f((x?a)?a)?b?f(x?a)?b?(b?f(x))?f(x)

五、典型例題

例1（2005·福建理）f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數，且f(2)?0，則方程f(x)?0在區間（0，6）內解的個數的最小值是（）A．2

B．3 解：

C．4

D．5)f(x)是R上的奇函數，則f(0?)0，由f(x?3?f(2)?0?f(?1)?0?f(1)?0

∴f(4)?0 ∴x=1，2，3，4，5時，f(x)?0

這是答案中的五個解。

?但是

f(?1?5)?f(f(x得)f(3)?0，f(2)?0?f(5)?0

1?5?3)?f(1 ?)?f?(1 5)f(1?5)?0 又

f(?1?5?知?5)?f(1?5?3?)f(? 4而

0?f(1知 x?1.5,x?4.5,f(x)?0也成立，可知：在（0，6）內的解的個數的最小值為7。例3 已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x?2)??f(x)，則f(6)的值為（）(A)－1

(B)0

(C)

(D)2

函數的對稱性和周期性

株洲家教：*** 解：因為所以所以f(x)是定義在R上的奇函數

f(0)?0，又f(x?4)??f(x?2)?f(x)，故函數，f(x)的周期為4 f(6)?f(2)??f(0)?0，選B

f(x)滿足f(x?2)??f(x),且x?(0,1)時,f(x)?2x,則f(log118)的值為。

2例4．已知奇函數解：?f(x?2)??f(x)?f?x???f(x?2)?f(x?4)

89f(log118)?f(?log218)?f(4?log218)?f(log2)?f(?log2)

9829log299??f(log2)??28??

88例5 已知f(x)是以2為周期的偶函數，且當x?(0,1)時，f(x)?x?1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

解法1：

從解析式入手，由奇偶性結合周期性，將要求區間上問題轉化為已知解析式的區間上

∵x?(1,2), 則?x?(?2,?1)

∴2?x?(0,1), ∵ T?2，是偶函數

∴ f(x)?f(?x)?f(2?x)?2?x?1?3?x

x?(1,2)

解法2：

f(x)?f(x?2)

如圖：x?(0,1), f(x)?x?1.∵是偶函數 ∴x?(?1,0)時f(x)?f(?x)??x?1

又周期為2，x?(1,2)時x?2?(?1,0)∴f(x)?f(x?2)??(x?2)?1?3?x

例6 f(x)的定義域是R，且f(x?2)[1?f(x)]?1?f(x),若f(0)?2008（從圖象入手也可解決，且較直觀）求 f(2008)的值。

f(x?4)?1?1f(x?2)?1f(x?4)?1?1???f(x?8)解：f(x)?f(x?2)?1f(x?4)?1?1f(x?4)f(x?4)?1周期為8，?f(2008)?f(0)?2008

1例7 函數f?x?對于任意實數x滿足條件f?x?2??，若f?1???5,則f?f?5???

f?x?_______________。解：由f?x?2??1f?x?得

f?x?4??1?f(x)f?x?2?，所以

f(5)?f(1)??5，則

11??

f(?1?2)5例8 若函數f(x)在R上是奇函數，且在??1，0?上是增函數，且f(x?2)??f(x).①求f(x)的周期；

②證明f(x)的圖象關于點(2k,0)中心對稱;關于直線x?2k?1軸對稱,(k?Z);③討論f(x)在(1,2)上的單調性； f?f?5???f(?5)?f(?1)?

解: ①由已知f(x)??f(x?2)?f(x?2?2)?f(x?4)，故周期T?4.②設P(x,y)是圖象上任意一點,則y?f(x),且P關于點(2k,0)對稱的點為P1(4k?x,?y).P關于直線x?2k?1對稱的點為P2(4k?2?x,y)

函數的對稱性和周期性

株洲家教：***

f(4k?x)?f(?x)??f(x)??y,∴點P1在圖象上,圖象關于點(2k,0)對稱.又f(x)是奇函數,f(x?2)??f(x)?f(?x)∴f(4k?2?x)?f(2?x)?f(x)?y

x?2k?1對稱.∴點P2在圖象上,圖象關于直線∵x1?x2?2，則?2??x2??x1??1，0?2?x2?2?x1?1

∵f(x)在(?1,0)上遞增, ∴f(2?x1)?f(2?x2)……(*)又f(x?2)??f(x)?f(?x)

