第一篇：高中數學函數知識點總結

高中數學函數知識點總結

（1）高中函數公式的變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關系時，通常用水平方向的數軸上的點自變量，用豎直方向的數軸上的點表示因變量。

（2）一次函數：①若兩個變量,間的關系式可以表示成（為常數，不等于0）的形式，則稱 是的一次函數。②當=0時，稱是的正比例函數。

（3）高中函數的一次函數的圖象及性質

①把一個函數的自變量與對應的因變量的值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在直角坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象。

②正比例函數=的圖象是經過原點的一條直線。

③在一次函數中，當0，O，則經2、3、4象限；當0，0時，則經1、2、4象限；當0，0時，則經1、3、4象限；當0，0時，則經1、2、3象限。

④當0時，的值隨值的增大而增大，當0時，的值隨值的增大而減少。

（4）高中函數的二次函數：

①一般式：()，對稱軸是

頂點是；

②頂點式：()，對稱軸是頂點是；

③交點式：()，其中（），（）是拋物線與x軸的交點

（5）高中函數的二次函數的性質

①函數的圖象關于直線對稱。

②

隨

③

隨時，在對稱軸（）左側，值隨值的增大而減少；在對稱軸（）右側；的值值的增大而增大。當時，取得最小值時，在對稱軸（）左側，值隨值的增大而增大；在對稱軸（）右側；的值值的增大而減少。當時，取得最大值高中函數的圖形的對稱

（1）軸對稱圖形：①如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。②軸對稱圖形上關于對稱軸對稱的兩點確定的線段被對稱軸垂直平分。

（2）中心對稱圖形：①在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180度，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分。

2012高中數學知識點總結：函數公式大全

9高中函數的圖形的對稱

（1）軸對稱圖形：①如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。②軸對稱圖形上關于對稱軸對稱的兩點確定的線段被對稱軸垂直平分。

（2）中心對稱圖形：①在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180度，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分

第二篇：高中數學函數知識點

一般的，在一個變化過程中，假設有兩個變量x、y，如果對于任意一個x都有唯一確定的一個y和它對應，那么就稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量，x的取值范圍叫做這個函數的定義域，相應y的取值范圍叫做函數的值域。下面小編給大家分享一些高中數學函數知識點，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!

高中數學函數知識一、一次函數定義與定義式：

自變量x和因變量y有如下關系：

y=kx+b

則此時稱y是x的一次函數。

特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。

即：y=kx(k為常數，k≠0)

二、一次函數的性質：

1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b(k為任意不為零的實數b取任何實數)

2.當x=0時，b為函數在y軸上的截距。

三、一次函數的圖像及性質：

1.作法與圖形：通過如下3個步驟

(1)列表;

(2)描點;

(3)連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道2點，并連成直線即可。(通常找函數圖像與x軸和y軸的交點)

2.性質：(1)在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b。(2)一次函數與y軸交點的坐標總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數的圖像總是過原點。

3.k，b與函數圖像所在象限：

當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;

當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

當b>0時，直線必通過一、二象限;

當b=0時，直線通過原點

當b<0時，直線必通過三、四象限。

特別地，當b=O時，直線通過原點O(0，0)表示的是正比例函數的圖像。

這時，當k>0時，直線只通過一、三象限;當k<0時，直線只通過二、四象限。

四、確定一次函數的表達式：

已知點A(x1，y1);B(x2，y2)，請確定過點A、B的一次函數的表達式。

(1)設一次函數的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。

(2)因為在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

(3)解這個二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最后得到一次函數的表達式。

五、一次函數在生活中的應用：

1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。

2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式：

1.求函數圖像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)

2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2

3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2

4.求任意線段的長：√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注：根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)

高中數學函數知識2

二次函數

I.定義與定義表達式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

y=ax’2+bx+c

(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)

則稱y為x的二次函數。

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

II.二次函數的三種表達式

一般式：y=ax’2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)

頂點式：y=a(x-h)’2+k[拋物線的頂點P(h，k)]

交點式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線]

注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:

h=-b/2ak=(4ac-b’2)/4ax?,x?=(-b±√b’2-4ac)/2a

III.二次函數的圖像

在平面直角坐標系中作出二次函數y=x’2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

IV.拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

x=-b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個頂點P，坐標為

P(-b/2a，(4ac-b’2)/4a)

當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b’2-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;

當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于(0，c)

6.拋物線與x軸交點個數

Δ=b’2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ=b’2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

Δ=b’2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x=-b±√b’2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)

V.二次函數與一元二次方程

特別地，二次函數(以下稱函數)y=ax’2+bx+c，當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程(以下稱方程)，即ax’2+bx+c=0

此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。

函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

高中數學函數知識3

反比例函數

形如y=k/x(k為常數且k≠0)的函數，叫做反比例函數。

自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數。

反比例函數圖像性質：

反比例函數的圖像為雙曲線。

由于反比例函數屬于奇函數，有f(-x)=-f(x),圖像關于原點對稱。

另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點，向兩個坐標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

如圖，上面給出了k分別為正和負(2和-2)時的函數圖像。

當K>0時，反比例函數圖像經過一，三象限，是減函數

當K<0時，反比例函數圖像經過二，四象限，是增函數

反比例函數圖像只能無限趨向于坐標軸，無法和坐標軸相交。

知識點：

1.過反比例函數圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為|k|。

2.對于雙曲線y=k/x，若在分母上加減任意一個實數(即y=k/(x±m)m為常數)，就相當于將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。(加一個數時向左平移，減一個數時向右平移)

對數函數

對數函數的一般形式為，它實際上就是指數函數的反函數。因此指數函數里對于a的規定，同樣適用于對數函數。

右圖給出對于不同大小a所表示的函數圖形：

可以看到對數函數的圖形只不過的指數函數的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數。

(1)對數函數的定義域為大于0的實數集合。

(2)對數函數的值域為全部實數集合。

(3)函數總是通過(1，0)這點。

(4)a大于1時，為單調遞增函數，并且上凸;a小于1大于0時，函數為單調遞減函數，并且下凹。

(5)顯然對數函數無界。

高中數學函數知識點

第三篇：高中數學知識點總結

高中數學難度更大，難度在于它的深度和廣度，但如果能理清思路，抓住重點，多實踐，變渣滓為暴君并非不可能。高中數學知識點總結有哪些你知道嗎?一起來看看高中數學知識點總結，歡迎查閱!

高中數學知識點匯總

1.必修課程由5個模塊組成：

必修1：集合，函數概念與基本初等函數(指數函數，冪函數，對數函數)

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。

必修3：算法初步、統計、概率。

必修4：基本初等函數(三角函數)、平面向量、三角恒等變換。

必修5：解三角形、數列、不等式。

以上所有的知識點是所有高中生必須掌握的，而且要懂得運用。

選修課程分為4個系列：

系列1：2個模塊

選修1-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何。

選修1-2：統計案例、推理與證明、數系的擴充與復數、框圖

系列2:3個模塊

選修2-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何

選修2-2：導數及其應用、推理與證明、數系的擴充與復數

選修2-3：計數原理、隨機變量及其分布列、統計案例

選修4-1：幾何證明選講

選修4-4：坐標系與參數方程

選修4-5：不等式選講

2.重難點及其考點：

重點：函數，數列，三角函數，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導數

難點：函數，圓錐曲線

高考相關考點：

1.集合與邏輯：集合的邏輯與運算(一般出現在高考卷的第一道選擇題)、簡易邏輯、充要條件

2.函數：映射與函數、函數解析式與定義域、值域與最值、反函數、三大性質、函數圖象、指數函數、對數函數、函數的應用

3.數列：數列的有關概念、等差數列、等比數列、數列求通項、求和

4.三角函數：有關概念、同角關系與誘導公式、和差倍半公式、求值、化簡、證明、三角函數的圖像及其性質、應用

5.平面向量:初等運算、坐標運算、數量積及其應用

6.不等式：概念與性質、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式(經常出現在大題的選做題里)、不等式的應用

7.直線與圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關系、線性規劃、圓、直線與圓的位置關系

8.圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、圓錐曲線的應用

9.直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量

10.排列、組合和概率：排列、組合應用題、二項式定理及其應用

11.概率與統計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態分布

12.導數：導數的概念、求導、導數的應用

13.復數：復數的概念與運算

高中數學學習要注意的方法

1.用心感受數學，欣賞數學，掌握數學思想。有位數學家曾說過：數學是用最小的空間集中了的理想。

2.要重視數學概念的理解。高一數學與初中數學的區別是概念多并且較抽象，學起來“味道”同以往很不一樣，解題方法通常就來自概念本身。學習概念時，僅僅知道概念在字面上的含義是不夠的，還須理解其隱含著的深層次的含義并掌握各種等價的表達方式。例如，為什么函數y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱，而y=f(x)與x=f-1(y)卻有相同的圖象;又如，為什么當f(x-1)=f(1-x)時，函數y=f(x)的圖象關于y軸對稱，而y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖象卻關于直線x=1對稱，不透徹理解一個圖象的對稱性與兩個圖象的對稱關系的區別，兩者很容易混淆。