∴f(2?x1)?f(x1),f(2?x2)?f(x2).所以：f(x2)?f(x1)，f(x)在(1,2)上是減函數.例9 已知函數y?f(x)是定義在R上的周期函數，周期T?5，函數y?f(x)(?1?x?1)是奇函數.又知y?f(x)在[0,1]上是一次函數，在[1,4]上是二次函數，且在x?2時函數取得最小值?5.（1）證明：f(1)?f(4)?0；

（2）求y?f(x),x?[1,4]的解析式；（3）求y?f(x)在[4,9]上的解析式.解：∵f(x)是以5為周期的周期函數，且在[?1,1]上是奇函數，∴f(1)??f(?1)??f(5?1)??f(4)，∴f(1)?f(4)?0.2②當x?[1,4]時，由題意可設f(x)?a(x?2)?5(a?0)，22由f(1)?f(4)?0得a(1?2)?5?a(4?2)?5?0，∴a?2，f(x)?2(x?2)2?5(1?x?4).③∵y?f(x)(?1?x?1)是奇函數，∴f(0)?0，又知y?f(x)在[0,1]上是一次函數，∴可設f(x)?kx(0?x?1)∴③設1?f(1)?2(1?2)2?5??3，∴k??3，∴當0?x?1時，f(x)??3x，從而?1?x?0時，f(x)??f(?x)??3x，故?1?x?1時，f(x)??3x.∴當4?x?6時，有?1?x?5?1，∴f(x)?f(x?5)??3(x?5)??3x?15.當6?x?9時，1?x?5?4，22∴f(x)?f(x?5)?2[(x?5)?2]?5?2(x?7)?5

??3x?15,4?x?6∴f(x)??.2?2(x?7)?5,6?x?9而

第四篇：高考數學函數的周期性

函數的周期性與對稱性、函數的圖象變換、函數應用問題

一.教學內容：

函數的周期性與對稱性、函數的圖象變換、函數應用問題

二.教學要求：

1.理解周期函數的定義，會求簡單周期函數的周期。

2.理解函數圖象關于點對稱或關于直線對稱的定義，會解決一些較簡單的對稱問題。

3.熟悉常見的抽象函數及其性質。

4.會識圖，即通過給定的函數圖象分析函數的有關性質（如：范圍，對稱性，周期性，有界性等）。

5.掌握圖象變換的基本方法，會進行較基本的圖象變換。

6.熟悉解應用問題的步驟，能建立較簡單的數學模型。

三.知識串講：

1.周期函數：

對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得對定義域內的任意一個x，總有f(x+T)=f(x)成立，則稱f(x)是周期函數。T叫做這個函數的一個周期，其中最小正數T叫做最小正周期。

（定義的實質，是存在一個常數T，（T≠0），使f(x+T)=f(x)恒成立，即自變量每增加一個T后，函數值就會重復出現一次）

關于函數的周期性，有如下結論：

（1）若T為函數f(x)的一個周期，則kT(k?Z且k?0)也是f(x)的周期，即

f(x?kT)?f(x)。

（2）若f(x)是一個以T為周期的函數，則f(ax?b)(a?0)是一個以T為周a期的函數。

證明：（證明的方向f[a(x?T)?b]?f(ax?b)）a

T)?b]?f[(ax?b)?T]a

由T是f(x)的周期設u?ax?bf(u?T)f(u)?f(ax?b)

T?是函數f(ax?b)的周期a

f[a(x?

如：y?sinx的周期為T?2?，則y?sin(?x??)(??0)的周期為2??

（3）若f(x)滿足f(x?a)?f(x?b)恒成立，a,b為常數且a?b，則T?a?b

是f(x)的一個周期。

這是因為f(x?a?b)?f[(x?b)?a]?f[(x?b)?b]?f(x)

?T?a?b

（4）若f(x)滿足f(x?a)??f(x?b)，則f(x)以T?2(a?b)為一個周期。

證明：f[x?2(a?b)]?f[(x?2b?a)?a]

??f[(x?2b?a)?b]??f[(x?b)?a]

??[?f(x?b?b)]?f(x)

?T?2(a?b)

推論：f(x?a)??f(x)

則f(x)以T?2a為一個周期

（只要令上式中的b=0即可）

2.對稱問題：

（1）若函數f(x)滿足f(a?x)?f(b?x)恒成立，（a,b為常數）則f(x)的圖a?b對稱。2

a?x?b?xa?b這是因為：?，又f(a?x)?f(b?x)，即函數圖象上縱坐2

2象關于直線x?標相等的兩個點（a?x，f(a?x)），（b?x，f(b?x)）連線的中點都在直線x?a?ba?b上，所以f(x)的圖象關于直線x?對稱。22 y P P’ 0 a-x b+x x a?b 2

x?a對稱

當a?b時，即f(a?x)?f(a?x)，則f(x)圖象關于直線

若f(2a?x)?f(x)，則f(x)圖象關于直線x?a對稱

（2）若函數f(x)滿足f(a?x)??f(a?x)恒成立，則f(x)的圖象關于點（a,0）對稱。

y a-x 0（a,0）x

3.函數圖象變換：

（1）平移變換：

右平移a（a>0）f（x－a）圖象 f（x）圖象 左平移a（a>0）f（x＋a）圖象 上平移b（fx）＋b圖象 f（x）圖象 下平移b（fx）－b圖象

（2）對稱變換：

?f(?x)圖象關于y軸對稱???f(x)圖象關于x軸對稱?f(x)圖象與??f(?x)圖象關于原點對稱?f(2a?x)圖象關于x?a對稱??1??f(x)圖象關于y?x對稱

（3）伸縮變換：設A?0，??0

橫坐標縮短(??1)f(x)圖象???????????????f(?x)圖象1或伸長(0???1)到原來的倍?

縱坐標伸長(A?1)f(x)圖象???????????????Af(x)圖象或縮短（0?A?1）到原來的A倍

（4）翻折變換：

將x軸下方部分f(x)圖象??????????|f(x)|圖象作關于x軸對稱

保留圖象的x?0部分，去掉f(x)圖象???????????????f(|x|)圖象x?0部分，再作關于y軸對稱

4.函數的應用問題：

解答數學應用問題的關鍵有兩點：一是認真讀題，縝密審題，明確問題的實際背景，然后進行概括，歸納為相應的數學問題；二是合理選取參變數，設定變元后，尋找等量（或不等量）關系，建立相應的數學模型，求解數學模型，使問題獲解。即

讀題建模求解反饋???（數學語言）（數學計算）（檢驗作答）

（文字語言）

【典型例題】

2（1）函數f(x)?x?bx?c對任意實數x，均有f(1?x)?f(1?x)，比較

例1.f(0)，f(1)，f(3)的大小；

2（2）若函數y?f(x)的圖象關于x?1對稱，且x?1時f(x)?x?1，則當x?

1時，求f(x)的表達式。

解：（1）由f(1?x)?f(1?x)，可知函數f(x)的圖象關于x?1對稱，又函數圖

象是開口向上的拋物線，所以f(3)?f(0)?f(1)。

（2）當x?1時，有2?x?1

所以f(2?x)?(2?x)?1?x?4x?5 22

又由于y?f(x)圖象關于x?1對稱

?f(2?x)?f(x)

所以當x?1時，f(x)?x?4x?5

注：（2）題也可以根據圖象的對稱性，確定頂點坐標，直接寫出解析式。

例2.偶函數f(x)的定義域為R，若f(x?1)?f(x?1)對任意實數都成立，又當0

2?x?1時，f(x)?2x?1。

（1）求證f(x)是周期函數，并確定周期。

（2）求當1?x?2時，求f(x)的解析式。

解：（1）令t?x?1，則x?1?t?2

由x?R時f(x?1)?f(x?1)恒成立

得t?R時f(t)?f(t?2)恒成立

因此f(x)是周期函數，且2k(k?Z且k?0)為其周期

（2）任取1?x?2

則?1?x?2?0x0??x?2?1

?0?x?1時，f(x)?2?1

?x?2?f(?x?2)?2?1

又f(x)的周期為2，且為偶函數

?f(?x?2)?f(?x)?f(x)