3.對數學學習應抱著二個詞――“嚴謹，創新”，所謂嚴謹，就是在平時訓練的時候，不能一絲馬虎，是對就是對，錯了就一定要承認，要找原因，要改正，萬不可以抱著“好像是對的”的心態，蒙混過關。至于創新呢，要求就高一點了，要求在你會解決此問題的情況下，你還會不會用另一種更簡單，更有效的方法，這就需要扎實的基本功。平時，我們看到一些人，做題時從不用常規方法，總愛自己創造一些方法以“偏方”解題，雖然有時候也能讓他撞上一些好的方法，但我認為是不可取的。因為你首先必須學會用常規的方法，在此基礎上你才能創新，你的創新才有意義，而那些總是片面“追求”新方法的人，他們的思維有如空中樓閣，必然是曇花一現。當然我們要有創新意識，但是，創新是有條件的，必須有扎實的基礎，因此我想勸一下那些基礎不牢，而平時總愛用“偏方”的同學們，該是清醒一下的時候了，千萬不要繼續鉆那可憐的牛角尖啊!

4.建立良好的學習數學習慣，習慣是經過重復練習而鞏固下來的穩重持久的條件反射和自然需要。建立良好的學習數學習慣，會使自己學習感到有序而輕松。高中數學的良好習慣應是：多質疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應用。學生在學習數學的過程中，要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言，并永久記憶在自己的腦海中。另外還要保證每天有一定的自學時間，以便加寬知識面和培養自己再學習能力。

5.多聽、多作、多想、多問：此“四多”乃培養數學能力的要訣，“聽”就是在“學”，作是“練習”(作課本上的習題或其它問題)，也就是把您所學的，應用到解決問題上?！奥牎迸c“作”難免會碰到疑難，那就要靠“想”的功夫去打通它，假如還想不通，解不來就要“問”――問同學、問老師或參考書，務必將疑難解決為止。這就是所謂的學問：既學又問。

6.要有毅力、要有恒心：基本上要有一個認識：數學能力乃是長期努力累積的結果，而不是一朝一夕之功所能達到的。您可能花一天或一個晚上的功夫把某課文背得滾瓜爛熟，第二天考背誦時對答如流而獲高分，也有可能花了一兩個禮拜的時間拼命學數學，但到頭來數學可能還考不好，這時候您可不能氣餒，也不必為花掉的時間惋惜。

高中數學復習的五大要點分析

一、端正態度，切忌浮躁，忌急于求成在第一輪復習的過程中，心浮氣躁是一個非常普遍的現象。主要表現為平時復習覺得沒有問題，題目也能做，但是到了考試時就是拿不了高分!這主要是因為：

(1)對復習的知識點缺乏系統的理解，解題時缺乏思維層次結構。第一輪復習著重對基礎知識點的挖掘，數學老師一定都會反復強調基礎的重要性。如果不重視對知識點的系統化分析，不能構成一個整體的知識網絡構架，自然在解題時就不能擁有整體的構思，也不能深入理解高考典型例題的思維方法。

(2)復習的時候心不靜。心不靜就會導致思維不清晰，而思維不清晰就會促使復習沒有效率。建議大家在開始一個學科的復習之前，先靜下心來認真想一想接下來需要復習哪一塊兒，需要做多少事情，然后認真去做，同時需要很高的注意力，只有這樣才會有很好的效果。

(3)在第一輪復習階段，學習的重心應該轉移到基礎復習上來。

因此，建議廣大同學在一輪復習的時候千萬不要急于求成，一定要靜下心來，認真的揣摩每個知識點，弄清每一個原理。只有這樣，一輪復習才能顯出成效。

二、注重教材、注重基礎，忌盲目做題

要把書本中的常規題型做好，所謂做好就是要用最少的時間把題目做對。部分同學在第一輪復習時對基礎題不予以足夠的重視，認為題目看上去會做就可以不加訓練，結果常在一些“不該錯的地方錯了”，最終把原因簡單的歸結為粗心，從而忽視了對基本概念的掌握，對基本結論和公式的記憶及基本計算的訓練和常規方法的積累，造成了實際成績與心理感覺的偏差。

可見，數學的基本概念、定義、公式，數學知識點的聯系，基本的數學解題思路與方法，是第一輪復習的重中之重。不妨以既是重點也是難點的函數部分為例，就必須掌握函數的概念，建立函數關系式，掌握定義域、值域與最值、奇偶性、單調性、周期性、對稱性等性質，學會利用圖像即數形結合。

三、抓薄弱環節，做好復習的針對性，忌無計劃

每個同學在數學學習上遇到的問題有共同點，更有不同點。在復習課上，老師只能針對性去解決共同點，而同學們自己的個別問題則需要通過自己的思考，與同學們的討論，并向老師提問來解決問題，我們提倡同學多問老師，要敢于問。每個同學必須了解自己掌握了什么，還有哪些問題沒有解決，要明確只有把漏洞一一補上才能提高。復習的過程，實質就是解決問題的過程，問題解決了，復習的效果就實現了。同時，也請同學們注意：在你問問題之前先經過自己思考，不要把不經過思考的問題就直接去問，因為這并不能起到更大作用。

高三的復習一定是有計劃、有目標的，所以千萬不要盲目做題。第一輪復習非常具有針對性，對于所有知識點的地毯式轟炸，一定要做到不缺不漏。因此，僅靠簡單做題是達不到一輪復習應該具有的效果。而且盲目做題沒有針對性，更不會有全面性。在概念模糊的情況下一定要回歸課本，注意教材上最清晰的概念與原理，注重對知識點運用方法的總結。

四、在平時做題中要養成良好的解題習慣，忌不思

1.樹立信心，養成良好的運算習慣。部分同學平時學習過程中自信心不足，做作業時免不了互相對答案，也不認真找出錯誤原因并加以改正。“會而不對”是高三數學學習的大忌，常見的有審題失誤、計算錯誤等，平時都以為是粗心，其實這就是一種非常不好的習慣，必須在第一輪復習中逐步克服，否則，后患無窮?？山Y合平時解題中存在的具體問題，逐題找出原因，看其是行為習慣方面的原因，還是知識方面的缺陷，再有針對性加以解決。必要時作些記錄，也就是錯題本，每位同學必備的，以便以后查詢。

2.做好解題后的開拓引申，培養一題多解和舉一反三的能力。解題能力的培養可以從一題多解和舉一反三中得到提高，因而解完題后，需要再回味和引申，它包括對解題方法的開拓引申，即一道數學題從不同的角度去考慮去分析，可以有不同的思路，不同的解法。

考慮的愈廣泛愈深刻，獲得的思路愈廣闊，解法愈多樣;及對題目做開拓引申，引申出新題和新解法，有利于培養同學們的發散思維，激發創造精神，提高解題能力：

(1)把題目條件開拓引申。

①把特殊條件一般化;②把一般條件特殊化;③把特殊條件和一般條件交替變化。

(2)把題目結論開拓引申。

(3)把題型開拓引申，同一個題目，給出不同的提法，可以變成不同的題型。俗稱為“一題多變”但其解法仍類似，按其解法而言，這些題又可稱為“多題一解”或“一法多用”。

3.提高解題速度，掌握解題技巧。提高解題速度的主要因素有二：一是解題方法的巧妙與簡捷;二是對常規解法的掌握是否達到高度的熟練程度。

五、學會總結、歸納，訓練到位，忌題量不足

我在暑期上課的時候發現，很多同學都是一看到題目就開始做題，這也是一輪復習應該避免的地方。做題如果不注重思路的分析，知識點的運用，效果可想而知。因此建議同學們在做題前要把老師上課時復習的知識再回顧一下，梳理知識體系，回顧各個知識點，對所學的知識結構要有一個完整清楚的認識，認真分析題目考查的知識，思想，以及方法，還要學會總結歸納不留下任何知識的盲點，在一輪復習中要注意對各個知識點的細化。這個過程不需要很長的時間，而且到了后續階段會越來越熟練。因此，養成良好的做題習慣，有助于訓練自己的解題思維，提高自己的解題能力。

實踐出真知，充足的題量是把理論轉化為能力的一種保障，在足夠的題目的練習下不僅可以更扎實的掌握知識點，還可以更深入的了解知識點，避免出現“會而不對、對而不全”的現象。由于高考依然是以做題為主，所以解題能力是高考分數的一個直接反映，尤其是數學試題。而解題能力不是三兩道題就能提升的，而是要大量的反復的訓練、認真細致的推敲才會有較大的提升。有句話說的好，“量變導致質變”，因此，同學們在每章復習的時候，一定要做足夠的題，才能夠充分的理解這一章的內容，才能夠做到對這一章知識點的熟練運用。

但是，大量訓練絕對不是題海戰術。因為針對每章節做題都有目標，同時做題訓練都需要不斷的總結，既要橫向總結，也要縱向深入。只要在每章節做題做到一定程度的時候都能感覺到這一章的知識點有哪些，典型題型有哪些，方法和技巧有哪些，換句話說，如果隨機抽取一些近幾年關于這一章的高考題都會做，那我認為就可以了。