?x?2?1?x?2時，f(x)?2?1

點評：本題的解抓住兩個關鍵條件，一個是f(x)為偶函數，另一個是f(x)為周期函數。一般求f(x)在哪個區間上的解析式，就令x屬于該區間，再通過平移（周期性），對稱（奇偶性）變換到已知區間內，進而代入，求出解析式，再利用周期性，奇偶性化簡為f(x)。

例3.已知函數y=f(x)的圖象關于直線x=a，x=b（a≠b）都對稱，且定義域為實數集R，證明y=f(x)是周期函數，且T=2(b—a)為一個周期。

證明：由題意有f(a?x)?f(a?x)x-2 x-1 0 1 2 x-x+2 f(b?x)?f(b?x)

則f[x?2(b?a)]?f[(x?b?2a)?b]?f[b?(x?b?2a)]?f[?x?2a]?f[(?x?a)?a]

?f[a?(?x?a)]?f(x)

?f(x)為周期函數，且T?2(b?a)為一個周期

點評：（1）若題目中沒有指出T=2(b—a)是f(x)的一個周期，可以作草圖分析，猜測出T是該函數周期，再去證明。如圖。

y 0 x a b b?a 2

（2）由本題可知f(x)，x∈R，若f(x)的圖象有兩條對稱軸，則f(x)為周期函數，周期為兩條對稱軸距離的2倍。

思考：若f(x)是偶函數且有一條對稱軸x=a，那么f(x)是周期函數嗎？若是，周期為何？

例4.（1）定義在R上的函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，則f(x)是________（奇、偶）函數；f(0)=____________。

（2）定義在R上的函數f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y)，則f(x)是___________（奇、偶）函數；f(1)=__________。

解析：（1）令x?y?0

?f(0?0)?f(0)?f(0)

令y??x

?f(?x)??f(x)

（2）令x?y??f(1?1)?f(1)?f(1)?f(0)?0

?f(0)?f(x)?f(?x)?0

?f(x)為奇函數

?f(1)?0

f(x?x)?f[(?x)(?x)]?f(?x)?f(?x)?2f(?x)

又f(x?x)?f(x)?f(x)?2f(x)

?f(?x)?f(x)?f(x)為偶函數

2x?1的圖象，并根據圖象回答函數的單調區間，值域。x?1

例5.作出函數y?

解：?x??1

?函數定義域為(??，?1)?(?1，??)

由y?2x?12(x?1)?11??2?x?1x?1x?1

?圖象為中心O'(?1，2)的雙曲線

直線x??1，y?2是雙曲線的兩條漸近線

區間(??，?1)，(?1，??)分別為函數的增區間；值域為{y|y?R，且y?2} y O’ 2-1 0 x

例6.（1）函數y?log4(1?2x?x)的圖象經過怎樣的變換可得到y?log2|x|的

2圖象？

（2）將函數y?log1x的圖象沿x軸向右平移1個單位，得圖象C。圖象C'與2C關于原點對稱，圖象C''與C'關于直線y?x對稱，求C''對應的解析式。

左平移1個單位22（1）?y?log(1?2x?x)?log(x?1)?log|x?1|????????? 4

42解：|?log|2x?1)?12x|

y?log|(2?將函數y?log(1?2x?x)的圖象向左平移1個單位，得到函數y?log2|x| 4的圖象

沿x軸向右平移1個單位（2）y?log1x圖象????????????

關于原點對稱C：y?log1(x?1)圖象????????

關于直線y?x對稱C'：y??log(?x?1)圖象??????????1

1?xxC''：x??log(?y?1)，即y??()?1??2?1122

32設f(x)?ax?bx?cx?d的圖象如圖，則b屬于（例7.）

A.(??，0)B.(0，1)C.(1，2)D.[2，??)

y 0 1 2 x

?f(0)?0?d?0??由圖象得?f(1)?0??a?b?c?0?f(2)?0?8a?4b?2c?0??

解析一：

b2解得a??，c??b，d?03b2b?f(x)??x3?bx2?bx??x(x?1)(x?2)333

圖象可知x?0時，f(x)?0

又x?1?0，x?2?0

故選A

解析二：由圖象知x=0，1，2是方程f(x)=0的三個實根，設f(x)=ax(x—1)(x—2)

當x?2時，f(x)?0

?a?0??b?03?b?0?f(x)?ax3?3ax2?2ax

32又?f(x)?ax?bx?cx?d

?b??3a?0 ?選A

21關于函數f(x)?sin2x?()|x|?，有下面四個結論：32

例8.（1）f(x)是奇函數；

（2）當x>2003時，f(x)>1/2恒成立；

（3）f(x)的最大值是3/2；

（4）f(x)的最小值是－1/2。

其中正確結論的是___________。

212（1）?f(x)?sinx?()|x|?32

解析：

顯然f(?x)??f(x)?（1）錯（是偶函數）

2（2）當x?2003時，?()|x|?0?3

而sinx?[?1，1]

2當sin2x?0時，f(x)?（3）如果f(x)?12?（2）錯

32，則sin2x?()|x|?123

22?sinx?1?()|x|，顯然“?”不成立3

?（3）錯

2（4）當x?0時，sin2x?0最小，且?()|x|??13

11?f(x)?0?1???22

1?最小值為??（4）對2

綜上，只有（4）正確

例9.某工廠有一段舊墻長14m，現利用這段舊墻為一面建造平面圖形為矩形，面積為126m2

a的廠房，工程條件是（1）建1m新墻的費用為a元；（2）修1m舊墻費用是4元；（3）拆去1ma舊墻，用所得的材料建1m新墻的費用為2元。經討論有兩種方案：（1）利用舊墻的一段xm（x<14）為矩形廠房一面的邊長；（2）矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14，問如何利用舊墻，即x為多少米時，建墻費用最省？（1）（2）兩種方案哪個更好？

分析：利用舊墻為一面矩形邊長為xm，則矩形的另一面邊長為126m。x

解：（1）利用舊墻的一段xm（x?14）為矩形一面邊長，則修舊墻的費用為 aa元，將剩余的舊墻拆得的材料建新墻的費用為(14?x)?元，其余新墻的費用422?126為(2x??14)?a元，故總費用為x x14?x2?126x36y??a??a?(2x??14)a?7a(??1)（0?x?14）42x4x

x?

?y?7a[2當且僅當x36??1]?35a4x

x36?，即x?12m時，ymin?35a4x

x 126126 xx

a7（2）若利用舊墻的一面矩形邊長x?14，則修舊墻的費用為?14?a元，42

2?126建新墻的費用為(2x??14)a元，故總費用為x

72?1267126y?a?(2x??14)a?a?2a(x??7)（x?14）2x2x

x 14

設14?x1?x2，則(x1?xx?126126126)?(x2?)?(x1?x2)12x1x2x1x2

?14?x1?x2

?x1?x2?0，x1x2?126

126在[14，??)上為增函數x

7126?x?14時，ymin?a?2a(14??7)?355.a214

?y?x?

綜上，采用方案（1）利用12m舊墻為矩形的一面邊長時，建墻總費用最省，為35a元。

【模擬試題】

一.選擇題：

1.二次函數f(x)滿足f(2?x)?f(2?x)，又f(x)在[0，2]上是增函數，且f(a)?f(0)，則實數a的取值范圍是（）

A.a?0

B.a?0 D.a?0或a?4

C.0?a?4

2.設f(x)是R上的奇函數，當x?(0，??)時為增函數，且f(1)=0，則不等式f(x?1)?0的解集為（）

A.(??，?1)?(1，??)

C.(??，?1)?（0，1）

B.(??，0)?(1，2)

D.(?1，0)?(0，1)

x

3.將函數y=f(x)的圖象向左、向下分別平移2個單位，得到y=2的圖象，則（）

A.f(x)?2x?2?2

xB.f(x)?2x?2?2

x?2f(x)?2?

2C.x?2f(x)?2?2 D.4.已知函數f(x)的圖象與g(x)?2?1的圖象關于點（0，1）對稱，則f(x)=（）

A.?2?3 x

1?()x?32B.1()x?1D.2

C.2?1 x

?1x?()（x?0）f(x)??2??x2（x?0）?