高中數學知識點總結

第四篇：高中數學知識點總結

高中數學知識點總結

1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。

中元素各表示什么？

A表示函數y=lgx的定義域，B表示的是值域，而C表示的卻是函數上的點的軌跡 進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集的特殊情況 注重借助于數軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

顯然，這里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一個元素。故B只能是-1或者3。根據條件，可以得到a=-1,a=1/3.但是，這里千萬小心，還有一個B為空集的情況，也就是a=0,不要把它搞忘記了。

3.注意下列性質：

要知道它的來歷：若B為A的子集，則對于元素a1來說，有2種選擇（在或者不在）。同樣，對于元素a2, a3,......an,都有2種選擇，所以，總共有種選擇，即集合A有個子集。

當然，我們也要注意到，這種情況之中，包含了這n個元素全部在何全部不在的情況，故真子集個數為，非空真子集個數為

（3）德摩根定律：

有些版本可能是這種寫法，遇到后要能夠看懂

4.你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）的取值范圍。

注意，有時候由集合本身就可以得到大量信息，做題時不要錯過； 如告訴你函數f(x)=ax2+bx+c(a>0)在上單調遞減，在上單調遞增，就應該馬上知道函數對稱軸是x=1.或者，我說在上，也應該馬上可以想到m，n實際上就是方程 的2個根

5、熟悉命題的幾種形式、命題的四種形式及其相互關系是什么？（互為逆否關系的命題是等價命題。）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

6、熟悉充要條件的性質（高考經?？迹M足條件，滿足條件，若 ；則是的充分非必要條件； 若 ；則是的必要非充分條件； 若 ；則是的充要條件；

若 ；則是的既非充分又非必要條件；

7.對映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應元素的唯一性，哪幾種對應能構成映射？

（一對一，多對一，允許B中有元素無原象。）

注意映射個數的求法。如集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則從A到B的映射個數有nm個。

如：若，；問：到的映射有 個，到的映射有 個；到的函數有 個，若，則到的一一映射有 個。

函數的圖象與直線交點的個數為 個。

8.函數的三要素是什么？如何比較兩個函數是否相同？（定義域、對應法則、值域）

相同函數的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)

9.求函數的定義域有哪些常見類型？

函數定義域求法： * 分式中的分母不為零；

* 偶次方根下的數（或式）大于或等于零； * 指數式的底數大于零且不等于一；

* 對數式的底數大于零且不等于一，真數大于零。* 正切函數 * 余切函數

* 反三角函數的定義域

函數y＝arcsinx的定義域是 [－1, 1]，值域是，函數y＝arccosx的定義域是 [－1, 1]，值域是 [0, π]，函數y＝arctgx的定義域是 R，值域是.，函數y＝arcctgx的定義域是 R，值域是(0, π).當以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現時，先分別求出滿足每一個條件的自變量的范圍，再取他們的交集，就得到函數的定義域。

10.如何求復合函數的定義域？

義域是_____________。

復合函數定義域的求法：已知的定義域為，求的定義域，可由解出x的范圍，即為的定義域。

例 若函數的定義域為，則的定義域為。

分析：由函數的定義域為可知：；所以中有。

解：依題意知：

解之，得 ∴ 的定義域為

11、函數值域的求法

1、直接觀察法

對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到。例 求函數y=的值域

2、配方法

配方法是求二次函數值域最基本的方法之一。例、求函數y=-2x+5，x[-1，2]的值域。

3、判別式法

對二次函數或者分式函數（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其他方法進行化簡，不必拘泥在判別式上面 下面，我把這一類型的詳細寫出來，希望大家能夠看懂

4、反函數法

直接求函數的值域困難時，可以通過求其原函數的定義域來確定原函數的值域。例 求函數y=值域。

5、函數有界性法

直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定函數的值域。我們所說的單調性，最常用的就是三角函數的單調性。例 求函數y=，的值域。

6、函數單調性法

通常和導數結合，是最近高考考的較多的一個內容 例求函數y=（2≤x≤10）的值域

7、換元法

通過簡單的換元把一個函數變為簡單函數，其題型特征是函數解析式含有根式或三角

函數公式模型。換元法是數學方法中幾種最主要方法之一，在求函數的值域中同樣發

揮作用。

例 求函數y=x+的值域。8 數形結合法 其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這

類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。例：已知點P（x.y）在圓x2+y2=1上，例求函數y=+的值域。