5.已知函數，給出代號為a,b,c的三個圖象，再給出序號為1，2，3的三個函數，那么圖象與函數能建立對應關系的是（用序號和代數表示）（）y y y 1 1 1 0 x 0 x-1 0 x a b c 1.y=f(|x|)2.y=|f(x)| 3.y=f(x+1)

A.a?2

B.a?

1C.a?2

D.a?3

b?1b?2c?3 c?3

b?3b?2c?1 c?1

6.已知某林場森林積蓄量每年平均比上一年增長10.4%，經過x年可增長到原來的y倍，則函數y?f(x)圖象大致為（）

y y y y 1 1 0 x 0 1 x 0 1 x 0 x A B C D

二.填空題：

7.設f(x)是定義在R上的奇函數，且滿足f(x?3)?f(x?3)，則f(3)?f(6)=____。

8.設定義在R上的函數y=f(x)，在（0，2）上是減函數，且y?f(x?2)為偶函數，則51f(3)，f()，f()22的大小順序為____________。

9.函數y?f(|x?3|)的圖象關于_____________對稱。

10.建一個容積為8000m，深6m的長方體蓄水池（無蓋），池壁造價為a元/m2，池底造價為2a元/m2，把總造價y元表示為底的一邊長xm的函數，其解析式為___________，定義域為3___________，底邊長為________m時，總造價最低是___________元。

三.解答題：

11.如圖，A、B、C、D為四個村莊，恰好座落在邊長為2km的正方形頂點上，現修公路網，它由一條中心路和4條支路組成，要求四條支路長度相等。

（1）若道路網的總長不超過5.5km，試求中心路長的取值范圍；

（2）問中心路長為何值時，道路網的總長度最短。

A B 中 心 路 C D

【試題答案】

1.C 2.B 3.C

4.A

5.A

6.D

7.0（?f(x)是R上的奇函數

令x?3

令x?0

?f(3)?0）

?f(0)?0

?f(6)?f(0)?0 f(3)?f(?3)??f(3)

15f()?f(3)?f()22

8.9.x?3

10.y?12a(x?80008000208000)?a，x?(0，??)，x?3，16030a?a6x333

11.設中心路長為2x km

22（1）則2x?41?(1?x)?55.?48x?40x?7?0

?17?x?412

222

（2）y?2x?41?(1?x)?(平方)12x?(4y?32)x?32?y?0

?x?(0，??)又y?0

???0?y?3?23317?[，]??3412 ymin?3?23，此時x?1?

第五篇：高中數學函數對稱性和周期性小結

高中數學函數對稱性和周期性小結

一、函數對稱性：

1.2.3.4.5.6.7.8.f(a+x)= f(a-x)==> f(x)關于x=a對稱

f(a+x)= f(b-x)==> f(x)關于 x=(a+b)/2 對稱 f(a+x)=-f(a-x)==> f(x)關于點（a，0）對稱 f(a+x)=-f(a-x)+ 2b ==> f(x)關于點（a，b）對稱

f(a+x)=-f(b-x)+ c ==> f(x)關于點 [（a+b）/2，c/2] 對稱 y = f(x)與 y = f(-x)關于 x=0 對稱 y = f(x)與 y =-f(x)關于 y=0 對稱 y =f(x)與 y=-f(-x)關于點(0,0)對稱

例1：證明函數 y = f(a+x)與 y = f(b-x)關于 x=(b-a)/2 對稱。

【解析】求兩個不同函數的對稱軸，用設點和對稱原理作解。

證明：假設任意一點P（m，n）在函數y = f(a+x)上，令關于 x=t 的對稱點Q（2t – m，n），那么n =f(a+m)= f[ b –(2t – m)] ∴ b – 2t =a，==> t =(b-a)/2，即證得對稱軸為 x=(b-a)/2.例2：證明函數 y = f(ax)上，令關于 x=t 的對稱點Q（2t – m，n），那么n =f(a-m)= f[(2t – m)– b] ∴ 2ta)= 1 – 2/[f(x)+1]，等式右邊通分得f(xa)= [1 + f(x)]/[f(x)– 1]，即

/[f(xf(x)] ∴

/[f(x1/f(x)= f(x2a)==> f(x)= f(x + 4a)∴

函數最小正周期 T=|4a|