解：原函數可化簡得：y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成數軸上點P（x）到定點A（2），B（-8）間的距離之和。由上圖可知：當點P在線段AB上時，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函數的值域為：[10，+∞）例求函數y=+ 的值域

解：原函數可變形為：y=+

上式可看成x軸上的點P（x，0）到兩定點A（3，2），B（-2，-1）的距離之和，由圖可知當點P為線段與x軸的交點時，y=∣AB∣==，故所求函數的值域為[，+∞）。例求函數y=-的值域 解：將函數變形為：y=-

上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點B（-2，1）到點P（x，0）的距離之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣ 由圖可知：（1）當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點P1，則構成△ABP1，根據三角形兩邊之差小于第三邊，有 ∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣== 即：-＜y＜（2）當點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=。綜上所述，可知函數的值域為：（-，-）。

注：求兩距離之和時，要將函數式變形，使A，B兩點在x軸的兩側，而求兩距離之差時，則要使兩點A，B在x軸的同側。9、不等式法

利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函數的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。例：

倒數法

有時，直接看不出函數的值域時，把它倒過來之后，你會發現另一番境況 例 求函數y=的值域

多種方法綜合運用

總之，在具體求某個函數的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后再選擇恰當的方法，一般優先考慮直接法，函數單調性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。

12.求一個函數的解析式或一個函數的反函數時，注明函數的定義域了嗎？ 切記：做題，特別是做大題時，一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協商，不要犯我當年的錯誤，與到手的滿分失之交臂

13.反函數存在的條件是什么？（一一對應函數）

求反函數的步驟掌握了嗎？

（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）

在更多時候，反函數的求法只是在選擇題中出現，這就為我們這些喜歡偷懶的人提供了大方便。請看這個例題：

(2004.全國理)函數的反函數是（B）A．y=x2－2x+2(x<1)B．y=x2－2x+2(x≥1)C．y=x2－2x(x<1)D．y=x2－2x(x≥1)

當然，心情好的同學，可以自己慢慢的計算，我想，一番心血之后，如果不出現計算問題的話，答案還是可以做出來的?？上?，這個不合我胃口，因為我一向懶散慣了，不習慣計算。下面請看一下我的思路：

原函數定義域為 x〉=1，那反函數值域也為y>=1.排除選項C,D.現在看值域。原函數至于為y>=1,則反函數定義域為x>=1, 答案為B.我題目已經做完了，好像沒有動筆（除非你拿來寫*書）。思路能不能明白呢？

14.反函數的性質有哪些？ 反函數性質：

1、反函數的定義域是原函數的值域（可擴展為反函數中的x對應原函數中的y）

2、反函數的值域是原函數的定義域（可擴展為反函數中的y對應原函數中的x）

3、反函數的圖像和原函數關于直線=x對稱（難怪點（x,y）和點（y，x）關于直線y=x對稱

①互為反函數的圖象關于直線y＝x對稱； ②保存了原來函數的單調性、奇函數性；

由反函數的性質，可以快速的解出很多比較麻煩的題目，如（04.上海春季高考）已知函數，則方程的解__________.1 對于這一類題目，其實方法特別簡單，呵呵。已知反函數的y,不就是原函數的x嗎？那代進去阿，答案是不是已經出來了呢？（也可能是告訴你反函數的x值，那方法也一樣，呵呵。自己想想，不懂再問我.如何用定義證明函數的單調性？（取值、作差、判正負）

判斷函數單調性的方法有三種：(1)定義法：

根據定義，設任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之間的大小關系

可以變形為求的正負號或者與1的關系(2)參照圖象：

①若函數f(x)的圖象關于點(a，b)對稱，函數f(x)在關于點(a，0)的對稱區間具有相同的單調性；（特例：奇函數）②若函數f(x)的圖象關于直線x＝a對稱，則函數f(x)在關于點(a，0)的對稱區間里具有相反的單調性。（特例：偶函數）(3)利用單調函數的性質：

①函數f(x)與f(x)＋c(c是常數)是同向變化的

②函數f(x)與cf(x)(c是常數)，當c＞0時，它們是同向變化的；當c＜0時，它們是反向變化的。

③如果函數f1(x)，f2(x)同向變化，則函數f1(x)＋f2(x)和它們同向變化；（函數相加）

④如果正值函數f1(x)，f2(x)同向變化，則函數f1(x)f2(x)和它們同向變化；如果負值函數f1(2)與f2(x)同向變化，則函數f1(x)f2(x)和它們反向變化；（函數相乘）

⑤函數f(x)與在f(x)的同號區間里反向變化。

⑥若函數u＝φ(x)，x[α，β]與函數y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向變化，則在[α，β]上復合函數y＝F[φ(x)]是遞增的；若函數u＝φ(x),x[α，β]與函數y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向變化，則在[α，β]上復合函數y＝F[φ(x)]是遞減的。（同增異減）⑦若函數y＝f(x)是嚴格單調的，則其反函數x＝f－1(y)也是嚴格單調的，而且，它們的增減性相同。

f(g)g(x)f[g(x)] f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正數增增增增增增減減 / / 減增減 / / 減減增減減

∴......）

16.如何利用導數判斷函數的單調性？

值是（）

A.0 B.1 C.2 D.3

∴a的最大值為3）

17.函數f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（f(x)定義域關于原點對稱）

注意如下結論：

（1）在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函數的乘積是偶函數；一個偶函數與奇函數的乘積是奇函數。

判斷函數奇偶性的方法

一、定義域法

一個函數是奇（偶）函數，其定義域必關于原點對稱，它是函數為奇（偶）函數的必要條件.若函數的定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數..二、奇偶函數定義法

在給定函數的定義域關于原點對稱的前提下，計算，然后根據函數的奇偶性的定義判斷其奇偶性.三、復合函數奇偶性

f(g)g(x)f[g(x)] f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶

18.你熟悉周期函數的定義嗎？

函數，T是一個周期。）

我們在做題的時候，經常會遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t)=0,我們要馬上反應過來，這時說這個函數周期2t.推導：，同時可能也會遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x).其實這都是說同樣一個意思：函數f(x)關于直線對稱，對稱軸可以由括號內的2個數字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x)就都表示函數關于直線x=a對稱。

如：

19.你掌握常用的圖象變換了嗎？ 聯想點（x,y）,(-x,y)聯想點（x,y）,(x,-y)聯想點（x,y）,(-x,-y)聯想點（x,y）,(y,x)聯想點（x,y）,(2a-x,y)聯想點（x,y）,(2a-x,0)

（這是書上的方法，雖然我從來不用，但可能大家接觸最多，我還是寫出來吧。對于這種題目，其實根本不用這么麻煩。你要判斷函數y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,畫出點的坐標?？袋c和原點的關系，就可以很直觀的看出函數平移的軌跡了。）注意如下“翻折”變換：

19.你熟練掌握常用函數的圖象和性質了嗎？

(k為斜率，b為直線與y軸的交點)的雙曲線。

應用：①“三個二次”（二次函數、二次方程、二次不等式）的關系--二次方程

②求閉區間［m，n］上的最值。

③求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。

由圖象記性質?。ㄗ⒁獾讛档南薅ǎ。?/p>

利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區別是什么？（均值不等式一定要注意等號成立的條件）

20.你在基本運算上常出現錯誤嗎？

21.如何解抽象函數問題？（賦值法、結構變換法）

（對于這種抽象函數的題目，其實簡單得都可以直接用死記了

1、代y=x，2、令x=0或1來求出f(0)或f(1)

3、求奇偶性，令y=-x；求單調性：令x+y=x1

幾類常見的抽象函數 1.正比例函數型的抽象函數

f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）2.冪函數型的抽象函數

f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（）＝ 3.指數函數型的抽象函數

f（x）＝ax-------------------f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝ 4.對數函數型的抽象函數

f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝ f（x）－f（y）

5.三角函數型的抽象函數

f（x）＝tgx--------------------------f（x＋y）＝ f（x）＝cotx------------------------f（x＋y）＝

例1已知函數f（x）對任意實數x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當x>0時，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在區間[－2,1]上的值域.分析：先證明函數f（x）在R上是增函數（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根據區間求其值域.例2已知函數f（x）對任意實數x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且當x>0時，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.分析：先證明函數f（x）在R上是增函數（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脫去函數符號.例3已知函數f（x）對任意實數x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，當0≤x＜1時，f（x）∈[0，1].（1）判斷f（x）的奇偶性；

（2）判斷f（x）在[0，＋∞]上的單調性，并給出證明；（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范圍.分析：（1）令y＝－1；

（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；

（3）0≤a≤2.例4設函數f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；對任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：（1）f（0）；

（2）對任意值x，判斷f（x）值的符號.分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.例5是否存在函數f（x），使下列三個條件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，說明理由.分析：先猜出f（x）＝2x；再用數學歸納法證明.例6設f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調增函數，滿足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：（1）f（1）；

（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范圍.分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函數的單調性和已知關系式.例7設函數y＝ f（x）的反函數是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正確，試說明理由.分析：設f（a）＝m，f（b）＝n，則g（m）＝a，g（n）＝b，進而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]....例8已知函數f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足以下三個條件： ① x1、x2是定義域中的數時，有f（x1－x2）＝； ② f（a）＝ －1（a＞0，a是定義域中的一個數）； ③ 當0＜x＜2a時，f（x）＜0.試問：

（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由；

（2）在（0，4a）上，f（x）的單調性如何？說明理由.分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函數；（3）先證明f（x）在（0，2a）上是增函數，再證明其在（2a，4a）上也是增函數.對于抽象函數的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函數問題，對應的特殊模型不是我們熟悉的基本初等函數.因此，針對不同的函數要進行適當變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函數問題.例9已知函數f（x）（x≠0）滿足f（xy）＝f（x）＋f（y），（1）求證：f（1）＝f（－1）＝0；（2）求證：f（x）為偶函數；

（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函數，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.分析：函數模型為：f（x）＝loga|x|（a＞0）（1）先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；（2）令y＝ －1；

（3）由f（x）為偶函數，則f（x）＝f（|x|）.例10已知函數f（x）對一切實數x、y滿足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且當x＜0時，f（x）＞1，求證：（1）當x＞0時，0＜f（x）＜1；（2）f（x）在x∈R上是減函數.分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；（3）受指數函數單調性的啟發：

由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，進而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.練習題：

1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）對任意實數x、y都成立，則（）

（A）f（0）＝0（B）f（0）＝1

（C）f（0）＝0或1（D）以上都不對

2.若對任意實數x、y總有f（xy）＝f（x）＋f（y），則下列各式中錯誤的是（）

（A）f（1）＝0（B）f（）＝ f（x）

（C）f（）＝ f（x）－f（y）（D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）

3.已知函數f（x）對一切實數x、y滿足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且當x＜0時，f（x）＞1，則當x＞0時，f（x）的取值范圍是（）

（A）（1，＋∞）（B）（－∞，1）

（C）（0，1）（D）（－1，＋∞）

4.函數f（x）定義域關于原點對稱，且對定義域內不同的x1、x2都有

f（x1－x2）＝，則f（x）為（）

（A）奇函數非偶函數（B）偶函數非奇函數

（C）既是奇函數又是偶函數（D）非奇非偶函數

5.已知不恒為零的函數f（x）對任意實數x、y滿足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，則函數f（x）是（）

（A）奇函數非偶函數（B）偶函數非奇函數

（C）既是奇函數又是偶函數（D）非奇非偶函數

參考答案： 1．A 2．B 3．C 4．A 5．B 23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？

(和三角形的面積公式很相似，可以比較記憶.要知道圓錐展開圖面積的求法)

第五篇：高中數學知識點總結

第一部分集合與常用邏輯用語

1．理解集合中元素的意義是解決集合問題的關鍵：元素是函數關系中自變量的?。?/p>

值？還是因變量的取值？還是曲線上的點？? ；

2．數形結合是解集合問題的常用方法：解題時要盡可能地借助數軸、直角坐標系．．．．

或韋恩圖等工具，將抽象的代數問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數形結合的思想方法解決；?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

nn3．（1）含n個元素的集合的子集數為2，真子集數為2－1；非空真子集的數為

n2-2；

（2）A?B?A?B?A?A?B?B 注意：討論的時候不要遺忘了A??的情況。

4．四種命題：

⑴原命題：若p則q；⑵逆命題：若q則p；

⑶否命題：若?p則?q；⑷逆否命題：若?q則?p

注：原命題與逆否命題等價；逆命題與否命題等價。

5．充要條件的判斷：

（1）定義法----正、反方向推理；

（2）利用集合間的包含關系：

例如：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；

6．邏輯聯結詞：⑴且： p?q；⑵或： p?q；⑶非： ?p

7．全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞-------“所有的”、“任意一個”等，用?表示；

全稱命題p：?x?M,p(x)； 全稱命題p的否定?p：?x?M,?p(x)。⑵存在量詞--------“存在一個”、“至少有一個”等，用?表示；

存在性命題p：?x?M,p(x)； 存在性命題p的否定?p：?x?M,?p(x)。易錯點1：錯誤理解集合的代表元素含義：

例：若集合A??y|y?lgx?,B??(x,y)|y?lgx?，則A?B?。

易錯點2：四種命題的結構不明導致錯誤：

例：若a?0,b?0，則ab?0的否命題是，它為（真，假）命題。

易錯點3：充分必要條件顛倒致誤：

例：已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么，p是q的條件。